2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷 15页

‎2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎ ‎ ‎1. ‎5‎的相反数是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎5‎ C.‎−‎‎1‎‎5‎ D.‎‎−5‎ ‎ ‎ ‎2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎3. ‎2020‎庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到‎3‎月‎8‎号，全国已有‎346‎支医疗队、‎42600‎余名医护人员抵达湖北救援，数字‎42600‎用科学记数法表示为（ ） ‎ A.‎0.426×‎‎10‎‎5‎ B.‎4.26×‎‎10‎‎4‎ C.‎4.26×‎‎10‎‎5‎ D.‎‎42.6×‎‎10‎‎3‎ ‎ ‎ ‎4. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若‎∠1=‎‎30‎‎∘‎，则‎∠2‎的度数为(        ) ‎ A.‎10‎‎∘‎ B.‎15‎‎∘‎ C.‎20‎‎∘‎ D.‎‎30‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎6. 下列运算正确的是（ ） ‎ A.a‎3‎‎⋅‎a‎2‎＝a‎6‎ B.a‎7‎‎÷‎a‎4‎＝a‎3‎ C.‎(−3a‎)‎‎2‎＝‎−6‎a‎2‎ D.‎(a−1‎‎)‎‎2‎＝‎a‎2‎‎−1‎ ‎ ‎ ‎7. 某射击运动员在训练中射击了‎10‎次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（ ） ‎ A.众数是‎8‎ B.中位数是‎8‎ C.平均数是‎8‎ D.极差是‎4‎ ‎ ‎ ‎8. 实数a、b、c满足a>b且acx−2‎‎ ‎，并写出它的所有整数解． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且‎∠BAE＝‎∠DCF．求证：BF＝DE． ‎ ‎ ‎ ‎ 某商场用‎14500‎元购进甲、乙两种矿泉水共‎500‎箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示： ‎ 类别 成本价（元/箱）‎ 销售价（元/箱）‎ 甲 ‎25‎ ‎35‎ 乙 ‎35‎ ‎48‎ 求： ‎ ‎(1)‎购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？‎ ‎ ‎ ‎(2)‎该商场售完这‎500‎箱矿泉水，可获利多少元？‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ ‎ ‎ 如图AB是‎⊙O的直径，PA与‎⊙O相切于点A，BP与‎⊙O相交于点D，C为‎⊙O上的一点，分别连接CB、CD，‎∠BCD＝‎60‎‎∘‎． ‎ ‎(1)‎求‎∠ABD的度数；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若AB＝‎6‎，求PD的长度．‎ ‎ ‎ ‎ 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承-地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”． ‎ ‎（1）被调查的总人数是________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为________；‎ ‎ ‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎ ‎ ‎（3）若该校共有学生‎1800‎人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有________人；‎ ‎ ‎ ‎（4）在抽取的A类‎5‎人中，刚好有‎3‎个女生‎2‎个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，一次函数y＝‎−x+3‎的图象与反比例函数y=kx(k≠0)‎在第一象限的图象交于A(1, a)‎和B两点，与x轴交于点C． ‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎ ‎ ‎（2）若点P在x轴上，且‎△APC的面积为‎5‎，求点P的坐标；‎ ‎ ‎ ‎（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使‎△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎，在Rt△ABC中，‎∠B＝‎90‎‎∘‎，AB＝‎4‎，BC＝‎2‎，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将‎△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α． ‎ ‎（1）问题发现 ①当α＝‎0‎‎∘‎时，AEBD‎=‎________； ②当α＝‎180‎‎∘‎时，AEBD‎=‎________．‎ ‎ ‎ ‎（2）拓展探究 试判断：当‎0‎‎∘‎‎≤α<‎‎360‎‎∘‎时，AEBD的大小有无变化？请仅就图‎2‎的情形给出证明．