2020年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷 11页

‎2020年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎ ‎ ‎1. ‎2‎的倒数是(        ) ‎ A.‎−2‎ B.‎2‎ C.‎−‎‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎ ‎2. 截止到‎2020‎年‎4‎月‎17‎日全球新冠肺炎确诊人数约为‎2200000‎人．将这个数据用科学记数法表示（ ） ‎ A.‎22×‎‎10‎‎3‎ B.‎2.2×‎‎10‎‎6‎ C.‎2.2×‎‎10‎‎5‎ D.‎‎0.22×‎‎10‎‎5‎ ‎ ‎ ‎3. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） ‎ A.x‎2‎‎+4‎y‎2‎ B.x‎2‎‎−2y‎2‎+1‎ C.‎−x‎2‎+4‎y‎2‎ D.‎‎−x‎2‎−4‎y‎2‎ ‎ ‎ ‎5. 如果a0‎ B.a+b<0‎ C.ab‎<1‎ D.‎a−b<0‎ ‎ ‎ ‎6. 函数y=‎‎2‎x+1‎中自变量x的取值范围是（ ） ‎ A.x≠−1‎ B.x>−1‎ C.x≠1‎ D.‎x≠0‎ ‎ ‎ ‎7. 在一次女子跳水比赛中，八名运动员的年龄（单位：岁）分别为：‎12‎，‎13‎，‎13‎，‎14‎，‎15‎，‎13‎，‎13‎，‎15‎．这组数据的众数是（ ） ‎ A.‎12‎ B.‎13‎ C.‎14‎ D.‎‎15‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分‎∠EOC，‎∠EOC＝‎100‎‎∘‎，则‎∠BOD的度数是（ ） ‎ A.‎20‎‎∘‎ B.‎40‎‎∘‎ C.‎50‎‎∘‎ D.‎‎80‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎9. 函数y=‎ax+b和y=‎ax‎2‎+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第‎2012‎个图形中直角三角形的个数有（ ） ‎ A.‎8048‎个 B.‎4024‎个 C.‎2012‎个 D.‎1066‎个 二、填空题（每小题4分，共28分）‎ ‎ ‎ ‎ 方程‎(x−1‎)‎‎2‎=4‎的解为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 等腰三角形的两边长分别为‎4‎和‎9‎，则第三边长为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 五边形的外角和等于________度． ‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ 单项式‎−‎‎2‎‎5‎x‎2‎y‎2‎的次数为：________． ‎ ‎ ‎ ‎ 一家商店将某种服装按成本价提高‎40%‎后标价，又以‎8‎折优惠卖出，结果每件仍获利‎15‎元，这种服装每件的成本为________元． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，已知圆柱体底面圆的半径为‎2‎π，高为‎2‎，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根式）． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎，两个等边‎△ABD，‎△CBD的边长均为‎1‎，将‎△ABD沿AC方向向右平移到‎△A′B′D′‎的位置，得到图‎2‎，则阴影部分的周长为________． ‎ 三、解答题（一）（每小题6分，共18分）‎ ‎ ‎ ‎ 计算：‎−‎1‎‎2007‎−(‎1‎‎2‎‎)‎‎−1‎÷(−2‎)‎‎2‎+(cos‎60‎‎∘‎−‎‎4‎‎3‎‎)‎‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 先化简，再求值：‎1‎x‎2‎‎−x‎−x−2‎x‎2‎‎−2x+1‎÷‎x−2‎x−1‎，其中x=‎‎3‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎△ABC中，AB＝AC＝‎10‎，BC＝‎8‎．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求AD的长． ‎ 四、解答题（二）（每小题8分，共24分）‎ ‎ ‎ ‎ 国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于‎1‎小时”．为此，某市今年初中毕业生学业考试体育学科分值提高到‎40‎分，成绩记入考试总分．