中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义10 二次根式（学生版） 8页

专题 10 二次根式 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如 （ ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式 ，被开方数 a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式 是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系， （ ≥0）就表示 a 的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式 有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当 a≧0 时， 考查题型一 利用二次根式非负性解题 1．（2013·四川中考真题）已知实数 x，y，m 满足 x 2 | 3x y m | 0     ，且 y 为负数，则 m 的取值范围 是（ ） A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6 2．（2016·四川中考真题）若 1a  +b2﹣4b+4=0，则 ab 的值等于（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 3．（2012·湖北中考真题）若 2 9x y  与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（ ） A．3 B．9 C．12 D．27 考查题型二 判断二次根式有意义的取值范围 1．（2013·四川中考真题）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 且 2．（2018·内蒙古中考真题）代数式 13 1x x    中 x 的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 3．（2018·山东中考真题）若式子 2 m 2 (m 1)   有意义，则实数 m 的取值范围是（ ） A． m 2  B． m 2  且 m 1 C． m 2  D． m 2  且 m 1 考查题型三 根据二次根式性质进行化简 1．（2012·湖南中考真题）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 2a a b  的结果为（ ） A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 2．（2016·山东中考真题）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 2( )a b 的结果是( ) A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b 3．（2011·北京中考真题）如果 ，则 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2015·湖北中考真题）当 1＜a＜2 时，代数式 2( 2)a  ＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a 5．（2011·四川中考真题）已知 2 5 5 2 3y x x     ，则 2xy 的值为（ ） A． 15 B．15 C． 15 2  D．15 2 知识点二 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意 这个条件，只有 a，b 都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√ )^2= （ ≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意 这个条件，因为 b=0 时，分母为 0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑 a、b 的正负性，直接得 是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 二次根式的特点： 1.被开方数不含分母，例： ； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进 行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若 ，则有 ； 2、若 ，则有 ． 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 考查题型四 二次根式化简的方法 1．（2016·甘肃中考真题）下列根式中是最简二次根式的是 ( ) A． 2 3 B． 3 C． 9 D． 12 2．（2018·甘肃中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( ) A． 18 B． 13 C． 27 D． 12 3．（2011·广东中考真题）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． 1 5 B． 0.5 C． 5 D． 50 考查题型五 二次根式乘除运算的方法 1．（2015·安徽中考真题）计算 × 的结果是（ ） A． B．4 C． D．2 2.（2013·海南中考真题）下列各数中，与 的积为有理数的是（ ） A． B． C． D． 3．（2018·江苏中考真题）计算： 1 82  =_____． 4.（2018·湖南中考真题） 12 3= ________. 5．（2019·安徽中考真题）计算 18 2 的结果是__________. 6．（2015·广西中考真题）计算： 1 27=3  _________. 7.（2016·山东中考真题）计算： = ． 考察题型六 二次根式加减运算的方法 1．（2018·山东中考真题） 12 与最简二次根式 5 1a  是同类二次根式，则 a=_____． 2．（2019·江苏中考真题）计算： ． 3．（2018·黑龙江中考真题）计算 6 5 ﹣10 1 5 的结果是_____． 4．（2018·辽宁中考真题）计算： 27 ﹣ 12 =__． 5．（2018·湖北中考真题）计算 ( 3 2) 3  的结果是_____ 考查题型七 分母有理化的方法 1．（2015·江苏中考真题）计算 5 15 3  的结果是 ． 2．（2019·江苏中考真题）计算 14 28 7  的结果是_____________． 3．（2015·湖南中考真题）把 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）。 4．（2019·山东中考真题）计算： 024 8 ( 3) 2   ＝___________． 考查题型八 二次根式混合运算 1．（2019·山东中考真题）计算： 21 3 1| 3 2 |2 2 18          _________． 2．（2015·辽宁中考真题）计算 2(1 2) 18  的值是__． 3．（2015·内蒙古中考真题）计算： 1( 27 ) 33   = ． 4．（2015·山东中考真题）计算（ + ）（ ﹣ ）的结果为 ． 考查题型九 二次根式化简求值的方法 1．（2014·四川中考真题）已知 ，则 x12+x22= ． 2．（2019·山东中考真题）已知 6 2x   ，那么 2 2 2x x 的值是_____． 3．（2016·湖北中考真题）当 a= ﹣1 时，代数式 的值是 ． 4．（2015·吉林中考真题）先化简，再求值： ，其中 ． 考查题型十 二次根式比较大小的方法 1．（2018·河南中考模拟）比较大小：2 5 ____3 2 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2．（2019·陕西中考模拟）比较大小：5 2 _____ 13 ． 3．（2019·陕西中考模拟）比较大小： 2 5 ______ 3 2 ．