初三数学上册基础知识讲解练习 配方法求解一元二次方程 3页

配方法求解一元二次方程 【知识点总结】 一、直接开平方法求一元二次方程的解 定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法． 直接开平方法的理论依据是平方根的定义． 直接开平方法适用于解形如 2()x a b（b≥0）的一元二次方程． 根据平方根的定义可知，x＋a 是 b 的平方根，当 b≥0 时，x＋a＝± b ，即 x＝ —a± ；当 b＜0时，方 程没有实数根． 拓展 方程（x＋a）2＝b，当 b＞0 时，有两个不相等的实数根； 当 b＝0 时，有两个相等的实数根．从而可知，若 a＝ b 时，有一根为 0，另一根为－2a，千万不要把 0 这个根漏掉．在解决实际问题时，要考虑使实际问题有意义． 二、配方法解一元二次方程解法 用配方法解一元二次方程 的一般步骤 1）一化：化二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；x2+ a b x+ a c =0[来源:学科网 ZXXK] 2）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x2+ a b x=– a c 3）三配：[来源:学科网 ZXXK] ①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方， 把方程化为 x2+ x+( a b 2 )2 =– +( a b 2 )2 的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式， 右边合并为一个常数；（x+ a2 b ）2= 24 42 a acb  4）四解： ①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数， 否则原方程无解。x+ = a acb 2 42  ②分别解这两个一元二次方 程，求出两根。 2 0(0)axbxca 2 4 2 b b acx a    特别提示：（1）配方法的理论依据是完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 （2）配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不比将二次项系数化为 1，而是将方程配成（mx+n） 2=c 的形式，再直接开平方降次求解。[来源:学科网 ZXXK] （3）一元二次方程的配方是两边同时除以 a，而二次三项式的配方是提取 a，要注意区别。 【例题精讲】 1、解方程 4（x－1）2＝9． 【解析】先把方程化为 2()xa ＝b 的形式，再开平方． 解：方程两边都除以 4，得（x－1）2＝ 9 4 .[来源:Zxxk.Com] 开平方得 x－1＝± 3 2 解得 x1＝ 5 2 ，x2＝－ 1 2 【点睛】用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个， 它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、方程 x2－6x＋8＝0 的两个根分别是等腰三角形的底和腰的长，则这个三 角形的周长为 A.8 B.10 C.8 或 10 D.不能确定[来源:学.科.网] 【解析】本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质．方程 x2－6x＋8＝0 的两根分别是 2 和 4，若 2 是底，4 是腰，则周长为 2＋4＋4＝10，若 2 是腰，4 是底，而 2＋2＝4，不能构成三角形，不存在这种情 况．故选 B．[来源:Zxxk.Com] 3、已知 x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求 x－y 的值． 【解析】本题主要考查配方法．注意“若几个非负数相加和为 0，则各非负数的值均为 0”的运用． 解：由原式，得（x2－4x＋4）＋（y2＋6y＋9）＝0， 即（x－2）2＋（y＋3）2＝0． ∴x＝2 且 y＝－3．∴x－y＝2－（－3）＝5． 【点睛】当一个方程中含有两个或多个未知数时，通常用配方法，将其写成几个非负数的和等于 0 的形式， 再用非负数的性质解题．[来源:Z*xx*k.Com] 4、解方程：x2+8x―9=0 【解析】先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。 解：移项，得：x2+8x=9 配方，得：x2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方） 即：(x+4)2=25 开平方，得：x+4=±5 即：x+4=5 ，或 x+4=―5[来源:学*科*网] 所以：x1=1，x2=―9 5、一元二次方程 x2+3﹣2 x=0 的解是 x1=x2= ． 【解析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可． 解答： 解：x2+3﹣2 x=0 （x﹣ ）2=0 ∴x1=x2= ． 故答案为：x1=x2= ． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键． 6、用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣10=0 时，下列变形正确的为（ ） A． （x+3）2=1 B． （x﹣3）2=1 C． （x+3）2=19 D． （x﹣3）2=19 【解析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 解答： 解：方程移项得：x2﹣6x=10， 配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19， 故选 D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．[来源:学科网 ZXXK] 7、 用配方法解方程 x2-2x-2=0． 【解析】首先把常数-2 移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式， 再开方，解方程即可．[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 解： x2-2x-2=0， 移项得：x2-2x=2， 配方得：x2-2x+1=2+1， （x-1）2 =3， 两边直接开平方得：x-1=± 3 ， 则 x1= +1，x2=- +1． 【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2） 把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．