‎ ‎ ‎ ‎（3）问题解决 ‎△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．‎ ‎ ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ 如图，已知抛物线y＝ax‎2‎+bx+5‎经过A(−5, 0)‎，B(−4, −3)‎两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． ‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎ ‎ ‎（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求‎△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得‎∠PBC＝‎∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 参考答案与试题解析 ‎2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 相反数 ‎【解析】‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ ‎【解答】‎ 解：根据相反数的定义有：‎5‎的相反数是‎−5‎． 故选D. ‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 简单组合体的三视图 ‎【解析】‎ 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】‎ 从正面看是一个矩形中间上面挖去一个矩形，‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 科学记数法--表示较大的数 ‎【解析】‎ 科学记数法的表示形式为a×‎‎10‎n的形式，其中‎1≤|a|<10‎，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．‎ ‎【解答】‎ ‎42600‎‎＝‎4.26×‎‎10‎‎4‎，‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 轴对称图形 中心对称图形 ‎【解析】‎ 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】‎ A‎、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 等腰直角三角形 平行线的性质 ‎【解析】‎ 根据平行线的性质，即可得出‎∠1=‎‎∠ADC=‎‎30‎‎∘‎，再根据等腰直角三角形ADE中，‎∠ADE=‎‎45‎‎∘‎，即可得到‎∠2=‎‎45‎‎∘‎‎−‎30‎‎∘‎=‎‎15‎‎∘‎．‎ ‎【解答】‎ 解：如图， ∵ AB // CD， ∴ ‎∠ADC=‎‎∠1=‎‎30‎‎∘‎. 又∵ 等腰直角三角形ADE中，‎∠ADE=‎‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠2=‎‎45‎‎∘‎‎−‎30‎‎∘‎=‎‎15‎‎∘‎. 故选B.‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 幂的乘方与积的乘方 同底数幂的除法 完全平方公式 同底数幂的乘法 ‎【解析】‎ 分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．‎ ‎【解答】‎ A‎．a‎3‎‎⋅‎a‎2‎＝a‎5‎，故本选项不合题意； B．a‎7‎‎÷‎a‎4‎＝a‎3‎，正确； C．‎(−3a‎)‎‎2‎＝‎9‎a‎2‎，故本选项不合题意； D．‎(a−1‎‎)‎‎2‎＝a‎2‎‎−2a+1‎，故本选项不合题意．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ C 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎【考点】‎ 众数 折线统计图 中位数 算术平均数 极差 ‎【解析】‎ 根据众数、中位数、平均数以及极差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．‎ ‎【解答】‎ 由图可得，数据‎8‎出现‎3‎次，次数最多，所以众数为‎8‎，故A选项正确，不合题意； ‎10‎次成绩排序后为：‎6‎，‎7‎，‎7‎，‎8‎，‎8‎，‎8‎，‎9‎，‎9‎，‎10‎，‎10‎，所以中位数是：‎1‎‎2‎‎(8+8)‎＝‎8‎，故B选项正确，不合题意； 平均数为‎1‎‎10‎‎(6+7×2+8×3+9×2+10×2)‎＝‎8.2‎，故C选项错误，符合题意； 极差为‎10−6‎＝‎4‎，故D选项正确，不合题意；‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 数轴 实数 在数轴上表示实数 ‎【解析】‎ 根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．‎ ‎【解答】‎ 因为a>b且acb，c<0‎条件，故满足条件的对应点位置可以是A． 选项B不满足a>b，选项C、D不满足c<0‎，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 由实际问题抽象为分式方程 ‎【解析】‎ 设甲每小时做x个零件，根据甲做‎120‎个所用的时间与乙做‎150‎个所用的时间相等得出方程解答即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设甲每小时做x个零件，可得：‎120‎x‎=‎‎150‎x+8‎. 