2020九年级数学上册第二十二章二次函数22 13页

‎22.2 二次函数与一元二次方程 学校：___________姓名：___________班级：___________‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是（　　）‎ A．（3，0） B．（﹣2，0） ‎ C．（﹣6，0），（1，0） D．（3，0），（﹣2，0）‎ ‎2．下列二次函数中，（　　）的图象与x轴没有交点．‎ A．y=3x2 B．y=2x2﹣‎4 ‎C．y=3x2﹣3x+5 D．y=8x2+5x﹣3‎ ‎3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜0＜x2，则当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是（　　）‎ A．x1＜x＜x2 B．x1≤x≤x‎2 ‎C．﹣x1≤x≤x2 D．x≤x1或x≥x2‎ ‎4．如果二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方，则c的取值范围为（　　）‎ A．c＜﹣1 B．c≤﹣‎1 ‎C．c＜0 D．c＜1‎ ‎5．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（　　）‎ A．x2﹣1=﹣3x B．x2+3x+1=‎0 ‎C．3x2+x﹣1=0 D．x2﹣3x+1=0‎ ‎6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（　　）‎ A．﹣1.3 B．﹣‎2.3 ‎C．﹣0.3 D．﹣3.3‎ ‎7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：‎ 13‎ ‎①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；‎ ‎②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；‎ ‎③若y2＞y1，则x2＞4；‎ ‎④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎8．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜‎2 ‎C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2‎ ‎9．对于抛物线y=ax2+（‎2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎10．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）‎ A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b ‎11．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（　　）‎ A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5‎ ‎12．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（　　）‎ A．x=1 B．x=‎2 ‎C．x= D．x=﹣‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎13．若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　 　．‎ 13‎ ‎14．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是　 　．‎ ‎15．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为　 　．‎ ‎16．已知抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A （α，0），B（β，0）两点，且α2+β2=17，则k=　 　．‎ ‎17．已知一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1，x2．则抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎18．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣‎5m）x﹣5=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；‎ ‎（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．‎ 13‎ ‎19．设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．‎ ‎（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．‎ ‎（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．‎ ‎（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．‎ ‎20．已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；‎ ‎（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？‎ 13‎ ‎21．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎　‎ 13‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．‎ 解：令y=0，求出x的值为﹣2与3，故交点坐标为（3，0），（﹣2，0），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．‎ 解：利用△=b2﹣4ac分别判断每个二次函数，‎ A项函数△=0，图象与x轴一个交点；‎ B项函数△=32＞0，图象与x轴有两个交点；‎ C项函数△=﹣51＜0，图象与x轴没有交点；‎ D项函数△=76＞0，图象与x轴有两个交点．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．‎ 解：当ax2+bx+c≤0时，即y≤0，由图象可知：x1≤x≤x2时，y≤0‎ ‎∴当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是x1≤x≤x2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．‎ 解：由题意得，解得c＜﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．‎ 解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，‎ ‎∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，‎ 方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，‎ ‎∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．‎ 13‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ 解：方法一：‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）‎ ‎∴﹣=﹣1则﹣=﹣2‎ ‎∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 ‎∴x1+x2=﹣‎ 又∵x1=1.3‎ ‎∴x1+x2=1.3+x2=﹣2‎ 解得x2=﹣3.3．‎ 方法二：‎ 根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，‎ 则=﹣1，即=﹣1，‎ 解得：x2=﹣3.3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．‎ 解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），‎ 即y=ax2﹣2ax﹣3a，‎ ‎∵y=a（x﹣1）2﹣4a，‎ ‎∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；‎ 当x=4时，y=a•5•1=5a，‎ ‎∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；‎ ‎∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），‎ ‎∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；‎ ‎∵b=﹣2a，c=﹣3a，‎ ‎∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，‎ 13‎ 整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．‎ 解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，‎ ‎∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．‎ 解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，‎ 解得：a＞1，‎ 所以可得：﹣，，‎ 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．‎ 解：函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，‎ 令y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a，b，‎ ‎∵当x=m或n时，y=3＞0，‎ ‎∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．‎ 解：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，‎ 13‎ 画出函数图象，如图所示．‎ ‎∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），‎ ‎∴α＜3＜5＜β．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．‎ 解：∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2，‎ ‎∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），‎ ‎∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎13．‎ 解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，‎ ‎∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，‎ 解得：m=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．‎ 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），‎ ‎∴方程组的解为，，‎ 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．‎ 13‎ 所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1‎ 故答案为x1=﹣2，x2=1．‎ ‎　‎ ‎15．‎ 解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴b=﹣2a，‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为﹣=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．‎ 解：∵抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A （α，0），B（β，0）两点，‎ ‎∴α+β=k﹣1，αβ=﹣3k﹣2，‎ ‎∵α2+β2=17，‎ ‎∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k﹣1）2﹣2（﹣3k﹣2）=17，‎ 解得，k=2或k=﹣6，‎ ‎∵△≥0，‎ ‎∴k=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 解：∵一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1、x2，‎ ‎∴抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），‎ ‎∴y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5=（x﹣x1）（x﹣x2），‎ ‎∴y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），‎ ‎∴抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．‎ 故答案为：（1，0）、（3，0）．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ 13‎ ‎18．‎ ‎（1）证明：由题意可得：‎ ‎△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）‎ ‎=1+‎25m2‎﹣‎20m+‎‎20m ‎=‎25m2‎+1＞0，‎ 故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，‎ 解得：x1=﹣，x2=5，‎ 由|x1﹣x2|=6，‎ 得|﹣﹣5|=6，‎ 解得：m=1或m=﹣；‎ ‎（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，‎ 此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，‎ 由题已知，P，Q关于x=2对称，‎ ‎∴=2，即2a=4﹣n，‎ ‎∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．‎ ‎　‎ ‎19．‎ 解：（1）‎ 由题意△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0‎ ‎∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 ‎（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0‎ ‎∴抛物线不经过点C 把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得 13‎ 解得 ‎∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1‎ ‎（3）当x=2时 m=‎4a+2b﹣（a+b）=‎3a+b＞0①‎ ‎∵a+b＜0‎ ‎∴﹣a﹣b＞0②‎ ‎①②相加得：‎ ‎2a‎＞0‎ ‎∴a＞0‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，‎ 解得：x1=1，x2=m+3．‎ 当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；‎ 当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．‎ ‎∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；‎ ‎（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，‎ ‎∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，‎ ‎∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．‎ ‎　‎ ‎21．‎ 解：（1）将A，C代入得：，‎ 解得：，‎ 则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，‎ 13‎ ‎∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，‎ 当m=2时，S△BCD取得最大值4，‎ 此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．‎ ‎　‎ 13‎