2020九年级数学上册 第二十一章因式分解法 5页

‎*‎21.2.4　‎一元二次方程的根与系数的关系 ‎01　　教学目标 ‎1．通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数．‎ ‎2．通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值．‎ ‎02　　预习反馈 阅读教材P15～16，完成下列内容．‎ ‎1．完成下列表格：‎ 方程 x1‎ x2‎ x1＋x2‎ x1x2‎ x2－5x＋6＝0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ x2＋3x－10＝0‎ ‎2‎ ‎－5‎ ‎－3‎ ‎－10‎ ‎　　问题：你发现什么规律？‎ ‎①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．‎ ‎②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．‎ ‎2．完成下列表格：‎ 方程 x1‎ x2‎ x1＋x2‎ x1x2‎ 5‎ ‎2x2－3x－2＝0‎ ‎2‎ ‎－ ‎－1‎ ‎3x2－4x＋1＝0‎ ‎1‎ ‎　　问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)‎ 请完善规律：‎ ‎①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．‎ ‎②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎3．利用求根公式推导根与系数的关系：‎ ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝，x2＝．‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝．‎ ‎03　　新课讲授 类型1　利用根与系数的关系求方程的两根之和与积 例1　(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积：‎ ‎(1)x2－6x－15＝0；　(2)3x2＋7x－9＝0；‎ ‎(3)5x－1＝4x2.‎ 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.‎ ‎(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3.‎ ‎(3)x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎【点拨】　先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 例2　(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．‎ ‎【思路点拨】　本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．‎ 5‎ 解：另一根为，k＝3.‎ ‎【跟踪训练1】　已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)‎ A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0‎ C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0‎ ‎【点拨】　以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.‎ ‎【跟踪训练2】　(‎21.2.4‎习题)不解方程，求下列方程两个根的和与积．‎ ‎(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；‎ ‎(3)3x2－3x＝x2；(4)4x2－2x＋1＝x＋8.‎ 解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5.‎ ‎(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－，两根的积为－2.‎ ‎(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为，两根的积为0.‎ ‎(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为，两根的积为－.‎ 类型2　根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值 例3　已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．‎ ‎(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.‎ 解：∵α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，‎ ‎∴α＋β＝3，αβ＝－5.‎ ‎(1)＋＝＝－.‎ ‎(2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19.‎ ‎(3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29.‎ ‎∴α－β＝或－.‎ ‎【方法归纳】　利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：‎ ‎1．三个步骤：‎ ‎(1)算：计算出两根的和与积；‎ ‎(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；‎ ‎(3)代：代入求值．‎ 5‎ ‎2．六种常用变形：‎ ‎(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；‎ ‎(4)＋＝；(5)＋＝＝；‎ ‎(6)|x1－x2|＝＝.‎ ‎【跟踪训练3】　若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为3．‎ ‎【跟踪训练4】　已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是2．‎ ‎04　　巩固训练 ‎1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是(D)‎ A．4 B．－‎4 C．3 D．－3‎ ‎2．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(B)‎ A．1 B．‎5 C．－5 D．6‎ ‎3．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A)‎ A．x2－3x－4＝0 B．x2＋3x－4＝0‎ C．x2－3x＋4＝0 D．x2＋3x＋4＝0‎ ‎4．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是－4．‎ ‎5．已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x＋x＝23．‎ ‎6．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．‎ ‎(1)两根互为相反数；‎ ‎(2)两根互为倒数．‎ 解：设原方程的两个根为x1，x2，‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2.‎ ‎(1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0，‎ 解得m＝－1.‎ ‎(2)若两根互为倒数，则x1x2＝m2－2＝1，‎ 5‎ 解得m＝±，而Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1(m2－2)≥0，解得m≥－.‎ 因为－<－，所以m＝－舍去，‎ 因此m＝.‎ ‎05　　课堂小结 一元二次方程根与系数的关系：‎ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 5‎