故选D.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 求阴影部分的面积 解直角三角形 特殊角的三角函数值 扇形面积的计算 ‎【解析】‎ 根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、‎∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是‎△ABC的面积减去‎△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】‎ 解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB于点E. ∵ 在Rt‎△ABC中， ‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎，AB=‎‎2‎‎3‎，BC=‎‎2‎， ∴ tan∠BAC=BCAB=‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎， ∴ ‎∠BAC=‎‎30‎‎∘‎， ∴ ‎∠DOB=‎‎60‎‎∘‎. ∵ OD=‎1‎‎2‎AB=‎‎3‎， ∴ DE=‎‎3‎‎2‎， ∴ 阴影部分的面积是： ‎2‎3‎×2‎‎2‎‎−‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎‎2‎−‎‎60×π×(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎ ‎=‎5‎‎3‎‎4‎−‎π‎2‎. 故选A.‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 ‎【解析】‎ 根据题意得，‎∠CAB＝‎65‎‎∘‎‎−‎‎20‎‎∘‎，‎∠ACB＝‎40‎‎∘‎‎+‎‎20‎‎∘‎＝‎60‎‎∘‎，AB＝‎30‎‎2‎，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】‎ 解：根据题意得，‎∠CAB=‎‎65‎‎∘‎‎−‎20‎‎∘‎=‎‎45‎‎∘‎， ‎∠ACB=‎‎40‎‎∘‎‎+‎20‎‎∘‎=‎‎60‎‎∘‎，AB=‎‎30‎‎2‎， 过B作BE⊥AC于E， ∴ ‎‎∠AEB=‎‎∠CEB=‎‎90‎‎∘‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎， 在Rt△ABE中，∵ ‎∠ABE=‎‎45‎‎∘‎，AB=‎‎30‎‎2‎， ∴ AE=‎BE=‎2‎‎2‎AB=‎‎30km， 在Rt△CBE中，∵ ‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎， ∴ CE=‎3‎‎3‎BE=‎‎10‎3‎km， ∴ AC=‎AE+CE=‎‎30+10‎‎3‎， ∴ A，C两港之间的距离为‎(30+10‎3‎)km， 故选B.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 一次函数图象上点的坐标特点 含字母系数的二次函数 二次函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 分a>0‎，a<0‎两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 抛物线y=ax‎2‎−x+1(a≠0)‎与线段AB有两个不同的交点， ∴ 令‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎=ax‎2‎−x+1‎，则‎2ax‎2‎−3x+1=0‎， ∴ Δ=9−8a>0‎， ∴ a<‎‎9‎‎8‎. ①当a<0‎时，a+1+1≤0，‎a−1+1≤1，‎‎ ‎ 解得：a≤−2‎， ∴ a≤−2‎； ②当a>0‎时，a+1+1≥0，‎a−1+1≥1，‎‎ ‎ 解得：a≥1‎， ∴ ‎1≤a<‎‎9‎‎8‎. 综上所述：‎1≤a<‎‎9‎‎8‎或a≤−2‎. 故选C.‎ 二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎【答案】‎ ‎(x+2‎‎)‎‎2‎ ‎【考点】‎ 因式分解-运用公式法 ‎【解析】‎ 本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的‎2‎倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．‎ ‎【解答】‎ x‎2‎‎+4x+4‎‎＝‎(x+2‎‎)‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎1‎x−2‎ ‎【考点】‎ 分式的加减运算 ‎【解析】‎ 首先通分，然后根据异分母的分式相加减的法则计算即可．‎ ‎【解答】‎ ‎4‎x‎2‎‎−4‎‎+‎‎1‎x+2‎‎ ‎=‎4‎x‎2‎‎−4‎+‎x−2‎x‎2‎‎−4‎ ‎=‎x+2‎x‎2‎‎−4‎ ‎‎=‎‎1‎x−2‎ ‎【答案】‎ ‎22‎ ‎【考点】‎ 列表法与树状图法 ‎【解析】‎ 设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可．‎ ‎【解答】‎ 设袋中黑球的个数为x， 根据题意得‎5‎‎5+23+x‎=‎‎1‎‎10‎， 解得x＝‎22‎， 即袋中黑球的个数为‎22‎个．