2012年福建省宁德市中考数学试题（含答案） 13页

‎2012年中考数学试题（福建宁德卷）‎ ‎（本试卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1． 2012的相反数是【 】‎ A．－2012 B．2012 C．－ D． ‎【答案】A。‎ ‎2．下列运算正确的是【 】‎ A．a3＋a2＝a5 B．a3·a2＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．(4a)2＝8a2‎ ‎【答案】B。‎ ‎3． 2012年伦敦奥运会体育场位于伦敦东部的斯特拉特福，因外形上阔下窄，又被 称为“伦敦碗”，预计可容纳80000人．将80000用科学记数法表示为【 】‎ A．80×103 B．0.8×105 C．8×104 D．8×103‎ ‎【答案】C。‎ ‎4．下列事件是必然事件的是【 】‎ A．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上 C．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 D．两条线段可以组成一个三角形 ‎【答案】C。‎ ‎5．下列两个电子数字成中心对称的是【 】‎ ‎【答案】A。‎ ‎6．二元一次方程组的解是【 】‎ A． B． C． D． ‎【答案】D。‎ ‎7．已知正n边形的一个内角为135º，则边数n的值是【 】‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C。‎ ‎8．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁 剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】‎ ‎[来源:Z+xx+k.Com]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎9．一次函数y1＝x＋4的图象如图所示，则一次函数y2＝－x＋b的图象与y1＝x＋4‎ 的图象的交点不可能在【 】‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D。‎ ‎10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】‎ A． B． C．2 D．2[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】D。‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．因式分解：x2－4＝ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎12．如图，直线a∥b，∠1＝60º，则∠2＝ ▲ º．‎ ‎【答案】60。‎ ‎13．联合国规定每年的5月31日为“世界无烟日”．为配合“世界无烟日”宣传活动，‎ 小明和同学们到八个单位调查吸烟的人数，数据如下：3、1、3、0、3、2、1、2，则这组数据的众数是 ▲ ．‎ ‎【答案】3。‎ ‎14．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6cm，则AB＝ ▲ cm．‎ ‎【答案】12。‎ ‎15．化简：＋＝ ▲ ．‎ ‎【答案】1。‎ ‎16．一只昆虫在如图所示的树枝上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一 条路径，则它停留在A叶面的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎17．五一节某超市稿促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性 购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120‎ 元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 ▲ 元．‎ ‎【答案】480元或528元。‎ ‎18．如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点 B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积 记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的 面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B 的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分86分）‎ ‎19． ‎ ‎(1)计算：； ‎ ‎【答案】解：原式=。‎ ‎(2)解不等式组：‎ ‎【答案】解：，‎ ‎ 解①得，x＜3；解②得，x≥－2。‎ ‎ ∴不等式组的解为－2≤x＜3。‎ ‎20．如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB＝CD，AF＝DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．‎ ‎【答案】解：CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF。证明如下：‎ ‎∵AB∥CD，∴∠A=∠D。‎ ‎∵在△ABF和△DCE中，AB=CD，∠A=∠D，AF=DE，∴△ABF≌△DCE（SAS）。‎ ‎∴CE=BF，∠AFB=∠DEC。∴CE∥BF。‎ ‎∴CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF。‎ ‎21．为配合“书香进校园”活动的开展，学校决定为各班级添置图书柜．原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个单价上涨20元，实际购买时多花了400元．求书柜原来的单价是多少元？‎ ‎【答案】解：设书柜原来的单价是x元，由题意得：‎ ‎，‎ 解得：x=200。‎ 经检验：x=200是原分式方程的解。‎ 答：书柜原来的单价是200元。‎ ‎22． 2012年2月，国务院发布的新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5的监测指标．“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物．环境检测中心今年在京津冀、长三角、珠三角等城市群以及直辖市和省会城市进行PM2.5的监测．某日随机抽取25个城市监测点的研究性数据，并绘制成统计表和扇形统计图如下：‎ 类别[来源:学 组别 PM2.5的日平均浓度值（微克/立方米）‎ 频数 频率 A[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎1‎ ‎15～30‎ ‎2[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]‎ ‎0.08‎ ‎2‎ ‎30～45‎ ‎3‎ ‎0.12‎ B ‎3‎ ‎45～60‎ a b ‎4‎ ‎60～75‎ ‎5‎ ‎0.20‎ C ‎5‎ ‎75～90‎ ‎6‎ c D ‎6‎ ‎90～105‎ ‎4‎ ‎0.16‎ 合计 以上分组均含最小值，不含最大值 ‎25‎ ‎1.00‎ 根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎(1)统计表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；‎ ‎(2)在扇形统计图中，A类所对应的圆心角是 度；‎ ‎(3)我国PM2.5安全值的标准采用世界卫生组织(WHO)设定的最宽限值：日平均浓度小于75微克/立方 米．请估计当日环保检测中心在监测的100个城市中，PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市约有多少个？‎ ‎【答案】解：（1）5，0.20，0.24。 （2）72°。‎ ‎（3）∵100×（0.08+0.12+0.20+0.20）=60个，‎ ‎∴PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市的个数约为60个。‎ ‎23．