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  • 2021-11-06 发布

2020九年级数学上册第二十二章二次函数22

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‎22.2 二次函数与一元二次方程 学校:___________姓名:___________班级:___________‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是(  )‎ A.(3,0) B.(﹣2,0) ‎ C.(﹣6,0),(1,0) D.(3,0),(﹣2,0)‎ ‎2.下列二次函数中,(  )的图象与x轴没有交点.‎ A.y=3x2 B.y=2x2﹣‎4 ‎C.y=3x2﹣3x+5 D.y=8x2+5x﹣3‎ ‎3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<0<x2,则当ax2+bx+c≤0时,x的取值范围是(  )‎ A.x1<x<x2 B.x1≤x≤x‎2 ‎C.﹣x1≤x≤x2 D.x≤x1或x≥x2‎ ‎4.如果二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方,则c的取值范围为(  )‎ A.c<﹣1 B.c≤﹣‎1 ‎C.c<0 D.c<1‎ ‎5.根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标,可以求出下列方程中哪个方程的近似解(  )‎ A.x2﹣1=﹣3x B.x2+3x+1=‎0 ‎C.3x2+x﹣1=0 D.x2﹣3x+1=0‎ ‎6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(﹣1,﹣3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=(  )‎ A.﹣1.3 B.﹣‎2.3 ‎C.﹣0.3 D.﹣3.3‎ ‎7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:‎ 13‎ ‎①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;‎ ‎②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;‎ ‎③若y2>y1,则x2>4;‎ ‎④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎8.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是(  )‎ A.x<﹣4或x>2 B.﹣4<x<‎2 ‎C.x<0或x>2 D.0<x<2‎ ‎9.对于抛物线y=ax2+(‎2a﹣1)x+a﹣3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎10.已知函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)+3,并且a,b是方程(x﹣m)(x﹣n)=3的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是(  )‎ A.m<a<b<n B.m<a<n<b C.a<m<b<n D.a<m<n<b ‎11.关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)=m(m>0)有两个实数根α,β(α<β),则下列选项正确的是(  )‎ A.3<α<β<5 B.3<α<5<β C.α<2<β<5 D.α<3且β>5‎ ‎12.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线(  )‎ A.x=1 B.x=‎2 ‎C.x= D.x=﹣‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题)‎ ‎13.若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为   .‎ 13‎ ‎14.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是   .‎ ‎15.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为   .‎ ‎16.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α,0),B(β,0)两点,且α2+β2=17,则k=   .‎ ‎17.已知一元二次方程(x﹣1)(x﹣3)=5的两个实数根分别为x1,x2.则抛物线y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5与x轴的交点坐标为   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎18.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣‎5m)x﹣5=0(m≠0).‎ ‎(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;‎ ‎(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.‎ 13‎ ‎19.设二次函数y=ax2+bx﹣(a+b)(a,b是常数,a≠0).‎ ‎(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.‎ ‎(2)若该二次函数图象经过A(﹣1,4),B(0,﹣1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.‎ ‎(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.‎ ‎20.已知二次函数y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)(m为常数).‎ ‎(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;‎ ‎(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?‎ 13‎ ‎21.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣1,0),点C(0,2)‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)若D是抛物线位于第一象限上的动点,求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标.‎ ‎ ‎ 13‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.‎ 解:令y=0,求出x的值为﹣2与3,故交点坐标为(3,0),(﹣2,0),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ 解:利用△=b2﹣4ac分别判断每个二次函数,‎ A项函数△=0,图象与x轴一个交点;‎ B项函数△=32>0,图象与x轴有两个交点;‎ C项函数△=﹣51<0,图象与x轴没有交点;‎ D项函数△=76>0,图象与x轴有两个交点.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.‎ 解:当ax2+bx+c≤0时,即y≤0,由图象可知:x1≤x≤x2时,y≤0‎ ‎∴当ax2+bx+c≤0时,x的取值范围是x1≤x≤x2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.‎ 解:由题意得,解得c<﹣1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.‎ 解:∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根,‎ ‎∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根,‎ 方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价,‎ ‎∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根.‎ 13‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ 解:方法一:‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标(﹣1,﹣3.2)‎ ‎∴﹣=﹣1则﹣=﹣2‎ ‎∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 ‎∴x1+x2=﹣‎ 又∵x1=1.3‎ ‎∴x1+x2=1.3+x2=﹣2‎ 解得x2=﹣3.3.‎ 方法二:‎ 根据对称轴为;x=﹣1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,‎ 则=﹣1,即=﹣1,‎ 解得:x2=﹣3.3,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.