初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第二章方程与不等式 第8讲 列方程(组)解应用题 36页

人教 数 学 第二章　方程与不等式 第 8 讲　列方程 ( 组 ) 解应用题 要点梳理 1 ． 列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤 (1) ； (2) ； (3) 找出包含未知数的 ； (4) ； (5) ； (6) ． 审题 设元 等量关系 列出方程（组） 求出方程（组）的解 检验并作答 要点梳理 2 ． 各类应用题的等量关系 (1) 行程问题：路程＝速度 × 时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程； 追及问题：快者路程＝慢者先走路程 ( 或相距路程 ) ＋慢者后走路程． (2) 工程问题：工作量＝工作效率 × 工作时间． 要点梳理 ( 3 ) 几何图形问题： 面积问题： S 长方形 ＝ ab ( a ， b 分别表示长和宽 ) ； S 正方形 ＝ a 2 ( a 表示边长 ) ； S 圆 ＝ π r 2 ( r 表示圆的半径 ) ； 体积问题： V 长方体 ＝ abh ( a ， b ， h 分别表示长、宽、高 ) ； V 正方体 ＝ a 3 ( a 表示边长 ) ； V 圆锥 ＝ 1 3 π r 2 h ( r 表示底面圆的半径 ， h 表示高 ) ； 其他几何图形问题：如线段、周长等 ． 要点梳理 (4) 增长率问题：如果基数用 a 表示 ， 末数用 A 表示 ， x 表示增长率 ， 时间间隔 用 n 表示 ， 那么增长率问题的数量关系是： a (1± x ) n ＝ A . (5) 利润问题： 利润＝销售价－进货价＝标价 × 折扣 ( x 10 ) －进货价 ( x 表示打 x 折 ) ； 利润率＝ 利润 进货价 ； 销售价＝ (1 ＋利润率 ) × 进货价． (6) 利息问题： 利息＝本金 × 利率 × 期数； 本息和＝本金＋利息． 一种思想方法 方程思想是把未知数看成已知数 ， 让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一 ， 是代数解法的重要标志． 两种设元方法 (1) 直接设元．在全面透彻地理解问题的基础上 ， 根据题中求什么就设什么是未知数 ， 或要求几个量 ， 可直接设出其中一个为未知数 ， 再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法叫做直接设元法． (2) 间接设元．如果对某些题目直接设元不易求解 ， 便可将并不是直接要求的某个量设为未知数 ， 从而使得问题变得容易解答 ， 我们称这种设未知数的方法为间接设元法． 三个注意 列方程 ( 组 ) 解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来 ， 找出题目中的数量关系 ， 并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来说 ， 有几个未知量就必须列出几个方程 ， 所列方程必须注意： ① 方程两边表示的是同类量； ② 同类量的单位要统一； ③ 方程两边的数值要相等． 1 ． ( 2014 · 宁夏 ) 服装店销售某款服装 ， 一件服装的标价为 300 元 ， 若按标价的八折销售 ， 仍可获利 20% ， 则这款服装每件的进价是 元． 200 2 ． ( 2014· 新疆 ) 六一儿童节前夕 ， 某超市用 3360 元购进 A ， B 两种童装共 120 套 ， 其中 A 型童装每套 24 元 ， B 型童 装每套 36 元 ． 若设购买 A 型童装 x 套 ， B 型童装 y 套 ， 依题意列方程组正确的是 ( ) A. î í ì x ＋ y ＝ 120 36 x ＋ 24 y ＝ 3360 B. î í ì x ＋ y ＝ 120 24 x ＋ 36 y ＝ 3360 C. î í ì 36 x ＋ 24 y ＝ 120 x ＋ y ＝ 3360 D. î í ì 24 x ＋ 36 y ＝ 120 x ＋ y ＝ 3360 B 3 ． ( 2014· 莱芜 ) 已知 A ， C 两地相距 40 千米 ， B ， C 两地相 距 50 千米 ， 甲、乙两车分别从 A ， B 两地同时出发到 C 地 ． 