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  • 2021-11-06 发布

2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级(上)期中数学试卷

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‎2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级(上)期中数学试卷 一、单选题第I卷(选择题)‎ ‎ ‎ ‎1. 如图所示某几何体的三视图,则这个几何体是( ) ‎ A.三棱锥 B.圆柱 C.球 D.圆锥 ‎ ‎ ‎2. 下列方程一定是一元二次方程的是( ) ‎ A.ax‎2‎+bx+c=‎0‎ B.x‎−3‎=‎5x‎2‎−‎‎6‎ C.‎5x(x+1)‎=‎5x‎2‎−12‎ D.x−1‎‎3‎‎=−x‎2‎‎2‎−1‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 两个人的影子在两个相反的方向,这说明(        ) ‎ A.他们站在阳光下 B.他们站在路灯下 C.他们站在路灯的两侧 D.他们站在月光下 ‎ ‎ ‎ ‎4. 若a‎2‎‎=b‎3‎=‎c‎4‎,则a+bb−c的值为( ) ‎ A.‎5‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎−5‎ D.‎‎−‎‎1‎‎5‎ ‎ ‎ ‎5. 若‎2+‎‎3‎是方程x‎2‎‎−4x+c=‎0‎的一个根,则c的值是( ) ‎ A.‎1‎ B.‎3−‎‎3‎ C.‎1+‎‎3‎ D.‎‎2−‎‎3‎ ‎ ‎ ‎6. 如图,下列四个三角形中,与‎△ABC相似的是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎7. 用配方法解下列方程时,配方错误的是( ) ‎ A.x‎2‎‎+2x−99‎=‎0‎化为‎(x+1‎‎)‎‎2‎=‎‎100‎ B.‎2x‎2‎−7x−4‎=‎0‎化为‎(x−‎7‎‎4‎)‎‎2‎‎=‎‎81‎‎16‎ C.x‎2‎‎+8x+9‎=‎0‎化为‎(x+4‎‎)‎‎2‎=‎‎25‎ D.‎3x‎2‎−4x−2‎=‎0‎化为‎(x−‎2‎‎3‎)‎‎2‎‎=‎‎10‎‎9‎ ‎ ‎ ‎8. 在同一直角坐标平面内,如果y=k‎1‎x与y=‎k‎2‎x没有交点,那么k‎1‎和k‎2‎的关系一定是( ) ‎ A.k‎1‎‎<0‎,k‎2‎‎>0‎ B.k‎1‎‎>0‎,k‎2‎‎<0‎ C.k‎1‎、k‎2‎同号 D.k‎1‎、k‎2‎异号 ‎ ‎ ‎9. 如图,在长为‎100‎米,宽为‎80‎米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为‎7644‎米‎​‎‎2‎,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为(        ) ‎ A.‎100×80−100x−80x=7644‎ B.‎(100−x)(80−x)+x‎2‎=7644‎ C.‎(100−x)(80−x)=7644‎ D.‎100x+80x=356‎ ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图,Rt△ABC中,‎∠ACB=‎90‎‎∘‎,‎∠ABC=‎60‎‎∘‎,BC=‎2cm,D为BC的中点,若动点E以‎1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B的方向运动,设E点的运动时间为t秒‎(0≤t<4)‎,连接DE,当以B、D、E为顶点的三角形与‎△ABC相似时,t的值为( ) ‎ A.‎2‎ B.‎2.5‎或‎3.5‎ C.‎2‎或‎3.5‎ D.‎2‎或‎2.5‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ ‎ ‎11. 如图,在‎△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论: ①DEBC‎=‎‎1‎‎2‎;②S‎△DOES‎△COB‎=‎‎1‎‎2‎;③ADAB‎=‎OEOB;④S‎△ODES‎△ADC‎=‎‎1‎‎3‎ 其中正确的个数有(        ) ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 ‎ ‎ ‎12. 如图,在x轴正半轴上依次截取OA‎1‎=A‎1‎A‎2‎=A‎2‎A‎3‎=…=An−1‎An=‎1‎(n为正整数),过点A‎1‎、A‎2‎、A‎3‎、…、An分别作x轴的垂线,与反比例函数y=‎2‎x(x>0)‎交于点P‎1‎、P‎2‎、P‎3‎、…、Pn,连接P‎1‎P‎2‎、P‎2‎P‎3‎、…、Pn−1‎Pn,过点P‎2‎、P‎3‎、…、Pn分别向P‎1‎A‎1‎、P‎2‎A‎2‎、…、Pn−1‎An−1‎作垂线段,构成的一系列直角三角形(见图中阴影部分)的面积和是( ) ‎ A.n−1‎n B.nn+1‎ C.‎1‎‎2‎n D.‎‎1‎‎4‎n 二、填空题 ‎ ‎ ‎ 方程x(x+2)‎=‎2(x+2)‎的根是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的‎2‎个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球,从盒子里随机摸出一个兵乓球,摸到黄色兵乓球的概率为‎1‎‎3‎,那么盒子内白色兵乓球的个数为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,在‎△ABC中,AD:DB=‎2:3‎,E为CD的中点,AE的延长线交BC于点F,则BF:FC=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的侧面积为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,‎△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是‎(−1, 0)‎.以点C为位似中心,在x轴的下方作‎△ABC的位似图形‎△A′B′C,并把‎△ABC放大到原来的‎2‎倍.