‎ ‎【答案】‎ ‎8‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎【考点】‎ 正多边形和圆 ‎【解析】‎ 根据正n边形的中心角是‎360‎n即可求解．‎ ‎【解答】‎ 正多边形的边数是：‎360‎‎45‎‎=8‎．‎ ‎【答案】‎ ‎20‎ ‎【考点】‎ 一次函数的应用 ‎【解析】‎ 根据题意，可知甲乙两地的距离是‎30km，小王从甲地到乙地用的时间为‎3h，从而可以求得小王的速度，然后根据图象可知，两人‎1h时相遇，从而可以求得小李的速度，本题得以解决．‎ ‎【解答】‎ 由图象可得， 小王的速度为‎30÷3‎＝‎10(km/h)‎， 则小李的速度为：‎30÷1−10‎＝‎30−10‎＝‎20(km/h)‎，‎ ‎【答案】‎ ‎①④⑤‎ ‎【考点】‎ 矩形的性质 翻折变换（折叠问题）‎ ‎【解析】‎ 由折叠的性质，可得‎∠DMC＝‎∠EMC，CD＝CE，‎∠AMP＝‎∠EMP，AB＝GE，由平角的定义可求‎∠PME+∠CME=‎1‎‎2‎×‎‎180‎‎∘‎＝‎90‎‎∘‎，可判断①正确；由折叠的性质可得‎∠GEC＝‎180‎‎∘‎，可判断②正确；设AB＝x，则AD＝‎2‎2‎x，由勾股定理可求MP和PC的长，即可判断③错误，先求出PB=‎2‎‎2‎x，即可判断④正确，由平行线分线段成比例可求PG＝‎2EF，可判断⑤正确，即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 沿着CM折叠，点D的对应点为E， ∴ ‎∠DMC＝‎∠EMC，CD＝CE， ∵ 再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP， ∴ ‎∠AMP＝‎∠EMP，AB＝GE， ∵ ‎∠AMD＝‎180‎‎∘‎， ∴ ‎∠PME+∠CME=‎1‎‎2‎×‎‎180‎‎∘‎＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△CMP是直角三角形；故①正确； ∵ 沿着CM折叠，点D的对应点为E， ∴ ‎∠D＝‎∠MEC＝‎90‎‎∘‎， ∵ 再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP， ∴ ‎∠MEG＝‎∠A＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠GEC＝‎180‎‎∘‎， ∴ 点C、E、G在同一条直线上，故②错误； ∵ AD＝‎2‎2‎AB， ∴ 设AB＝x，则AD＝‎2‎2‎x， ∵ 将矩形ABCD对折，得到折痕MN； ∴ DM=‎1‎‎2‎AD=‎2‎x， ∴ CM=DM‎​‎‎2‎+CD‎​‎‎2‎=‎3‎x， ∵ ‎∠PMC＝‎90‎‎∘‎，MN⊥PC， ∴ CM‎2‎＝CN⋅CP， ∴ CP=‎3‎x‎2‎‎2‎x=‎3‎‎2‎‎2‎x， ∴ PN＝CP−CN=‎2‎‎2‎x， ∴ PM=MN‎​‎‎2‎+PN‎​‎‎2‎=‎6‎‎2‎x， ∴ PCPM‎=‎3‎‎2‎‎6‎=‎‎3‎， ∴ PC=‎3‎PM，故③错误， ∵ PC=‎3‎‎2‎‎2‎x， ∴ PB＝BC−PC＝‎2‎2‎x−‎3‎‎2‎‎2‎x=‎2‎‎2‎x， ∴ BPAB‎=‎2‎‎2‎xx=‎‎2‎‎2‎， ∴ BP=‎2‎‎2‎AB，故④正确， ∵ ‎∠MEC＝‎∠G＝‎90‎‎∘‎， ∴ PG // ME， ∴ CECG‎=‎EFPG， ∵ AB＝GE＝CD＝CE， ∴ CG＝‎2CE， ∴ PG＝‎2EF，故⑤正确，‎ 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎【答案】‎ 原式‎=2+1−2×‎1‎‎2‎+5‎ ＝‎2+1−1+5‎ ＝‎7‎．‎ ‎【考点】‎ 零指数幂、负整数指数幂 零指数幂 实数的运算 特殊角的三角函数值 ‎【解析】‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=2+1−2×‎1‎‎2‎+5‎ ＝‎2+1−1+5‎ ＝‎7‎．‎ ‎【答案】‎ 解不等式①得：x≥1‎， 解不等式②得：x<4‎， 所以，原不等式组的解集是‎1≤x<4‎， 它的所有整数解有：x＝‎1‎；x＝‎2‎；x＝‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 一元一次不等式组的整数解 解一元一次不等式组 ‎【解析】‎ 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．‎ ‎【解答】‎ 解不等式①得：x≥1‎， 解不等式②得：x<4‎， 所以，原不等式组的解集是‎1≤x<4‎， 它的所有整数解有：x＝‎1‎；x＝‎2‎；x＝‎3‎．‎ ‎【答案】‎ 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD， ∴ ‎∠ABE＝‎∠CDF， 在‎△ABE和‎△DCF中， ‎∠BAE=∠DCFAB=CD‎∠ABE=∠CDF‎ ‎ ∴ ‎△ABE≅△DCF(ASA)‎， ∴ BE＝DF， ∴ BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE．‎ ‎【考点】‎ 全等三角形的性质与判定 平行四边形的性质 ‎【解析】‎ 欲证明BF＝DE，只要证明‎△ABE≅△DCF即可．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD， ∴ ‎∠ABE＝‎∠CDF， 在‎△ABE和‎△DCF中， ‎∠BAE=∠DCFAB=CD‎∠ABE=∠CDF‎ ‎ ∴ ‎△ABE≅△DCF(ASA)‎， ∴ BE＝DF， ∴ BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE．‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱， ‎ 依题意，得：‎x+y=500,‎‎25x+35y=14500,‎‎ ‎ 解得：‎x=300,‎y=200.‎‎ ‎ 答：购进甲矿泉水‎300‎箱，购进乙矿泉水‎200‎箱．‎ ‎(2)‎‎(35−25)×300+(48−35)×200=‎‎5600‎‎（元）． ‎ 答：该商场售完这‎500‎箱矿泉水，可获利‎5600‎元．‎ ‎【考点】‎ 二元一次方程组的应用——销售问题 ‎【解析】‎ ‎（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用‎14500‎元购进甲、乙两种矿泉水共‎500‎箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝单箱利润‎×‎销售数量，即可求出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱， 依题意，得：x+y=500,‎‎25x+35y=14500,‎‎ ‎ 解得：x=300,‎y=200.‎‎ ‎ 答：购进甲矿泉水‎300‎箱，购进乙矿泉水‎200‎箱．‎ ‎(2)‎‎(35−25)×300+(48−35)×200=‎‎5600‎‎（元）． 答：该商场售完这‎500‎箱矿泉水，可获利‎5600‎元．‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎如图，连接AD． ∵ BA是‎⊙O直径， ∴ ‎∠BDA＝‎90‎‎∘‎． ∵ BD‎=‎BD， ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠C＝‎60‎‎∘‎． ∴ ‎∠ABD＝‎90‎‎∘‎‎−∠BAD＝‎90‎‎∘‎‎−‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎．‎ ‎(2)‎‎∵ AP是‎⊙O的切线， ∴ ‎∠BAP＝‎90‎‎∘‎． 在Rt△BAD中，∵ ‎∠ABD＝‎30‎‎∘‎， ∴ DA=‎1‎‎2‎BA=‎1‎‎2‎×6‎＝‎3‎． ∴ BD=‎3‎DA＝‎3‎‎3‎． 在Rt△BAP中，∵ cos∠ABD=‎ABPB， ∴ cos‎30‎‎∘‎=‎6‎PB=‎‎3‎‎2‎． ∴ BP＝‎4‎‎3‎． ∴ PD＝BP−BD＝‎4‎3‎−3‎3‎=‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 圆周角定理 切线的性质 ‎【解析】‎ ‎（1）解法一：要的圆周角定理得：‎∠ADB＝‎90‎‎∘‎，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论； 解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的‎2‎倍可得‎∠BOD＝‎120‎‎∘‎，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论； （2）如图‎1‎，根据切线的性质可得‎∠BAP＝‎90‎‎∘‎，根据直角三角形‎30‎‎∘‎角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎如图，连接AD． ∵ BA是‎⊙O直径， ∴ ‎∠BDA＝‎90‎‎∘‎． ∵ BD‎=‎BD， ∴ ‎∠BAD＝‎∠C＝‎60‎‎∘‎． ∴ ‎∠ABD＝‎90‎‎∘‎‎−∠BAD＝‎90‎‎∘‎‎−‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎．‎ ‎(2)‎‎∵ AP是‎⊙O的切线， ∴ ‎∠BAP＝‎90‎‎∘‎． 在Rt△BAD中，∵ ‎∠ABD＝‎30‎‎∘‎， ∴ DA=‎1‎‎2‎BA=‎1‎‎2‎×6‎＝‎3‎． ∴ BD=‎3‎DA＝‎3‎‎3‎． 在Rt△BAP中，∵ cos∠ABD=‎ABPB， ∴ cos‎30‎‎∘‎=‎6‎PB=‎‎3‎‎2‎． ∴ BP＝‎4‎‎3‎． ∴ PD＝BP−BD＝‎4‎3‎−3‎3‎=‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ ‎50‎‎,‎‎216‎‎∘‎ 如图所示，总人数为‎50‎人，则B的人数＝‎50−5−30−5‎＝‎10‎（人）； 补全条形统计图如图： ‎ ‎180‎ 设‎3‎个女生分别为女‎​‎‎1‎，女‎​‎‎2‎，女‎​‎‎3‎，‎2‎个男生分别为男‎​‎‎1‎，男‎​‎‎2‎，所有可能出现的结果如下表： ‎ 女‎​‎‎1‎ 女‎​‎‎2‎ 女‎​‎‎3‎ 男‎​‎‎1‎ 男‎​‎‎2‎ 女‎​‎‎1‎ ‎（女‎1‎，女‎2‎）‎ ‎（女‎1‎，女‎3‎）‎ ‎（女‎1‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎1‎，男‎2‎）‎ 女‎​‎‎2‎ ‎（女‎2‎，女‎1‎）‎ ‎（女‎2‎，女‎3‎）‎ ‎（女‎2‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎2‎，男‎2‎）‎ 女‎​‎‎3‎ ‎（女‎3‎，女‎1‎）‎ ‎（女‎3‎，女‎2‎）‎ ‎（女‎3‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎3‎，男‎2‎）‎ 男‎​‎‎1‎ ‎（男‎1‎，女‎1‎）‎ ‎（男‎1‎，女‎2‎）‎ ‎（男‎1‎，女‎3‎）‎ ‎（男‎1‎，男‎2‎）‎ 男‎​‎‎2‎ ‎（男‎2‎，女‎1‎）‎ ‎（男‎2‎，女‎2‎）‎ ‎（男‎2‎，女‎3‎）‎ ‎（男‎2‎，男‎1‎）‎ ‎ 从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有‎20‎种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有‎8‎种， 所以P‎（被抽到的两个学生性别相同）‎‎=‎8‎‎20‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎【考点】‎ 列表法与树状图法 扇形统计图 用样本估计总体 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 条形统计图 ‎【解析】‎ ‎（1）由A的人数除以所占百分比得出调查的总人数；由‎360‎‎∘‎乘以C部分所占的比例即可得出C部分所对应的扇形圆心角的度数； （2）求出B部分的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校总人数乘以D类所占的比例即可得出答案； （4）由列表法和概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎5÷10%‎‎＝‎50‎（人），扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为‎360‎‎∘‎‎×‎30‎‎50‎=‎‎216‎‎∘‎； 故答案为：‎50‎； ‎216‎‎∘‎；‎ 如图所示，总人数为‎50‎人，则B的人数＝‎50−5−30−5‎＝‎10‎（人）； 补全条形统计图如图： ‎ ‎1800×‎5‎‎50‎=180‎‎（人）； 故答案为：‎180‎；‎ 设‎3‎个女生分别为女‎​‎‎1‎，女‎​‎‎2‎，女‎​‎‎3‎，‎2‎个男生分别为男‎​‎‎1‎，男‎​‎‎2‎，所有可能出现的结果如下表： ‎ 女‎​‎‎1‎ 女‎​‎‎2‎ 女‎​‎‎3‎ 男‎​‎‎1‎ 男‎​‎‎2‎ 女‎​‎‎1‎ ‎（女‎1‎，女‎2‎）‎ ‎（女‎1‎，女‎3‎）‎ ‎（女‎1‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎1‎，男‎2‎）‎ 女‎​‎‎2‎ ‎（女‎2‎，女‎1‎）‎ ‎（女‎2‎，女‎3‎）‎ ‎（女‎2‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎2‎，男‎2‎）‎ 女‎​‎‎3‎ ‎（女‎3‎，女‎1‎）‎ ‎（女‎3‎，女‎2‎）‎ ‎（女‎3‎，男‎1‎）‎ ‎（女‎3‎，男‎2‎）‎ 男‎​‎‎1‎ ‎（男‎1‎，女‎1‎）‎ ‎（男‎1‎，女‎2‎）‎ ‎（男‎1‎，女‎3‎）‎ ‎（男‎1‎，男‎2‎）‎ 男‎​‎‎2‎ ‎（男‎2‎，女‎1‎）‎ ‎（男‎2‎，女‎2‎）‎ ‎（男‎2‎，女‎3‎）‎ ‎（男‎2‎，男‎1‎）‎ ‎ 从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有‎20‎种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有‎8‎种， 所以P‎（被抽到的两个学生性别相同）‎‎=‎8‎‎20‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎【答案】‎ 把点A(1, a)‎代入y＝‎−x+3‎，得a＝‎2‎， ∴ A(1, 2)‎， 把A(1, 2)‎代入反比例函数y=‎kx， ∴ k＝‎1×2‎＝‎2‎； ∴ 反比例函数的表达式为y=‎‎2‎x；‎ ‎∵ 一次函数y＝‎−x+3‎的图象与x轴交于点C， ∴ C(3, 0)‎， 设P(x, 0)‎， ∴ PC＝‎|3−x|‎， ∴ S‎△APC‎=‎1‎‎2‎|3−x|×2‎＝‎5‎， ∴ x＝‎−2‎或x＝‎8‎， ∴ P的坐标为‎(−2, 0)‎或‎(8, 0)‎；‎ 存在， 理由如下：联立y=−x+3‎y=‎‎2‎x‎ ‎， 解得：x‎1‎‎=1‎y‎1‎‎=2‎‎ ‎或x‎1‎‎=2‎y‎1‎‎=1‎‎ ‎， ∴ B点坐标为‎(2, 1)‎， ∵ 点P在y轴上， ∴ 设P(0, m)‎， ∴ AB=‎(1−2‎)‎‎2‎+(2−1)‎‎​‎‎2‎=‎‎2‎，AP=‎‎(1−0)‎​‎‎2‎+(2−m)‎‎​‎‎2‎，PB=‎‎(2−0)‎​‎‎2‎+(1−m)‎‎​‎‎2‎， 若BP为斜边， ∴ BP‎2‎＝AB‎2‎+AP‎2‎ ， 即 ‎(‎(2−0)‎‎2‎‎+‎‎(1−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎=2+(‎‎(1−0)‎‎2‎‎+‎‎(2−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎， 解得：m＝‎1‎， ∴ P(0, 1)‎； 若AP为斜边， ∴ AP‎2‎＝PB‎2‎+AB‎2‎ ， 即 ‎(‎(1−0)‎‎2‎‎+‎‎(2−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎=(‎(2−0)‎‎2‎‎+‎‎(1−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎+2‎， 解得：m＝‎−1‎， ∴ P(0, −1)‎； 综上所述：P(0, 1)‎或 P(0, −1)‎．