若乙车每小时比甲车多行驶 12 千米 ， 则两车同时到 达 C 地 ， 设乙车的速度为 x 千米 / 小时 ， 依题意列方程正 确的是 ( ) A. 40 x ＝ 50 x － 12 B. 40 x － 12 ＝ 50 x C. 40 x ＝ 50 x ＋ 12 D. 40 x ＋ 12 ＝ 50 x B 4 ． ( 2014 · 鄂州 ) 近几年 ， 我国经济高速发展 ， 但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平 ， 国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅 2012 年月退休金为 1500 元 ， 2014 年达到 2160 元．设李师傅的月退休 金从 2012 年到 2014 年年平均增长率为 x ， 可列方程为 ( ) A ． 2016(1 － x ) 2 ＝ 1500 B ． 1500(1 ＋ x ) 2 ＝ 2160 C ． 1500(1 － x ) 2 ＝ 2160 D ． 1500 ＋ 1500(1 ＋ x ) ＋ 1500(1 ＋ x ) 2 ＝ 2160 B 5 ． ( 2014 · 随州 ) 某小区 2012 年屋顶绿化面积为 2000 平方米 ， 计划 2014 年屋顶绿化面积要达到 2880 平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同 ， 那么这个增长率是 ． 20% 一元一次方程的应用 【 例 1】 　 ( 2014 · 淄博 ) 为鼓励居民节约用电 ，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数 ( 度 ) 执行电价 ( 元 / 度 ) 第一档 小于等于 200 0.55 第二档 大于 200 小于 400 0.6 第三档 大于等于 400 0.85 例如：一户居民 7 月份用电 420 度 ， 则需缴电费 420 × 0.85 ＝ 357( 元 ) ． 某户居民 5 ， 6 月份共用电 500 度 ， 缴电费 290.5 元．已知该用户 6 月份用电量大于 5 月份 ， 且 5 ， 6 月份的用电量均小于 400 度．问该户居民 5 ， 6 月份各用电多少度． 解：当 5 月份用电量为 x 度 ≤ 200 度 ， 6 月份用电 ( 500 － x ) 度 ， 由题意 ， 得 0.55x ＋ 0.6 ( 500 － x ) ＝ 290.5 ， 解得 x ＝ 190 ， ∴ 6 月份用电 500 － x ＝ 310 度．当 5 月份用电量为 x 度＞ 200 度 ， 6 月份用电量为 ( 500 － x ) 度 ， 由题意 ， 得 0.6x ＋ 0.6 ( 500 － x ) ＝ 290.5 ， 300 ＝ 290.5 ， 原方程无解． ∴ 5 月份用电量为 190 度 ， 6 月份用电 310 度 【 点评 】 　 (1) 列方程解应用题 ， 要抓住关键性词语 ， 如共、多、少、倍、几分之几等 ， 顺着题意来理清等量关系 ， 可采用直接设未知数 ， 也可以采用间接设未知数的方法 ，要根据实际情况灵活运用． (2) 当要求的未知量有两个时，可以用字母 x 表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含 x 的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值． 1 ． ( 2012 · 云南 ) 某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共 2000 件 ， 已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的 2 倍少 400 件 ， 求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件． 解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是 x ， 则捐给甲校的矿泉水件数是 2x － 400 ， 依题意得方程 ( 2x － 400 ) ＋ x ＝ 2000 ， 解得 x ＝ 800 ， 2x － 400 ＝ 1200. 