设点B的对应点B′‎的横坐标是a,则点B的横坐标是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,已知点A是一次函数y=‎1‎‎2‎x(x≥0)‎图象上一点,过点A作x轴的垂线l,B是l上一点(B在A上方),在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数y=kx(x>0)‎的图象过点B,C,若‎△OAB的面积为‎6‎,则‎△ABC的面积是________. ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎ 解方程: ‎ ‎(1)(x−3‎)‎‎2‎+2x(x−3)=0‎‎;‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ ‎ ‎(2)‎‎4x‎2‎−8x−1=0‎‎(用配方法解).‎ ‎ ‎ ‎ 如图,BD,CE是‎△ABC的高.求证:BA⋅AE=AC⋅AD. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知关于x的一元二次方程mx‎2‎−(m+1)x+1‎=‎0‎. ‎ ‎(1)求证:此方程总有两个实数根;‎ ‎ ‎ ‎(2)若m为整数,当此方程的两个实数根都是整数时,求m的值.‎ ‎ ‎ ‎ 已知,如图在Rt△ABC中,‎∠B=‎90‎‎∘‎,AB=‎6cm,BC=‎8cm,点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动,速度为‎1cm/s,点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动,速度为‎2cm/s.如果动点P,Q同时从A,B出发,当P或Q到达终点时运动停止.几秒后,以Q,B,P为顶点的三角形与‎△ABC相似? ‎ ‎ ‎ ‎ 某商场销售某种冰箱,每台进货价为‎2500‎元,标价为‎3000‎, ‎ ‎(1)若商场连续两次降价,每次降价的百分率相同,最后以‎2430‎元售出,求每次降价的百分率;‎ ‎ ‎ ‎(2)市场调研表明:当每台售价为‎2900‎元时,平均每天能售出‎8‎台,当每台售价每降‎50‎元时,平均每天就能多售出‎4‎台,若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到‎5000‎元,则每台冰箱的定价应为多少元?‎ ‎ ‎ ‎ 如图所示,网格纸中的每个小方格都是边长为‎1‎的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的‎△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为‎(−1, −1)‎. ‎ ‎(1)把‎△ABC向下平移‎5‎格后得到‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎,写出点A‎1‎,B‎1‎,C‎1‎的坐标,并画出‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)把‎△ABC绕点O按顺时针方向旋转‎180‎‎∘‎后得到‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎,写出点A‎2‎,B‎2‎,C‎2‎的坐标,并画出‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎;‎ ‎ ‎ ‎(3)把‎△ABC以点O为位似中心放大得到‎△‎A‎3‎B‎3‎C‎3‎,使放大前后对应线段的比为‎1:2‎,写出点A‎3‎,B‎3‎,C‎3‎的坐标,并画出‎△‎A‎3‎B‎3‎C‎3‎. ‎ ‎ ‎ ‎ 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况,进行了统计调查.随机调查了某班所有同学最喜欢的节目(每名学生必选且只能选择四类节目中的一类)并将调查结果绘成如下不完整的统计图.根据两图提供的信息,回答下列问题: ‎ ‎(1)最喜欢娱乐类节目的有________人,图中x=________;‎ ‎ ‎ ‎(2)请补全条形统计图;‎ ‎ ‎ ‎(3)根据抽样调查结果,若该校有‎1800‎名学生,请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目;‎ ‎ ‎ ‎(4)在全班同学中,有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目,班主任打算从甲、乙、丙、丁‎4‎名同学中选取‎2‎人参加学校组织的体育知识竞赛,请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率.‎ ‎ ‎ ‎ 提出问题 ‎ ‎(1)‎如图‎1‎,在等边‎△ABC中,点M是BC上任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等边‎△AMN,连接CN,求证:‎∠ABC=‎‎∠ACN;‎ ‎ ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 类比探究 ‎(2)‎如图‎2‎,在等边‎△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,‎(1)‎中的结论‎∠ABC=‎‎∠ACN还成立吗?请说明理由;‎ ‎ ‎ 拓展延伸 ‎(3)‎如图‎3‎,在等腰‎△ABC中,BA=‎BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等腰‎△AMN,使顶角‎∠AMN=‎‎∠ABC,连接CN,试探究‎∠ABC与‎∠ACN的数量关系,并说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎,已知直线y=‎3x分别与双曲线y=‎‎12‎x、y=kx(x>0)‎交于P、Q两点,且OP=‎2OQ. ‎ ‎(1)求k的值.‎ ‎ ‎ ‎(2)如图‎2‎,若点A是双曲线y=‎‎12‎x上的动点,AB // x轴,AC // y轴,分别交双曲线y=kx(x>0)‎于点B、C,连接BC.请你探索在点A运动过程中,‎△ABC的面积是否变化?若不变,请求出‎△ABC的面积;若改变,请说明理由;‎ ‎ ‎ ‎(3)如图‎3‎,若点D是直线y=‎3x上的一点,请你进一步探索在点A运动过程中,以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 参考答案与试题解析 ‎2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级(上)期中数学试卷 一、单选题第I卷(选择题)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 由三视图判断几何体 ‎【解析】‎ 根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形,可判断该几何体是锥体,再根据左视图的形状,即可得出答案.