‎ 解:抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),‎ 即y=ax2﹣2ax﹣3a,‎ ‎∵y=a(x﹣1)2﹣4a,‎ ‎∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;‎ 当x=4时,y=a•5•1=5a,‎ ‎∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;‎ ‎∵点C(1,5a)关于直线x=1的对称点为(﹣2,﹣5a),‎ ‎∴当y2>y1,则x2>4或x<﹣2,所以③错误;‎ ‎∵b=﹣2a,c=﹣3a,‎ ‎∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,‎ 13‎ 整理得3x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1,x2=,所以④正确.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ 解:抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣=﹣1,‎ 而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴抛物线开口向下,‎ ‎∴当x<﹣4或x>2时,y<0.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.‎ 解:把x=1,y>0代入解析式可得:a+2a﹣1+a﹣3>0,‎ 解得:a>1,‎ 所以可得:﹣,,‎ 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.‎ 解:函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)+3,‎ 令y=0,根据题意得到方程(x﹣m)(x﹣n)=3的两个根为a,b,‎ ‎∵当x=m或n时,y=3>0,‎ ‎∴实数m,n,a,b的大小关系为a<m<n<b.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.‎ 解:将抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)﹣m,‎ 13‎ 画出函数图象,如图所示.‎ ‎∵抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3,0)、(5,0),抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α,0)、(β,0),‎ ‎∴α<3<5<β.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.‎ 解:∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2,‎ ‎∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0),‎ ‎∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x==.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题)‎ ‎13.‎ 解:∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,‎ ‎∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0,‎ 解得:m=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.‎ 解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),‎ ‎∴方程组的解为,,‎ 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.‎ 13‎ 所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2,x2=1‎ 故答案为x1=﹣2,x2=1.‎ ‎ ‎ ‎15.‎ 解:∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,‎ ‎∴﹣=1,‎ ‎∴b=﹣2a,‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为﹣=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎16.‎ 解:∵抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α,0),B(β,0)两点,‎ ‎∴α+β=k﹣1,αβ=﹣3k﹣2,‎ ‎∵α2+β2=17,‎ ‎∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=(k﹣1)2﹣2(﹣3k﹣2)=17,‎ 解得,k=2或k=﹣6,‎ ‎∵△≥0,‎ ‎∴k=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎17.‎ 解:∵一元二次方程(x﹣1)(x﹣3)=5的两个实数根分别为x1、x2,‎ ‎∴抛物线y=(x﹣1)(x﹣3)﹣5与x轴交于点(x1,0)、(x2,0),‎ ‎∴y=(x﹣1)(x﹣3)﹣5=(x﹣x1)(x﹣x2),‎ ‎∴y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5=(x﹣1)(x﹣3),‎ ‎∴抛物线y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0).‎ 故答案为:(1,0)、(3,0).‎ ‎ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ 13‎ ‎18.‎ ‎(1)证明:由题意可得:‎ ‎△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)‎ ‎=1+‎25m2‎﹣‎20m+‎‎20m ‎=‎25m2‎+1>0,‎ 故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)解:mx2+(1﹣5m)x﹣5=0,‎ 解得:x1=﹣,x2=5,‎ 由|x1﹣x2|=6,‎ 得|﹣﹣5|=6,‎ 解得:m=1或m=﹣;‎ ‎(3)解:由(2)得,当m>0时,m=1,‎ 此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5,其对称轴为:x=2,‎ 由题已知,P,Q关于x=2对称,‎ ‎∴=2,即2a=4﹣n,‎ ‎∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.‎ ‎ ‎ ‎19.‎ 解:(1)‎ 由题意△=b2﹣4•a[﹣(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0‎ ‎∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 ‎(2)当x=1时,y=a+b﹣(a+b)=0‎ ‎∴抛物线不经过点C 把点A(﹣1,4),B(0,﹣1)分别代入得 13‎ 解得 ‎∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1‎ ‎(3)当x=2时 m=‎4a+2b﹣(a+b)=‎3a+b>0①‎ ‎∵a+b<0‎ ‎∴﹣a﹣b>0②‎ ‎①②相加得:‎ ‎2a‎>0‎ ‎∴a>0‎ ‎ ‎ ‎20.‎ ‎(1)证明:当y=0时,2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0,‎ 解得:x1=1,x2=m+3.‎ 当m+3=1,即m=﹣2时,方程有两个相等的实数根;‎ 当m+3≠1,即m≠﹣2时,方程有两个不相等的实数根.‎ ‎∴不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;‎ ‎(2)解:当x=0时,y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=2m+6,‎ ‎∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6,‎ ‎∴当2m+6>0,即m>﹣3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.‎ ‎ ‎ ‎21.‎ 解:(1)将A,C代入得:,‎ 解得:,‎ 则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2;‎ ‎(2)连接OD,则有B(4,0),设D(m,﹣m2+m+2),‎ ‎∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4(﹣m2+m+2)=﹣m2+4m+4,‎ 13‎ ‎∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣(m﹣2)2+4,‎ 当m=2时,S△BCD取得最大值4,‎ 此时yD=﹣×4+×2+2=3,即D(2,3).‎ ‎ ‎ 13‎