某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了‎720‎名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过‎1‎小时及未超过‎1‎小时的原因”，所得的数据制成了如图的扇形统计图和频数分布图．根据图示，解答下列问题： ‎ ‎（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的恰好是“每天锻炼超过‎1‎小时”的学生的概率是多少？‎ ‎ ‎ ‎（2）“没时间”的人数是多少？并补全频数分布图；‎ ‎ ‎ ‎（3）‎2009‎年某市初中毕业生约为‎4.3‎万人，按此调查，可以估计‎2009‎年全市初中毕业生中每天锻炼未超过‎1‎小时的学生约有多少万人？‎ ‎ ‎ ‎（4）请根据以上结论谈谈你的看法．‎ ‎ ‎ ‎ 一艘货船以‎30‎海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东‎30‎‎∘‎，‎20‎分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东‎60‎‎∘‎，已知灯塔C周围‎7.1‎海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：‎2‎‎≈1.414‎，‎3‎‎≈1.732‎） ‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ 如图，在等腰Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． ‎ ‎（1）求证：AE＝BF；‎ ‎ ‎ ‎（2）若BC=‎2‎cm，求正方形DEFG的边长．‎ 五、解答题（三）（每小题10分，共20分）‎ ‎ ‎ ‎ 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE． ‎ ‎（1）求证：DE=‎1‎‎2‎BC；‎ ‎ ‎ ‎（2）求证：DE与半圆O相切；‎ ‎ ‎ ‎（3）若AD、AB的长是方程x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎的两个根，求直角边BC的长．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，抛物线y＝ax‎2‎+bx−3‎交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为‎10‎‎3‎，到y轴的距离为‎1‎．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B． ‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎ ‎ ‎（2）直线y=‎3‎‎4‎x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE:BE＝‎4:1‎．求直线y=‎3‎‎4‎x+m的表达式；‎ ‎ ‎ ‎（3）在（2）的条件下，若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=‎3‎‎4‎x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎2020年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 倒数 ‎【解析】‎ 根据倒数的定义：乘积是‎1‎的两数互为倒数． 一般地，a⋅‎1‎a=1 (a≠0)‎，就说a(a≠0)‎的倒数是 ‎1‎a．‎ ‎【解答】‎ 解：根据倒数的定义：乘积是‎1‎的两数互为倒数． 一般地，a⋅‎1‎a=1 (a≠0)‎，就说a(a≠0)‎的倒数是 ‎1‎a． 所以，‎2‎的倒数是‎1‎‎2‎， 故选D.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 科学记数法--表示较大的数 ‎【解析】‎ 科学记数法的表示形式为a×‎‎10‎n的形式，其中‎1≤|a|<10‎，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值‎≥10‎时，n是正数；当原数的绝对值‎<1‎时，n是负数．‎ ‎【解答】‎ 将‎2200000‎用科学记数法表示为‎2.2×‎‎10‎‎6‎，‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 轴对称图形 中心对称图形 ‎【解析】‎ 根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．