‎ ‎【考点】‎ 反比例函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解； （2）设P(x, 0)‎，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎【解答】‎ 把点A(1, a)‎代入y＝‎−x+3‎，得a＝‎2‎， ∴ A(1, 2)‎， 把A(1, 2)‎代入反比例函数y=‎kx， ∴ k＝‎1×2‎＝‎2‎； ∴ 反比例函数的表达式为y=‎‎2‎x；‎ ‎∵ 一次函数y＝‎−x+3‎的图象与x轴交于点C， ∴ C(3, 0)‎， 设P(x, 0)‎， ∴ PC＝‎|3−x|‎， ∴ S‎△APC‎=‎1‎‎2‎|3−x|×2‎＝‎5‎， ∴ x＝‎−2‎或x＝‎8‎， ∴ P的坐标为‎(−2, 0)‎或‎(8, 0)‎；‎ 存在， 理由如下：联立y=−x+3‎y=‎‎2‎x‎ ‎， 解得：x‎1‎‎=1‎y‎1‎‎=2‎‎ ‎或x‎1‎‎=2‎y‎1‎‎=1‎‎ ‎， ∴ B点坐标为‎(2, 1)‎， ∵ 点P在y轴上， ∴ 设P(0, m)‎， ∴ AB=‎(1−2‎)‎‎2‎+(2−1)‎‎​‎‎2‎=‎‎2‎，AP=‎‎(1−0)‎​‎‎2‎+(2−m)‎‎​‎‎2‎，PB=‎‎(2−0)‎​‎‎2‎+(1−m)‎‎​‎‎2‎， 若BP为斜边， ∴ BP‎2‎＝AB‎2‎+AP‎2‎ ， 即 ‎(‎(2−0)‎‎2‎‎+‎‎(1−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎=2+(‎‎(1−0)‎‎2‎‎+‎‎(2−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎， 解得：m＝‎1‎， ∴ P(0, 1)‎； 若AP为斜边， ∴ AP‎2‎＝PB‎2‎+AB‎2‎ ， 即 ‎(‎(1−0)‎‎2‎‎+‎‎(2−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎=(‎(2−0)‎‎2‎‎+‎‎(1−m)‎‎2‎‎)‎‎2‎+2‎， 解得：m＝‎−1‎， ∴ P(0, −1)‎； 综上所述：P(0, 1)‎或 P(0, −1)‎．‎ ‎【答案】‎ ‎5‎‎,‎‎5‎ 如图‎2‎， 当‎0‎‎∘‎‎≤α<‎‎360‎‎∘‎时，AEBD的大小没有变化， ∵ ‎∠ECD＝‎∠ACB， ∴ ‎∠ECA＝‎∠DCB， 又∵ ECDC‎=ACBC=‎‎5‎， ∴ ‎△ECA∽△DCB， ∴ AEBD‎=ECDC=‎‎5‎．．‎ ‎①如图‎3−1‎中，当点E在AB的延长线上时， 在Rt△BCE中，CE=‎‎5‎，BC＝‎2‎， ∴ BE=EC‎2‎−BC‎2‎=‎5−4‎=1‎， ∴ AE＝AB+BE＝‎5‎， ∵ AEBD‎=‎‎5‎， ∴ BD=‎5‎‎5‎=‎‎5‎． ②如图‎3−2‎中，当点E在线段AB上时， 易知BE＝‎1‎，AE＝‎4−1‎＝‎3‎， ∵ AEBD‎=‎‎5‎， ∴ BD=‎‎3‎‎5‎‎5‎， 综上所述，满足条件的BD的长为‎3‎‎5‎‎5‎或‎5‎．‎ ‎【考点】‎ 几何变换综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）①当α＝‎0‎‎∘‎时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的AEBD值是多少． ②α＝‎180‎‎∘‎时，可得AB // DE，然后根据ACAE‎=‎BCDB，求出AEBD的值是多少即可． （2）首先判断出‎∠ECA＝‎∠DCB，再根据ECDC‎=ACBC=‎‎5‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎，判断出‎△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． （3）分两种情形：①如图‎3−1‎中，当点E在AV的延长线上时，②如图‎3−2‎中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．‎ ‎【解答】‎ ‎①当α＝‎0‎‎∘‎时， ∵ Rt△ABC中，‎∠B＝‎90‎‎∘‎， ∴ AC=AB‎2‎+BC‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=2‎‎5‎， ∵ 点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴ AE=‎1‎‎2‎AC=‎‎5‎，BD=‎1‎‎2‎BC＝‎1‎， ∴ AEBD‎=‎‎5‎． ②如图‎1−1‎中， 当α＝‎180‎‎∘‎时， 可得AB // DE， ∵ ACAE‎=‎BCBD， ∴ AEBD‎=ACBC=‎‎5‎． 故答案为：①‎5‎，②‎5‎．‎ 如图‎2‎， 当‎0‎‎∘‎‎≤α<‎‎360‎‎∘‎时，AEBD的大小没有变化， ∵ ‎∠ECD＝‎∠ACB， ∴ ‎∠ECA＝‎∠DCB， 又∵ ECDC‎=ACBC=‎‎5‎， ∴ ‎△ECA∽△DCB， ∴ AEBD‎=ECDC=‎‎5‎．．‎ ‎①如图‎3−1‎中，当点E在AB的延长线上时， 在Rt△BCE中，CE=‎‎5‎，BC＝‎2‎， ∴ BE=EC‎2‎−BC‎2‎=‎5−4‎=1‎， ∴ AE＝AB+BE＝‎5‎， ∵ AEBD‎=‎‎5‎， ∴ BD=‎5‎‎5‎=‎‎5‎． ②如图‎3−2‎中，当点E在线段AB上时， 易知BE＝‎1‎，AE＝‎4−1‎＝‎3‎， ∵ AEBD‎=‎‎5‎， ∴ BD=‎‎3‎‎5‎‎5‎， 综上所述，满足条件的BD的长为‎3‎‎5‎‎5‎或‎5‎．