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 几何体的主视图和俯视图都是三角形, ∴ 该几何体是一个锥体, ∵ 俯视图是一个圆, ∴ 该几何体是一个圆锥;‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 一元二次方程的定义 ‎【解析】‎ 根据一元二次方程的定义:未知数的最高次数是‎2‎;二次项系数不为‎0‎;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.‎ ‎【解答】‎ B‎、x‎−3‎=‎5x‎2‎−‎‎6‎不是一元二次方程,故选项B不合题意(1)C、‎5x(x+1)‎=‎5x‎2‎−12‎化简为‎5x+12‎=‎0‎,是一元一次方程,故选项C不合题意(2)D、x−1‎‎3‎‎=−x‎2‎‎2‎−1‎是一元二次方程,故选项D符合题意(3)故选:D.‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 平行投影 中心投影 ‎【解析】‎ 本题考查中心投影的特点.‎ ‎【解答】‎ 解:根据两个人的影子在两个相反的方向,则一定是中心投影;且两人同在光源两侧. 故选C. ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 设a‎2‎‎=b‎3‎=c‎4‎=k,则a=‎2k,b=‎3k,c=‎4k,然后代入求值即可.‎ ‎【解答】‎ 解:设a‎2‎‎=b‎3‎=c‎4‎=k, 则a‎=‎‎2k,b‎=‎‎3k,c‎=‎‎4k, a+bb−c‎=‎2k+3k‎3k−4k=‎5k‎−k=−5‎. 故选C. ‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 一元二次方程的解 ‎【解析】‎ 把‎2+‎‎3‎代入方程x‎2‎‎−4x+c=‎0‎就得到关于c的方程,就可以解得c的值.‎ ‎【解答】‎ 把‎2+‎‎3‎代入方程x‎2‎‎−4x+c=‎0‎,得‎(2+‎3‎‎)‎‎2‎−4(2+‎3‎)+c=‎0‎, 解得c=‎1‎;‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 相似三角形的判定 ‎【解析】‎ ‎△ABC是等腰三角形,底角是‎75‎‎∘‎,则顶角是‎30‎‎∘‎,结合各选项是否符合相似的条件即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 由图可知,AB=AC=‎6‎,‎∠B=‎75‎‎∘‎, ∴ ‎∠C=‎75‎‎∘‎,‎∠A=‎30‎‎∘‎, A、三角形各角的度数分别为‎75‎‎∘‎,‎52.5‎‎∘‎,‎52.5‎‎∘‎, B、三角形各角的度数都是‎60‎‎∘‎, C、三角形各角的度数分别为‎75‎‎∘‎,‎30‎‎∘‎,‎75‎‎∘‎, D、三角形各角的度数分别为‎40‎‎∘‎,‎70‎‎∘‎,‎70‎‎∘‎, ∴ 只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等,‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 解一元二次方程-配方法 ‎【解析】‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 根据配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为‎1‎;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方,即可求出答案.‎ ‎【解答】‎ A‎、由原方程,得x‎2‎‎+2x=‎99‎, 等式的两边同时加上一次项系数‎2‎的一半的平方‎1‎,得 ‎(x+1‎‎)‎‎2‎=‎100‎; 故本选项正确; B、由原方程,得 ‎2x‎2‎−7x=‎4‎, 等式的两边同时加上一次项系数‎−7‎的一半的平方,得, ‎(x−‎7‎‎4‎‎)‎‎2‎=‎‎81‎‎16‎, 故本选项正确; C、由原方程,得 x‎2‎‎+8x=‎−9‎, 等式的两边同时加上一次项系数‎8‎的一半的平方‎16‎,得 ‎(x+4‎‎)‎‎2‎=‎7‎; 故本选项错误; D、由原方程,得 ‎3x‎2‎−4x=‎2‎, 化二次项系数为‎1‎,得 x‎2‎‎−‎4‎‎3‎x=‎‎2‎‎3‎ 等式的两边同时加上一次项系数‎−‎‎4‎‎3‎的一半的平方‎16‎‎9‎,得 ‎(x−‎2‎‎3‎)‎‎2‎‎=‎‎10‎‎9‎; 故本选项正确.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 反比例函数与一次函数的综合 ‎【解析】‎ 如果直线y=k‎1‎x与双曲线y=‎k‎2‎x没有交点,则k‎1‎x=‎k‎2‎x无解,即k‎2‎k‎1‎‎<0‎.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 直线y=k‎1‎x与双曲线y=‎k‎2‎x没有交点, ∴ k‎1‎x=‎k‎2‎x无解, ∴ x‎2‎‎=‎k‎2‎k‎1‎无解, ∴ k‎2‎k‎1‎‎<0‎.即k‎1‎和k‎2‎异号.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 由实际问题抽象出一元二次方程 一元二次方程的应用--几何图形面积问题 ‎【解析】‎ 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程.‎ ‎【解答】‎ 解:设道路的宽应为x米,由题意有 ‎(100−x)(80−x)=7644‎, 故选C.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 相似三角形的判定 ‎【解析】‎ 求出AB=‎2BC=‎4cm,分两种情况:①当‎∠EDB=‎∠ACB=‎90‎‎∘‎时,DE // AC,‎△EBD∽△ABC,得出AE=BE=‎1‎‎2‎AB=‎2cm,即可得出t=‎2s;②当‎∠DEB=‎∠ACB=‎90‎‎∘‎时,证出‎△DBE∽△ABC,得出‎∠BDE=‎∠A=‎30‎‎∘‎,因此BE=‎1‎‎2‎BD=‎1‎‎2‎cm,得出AE=‎3.5cm,t=‎3.5s;即可得出结果.