‎ ‎【解答】‎ A‎、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 因式分解-运用公式法 ‎【解析】‎ 能用平方差公式分解因式的条件：是两项；这两项的符号相反，并且都是完全平方数．‎ ‎【解答】‎ A‎、x‎2‎‎+4‎y‎2‎两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误； B、x‎2‎‎−2y‎2‎+l有三项，不能用平方差公式分解因式，故错误； C、‎−x‎2‎+4‎y‎2‎符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确； D、‎−x‎2‎−4‎y‎2‎两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 不等式的性质 ‎【解析】‎ 根据不等式的性质分析判断．‎ ‎【解答】‎ A‎、如果a0‎，故A正确； B、因为a、b同是负数，所以a+b<0‎，故B正确； C、a|b|‎，则ab‎>1‎，也可以设a＝‎−2‎，b＝‎−1‎代入检验得到ab‎<1‎是错误的．故C错误； D、因为a0‎，一次函数的图象y随着x增大而增大，故A错误； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=−b‎2a>0‎，且a>0‎，则b<0‎， B中一次函数图象和y轴交于y轴的正半轴，故B错误； C中一次函数图象和y轴交于y轴的负半轴，故C正确； 由D中的二次函数图象可知，开口向下，a<0‎，一次函数的图象y随着x增大而减小，故D错误. 故选C. ‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 规律型：点的坐标 规律型：图形的变化类 规律型：数字的变化类 ‎【解析】‎ 写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是‎2(n+1)‎，当n为偶数时，三角形的个数是‎2n，根据此规律求解即可．‎ ‎【解答】‎ 第‎1‎个图形，有‎4‎个直角三角形， 第‎2‎个图形，有‎4‎个直角三角形， 第‎3‎个图形，有‎8‎个直角三角形， 第‎4‎个图形，有‎8‎个直角三角形， …， 依此类推，当n为奇数时，三角形的个数是‎2(n+1)‎，当n为偶数时，三角形的个数是‎2n个， 所以，第‎2012‎个图形中直角三角形的个数是‎2×2012‎＝‎4024‎．‎ 二、填空题（每小题4分，共28分）‎ ‎【答案】‎ ‎3‎或‎−1‎ ‎【考点】‎ 解一元二次方程-直接开平方法 ‎【解析】‎ 观察方程的特点，可选用直接开平方法．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(x−1‎)‎‎2‎=4‎，即x−1=±2‎， 所以x‎1‎‎=3‎，x‎2‎‎=−1‎． 故答案为：‎3‎或‎−1‎. ‎ ‎【答案】‎ ‎9‎ ‎【考点】‎ 三角形三边关系 等腰三角形的判定与性质 ‎【解析】‎ 题目给出等腰三角形有两条边长为‎4‎和‎9‎，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．‎ ‎【解答】‎ 解：当‎4‎是腰时，因‎4+4<9‎，不能组成三角形，应舍去； 当‎9‎是腰时，‎4‎，‎9‎，‎9‎能够组成三角形． 则第三边应是‎9‎． 故答案为：‎9‎．‎ ‎【答案】‎ ‎360‎ ‎【考点】‎ 多边形内角与外角 ‎【解析】‎ 根据多边形的外角和等于‎360‎‎∘‎解答．‎ ‎【解答】‎ 五边形的外角和是‎360‎‎∘‎．‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 单项式 ‎【解析】‎ 根据单项式次数的概念求解．‎ ‎【解答】‎ 单项式‎−‎‎2‎‎5‎x‎2‎y‎2‎的次数为：‎2+2‎＝‎4‎．‎ ‎【答案】‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎125‎ ‎【考点】‎ 一元一次方程的应用——工程进度问题 一元一次方程的应用——其他问题 ‎【解析】‎ 要求这种服装每件的成本，就要先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．‎ ‎【解答】‎ 设每件的成本价为x元． 由题意得：‎(1+40%)x⋅80%−x＝‎15‎， 解得：x＝‎125‎．‎ ‎【答案】‎ ‎2‎‎2‎ ‎【考点】‎ 平面展开-最短路径问题 ‎【解析】‎ 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．‎ ‎【解答】‎ 沿母线AD展开，则C点落在C′‎点位置（如图）， 由条件易知，AD＝‎2‎，DC′=‎1‎‎2‎×2π×‎2‎π=2‎． 