2019九年级数学上册 专题突破讲练 巧添辅助线证相似三角形试题 （新版）青岛版 13页

巧添辅助线证相似三角形 一、添加平行线构造“A”、“8”型 ‎1. 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ ‎（1）定理的基本图形：‎ ‎ ‎ ‎（2）燕尾图形辅助线的添加方法 注意：‎ ‎（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；‎ ‎（2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；‎ ‎（3）通过线段比例之间的等量代换求解。‎ ‎2. 方法归纳：‎ ‎（1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“‎8”‎字一般行。‎ ‎（2）引平行线应注意以下几点：‎ ‎①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。‎ ‎②引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。‎ 二、作垂线构造相似直角三角形 ‎1. 基本图形 ‎ ‎ ‎2. 所用知识点 ‎（1）等量代换——等角的余角相等。‎ 13‎ ‎（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。‎ 注意：‎ ‎（1）相似三角形中对应边要找准。‎ ‎（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。‎ 例题 平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：。‎ 解析：作BM⊥AC于点M，可证△ABM∽△ACE，则AB•AE＝AM•AC，易得△BCM∽△CAF，则BC•AF＝CM•AC，故得出结论。‎ 答案：作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠AEC＝90°，‎ ‎∵∠BAM＝∠CAE，∴△ABM∽△ACE，‎ ‎∴AB•AE＝AM•AC，‎ ‎∵∠BCM＝∠CAF，易得△BCM∽△CAF，‎ ‎∴BC•AF＝CM•AC，‎ ‎∴。‎ ‎∵AD＝BC，‎ ‎∴。‎ 点拨：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。‎ ‎【总结提高】‎ 本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：‎ ‎（1）添加辅助线的原则；‎ ‎（2）构造出的基本模型；‎ ‎（3）相似三角形中的对应关系。‎ ‎（4）复杂问题中等量代换的灵活应用。‎ 例题 用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1：2，即在△ABC中，BE，CD是两条中线，它们交于G，求证：DG：CG＝EG：BG＝1：2。‎ 13‎ 解析：连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到，则F。通过△HEG∽△FBG的对应边成比例证得结论。‎ 答案：如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。‎ ‎∵点G是△ABC的重心，‎ ‎∴点F是BC的中点。‎ ‎∴BF＝FC。‎ ‎∵D、E是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，，‎ ‎∴HE∥BF，F。‎ ‎∴△HEG∽△FBG，‎ ‎∴，即EG：BG＝1：2 ‎ 同理 DG：CG＝1：2。‎ ‎∴。‎ 点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记住，并熟练应用。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎*1.（绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE、‎ 13‎ BE、BD，且AE、BD交于点F，则（　　）‎ A. 2：5：23 B. 4：9：‎24 ‎ C. 2：3：5 D. 4：10：25‎ ‎**2. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且。若AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A. 40 B. ‎60 ‎ C. 80 D. 70‎ ‎**3. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP：PQ：QR＝（ ）。‎ A.3：1：2 B. 5：3：‎4 ‎ C. 6：5：4 D. 4：1：2‎ ‎**4. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F。下列结论：①BE＝EC；②BC2＝AC•DC；③S△BEC：S△BEA＝2：1；④；⑤。其中正确结论的个数有（　　）‎ A. 2个 　 B. 3个 　 C. 4个 　 D. 5个 ‎ 二、填空题 ‎**5. （武清区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 　。‎ 13‎ ‎**6. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3。下列结论：①∠AED＝∠ADC；②；③AC•BE＝12；④3BF＝‎4AC，其中结论正确的是　 。‎ ‎**7. （温州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知，tan∠DFC＝2，则BC＝　 　， ＝　 　。‎ ‎**8.（嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③；④，其中正确结论的序号是　 　。‎ 13‎ 三、解答题 ‎9. 如图，AB为半圆的直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C。‎ 求证：CD平分EF。‎ ‎*10. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。‎ ‎（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；‎ ‎（2）如图2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；‎ ‎（3）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；‎ ‎（4）如图4，三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。‎ ‎**11. （丰台区二模）阅读下列材料：‎ 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少。‎ 13‎ 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3。参考小明的做法，解决以下问题：‎ ‎（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，＝　 　；‎ ‎（2）如图3，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数）。以PE，PB为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为　 　，此时＝　 　；‎ ‎（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为　 　，此时＝　 　。‎ ‎**12. 若已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）。