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ ,‎∠ACB=‎90‎‎∘‎,‎∠ABC=‎60‎‎∘‎, ∴ ‎∠A=‎30‎‎∘‎, ∴ AB=‎2BC=‎4cm, 分两种情况: ①当‎∠EDB=‎∠ACB=‎90‎‎∘‎时, DE // AC,‎△EBD∽△ABC, ∵ D为BC的中点, ∴ BD=CD=‎1‎‎2‎BC=‎1cm,E为AB的中点,AE=BE=‎1‎‎2‎AB=‎2cm, ∴ t=‎2s; ②当‎∠DEB=‎∠ACB=‎90‎‎∘‎时, ∵ ‎∠B=‎∠B, ∴ ‎△DBE∽△ABC, ∴ ‎∠BDE=‎∠A=‎30‎‎∘‎, ∴ BE=‎1‎‎2‎BD=‎1‎‎2‎cm, ∴ AE=‎3.5cm, ∴ t=‎3.5s; 综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形与‎△ABC相似时,t的值为‎2‎或‎3.5‎;‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 三角形的重心 ‎【解析】‎ BE‎、CD是‎△ABC的中线,即D、E是AB和AC的中点,即DE是‎△ABC的中位线,则DE // BC,‎△ODE∽△OCB,根据相似三角形的性质即可判断.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ BE、CD是‎△ABC的中线,即D、E是AB和AC的中点, ∴ DE是‎△ABC的中位线, ∴ DE=‎1‎‎2‎BC,即DEBC‎=‎‎1‎‎2‎, DE // BC, ∴ ‎△DOE∽△COB, ∴ S‎△DOES‎△COB‎=(DEBC‎)‎‎2‎=(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎, OEOB‎=DEBC=ADAB=‎‎1‎‎2‎, 故①正确,②错误,③正确; 设‎△ABC的BC边上的高AF,则S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎BC⋅AF,S‎△ACD‎=‎1‎‎2‎S‎△ABC=‎1‎‎4‎BC⋅AF, ∵ ‎△ODE中,DE=‎1‎‎2‎BC,DE边上的高是‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎3‎AF=‎1‎‎6‎AF, ∴ S‎△ODE‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎BC×‎1‎‎6‎AF=‎1‎‎24‎BC⋅AF, ∴ S‎△ODES‎△ADC‎=‎1‎‎24‎BC⋅AF‎1‎‎4‎BC⋅AF=‎‎1‎‎6‎,故④错误. 故正确的是①③. 故选B.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 反比例函数系数k的几何意义 ‎【解析】‎ 由OA‎1‎=A‎1‎A‎2‎=A‎2‎A‎3‎=…=An−1‎An=‎1‎可知P‎1‎点的坐标为‎(1, y‎1‎)‎,P‎2‎点的坐标为‎(2, y‎2‎)‎,P‎3‎点的坐标为‎(3, y‎3‎)‎…Pn点的坐标为‎(n, yn)‎,把x=‎1‎,x=‎2‎,x=‎3‎代入反比例函数的解析式即可求出y‎1‎、y‎2‎、y‎3‎的值,再由三角形的面积公式可得出S‎1‎、S‎2‎、S‎3‎‎...‎Sn−1‎的值,故可得出结论.‎ ‎【解答】‎ ‎∴ S‎1‎‎=‎1‎‎2‎(1)(3)‎∵ S‎1‎‎=‎1‎‎2‎×1×(y‎1‎−y‎2‎)=‎1‎‎2‎×1×(2−‎2‎‎2‎)‎=‎1−‎1‎‎2‎(2)‎∴ S‎2‎‎=‎1‎‎2‎×1×(y‎2‎−y‎3‎)=‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎(3)S‎3‎=‎1‎‎2‎×1×(y‎3‎−y‎4‎)=‎1‎‎2‎×(‎2‎‎3‎−‎2‎‎4‎)=‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎(4)‎… ∴ Sn−1‎‎=‎1‎n−1‎−‎‎1‎n, ∴ S‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+...+Sn−1‎=1−‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎+⋯‎1‎n−1‎−‎1‎n=‎n−1‎n. 故选:A.‎ 二、填空题 ‎【答案】‎ x‎1‎‎=‎−2‎,x‎2‎=‎‎2‎ ‎【考点】‎ 解一元二次方程-因式分解法 ‎【解析】‎ 利用提取公因式法,将原式因式分解为‎(x−2)(x+2)‎=‎0‎,求出即可.‎ ‎【解答】‎ x(x+2)‎‎=‎2(x+2)‎, ‎(x−2)(x+2)‎=‎0‎, x−2‎=‎0‎或x+2‎=‎0‎, ∴ x‎1‎=‎2‎,x‎2‎=‎−2‎;‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 概率公式 ‎【解析】‎ 先求出盒子内乒乓球的总个数为,然后用总个数减去黄球个数得到据摸到白色乒乓球的个数.‎ ‎【解答】‎ 盒子内乒乓球的个数为‎2÷‎1‎‎3‎=6‎(个), 白色兵乓球的个数‎6−2‎=‎4‎(个)‎ ‎【答案】‎ ‎5‎‎2‎ ‎【考点】‎ 平行线分线段成比例 ‎【解析】‎ 根据题意作辅助线,根据已知条件可证明‎△DGE≅△CFE,所以DG=FC,根据比例关系得知DG // FC,最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案.‎ ‎【解答】‎ 在AE上取点G,使EG=EF, ∵ E为CD的中点, ∴ DE=CE, 又∵ EG=EF,‎∠DEG=‎∠CEF, ∴ ‎△DGE≅△CFE, ∴ DG=FC, 根据比例关系可知:DG // FC, ∵ AD:DB=‎2:3‎, ∴ ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ BFFC‎=BFDG=ABAD=‎‎5‎‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎4πcm‎2‎ ‎【考点】‎ 由三视图判断几何体 ‎【解析】‎ 俯视图为圆的只有圆锥,圆柱,球,根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥,那么侧面积=底面周长‎×‎母线长‎÷2‎.