小虫爬行的最短距离为AC′‎的长． ∴ AC′=AD‎2‎+‎DC‎′‎‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎2‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎【考点】‎ 平移的性质 等边三角形的性质 ‎【解析】‎ 此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 两个等边‎△ABD，‎△CBD的边长均为‎1‎，将‎△ABD沿AC方向向右平移到‎△A′B′D′‎的位置， ∴ A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′‎， ∴ OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2‎； 故答案为：‎2‎．‎ 三、解答题（一）（每小题6分，共18分）‎ ‎【答案】‎ 原式＝‎−1−2÷4+1‎ ＝‎−1−‎1‎‎2‎+1‎ ‎=−‎‎1‎‎2‎．‎ ‎【考点】‎ 实数的运算 负整数指数幂 特殊角的三角函数值 零指数幂 ‎【解析】‎ 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ 原式＝‎−1−2÷4+1‎ ＝‎−1−‎1‎‎2‎+1‎ ‎=−‎‎1‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ 原式‎=‎1‎x(x−1)‎−x−2‎‎(x−1)‎‎2‎⋅‎x−1‎x−2‎ ‎=‎1‎x(x−1)‎−‎‎1‎x−1‎ ‎=‎‎1−xx(x−1)‎ ‎=−‎‎1‎x． 当x=‎‎3‎时，原式‎=−‎1‎‎3‎=−‎‎3‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 分式的化简求值 ‎【解析】‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=‎1‎x(x−1)‎−x−2‎‎(x−1)‎‎2‎⋅‎x−1‎x−2‎ ‎=‎1‎x(x−1)‎−‎‎1‎x−1‎ ‎=‎‎1−xx(x−1)‎ ‎=−‎‎1‎x． 当x=‎‎3‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 时，原式‎=−‎1‎‎3‎=−‎‎3‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）如图： （2）在‎△ABC中，AB＝AC，AD是‎△ABC的中线， ∴ AD⊥BC， ∴ BD＝CD=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×8‎＝‎4‎， 在Rt△ABD中，AB＝‎10‎，BD＝‎4‎，AD‎2‎+BD‎2‎＝AB‎2‎， ∴ AD=AB‎2‎−BD‎2‎=‎10‎‎2‎‎−‎‎4‎‎2‎=2‎‎21‎． ‎ ‎【考点】‎ 作图—复杂作图 ‎【解析】‎ 利用三线合一可得等腰三角形底边上的中线就是底边上的高，作出BC的垂直平分线，然后利用勾股定理求高．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）如图： （2）在‎△ABC中，AB＝AC，AD是‎△ABC的中线， ∴ AD⊥BC， ∴ BD＝CD=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×8‎＝‎4‎， 在Rt△ABD中，AB＝‎10‎，BD＝‎4‎，AD‎2‎+BD‎2‎＝AB‎2‎， ∴ AD=AB‎2‎−BD‎2‎=‎10‎‎2‎‎−‎‎4‎‎2‎=2‎‎21‎． ‎ 四、解答题（二）（每小题8分，共24分）‎ ‎【答案】‎ ‎“每天锻炼超过‎1‎小时”的学生的概率‎=‎90‎‎360‎=‎‎1‎‎4‎；‎ ‎720×(1−‎1‎‎4‎)−120−20‎‎＝‎400‎（人） ∴ “没时间”的人数是‎400‎人．如图：‎ ‎4.3×(1−‎1‎‎4‎)‎‎＝‎3.225‎（万人） ∴ ‎2008‎年全市初中毕业生每天锻炼未超过‎1‎小时约有‎3.225‎万人．‎ 说明：内容健康，能符合题意即可． 比如：每天锻炼未超过‎1‎小时的人数占的比例是很大的，建议同学们为了有健康的身体，请你锻炼吧，只有这样才能在祖国建设中多贡献力量． ‎ ‎【考点】‎ 频数（率）分布直方图 概率公式 扇形统计图 用样本估计总体 频数与频率 ‎【解析】‎ ‎（1）根据图，“每天锻炼超过‎1‎小时”的学生的圆心角是‎360‎‎∘‎‎−‎‎270‎‎∘‎＝‎90‎‎∘‎，所以概率是‎90‎‎360‎‎=‎‎1‎‎4‎； （2）求出‎720‎人中锻炼没超过一小时的人数，减去不喜欢和其他的人数就是没有时间的人数； （3）根据总人数和每天锻炼未超过‎1‎小时的学生的比例可以求出每天锻炼未超过‎1‎小时的学生的人数．