‎ 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：‎ ‎（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；‎ ‎（2）请找出间的关系式，并给出证明。‎ 13‎ ‎1. D 解析：根据平行四边形的性质求出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案。‎ ‎2. D 解析：连接EF，过O作MN⊥DC于N，交EF于M，求出四边形DEFC是矩形，推出EF∥CD，EF＝CD＝15，证△EOF∽△GOH，推出，求出ON＝2，OM＝6，根据阴影部分的面积＝S矩形DEFC－S△EFO－S△HOG，分别求出，代入即可。‎ ‎3. A 解析：由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得△PBC∽△RBE，继而可得，PB＝PR，又由点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，可得，继而可求得BP：PQ：QR的值。‎ ‎4. C 解析：作AH⊥BD的延长线于H，作BG⊥CD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出∠EBA＝∠EAB，就可以得出BE＝AE。由∠ECD＝∠EAD，得出CE＝AE。可以得出①是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值，从而得出结论②；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质求出EF与AD的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤。‎ ‎5. 解析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形。‎ ‎6. ①③④ 解析：①∠AED＝90°－∠EAD，∠ADC＝90°－∠DAC，∠EAD＝∠DAC；②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：AC，AC不一定等于4。③由①证△BED∽△BDA，得，得＝12；④连接DM，可证DM∥BF∥ AC，得FM：MC＝BD：DC＝4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解。‎ ‎7. 解析：由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠DFC＝2，可得BE＝2BF，又由S△BEF＝9，即可求得BF与BE的长，然后过点C作CH⊥DF于点H，设DH＝h，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；首先过点D作DM⊥BC于点M，利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案。‎ ‎8. ①③ 解析：根据题意首先易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA＝BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可得，继而可得；即可得，又由等腰直角三角形的性质，可得，即可求得；则可得。‎ 13‎ ‎9. 证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB。‎ 易知：。‎ 两式相减得：，即。‎ 于是：。‎ ‎∴DH＝GD。显然，EG∥CD∥FH。故CD平分EF。‎ ‎10. 解：（1）在图1中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。‎ 在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，‎ ‎∴AB＝5，CN＝， ‎ ‎∵GF∥AB，‎ ‎∴△CGF∽△CAB，‎ ‎∴，‎ 设正方形边长为x，则 ，∴x＝；‎ ‎（2）在图2中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。‎ ‎∵GF∥AB，‎ ‎∴△CGF∽△CAB，‎ ‎∴，‎ 设每个正方形边长为x，则，‎ 13‎ ‎∴x＝；‎ ‎（3）在图3中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，‎ ‎∵GF∥AB，‎ ‎∴△CGF∽△CAB，‎ ‎∴，‎ 设每个正方形的边长为x，则，‎ ‎∴x＝；‎ ‎（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：，则x＝。‎ ‎11. 解：（1）如图2，‎ ‎∵四边形APBQ是平行四边形，‎ ‎∴AP∥BQ，AP＝BQ。‎ ‎∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠APQ＝∠C＝90°。‎ ‎∴PQ∥BC。‎ ‎∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，‎ ‎∴四边形PCBQ是矩形。‎ ‎∴QB＝PC。‎ ‎∴AP＝PC。‎ ‎∴。 ‎ ‎（2）如图5，‎ 13‎ 由题意可知：当QP⊥AC时，PQ最短。‎ ‎∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠C＝90°。∴PQ∥BC。‎ ‎∵四边形PBQE是平行四边形，∴EP∥BQ，EP＝BQ。‎ ‎∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，∴四边形PCBQ是矩形。‎ ‎∴QB＝PC，PQ＝BC＝3。∴EP＝PC。‎ ‎∵AE＝nPA，∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。 ‎ ‎（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，‎ 由题意可知：当QP⊥AB时，PQ最短。‎ ‎∵QP⊥AB，CH⊥AB，‎ ‎∴∠APQ＝∠AHC＝90°。‎ ‎∴PQ∥HC。‎ ‎∵四边形PCQE是平行四边形，‎ ‎∴EP∥CQ，EP＝CQ。‎ ‎∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC＝90°，‎ ‎∴四边形PHCQ是矩形。‎ ‎∴QC＝PH，PQ＝HC。‎ ‎∴EP＝PH。‎ ‎∵AE＝nPA，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 13‎ ‎∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，‎ ‎∴AB＝5。‎ ‎∵∠HAC＝∠CAB，∠AHC＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴△AHC∽△ACB。‎ ‎∴。‎ ‎∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，‎ ‎∴。‎ ‎∴，。‎ ‎∴，。‎ ‎∴ 。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎12. 解：（1）成立。‎ 证明：∵AB∥EF ‎ ‎∴ ‎ ‎∵CD∥EF ‎ ‎ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴；‎ ‎（2）关系式为：‎ 证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K。‎ 由题设可得：‎ 13‎ ‎∴‎ 即 ‎ 又∵BD•AM＝S△ABD，BD•CK＝S△BCD ，BD•EN＝S△BED ‎ ‎∴。‎ 13‎