‎ ‎【解答】‎ 此几何体为圆锥; ∵ 直径为‎2cm,母线长为‎4cm, ∴ 侧面积=‎2π×4÷2‎=‎4π(cm‎2‎)‎.‎ ‎【答案】‎ ‎−‎1‎‎2‎(a+3)‎ ‎【考点】‎ 坐标与图形性质 作图-位似变换 ‎【解析】‎ 设点B的横坐标为x,然后表示出BC、B′C的横坐标的距离,再根据位似比列式计算即可得解.‎ ‎【解答】‎ 设点B的横坐标为x, 则B、C间的横坐标的长度为‎−1−x,B′‎、C间的横坐标的长度为a+1‎, ∵ ‎△ABC放大到原来的‎2‎倍得到‎△A′B′C, ∴ ‎2(−1−x)‎=a+1‎, 解得x=−‎1‎‎2‎(a+3)‎.‎ ‎【答案】‎ ‎3‎ ‎【考点】‎ 反比例函数系数k的几何意义 等腰直角三角形 反比例函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 本题介绍两种解法: 解法一:设A(t, t‎2‎)‎、B(t, kt)‎,根据反比例函数关于y=x对称可得C(kt, t)‎,得:CE=‎t‎2‎,则DE=t=2CE,则发现‎△ABC和‎△ABO两个三角形是同底边,根据高的倍数可得:S‎△ABO‎=2‎S‎△ABC,可得结论; 解法二:作辅助线,构建直角三角形,设AB=2a,根据直角三角形斜边中线是斜边一半得:BE=AE=CE=a,设A(x, ‎1‎‎2‎x)‎,则B(x, ‎1‎‎2‎x+2a)‎,C(x+a, ‎1‎‎2‎x+a)‎,因为B、C都在反比例函数的图象上,列方程可得结论.‎ ‎【解答】‎ 解法一:设A(t, t‎2‎)‎、B(t, kt)‎, ∵ ‎△ABC是等腰直角三角形,且AB⊥x轴, ∴ 直线BC与y轴夹角为‎45‎度角, 所以根据双曲线的对称性可得,C(kt, t)‎, 过C作CE垂直AB于E,交y轴于D, ∴ AE=yC−yA=t−‎1‎‎2‎t=‎1‎‎2‎t, ∵ ‎△AEC是等腰直角三角形, ∴ CE=AE=‎t‎2‎,则DE=t=2CE, 则S‎△ABO‎=2‎S‎△ABC, ∵ ‎△OAB的面积为‎6‎, ∴ S‎△ABC‎=3‎; 解法二:如图,过C作CD⊥y轴于D,交AB于E, ∵ AB⊥x轴, ∴ CD⊥AB, ∵ ‎△ABC是等腰直角三角形, ∴ BE=AE=CE, 设AB=2a,则BE=AE=CE=a, 设A(x, ‎1‎‎2‎x)‎,则B(x, ‎1‎‎2‎x+2a)‎,C(x+a, ‎1‎‎2‎x+a)‎, ∵ B,C在反比例函数的图象上, ∴ x(‎1‎‎2‎x+2a)=(x+a)(‎1‎‎2‎x+a)‎, x=2a, ∵ S‎△OAB‎=‎1‎‎2‎AB⋅DE=‎1‎‎2‎⋅2a⋅x=6‎, ∴ ax=6‎, ∴ ‎2a‎2‎=6‎, a‎2‎‎=3‎, ∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB⋅CE=‎1‎‎2‎⋅2a⋅a=a‎2‎=3‎.‎ 三、解答题 ‎【答案】‎ 解:‎(1)(x−3)(x−3+2x)=0‎, 即‎(x−3)(3x−3)=0‎, ∴ x−3=0‎或‎3x−3=0‎, 解得:x=3‎或x=1‎;‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎(2)‎‎4x‎2‎−8x=1‎‎, x‎2‎‎−2x=‎‎1‎‎4‎, x‎2‎‎−2x+1=‎1‎‎4‎+1‎,即‎(x−1‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎4‎, ∴ x−1=±‎‎5‎‎2‎, ∴ x=1±‎‎5‎‎2‎.‎ ‎【考点】‎ 解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-配方法 ‎【解析】‎ ‎(1)因式分解法求解可得;‎ ‎(2)配方法求解可得.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)(x−3)(x−3+2x)=0‎, 即‎(x−3)(3x−3)=0‎, ∴ x−3=0‎或‎3x−3=0‎, 解得:x=3‎或x=1‎;‎ ‎(2)‎‎4x‎2‎−8x=1‎‎, x‎2‎‎−2x=‎‎1‎‎4‎, x‎2‎‎−2x+1=‎1‎‎4‎+1‎,即‎(x−1‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎4‎, ∴ x−1=±‎‎5‎‎2‎, ∴ x=1±‎‎5‎‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎∵ BD,CE是‎△ABC的高 ∴ ‎∠ADB=‎∠AEC=‎90‎‎∘‎ 又∵ ‎∠A=‎∠A ∴ ‎△ADB∽△AEC ∴ ADAE‎=‎ABAC ∴ AD⋅AC=AE⋅AB 即BA⋅AE=AC⋅AD.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 根据有两个角相等的三角形是相似三角形,判定‎△ADB∽△AEC,再根据相似三角形的性质得出比例式,再将比例式写成乘积形式即可得证.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ BD,CE是‎△ABC的高 ∴ ‎∠ADB=‎∠AEC=‎90‎‎∘‎ 又∵ ‎∠A=‎∠A ∴ ‎△ADB∽△AEC ∴ ADAE‎=‎ABAC ∴ AD⋅AC=AE⋅AB 即BA⋅AE=AC⋅AD.‎ ‎【答案】‎ 证明:‎△‎=‎[−(m+1)‎]‎‎2‎−4m=‎(m−1‎‎)‎‎2‎. ∵ ‎(m−1‎)‎‎2‎≥0‎, ∴ ‎△≥0‎. ∴ 该方程总有两个实数根;‎ x=‎‎(m+1)±‎‎(m−1‎‎)‎‎2‎‎2m‎. ∴ x‎1‎=‎1‎,x‎2‎‎=‎‎1‎m. 当m为整数‎1‎或‎−1‎时,x‎2‎为整数,即该方程的两个实数根都是整数, ∴ m的值为‎1‎或‎−1‎.‎ ‎【考点】‎ 根的判别式 解一元二次方程-公式法 ‎【解析】‎ ‎(1)表示出一元二次方程根的判别式,利用配方化成完全平方式,可判定其不小于‎0‎,可得出结论; (2)可先用求根公式表示出两根,再根据方程的根都是整数,可求得m的值.‎ ‎【解答】‎ 证明:‎△‎=‎[−(m+1)‎]‎‎2‎−4m=‎(m−1‎‎)‎‎2‎. ∵ ‎(m−1‎)‎‎2‎≥0‎, ∴ ‎△≥0‎. ∴ 该方程总有两个实数根;‎ x=‎‎(m+1)±‎‎(m−1‎‎)‎‎2‎‎2m‎. ∴ x‎1‎=‎1‎,x‎2‎‎=‎‎1‎m. 当m为整数‎1‎或‎−1‎时,x‎2‎为整数,即该方程的两个实数根都是整数, ∴ m的值为‎1‎或‎−1‎.