‎ ‎【解答】‎ ‎“每天锻炼超过‎1‎小时”的学生的概率‎=‎90‎‎360‎=‎‎1‎‎4‎；‎ ‎720×(1−‎1‎‎4‎)−120−20‎‎＝‎400‎（人） ∴ “没时间”的人数是‎400‎人．如图：‎ ‎4.3×(1−‎1‎‎4‎)‎‎＝‎3.225‎（万人） ∴ ‎2008‎年全市初中毕业生每天锻炼未超过‎1‎小时约有‎3.225‎万人．‎ 说明：内容健康，能符合题意即可． 比如：每天锻炼未超过‎1‎小时的人数占的比例是很大的，建议同学们为了有健康的身体，请你锻炼吧，只有这样才能在祖国建设中多贡献力量． ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【答案】‎ 如图，过C作CD⊥AD于点D， ∵ ‎∠CBD＝‎60‎‎∘‎，‎∠CAB＝‎30‎‎∘‎， ∴ ‎∠ACB＝‎30‎‎∘‎， ∴ BC＝AB， ∵ AB＝‎30×‎20‎‎60‎=10‎（海里）， ∴ CB＝‎10‎海里， ∴ CDCB‎=sin∠CBD＝sin‎60‎‎∘‎， 则CD＝CB⋅sin‎60‎‎∘‎＝‎10×‎3‎‎2‎=5‎3‎≈8.66‎（海里）‎>7.1‎海里， ∴ 这艘船继续航行能绕过暗礁． ‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 ‎【解析】‎ 过C作CD⊥AD于点D，证出BC＝AB＝‎10‎海里，在Rt△CBD中，求得CD的长，进而得出结论．‎ ‎【解答】‎ 如图，过C作CD⊥AD于点D， ∵ ‎∠CBD＝‎60‎‎∘‎，‎∠CAB＝‎30‎‎∘‎， ∴ ‎∠ACB＝‎30‎‎∘‎， ∴ BC＝AB， ∵ AB＝‎30×‎20‎‎60‎=10‎（海里）， ∴ CB＝‎10‎海里， ∴ CDCB‎=sin∠CBD＝sin‎60‎‎∘‎， 则CD＝CB⋅sin‎60‎‎∘‎＝‎10×‎3‎‎2‎=5‎3‎≈8.66‎（海里）‎>7.1‎海里， ∴ 这艘船继续航行能绕过暗礁． ‎ ‎【答案】‎ 证明：∵ 等腰Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠A＝‎∠B． ∵ 四边形DEFG是正方形， ∴ DE＝GF，‎∠DEA＝‎∠GFB＝‎90‎‎∘‎． ∴ ‎△ADE≅△BGF． ∴ AE＝BF．‎ ‎∵ ‎∠DEA＝‎90‎‎∘‎，‎∠A＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠ADE＝‎45‎‎∘‎． ∴ AE＝DE， 同理BF＝GF， 又∵ AB=‎2‎BC， ∴ EF＝AE＝BF=‎1‎‎3‎AB=‎1‎‎3‎×‎2‎BC=‎1‎‎3‎×‎2‎×‎2‎=‎2‎‎3‎(cm)‎． ∴ 正方形DEFG的边长为‎2‎‎3‎cm．‎ ‎【考点】‎ 全等三角形的性质与判定 正方形的性质 ‎【解析】‎ ‎（1）要证明AE＝BF，只要证明三角形BGF和三角形ADE全等即可； （2）直角三角形DEA中，‎∠A＝‎∠ADE＝‎45‎‎∘‎，有BC的长，那么正方形的边长就可以求出来了．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ 等腰Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠A＝‎∠B． ∵ 四边形DEFG是正方形， ∴ DE＝GF，‎∠DEA＝‎∠GFB＝‎90‎‎∘‎． ∴ ‎△ADE≅△BGF． ∴ AE＝BF．‎ ‎∵ ‎∠DEA＝‎90‎‎∘‎，‎∠A＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠ADE＝‎45‎‎∘‎． ∴ AE＝DE， 同理BF＝GF， 又∵ AB=‎2‎BC， ∴ EF＝AE＝BF=‎1‎‎3‎AB=‎1‎‎3‎×‎2‎BC=‎1‎‎3‎×‎2‎×‎2‎=‎2‎‎3‎(cm)‎． ∴ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ 正方形DEFG的边长为‎2‎‎3‎cm．‎ 五、解答题（三）（每小题10分，共20分）‎ ‎【答案】‎ 如图，连接DB、OD， ∵ AB是直径， ∴ ‎∠BDA＝‎90‎‎∘‎＝‎∠CDB， 在Rt△BCD中， ∵ E是BC边上的中点， ∴ DE=‎1‎‎2‎BC；‎ 由（1）知DE＝BE=‎1‎‎2‎BC， ∴ ‎∠EBD＝‎∠EDB， ∵ OB＝OD， ∴ ‎∠OBD＝‎∠ODB， 又∵ ‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎，即‎∠OBD+∠EBD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EDB+∠ODB＝‎90‎‎∘‎，即‎∠ODE＝‎90‎‎∘‎， ∴ DE为圆O的切线；‎ 