人教版九年级数学上册第二十四章圆圆的有关性质圆周角课件 41页

第二十四章 圆 人教版 九年级数学上册 24.1.4 圆周角 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 导入新课 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、 C两点. 复习引入 视频引入 C A E D B 思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的 难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度 大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点 的位置射门更有利？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 讲授新课 圆周角的定义一 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2）（1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交√ √√ 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系. 1 2 BAC BOC   圆周角定理及其推论二 测量与猜测 圆心O 在∠BAC 的 内部 圆心O在∠BAC 的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 推导与论证 n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2 BAC BOC   O A B D C n圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D BAD BOD1 2    DAC DOC1 2    BAC BAD DAC BOD DOC BOC1 1( ) 2 2            DAC DOC1 2 O A B D C O C O A D O A B D n圆心O在∠BAC的外部 u圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半； 圆周角定理 要点归纳 问题1 如图，OB，OC都是⊙ O的半径，点A ,D 是上 任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由. D 互动探究 Q BAC BOC1 , 2    1 , 2 BDC BOC   ∴∠BAC=∠BDC 相等 D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ » ¼，CD EF » ¼Q ，CD EF 相等 .COD EOF   Q ， ，A COD B EOF1 1 2 2       .A B   想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？» ¼CD EF (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识要点 A1 A2 A 3 试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、 C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD 为四边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ( (( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 想一想 如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一 点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对 的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ ·OA C B 解：∵OA=OB=OC， ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 圆周角和直径的关系 u圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 知识要点 典例精析 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求 ∠ABC的大小. O CA B 解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对 的圆周角等于90°.） ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 例2 如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. A D B E C (2)连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 例3：如图，⊙ O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙ O 于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 2 2 2 210 6 8;DC AC AD     在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. 2 2 10 5 2(cm). 2 2 AB BC AC      B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，则考虑构造直角三角形来求解. 归纳 如图，BD是⊙ O的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙ O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径 所对的圆周角，构造直角三角形解题． 练一练 C 例4 如图,AB是⊙ O的直径,弦CD交AB于点P, ∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数. . OA D C P B 解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋ 70°＝100°. 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆. 圆内接四边形三 如图，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形， ⊙ O为四边形ABCD的外接圆. u探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 证明猜想 归纳总结 推论：圆的内接四边形的对角互补. C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 归纳总结 推论：圆的内接四边形的任何一个外 角都等于它的内对角. C O D B A E 1．四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2．⊙ O的内接四边形ABCD中， ∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ，则∠D= . 70º 100º 90º 练一练 例5：如图，AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙ O于D，AF交⊙ O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙ O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据． 如图，在⊙ O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝ 180°－60°＝120°，故选A. 练一练 A 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， 例6 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度 数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°. 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂训练 2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． BA C O 166° 3.如图，已知BD是⊙ O的直径，⊙ O的弦AC⊥BD于 点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准 确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理. AB C D O 4.如图，四边形ABCD内接于⊙ O,如 果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是 （ ） A 115° B 130° C 65° D 50° 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙ O， P是AB上的一点，则∠APB= . A B C P C 120° 6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 130° 50° 7.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙ O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙ O的半径是 . C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 A O B C ∴∠ACB=2∠BAC 证明： 8. 如图，OA，OB，OC都是⊙ O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. Q ACB AOB1 , 2    1 , 2 BAC BOC   ∠AOB=2∠BOC， 9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到 暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两 点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁 危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全 区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时， 即船位于暗礁区域外（即 ⊙ O外） ，与两个灯塔的夹 角∠α小于“危险角”.