‎ ‎【答案】‎ 设t秒后,以Q,B,P为顶点的三角形与‎△ABC相似; 则PB=‎(6−t)cm,BQ=‎2tcm, ∵ ‎∠B=‎90‎‎∘‎, ∴ 分两种情况: ①当PBAB‎=‎BQBC时, 即‎6−t‎6‎‎=‎‎2t‎8‎, 解得:t=‎2.4‎; ②当PBBC‎=‎BQAB时, 即‎6−t‎8‎‎=‎‎2t‎6‎, 解得:t=‎‎18‎‎11‎; 综上所述:‎2.4‎秒或‎18‎‎11‎秒时,以Q,B,‎P 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 为顶点的三角形与‎△ABC相似.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的判定 ‎【解析】‎ 设t秒后,以Q,B,P为顶点的三角形与‎△ABC相似;则PB=‎(6−t)cm,BQ=‎2tcm,分两种情况:①当PBAB‎=‎BQBC时;②当PBBC‎=‎BQAB时;分别解方程即可得出结果.‎ ‎【解答】‎ 设t秒后,以Q,B,P为顶点的三角形与‎△ABC相似; 则PB=‎(6−t)cm,BQ=‎2tcm, ∵ ‎∠B=‎90‎‎∘‎, ∴ 分两种情况: ①当PBAB‎=‎BQBC时, 即‎6−t‎6‎‎=‎‎2t‎8‎, 解得:t=‎2.4‎; ②当PBBC‎=‎BQAB时, 即‎6−t‎8‎‎=‎‎2t‎6‎, 解得:t=‎‎18‎‎11‎; 综上所述:‎2.4‎秒或‎18‎‎11‎秒时,以Q,B,P为顶点的三角形与‎△ABC相似.‎ ‎【答案】‎ 设每次降价的百分率为x, 依题意得:‎3000(1−x‎)‎‎2‎=‎2430‎, 解得x‎1‎=‎0.1‎=‎10%‎,x‎2‎=‎1.9‎(不合题意,舍去) 答:每次降价的百分率是‎10%‎;‎ 假设下调a个‎50‎元,依题意得:‎5000‎=‎(400−50a)(8+4a)‎. 解得a=‎3‎. 所以下调‎150‎元,因此定价为‎2750‎元.‎ ‎【考点】‎ 一元二次方程的应用 ‎【解析】‎ ‎(1)设每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(‎1−‎降价的百分率),则第一次降价后的价格是‎60(1−x)‎元,第二次后的价格是‎60(1−x‎)‎‎2‎元,据此即可列方程求解; (2)假设下调a个‎50‎元,销售利润=一台冰箱的利润‎×‎销售冰箱数量,一台冰箱的利润=售价-进价,降低售价的同时,销售量就会提高,“一减一加”,根据每台的盈利‎×‎销售的件数=‎5000‎元,即可列方程求解.‎ ‎【解答】‎ 设每次降价的百分率为x, 依题意得:‎3000(1−x‎)‎‎2‎=‎2430‎, 解得x‎1‎=‎0.1‎=‎10%‎,x‎2‎=‎1.9‎(不合题意,舍去) 答:每次降价的百分率是‎10%‎;‎ 假设下调a个‎50‎元,依题意得:‎5000‎=‎(400−50a)(8+4a)‎. 解得a=‎3‎. 所以下调‎150‎元,因此定价为‎2750‎元.‎ ‎【答案】‎ 如图所示,‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎即为所求: 点A‎1‎,B‎1‎,C‎1‎的坐标分别为‎(3, −2)‎,‎(−1, −6)‎,‎‎(5, −6)‎ 如图所示‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎即为所求: 点A‎2‎,B‎2‎,C‎2‎的坐标分别为‎(−3, −3)‎,‎(1, 1)‎,‎(−5, 1)‎;‎ 如图所示‎△‎A‎3‎B‎3‎C‎3‎即为所求: 点A‎3‎,B‎3‎,C‎3‎的坐标分别为‎(6, 6)‎,‎(−2, −2)‎,‎(10, −2)‎或‎(−6, −6)‎,‎(2, 2)‎,‎(−10, 2)‎.‎ ‎【考点】‎ 作图-位似变换 作图-旋转变换 作图-平移变换 ‎【解析】‎ ‎(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案; (3)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.‎ ‎【解答】‎ 如图所示,‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎即为所求: 点A‎1‎,B‎1‎,C‎1‎的坐标分别为‎(3, −2)‎,‎(−1, −6)‎,‎‎(5, −6)‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 如图所示‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎即为所求: 点A‎2‎,B‎2‎,C‎2‎的坐标分别为‎(−3, −3)‎,‎(1, 1)‎,‎(−5, 1)‎;‎ 如图所示‎△‎A‎3‎B‎3‎C‎3‎即为所求: 点A‎3‎,B‎3‎,C‎3‎的坐标分别为‎(6, 6)‎,‎(−2, −2)‎,‎(10, −2)‎或‎(−6, −6)‎,‎(2, 2)‎,‎(−10, 2)‎.‎ ‎【答案】‎ ‎20‎‎,‎‎18‎ 补全条形图如下: ‎ 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有‎1800×‎20‎‎50‎=720‎(人);‎ 画树状图得: ∵ 共有‎12‎种等可能的结果,恰好同时选中甲、乙两位同学的有‎2‎种情况, ∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ ‎【考点】‎ 用样本估计总体 条形统计图 列表法与树状图法 ‎【解析】‎ ‎(1)先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数,再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数,用“动画”类人数除以总人数可得x的值; (2)根据(1)中所求结果即可补全条形图; (3)总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例; (4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 被调查的总人数为‎6÷12%‎=‎50‎人, ∴ 最喜欢娱乐类节目的有‎50−(6+15+9)‎=‎20‎,x%=‎9‎‎50‎×100%‎=‎18%‎,即x=‎18‎, 故答案为:‎20‎、‎18‎;‎ 补全条形图如下: ‎ 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有‎1800×‎20‎‎50‎=720‎(人);‎ 