方程x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎， 解得：x‎1‎＝‎4‎，x‎2‎＝‎6‎， ∵ AD、AB的长是方程x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎的两个根，且AB>AD， ∴ AD＝‎4‎，AB＝‎6‎， ∵ AB是直径， ∴ ‎∠ADB＝‎90‎‎∘‎， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=AB‎2‎−AD‎2‎=2‎‎5‎， ∵ ‎∠ABD+∠DBC＝‎90‎‎∘‎，‎∠DBC+∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABD＝‎∠C， ∴ ‎△ABD∽△ACB， ∴ BCBD‎=‎ABAD，即BC‎2‎‎5‎‎=‎‎6‎‎4‎， ∴ BC＝‎3‎‎5‎．‎ ‎【考点】‎ 圆的综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）证明DE是在Rt△BCD的中线，即可求解； （2）由（1）得ED＝EB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，根据‎∠EBO为直角，得到‎∠EBD与‎∠OBD和为‎90‎‎∘‎，等量代换可得出‎∠ODE为直角，即DE与OD垂直，可得出DE为圆O的切线，得证； （3）利用因式分解法求出x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎的解，再根据AB大于AD，且AD和AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长．‎ ‎【解答】‎ 如图，连接DB、OD， ∵ AB是直径， ∴ ‎∠BDA＝‎90‎‎∘‎＝‎∠CDB， 在Rt△BCD中， ∵ E是BC边上的中点， ∴ DE=‎1‎‎2‎BC；‎ 由（1）知DE＝BE=‎1‎‎2‎BC， ∴ ‎∠EBD＝‎∠EDB， ∵ OB＝OD， ∴ ‎∠OBD＝‎∠ODB， 又∵ ‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎，即‎∠OBD+∠EBD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EDB+∠ODB＝‎90‎‎∘‎，即‎∠ODE＝‎90‎‎∘‎， ∴ DE为圆O的切线；‎ 方程x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎， 解得：x‎1‎＝‎4‎，x‎2‎＝‎6‎， ∵ AD、AB的长是方程x‎2‎‎−10x+24‎＝‎0‎的两个根，且AB>AD， ∴ AD＝‎4‎，AB＝‎6‎， ∵ AB是直径， ∴ ‎∠ADB＝‎90‎‎∘‎， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=AB‎2‎−AD‎2‎=2‎‎5‎， ∵ ‎‎∠ABD+∠DBC 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎＝‎90‎‎∘‎，‎∠DBC+∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABD＝‎∠C， ∴ ‎△ABD∽△ACB， ∴ BCBD‎=‎ABAD，即BC‎2‎‎5‎‎=‎‎6‎‎4‎， ∴ BC＝‎3‎‎5‎．‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 抛物线y＝ax‎2‎+bx−3‎交y轴于点C ∴ C(0, −3)‎， 则 OC＝‎3‎； ∵ P到x轴的距离为‎10‎‎3‎，P到y轴的距离是‎1‎，且在第三象限， ∴ P(−1, −‎10‎‎3‎)‎； ∵ C关于直线l的对称点为A ∴ A(−2, −3)‎； 将点A(−2, −3)‎，P(−1, −‎10‎‎3‎)‎代入抛物线y＝ax‎2‎+bx−3‎中，有： ‎4a−2b−3=−3‎a−b−3=−‎‎10‎‎3‎‎ ‎， 解得a=‎‎1‎‎3‎b=‎‎2‎‎3‎‎ ‎． ∴ 抛物线的表达式为y=‎1‎‎3‎x‎2‎+‎2‎‎3‎x−3‎．‎ 过点D做DG⊥y 轴于G，则‎∠DGE＝‎∠BCE＝‎90‎‎∘‎ ∵ ‎∠DEG＝‎∠BEC ∴ ‎△DEG∽△BEC ∵ DE:BE＝‎4:1‎， ∴ DG:BC＝‎4:1‎； 已知BC＝‎1‎，则DG＝‎4‎，点D的横坐标为‎4‎； 将x＝‎4‎代入y=‎1‎‎3‎x‎2‎+‎2‎‎3‎x−3‎中，得y＝‎5‎，则 D(4, 5)‎． ∵ 直线y=‎3‎‎4‎x+m过点D(4, 5)‎ ∴ ‎5=‎3‎‎4‎×4+m，则 m＝‎2‎； ∴ 所求直线的表达式y=‎3‎‎4‎x+2‎．