图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调，图2是安装该空调的侧面示意图，空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的，安装时要求：当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角α为48°，空调底部BC垂直于墙面CD，AB=0.02米，BC=0.1米，床铺长DE=2米，求安装的 空调底部位置距离床的高度CD是多少米？）（结果精确到0.1米）‎ ‎【答案】解：根据题意可得：‎ ‎∵AB=0.02m，BC=0.1m，DE=2m，EM=ED－BC=1.9m，α=48°，‎ ‎∴，解得：BM≈1.7（m）。‎ ‎∴CD=1.7（m）。‎ 答：安装的空调底部位置距离床的高度CD是1.7米。‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30º．‎ ‎(1)求∠A的度数；‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝4，求弧BC的长度(结果保留)．‎ ‎【答案】解：（1）连接OC， ∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°。‎ ‎∵∠D=30°，∴∠COD=60°。‎ ‎∵OA=OC。∴∠A=∠ACO=30°。‎ ‎（2）∵CF⊥直径AB，CF=4， ∴CE=2。‎ ‎∴在Rt△OCE中，。‎ ‎∴弧BC的长度为。‎ ‎25．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处，‎ 从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．‎ ‎(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请 你证明小敏发现的结论；‎ ‎(2)当0º＜≤45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2‎ ‎＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：‎ 小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；‎ 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，连接EG(如图3)．‎ 请你从中任选一种方法进行证明；‎ ‎(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º＜≤135º且≠90º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135º＜＜180º时(如图4)，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。‎ ‎ 又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。‎ ‎ ∴AE平分∠MAC。‎ ‎ （2）证明小颖的方法：‎ ‎ ∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，‎ ‎ ∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。‎ ‎ 又∵AC=AB，∴AF＝AC。‎ ‎ 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。‎ ‎ 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，‎ ‎ ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。‎ ‎ ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º。‎ ‎ 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。‎ ‎（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：‎ ‎ 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。‎ ‎ ∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，‎ ‎ ∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。‎ ‎ 又∵AC=AB，∴AF＝AC。‎ ‎ 又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD ‎＝∠FAE。‎ 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，‎ ‎ ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。‎ 又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，‎ ‎∴∠FAG＝∠BEG。‎ 又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。‎ ‎∴∠DFE＝90º。‎ 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。‎ ‎26．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．‎ ‎(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；‎ ‎(2)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；‎ ‎(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN 与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(4)当≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。‎ ‎ （2）。‎ ‎ （3）存在。‎ 设M，‎ 则N（m，0）MN=，NA=6－m。‎ ‎ 又DA=4，CD=8，‎ ①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=6或m=10。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=－2或m=6。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，方程无解。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=或m=6。‎ 当m=时符合条件。‎ ‎∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。‎ 综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。‎ ‎（4）设P（p，），‎ ‎ 在中，令y=0，得x=4或x=6。‎ ‎ ∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：‎ ‎ ①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H 则OH=p，HA=6－p ，PH=。‎ ‎∴‎ ‎ ∴当≤x＜4时，随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=时，取得最大值，最大值为。‎ ②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。‎ 则BH= p，HG=6－p，PH=，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴当4≤x＜6时，随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=4时，取得最大值，最大值为8。‎ ③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。‎ 则OH=p，HA= p－6，PH=。‎ ‎∴‎ ‎∴当6≤x≤7时，随p的增加而增加。‎ ‎∴当x=7时，取得最大值，最大值为7。‎ 综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。‎