画树状图得: ∵ 共有‎12‎种等可能的结果,恰好同时选中甲、乙两位同学的有‎2‎种情况, ∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎证明:∵ ‎△ABC,‎△AMN是等边三角形, ∴ AB=‎AC,AM=‎AN,‎∠BAC=‎‎∠MAN=‎‎60‎‎∘‎, ∴ ‎∠BAM=‎‎∠CAN. ∵ 在‎△BAM和‎△CAN中, AB=AC,‎‎∠BAM=∠CAN,‎AM=AN,‎‎ ‎ ∴ ‎△BAM≅△CAN(SAS)‎, ∴ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎(2)‎解:结论‎∠ABC=‎‎∠ACN仍成立,理由如下: ∵ ‎△ABC,‎△AMN是等边三角形, ∴ AB=‎AC,AM=‎AN,‎∠BAC=‎‎∠MAN=‎‎60‎‎∘‎, ∴ ‎∠BAM=‎∠CAN. ∵ 在‎△BAM和‎△CAN中, AB=AC,‎‎∠BAM=∠CAN,‎AM=AN,‎‎ ‎ ∴ ‎△BAM≅△CAN(SAS)‎, ∴ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎(3)‎解:‎∠ABC=‎‎∠ACN. 理由如下:∵ BA=‎BC,MA=‎MN, 顶角‎∠ABC=‎‎∠AMN, ∴ 底角‎∠BAC=‎‎∠MAN, ∴ ‎△ABC∼△AMN, ∴ ABAC‎=‎AMAN. 又∵ ‎∠BAM=‎‎∠BAC−∠MAC, ‎∠CAN=‎‎∠MAN−∠MAC, ∴ ‎∠BAM=‎‎∠CAN, ∴ ‎△BAM∼△CAN, ∴ ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质 ‎【解析】‎ ‎(1)利用SAS可证明‎△BAM≅△CAN,继而得出结论; (2)也可以通过证明‎△BAM≅△CAN,得出结论,和(1)的思路完全一样. (3)首先得出‎∠BAC=‎∠MAN,从而判定‎△ABC∽△AMN,得到ABAM‎=‎ACAN,根据‎∠BAM=‎∠BAC−∠MAC,‎∠CAN=‎∠MAN−∠MAC,得到‎∠BAM=‎∠CAN,从而判定‎△BAM∽△CAN,得出结论.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:∵ ‎△ABC,‎△AMN是等边三角形, ∴ AB=‎AC,AM=‎AN,‎∠BAC=‎‎∠MAN=‎‎60‎‎∘‎, ∴ ‎∠BAM=‎‎∠CAN. ∵ 在‎△BAM和‎△CAN中, AB=AC,‎‎∠BAM=∠CAN,‎AM=AN,‎‎ ‎ ∴ ‎△BAM≅△CAN(SAS)‎, ∴ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎(2)‎解:结论‎∠ABC=‎‎∠ACN仍成立,理由如下: ∵ ‎△ABC,‎△AMN是等边三角形, ∴ AB=‎AC,AM=‎AN,‎∠BAC=‎‎∠MAN=‎‎60‎‎∘‎, ∴ ‎∠BAM=‎∠CAN. ∵ 在‎△BAM和‎△CAN中, AB=AC,‎‎∠BAM=∠CAN,‎AM=AN,‎‎ ‎ ∴ ‎△BAM≅△CAN(SAS)‎, ∴ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎(3)‎解:‎∠ABC=‎‎∠ACN. 理由如下:∵ BA=‎BC,MA=‎MN, 顶角‎∠ABC=‎‎∠AMN, ∴ 底角‎∠BAC=‎‎∠MAN, ∴ ‎△ABC∼△AMN, ∴ ABAC‎=‎AMAN. 又∵ ‎∠BAM=‎‎∠BAC−∠MAC, ‎∠CAN=‎‎∠MAN−∠MAC, ∴ ‎∠BAM=‎‎∠CAN, ∴ ‎△BAM∼△CAN, ∴ ‎∠ABC=‎‎∠ACN.‎ ‎【答案】‎ 过点Q作QE⊥x轴,垂足为E,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,如图‎1‎, 联立y=3xy=‎‎12‎x‎ ‎, 解得:x=−2‎y=−6‎‎ ‎或x=2‎y=6‎‎ ‎, ∵ x>0‎, ∴ 点P的坐标为‎(2, 6)‎, ∴ OF=‎2‎,PF=‎6‎, ∵ QE⊥x轴,PF⊥x轴, ∴ QE // PF, ∴ ‎△OEQ∽△OFP, ∴ OEOF‎=EQFP=‎OQOP, ∵ OP=‎2OQ, ∴ OF=‎2OE=‎2‎,PF=‎2EQ=‎6‎, ∴ OE=‎1‎,EQ=‎3‎, ∴ 点Q的坐标为‎(1, 3)‎, ∵ 点Q(1, 3)‎在双曲线y=‎kx上, ∴ k=‎1×3‎=‎3‎, ∴ k的值为;‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 如图‎2‎, 设点A的坐标为‎(a, b)‎, ∵ 点A(a, b)‎在双曲线y=‎‎12‎x上, ∴ b=‎‎12‎a. ∵ .AB // x轴,AC // y轴, ∴ xC=xA=a,yB=yA=b=‎‎12‎a. ∵ 点B、C在双曲线y=‎‎3‎x上, ∴ xB‎=‎3‎‎12‎a=‎a‎4‎,yC‎=‎‎3‎a. ∴ 点B的坐标为‎(a‎4‎, ‎12‎a)‎,点C的坐标为‎(a, ‎3‎a)‎. ∴ AB=a−a‎4‎=‎‎3a‎4‎,AC=‎12‎a−‎3‎a=‎‎9‎a. ∴ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB⋅AC ‎=‎1‎‎2‎×‎3a‎4‎×‎‎9‎a ‎=‎‎27‎‎8‎. ∴ 在点A运动过程中,‎△ABC的面积不变,始终等于‎27‎‎8‎;‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎①AC为平行四边形的一边, Ⅰ.当点B在点Q的右边时,如图‎3‎, ∵ 四边形ACBD是平行四边形, ∴ AC // BD,AC=BD. ∴ xD=xB‎=‎a‎4‎. ∴ yD=‎3xD=‎‎3a‎4‎ ∴ DB=‎3a‎4‎−‎‎12‎a, ∵ AC=‎12‎a−‎2‎a=‎‎10‎a, ∴ ‎10‎a‎=a‎2‎−‎‎12‎a. 解得:a=‎±2 ‎‎7‎. 经检验:a=‎±2 ‎‎7‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎2 ‎‎7‎. ∴ b=‎12‎a=‎‎6‎‎7‎‎7‎. ∴ 点A的坐标为‎(2 ‎7‎, ‎6‎‎7‎‎7‎)‎; Ⅱ.当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时,如图‎4‎, ∵ 四边形ACDB是平行四边形, ∴ AC // BD,AC=BD, ∴ xD=xB‎=‎a‎4‎. ∴ yD=‎3xD=‎‎3a‎4‎, ∴ DB=‎12‎a−‎‎3a‎4‎, ∵ AC=‎‎9‎a, ∴ ‎9‎a‎=‎3a‎4‎−‎‎12‎a, 解得:a=‎±2‎. 