‎ 由（2）的直线解析式知：F(0, 2)‎，OF＝‎2‎； 设点M(x, ‎3‎‎4‎x+2)‎，则：OM‎2‎=‎25‎‎16‎x‎2‎+3x+4‎、FM‎2‎=‎‎25‎‎16‎x‎2‎；（1）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为‎1‎； ∴ ‎3‎‎4‎x+2‎＝‎1‎，x=−‎‎4‎‎3‎；即点M的坐标‎(−‎4‎‎3‎, 1)‎．（2）当OF为菱形的边时，有： ①FM＝OF＝‎2‎，则：‎25‎‎16‎x‎2‎＝‎4‎，x‎1‎‎=‎‎8‎‎5‎、x‎2‎‎=−‎‎8‎‎5‎ 代入y=‎3‎‎4‎x+2‎中，得：y‎1‎‎=‎‎16‎‎5‎、y‎2‎‎=‎‎4‎‎5‎； 即点M的坐标‎(‎8‎‎5‎, ‎16‎‎5‎)‎或‎(−‎8‎‎5‎, ‎4‎‎5‎)‎； ②OM＝OF＝‎2‎，则：‎25‎‎16‎x‎2‎‎+3x+4‎＝‎4‎，x‎1‎＝‎0‎（舍）、x‎2‎‎=−‎‎48‎‎25‎ 代入y=‎3‎‎4‎x+2‎中，得：y=‎‎14‎‎25‎； 即点M的坐标‎(−‎48‎‎25‎, ‎14‎‎25‎)‎； 综上，存在符合条件的点M，且坐标为‎(−‎4‎‎3‎, 1)‎、‎(‎8‎‎5‎, ‎16‎‎5‎)‎、‎(−‎8‎‎5‎, ‎4‎‎5‎)‎、‎(−‎48‎‎25‎, ‎14‎‎25‎)‎． ‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式． （2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式． （3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况： ①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 的解析式后可得点M的坐标； ②以OF为边，那么由OF＝OM或FM＝OF列出等式可求出点M的坐标．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 抛物线y＝ax‎2‎+bx−3‎交y轴于点C ∴ C(0, −3)‎， 则 OC＝‎3‎； ∵ P到x轴的距离为‎10‎‎3‎，P到y轴的距离是‎1‎，且在第三象限， ∴ P(−1, −‎10‎‎3‎)‎； ∵ C关于直线l的对称点为A ∴ A(−2, −3)‎； 将点A(−2, −3)‎，P(−1, −‎10‎‎3‎)‎代入抛物线y＝ax‎2‎+bx−3‎中，有： ‎4a−2b−3=−3‎a−b−3=−‎‎10‎‎3‎‎ ‎， 解得a=‎‎1‎‎3‎b=‎‎2‎‎3‎‎ ‎． ∴ 抛物线的表达式为y=‎1‎‎3‎x‎2‎+‎2‎‎3‎x−3‎．‎ 过点D做DG⊥y 轴于G，则‎∠DGE＝‎∠BCE＝‎90‎‎∘‎ ∵ ‎∠DEG＝‎∠BEC ∴ ‎△DEG∽△BEC ∵ DE:BE＝‎4:1‎， ∴ DG:BC＝‎4:1‎； 已知BC＝‎1‎，则DG＝‎4‎，点D的横坐标为‎4‎； 将x＝‎4‎代入y=‎1‎‎3‎x‎2‎+‎2‎‎3‎x−3‎中，得y＝‎5‎，则 D(4, 5)‎． ∵ 直线y=‎3‎‎4‎x+m过点D(4, 5)‎ ∴ ‎5=‎3‎‎4‎×4+m，则 m＝‎2‎； ∴ 所求直线的表达式y=‎3‎‎4‎x+2‎．‎ 由（2）的直线解析式知：F(0, 2)‎，OF＝‎2‎； 设点M(x, ‎3‎‎4‎x+2)‎，则：OM‎2‎=‎25‎‎16‎x‎2‎+3x+4‎、FM‎2‎=‎‎25‎‎16‎x‎2‎；（1）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为‎1‎； ∴ ‎3‎‎4‎x+2‎＝‎1‎，x=−‎‎4‎‎3‎；即点M的坐标‎(−‎4‎‎3‎, 1)‎．（2）当OF为菱形的边时，有： ①FM＝OF＝‎2‎，则：‎25‎‎16‎x‎2‎＝‎4‎，x‎1‎‎=‎‎8‎‎5‎、x‎2‎‎=−‎‎8‎‎5‎ 代入y=‎3‎‎4‎x+2‎中，得：y‎1‎‎=‎‎16‎‎5‎、y‎2‎‎=‎‎4‎‎5‎； 即点M的坐标‎(‎8‎‎5‎, ‎16‎‎5‎)‎或‎(−‎8‎‎5‎, ‎4‎‎5‎)‎； ②OM＝OF＝‎2‎，则：‎25‎‎16‎x‎2‎‎+3x+4‎＝‎4‎，x‎1‎＝‎0‎（舍）、x‎2‎‎=−‎‎48‎‎25‎ 代入y=‎3‎‎4‎x+2‎中，得：y=‎‎14‎‎25‎； 即点M的坐标‎(−‎48‎‎25‎, ‎14‎‎25‎)‎； 综上，存在符合条件的点M，且坐标为‎(−‎4‎‎3‎, 1)‎、‎(‎8‎‎5‎, ‎16‎‎5‎)‎、‎(−‎8‎‎5‎, ‎4‎‎5‎)‎、‎(−‎48‎‎25‎, ‎14‎‎25‎)‎． ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页