‎ ‎【答案】‎ 将点A、B坐标代入二次函数表达式得：‎25a−5b+5=0‎‎16a−4b+5=−3‎‎ ‎，解得：a=1‎b=6‎‎ ‎， 故抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+6x+5‎…①， 令y＝‎0‎，则x＝‎−1‎或‎−5‎， 即点C(−1, 0)‎；‎ ‎①如图‎1‎，过点P作y轴的平行线交BC于点G， ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝x+1‎…②， 设点G(t, t+1)‎，则点P(t, t‎2‎+6t+5)‎， S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎PG(xC−xB)=‎3‎‎2‎(t+1−t‎2‎−6t−5)=−‎3‎‎2‎t‎2‎−‎15‎‎2‎t−6‎， ∵ ‎−‎3‎‎2‎<0‎，∴ S‎△PBC有最大值，当t=−‎‎5‎‎2‎时，其最大值为‎27‎‎8‎； ②设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， ∵ ‎∠PBC＝‎∠BCD，∴ 点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为‎(−‎5‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎， 过该点与BC垂直的直线的k值为‎−1‎， 设BC中垂线的表达式为：y＝‎−x+m，将点‎(−‎5‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎代入上式并解得： 直线BC中垂线的表达式为：y＝‎−x−4‎…③， 同理直线CD的表达式为：y＝‎2x+2‎…④， 联立③④并解得：x＝‎−2‎，即点H(−2, −2)‎， 同理可得直线BH的表达式为：y=‎1‎‎2‎x−1‎…⑤， 联立①⑤并解得：x=−‎‎3‎‎2‎或‎−4‎（舍去‎−4‎）， 故点P(−‎3‎‎2‎, −‎7‎‎4‎)‎； 当点P(P′)‎在直线BC上方时， ∵ ‎∠PBC＝‎∠BCD，∴ BP′ // CD， 则直线BP′‎的表达式为：y＝‎2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝‎5‎， 即直线BP′‎的表达式为：y＝‎2x+5‎…⑥， 联立①⑥并解得：x＝‎0‎或‎−4‎（舍去‎−4‎）， 故点P(0, 5)‎； 故点P的坐标为P(−‎3‎‎2‎, −‎7‎‎4‎)‎或‎(0, 5)‎．‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎PG(xC−xB)‎，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．‎ ‎【解答】‎ 将点A、B坐标代入二次函数表达式得：‎25a−5b+5=0‎‎16a−4b+5=−3‎‎ ‎，解得：a=1‎b=6‎‎ ‎， 故抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+6x+5‎…①， 令y＝‎0‎，则x＝‎−1‎或‎−5‎， 即点C(−1, 0)‎；‎ ‎①如图‎1‎，过点P作y轴的平行线交BC于点G， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝x+1‎…②， 设点G(t, t+1)‎，则点P(t, t‎2‎+6t+5)‎， S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎PG(xC−xB)=‎3‎‎2‎(t+1−t‎2‎−6t−5)=−‎3‎‎2‎t‎2‎−‎15‎‎2‎t−6‎， ∵ ‎−‎3‎‎2‎<0‎，∴ S‎△PBC有最大值，当t=−‎‎5‎‎2‎时，其最大值为‎27‎‎8‎； ②设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， ∵ ‎∠PBC＝‎∠BCD，∴ 点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为‎(−‎5‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎， 过该点与BC垂直的直线的k值为 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎−1‎‎， 设BC中垂线的表达式为：y＝‎−x+m，将点‎(−‎5‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎代入上式并解得： 直线BC中垂线的表达式为：y＝‎−x−4‎…③， 同理直线CD的表达式为：y＝‎2x+2‎…④， 联立③④并解得：x＝‎−2‎，即点H(−2, −2)‎， 同理可得直线BH的表达式为：y=‎1‎‎2‎x−1‎…⑤， 联立①⑤并解得：x=−‎‎3‎‎2‎或‎−4‎（舍去‎−4‎）， 故点P(−‎3‎‎2‎, −‎7‎‎4‎)‎； 当点P(P′)‎在直线BC上方时， ∵ ‎∠PBC＝‎∠BCD，∴ BP′ // CD， 则直线BP′‎的表达式为：y＝‎2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝‎5‎， 即直线BP′‎的表达式为：y＝‎2x+5‎…⑥， 联立①⑥并解得：x＝‎0‎或‎−4‎（舍去‎−4‎）， 故点P(0, 5)‎； 故点P的坐标为P(−‎3‎‎2‎, −‎7‎‎4‎)‎或‎(0, 5)‎．‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页