经检验:a=‎±2‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎2‎. ∴ b=‎12‎a=6‎, ∴ 点A的坐标为‎(2, 6)‎, ②AC为平行四边形的对角线, 此时点B、点C都在点Q的左边,如图‎5‎, ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB // CD,AB=CD. ∴ yD=yC‎=‎‎3‎a ∴ xD‎=yD‎3‎=‎‎1‎a. ∴ CD=‎1‎a−a. ∵ AB=a−a‎4‎=‎‎3a‎4‎, ∴ ‎3a‎4‎‎=‎1‎a−a. 解得:a=‎±‎‎2‎‎7‎‎7‎. 经检验:a=‎±‎‎2‎‎7‎‎7‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎‎2‎‎7‎‎7‎, ∴ b=‎12‎a=6‎‎7‎, ∴ 点A的坐标为‎( ‎2‎‎7‎‎7‎, 6‎7‎)‎. 综上所述:当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,此时点A的坐标为‎(2 ‎7‎, ‎6‎‎7‎‎7‎)‎或‎(2, 6)‎或‎( ‎2‎‎7‎‎7‎, 6‎7‎)‎. ‎ ‎【考点】‎ 反比例函数综合题 ‎【解析】‎ ‎(1)先求出点P的坐标,再从条件OP=‎2OQ出发,构造相似三角形,求出点Q的坐标,就可求出k的值. (2)设点A的坐标为‎(a, b)‎,易得b=‎‎12‎a,结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标,进而表示出线段AB、AC的长,就可算出‎△BAC的面积是一个定值. (3)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类:①AC为平行四边形的一边,②AC为平行四边形的对角线;然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程,即可求出a的值,从而求出点A的坐标.‎ ‎【解答】‎ 过点Q作QE⊥x轴,垂足为E,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,如图‎1‎, 联立y=3xy=‎‎12‎x‎ ‎, 解得:x=−2‎y=−6‎‎ ‎或x=2‎y=6‎‎ ‎, ∵ x>0‎, ∴ 点P的坐标为‎(2, 6)‎, ∴ OF=‎2‎,PF=‎6‎, ∵ QE⊥x轴,PF⊥x轴, ∴ QE // PF, ∴ ‎△OEQ∽△OFP, ∴ OEOF‎=EQFP=‎OQOP, ∵ OP=‎2OQ, ∴ OF=‎2OE=‎2‎,PF=‎2EQ=‎6‎, ∴ OE=‎1‎,EQ=‎3‎, ∴ 点Q的坐标为‎(1, 3)‎, ∵ 点Q(1, 3)‎在双曲线y=‎kx上, ∴ k=‎1×3‎=‎3‎, ∴ k的值为;‎ 如图‎2‎, 设点A的坐标为‎(a, b)‎, ∵ 点A(a, b)‎在双曲线y=‎‎12‎x上, ∴ b=‎‎12‎a. ∵ .AB // x轴,AC // y轴, ∴ xC=xA=a,yB=yA=b=‎‎12‎a. ∵ 点B、C在双曲线y=‎‎3‎x上, ∴ xB‎=‎3‎‎12‎a=‎a‎4‎,yC‎=‎‎3‎a. ∴ 点B的坐标为‎(a‎4‎, ‎12‎a)‎,点C的坐标为‎(a, ‎3‎a)‎. ∴ AB=a−a‎4‎=‎‎3a‎4‎,AC=‎12‎a−‎3‎a=‎‎9‎a. ∴ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB⋅AC ‎=‎1‎‎2‎×‎3a‎4‎×‎‎9‎a ‎=‎‎27‎‎8‎. ∴ 在点A运动过程中,‎△ABC的面积不变,始终等于‎27‎‎8‎;‎ ‎①AC为平行四边形的一边, Ⅰ.当点B在点Q的右边时,如图‎3‎, ∵ 四边形ACBD是平行四边形, ∴ AC // BD,AC=BD. ∴ xD=xB‎=‎a‎4‎. ∴ yD=‎3xD=‎‎3a‎4‎ ∴ DB=‎3a‎4‎−‎‎12‎a, ∵ AC=‎12‎a−‎2‎a=‎‎10‎a, ∴ ‎10‎a‎=a‎2‎−‎‎12‎a. 解得:a=‎±2 ‎‎7‎. 经检验:a=‎±2 ‎‎7‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎2 ‎‎7‎. ∴ b=‎12‎a=‎‎6‎‎7‎‎7‎. ∴ 点A的坐标为‎(2 ‎7‎, ‎6‎‎7‎‎7‎)‎; Ⅱ.当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时,如图‎4‎, ∵ 四边形ACDB是平行四边形, ∴ AC // BD,AC=BD, ∴ xD=xB‎=‎a‎4‎. ∴ yD=‎3xD=‎‎3a‎4‎, ∴ DB=‎12‎a−‎‎3a‎4‎, ∵ ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ‎ AC=‎‎9‎a, ∴ ‎9‎a‎=‎3a‎4‎−‎‎12‎a, 解得:a=‎±2‎. 经检验:a=‎±2‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎2‎. ∴ b=‎12‎a=6‎, ∴ 点A的坐标为‎(2, 6)‎, ②AC为平行四边形的对角线, 此时点B、点C都在点Q的左边,如图‎5‎, ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB // CD,AB=CD. ∴ yD=yC‎=‎‎3‎a ∴ xD‎=yD‎3‎=‎‎1‎a. ∴ CD=‎1‎a−a. ∵ AB=a−a‎4‎=‎‎3a‎4‎, ∴ ‎3a‎4‎‎=‎1‎a−a. 解得:a=‎±‎‎2‎‎7‎‎7‎. 经检验:a=‎±‎‎2‎‎7‎‎7‎是该方程的解. ∵ a>0‎, ∴ a=‎‎2‎‎7‎‎7‎, ∴ b=‎12‎a=6‎‎7‎, ∴ 点A的坐标为‎( ‎2‎‎7‎‎7‎, 6‎7‎)‎. 综上所述:当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,此时点A的坐标为‎(2 ‎7‎, ‎6‎‎7‎‎7‎)‎或‎(2, 6)‎或‎( ‎2‎‎7‎‎7‎, 6‎7‎)‎. ‎ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页