即该企业捐给甲校的矿泉水 1200 件 ， 捐给乙校的矿泉水 800 件 二元一次方程组的应用 【 例 2】 　 ( 2014 · 呼和浩特 ) 为鼓励居民节约用电， 我市自 2012 年以来对家庭用电收费实行阶梯电价 ， 即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费 ， 第一档为用电量在 180 千瓦时 ( 含 180 千瓦时 ) 以内的部分 ， 执行基本价格；第二档为用电量在 180 千瓦时到 450 千瓦时 ( 含 450 千瓦时 ) 的部分 ， 实行提高电价；第三档为用电量超出 450 千瓦时的部分 ， 执行市场调节价格．我市一位同学家今年 2 月份用电 330 千瓦时 ， 电费为 213 元 ， 3 月份用电 240 千瓦时 ， 电费为 150 元．已知我市的一位居民今年 4 ， 5 月份的家庭用电量分别为 160 和 410 千瓦时 ， 请你依据该同学家的缴费情况 ， 计算这位居民 4 ， 5 月份的电费分别为多少元． 解：设基本电价为 x 元 / 千瓦时 ， 提高电价为 y 元 / 千瓦时 ， 由题意 ， 得 î í ì 180x ＋ 150y ＝ 213 ， 180x ＋ 60y ＝ 150 ， 解得 î í ì x ＝ 0.6 ， y ＝ 0.7 ， 则 4 月份电 费为 160 × 0.6 ＝ 96 ( 元 ) ， 5 月份电费为 180 × 0.6 ＋ 230 × 0.7 ＝ 108 ＋ 161 ＝ 269 ( 元 ) ． 即这位居民 4 月份的电费为 96 元 ， 5 月份的电费为 269 元 【 点评 】 　本题考查了二元一次方程组的应用 ， 解答本题的关键是读懂题意 ， 设出未知数 ， 找出合适的等量关系 ， 列方程组求解． 2 ． ( 2014 · 济南 ) 2014 年世界杯足球赛在巴西举行 ， 小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共 10 张 ， 总价为 5800 元．其中小组赛球票每张 550 元 ， 淘汰赛球票每张 700 元 ， 问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张． 分式方程的应用 【 例 3】 　 ( 2013 · 安徽 ) 某校为了进一步开展 “ 阳光体育 ” 活动 ， 购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵 20 元 ， 购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 2000 元要多 ， 多出的部分能购买 25 副乒乓球拍． (1) 若每副乒乓球拍的价格为 x 元 ， 请你用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用； (2) 若购买的两种球拍数一样 ， 求 x. 解： ( 1 )( 4000 ＋ 25x ) 元 ( 2 ) 购买每副乒乓球拍用去了 x 元 ， 则购买每副羽毛球拍 用去了 ( x ＋ 20 ) 元 ， 由题意得 2000 x ＝ 2000 ＋ 25x x ＋ 20 ， 解得 x 1 ＝ 40 ， x 2 ＝－ 40 ， 经检验 ， x 1 ， x 2 都是原方程的根 ， 但 x ＞ 0 ， ∴ x ＝ 40. 即每副乒乓球拍的价格为 40 元 【 点评 】 　分式方程解应用题．注意双重检验 ， 先检验是否有增根 ， 再检验是否符合题意． 3 ． ( 2014 · 威海 ) 端午节期间 ， 某食堂根据职工食用习惯 ， 用 700 元购进甲、乙两种粽子 260 个 ， 其中甲种粽子比乙种粽子少用 100 元 ， 已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高 20% ， 乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？ 一元二次方程的应用 【 例 4】 　某商场销售一批名牌衬衫 ，平均每天可售出 20 件 ，每件盈利 45 元， 为了扩大销售、增加盈利 ， 尽快减少库存 ， 商场决定采取适当的降价措施 ， 经调查发现 ， 如果每件衬衫每降价 1 元 ， 商场平均每天可多售出 4 件．若商场平均每天盈利 2100 元 ， 每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价 x 元 ， 可使商场每天盈利 2100 元 ， 根据题意得 ( 45 － x )( 20 ＋ 4x ) ＝ 2100 ， 解得 x 1 ＝ 10 ， x 2 ＝ 30 ， 因应尽快减少库存 ， 故 x ＝ 30. 即每件衬衫应降价 30 元 【 点评 】 　 (1) 现实生活中存在大量的实际应用问题 ， 需要用一元二次方程的知识去解决 ， 解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上 ， 寻求问题中的等量关系 ， 从而建立方程． (2) 解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根 ， 舍去不合题意的根． 4 ． ( 2014 · 新疆 ) 如图 ， 要利用一面墙 ( 墙长为 25 米 ) 建羊圈 ， 用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈 ， 求羊圈的边长 AB ， BC 各为多少米． 解：设 AB 的长度为 x 米 ， 则 BC 的长度为 ( 100 － 4x ) 米．根据题意得 ( 100 － 4x ) x ＝ 400 ， 解得 x 1 ＝ 20 ， x 2 ＝ 5. 则 100 － 4x ＝ 20 或 100 － 4x ＝ 80. ∵ 80 ＞ 25 ， ∴ x 2 ＝ 5 舍去．即 AB ＝ 20 ， BC ＝ 20. 答：羊圈的边长 AB ， BC 分别是 20 米 ， 20 米 试题 甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A ， B 两地同时相向 而行 ， 经过 3 小时后相距 3 千米 ， 再经过 2 小时 ， 甲到 B 地 所剩的路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍 ， 求甲、乙两人的速 度． 错解 解：设甲的速度为每小时 x 千米 ， 乙的速度为每小时 y 千米 ， 得 î ï í ï ì 3 x ＋ 3 y ＝ 30 － 3 ， 30 －（ 3 ＋ 2 ） x ＝ 2[30 －（ 3 ＋ 2 ） y ] ， 解得 î ï í ï ì x ＝ 4 ， y ＝ 5. 答：甲的 速度为每小时 4 千米 ， 乙的速度为每小时 5 千米． 剖析 (1) 一道应用题 ， 究竟列一元一次方程予以解决为 好 ， 还是列二元一次方程组为好 ， 要具体分析．一般来说 ， 列一元一次方程时 ， 在列方程的思考上 ， 难度稍大；而列方程组 ， 由于把思考量分摊到两个方程上 ， 降低了列方程的难度 ， 但解方程过程的运算量较大．因此 ， 对于思考量较低或中等的应用题 ， 列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题 ， 列方程组解决为宜． (2) 有些应用题 ， 由于题目所给条件比较隐蔽 ， 符合题意的情况有多种 ， 解这类应用题时要考虑周全 ， 把各种情况下的解全求出来 ， 这样不致于失解 ， 否则会造成解答不完整 ， 犯以偏概全的错误； (3) 分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性 ， 将其区分为不同种类的思想方法 ， 分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛 ， 例如实数的分类 ， 代数式的分类 ， 方程和函数的分类等等 ， 可以把整个代数看作一个分类讨论的系统．解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则． 正解 解：设甲的速度为每小时 x 千米 ， 乙的速度为每小时 y 千米． ① 当甲、乙两人相遇前相距 3 千米时 ， 得 î í ì 3 x ＋ 3 y ＝ 30 － 3 ， 30 －（ 3 ＋ 2 ） x ＝ 2[30 －（ 3 ＋ 2 ） y ] ， 解 得 î í ì x ＝ 4 ， y ＝ 5. ② 当甲、乙两人经过 3 小时相遇后又相距 3 千米时 ， 得 î í ì 3 x ＋ 3 y ＝ 30 ＋ 3 ， 30 －（ 3 ＋ 2 ） x ＝ 2[30 －（ 3 ＋ 2 ） y ] ， 解得 î ï í ï ì x ＝ 5 1 3 ， y ＝ 5 2 3 . 答：甲的速度为每小时 4 千米 ， 乙的速度为每小时 5 千米；或甲的速度为每小时 5 1 3 千米 ， 乙的速度为每小时 5 2 3 千米．