中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义02 代数式和整数（教师版） 15页

专题 02 代数式与整式 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 代数式 概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代 数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 【注意】 1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。 2.代数式中不含有=、<、>、≠ 等 3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。 代数式的分类： 列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒 数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 列代数式时应该注意的问题 (1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”. (2)数字通常写在字母前面. (3)带分数与字母相乘时要化成假分数. (4)除法常写成分数的形式. 代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 1．（2019·河北中考模拟）今年苹果的价格比去年便宜了 20%，己知去年苹果的价格是每千克 a 元，则今年苹 果每千克的价格是( ) A． 20% a B． 1 20% a  C． 20%a D． 1 20% a 【详解】 由题意可得，今年每千克的价格是(1-20%)a 元， 故选 D． 2．（2014·江西中考真题）如图 1，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“ ”的图案，如图 2 所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图 3 所示，则新矩形的周长可表示为（ ） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 【详解】 根据题意得：2（a﹣b+a﹣3b）=2（2a﹣4b）=4a﹣8b， 故选 B 3．（2017·河南中考模拟）两位数，十位数字是 x，个位数字比十位数字的 2 倍少 3，这个两位数是（ ） A．x（2x﹣3） B．x（2x+3） C．12x﹣3 D．12x+3 【详解】 ∵十位数字是 x，个位数字比十位数字的 2 倍少 3， ∴个位数字为 2x−3， ∴这个 2 位数为 10x+2x−3=12x−3. 故选 C 4．（2019·柳州市第十四中学中考模拟）小华有 x 元，小林的钱数是小华的一半还多 2 元，小林的钱数是（ ） A． 1 22 x  B． 1 ( 2)2 x  C． 1 22 x  D． 1 ( 2)2 x  【详解】 小华存款的一半为 1 2 x 元，则小林的存款数为( 1 2 x +2)元，故选 A． 5．（2018·黑龙江中考真题）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予 3a 实际 意义的例子中不正确的是 ( ) A．若葡萄的价格是 3 元 / 千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额 B．若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长 C．将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则 3a 表示小 木块对桌面的压力 D．若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 3a 表示这个两位数 【详解】 A. 若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额，故正确； B. 若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长，故正确； C. 将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则 3a 表示小 木块对桌面的压力，故正确； D. 若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 30+a 表示这个两位数，故不正确； 故选 D. 6．（2016·河南中考模拟）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价 x 元的衣服以 4 105 x    元出售，则下列 说法中，能正确表达该商店促销方法的是( ) A．原价减去 10 元后再打 8 折 B．原价打 8 折后再减去 10 元 C．原价减去 10 元后再打 2 折 D．原价打 2 折后再减去 10 元 【详解】 将原价 x 元的衣服以（ 4 105 x  ）元出售，是把原价打 8 折后再减去 10 元．故选 B． 7．（2017·河南省郑州一中汝州实验中学中考模拟）用代数式表示“m 的 3 倍与 n 的差的平方”，正确的是( ) A．3m﹣n2 B．(m﹣3n)2 C．(3m﹣n)2 D．3(m﹣n)2 【详解】 m 的 3 倍与 n 的差的平方表示为：（3m﹣n）2． 故选 C． 8．（2018·安徽中考模拟）在下列各式中，不是代数式的是（ ） A．7 B．3＞2 C． 2 x D． 2 3 x2+y2 【详解】 根据代数式的定义分析可知，A、C、D 中的式子都是代数式，B 中的式子是不等式，不是代数式.故选 B. 考查题型一 求代数式的值的方法 1．（2019·浙江中考模拟）已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式 a﹣b 的值为（ ） A．1 或 7 B．1 或﹣7 C．﹣1 或﹣7 D．±1 或±7 【详解】 解：∵|a|＝3，b2＝16， ∴a=  3,b=  4, 又∵|a+b|≠a+b， ∴a+b 的结果不可以是正数,即 3 4 a b      或 3 4 a b     ∴a﹣b=1 或 7 故选 A. 2．（2018·山东中考模拟）若 x=﹣ 1 3 ，y=4，则代数式 3x+y﹣3 的值为（ ） A．﹣6 B．0 C．2 D．6 【详解】 试题解析：∵x=﹣ 1 3 ，y=4， ∴代数式 3x+y﹣3=3×（﹣ 1 3 ）+4﹣3=0． 故选 B． 3．（2019·浙江中考模拟）若点 A（m，n）和点 B（5，﹣7）关于 x 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12 【详解】 ∵点 A（m，n）和点 B（5，-7）关于 x 轴对称， ∴m=5，n=7， 则 m+n 的值是：12． 故选：C． 4．（2016·重庆中考真题）若 m=-2，则代数式 m2-2m-1 的值是（ ） A．9 B．7 C．-1 D．-9 【详解】 将 m=-2 代入代数式可得：原式= -2×（-2）-1=4+4-1=7. 考查题型二 列代数式在探索规律问题中的应用方法 1.（2018·重庆市合川区南屏中学中考模拟）如图，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中， 第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第（3）个图形中面 积为 1 的正方形有 9 个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为 1 的正方形的个数为（ ） A．20 B．27 C．35 D．40 【详解】 第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第（2）个图形中面积为 1 的图象有 2+3=5 个， 第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4=9 个， …， 按此规律， 第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+…+（n+1）= ( 3) 2 n n  个， 则第（6）个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2+3+4+5+6+7=27 个． 故选 B． 2．（2019·云南中考模拟）一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，…，其中第 10 个式子是( ) A． 10 19a b B． 10 19a b C． 10 17a b D． 10 21a b 【详解】 解：多项式的第一项依次是 a，a2，a3，a4，…，an， 第二项依次是 b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1， 所以第 10 个式子即当 n=10 时， 代入到得到 an+（﹣1）n+1b2n﹣1=a10﹣b19． 故选 B． 3．（2011·江苏中考模拟）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算 1+8+16+24+……+8n（n 是正整数）的结果为 （ ） A． 2(2 1)n  B． 2(2 1)n  C． 2( 2)n  D． 2n 【详解】 图（1）：1+8=9=（2×1+1）2； 图（2）：1+8+16=25=（2×2+1）2； 图（3）：1+8+16+24=49=（3×2+1）2； …； 那么图（n）：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2． 故选 B． 4．（2018·湖北中考模拟）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图 5 中三角形的个数是（ ） A．8 B．9 C．16 D．17 【详解】 由图可知：第一个图案有三角形 1 个； 第二图案有三角形 4 个； 第三个图案有三角形 4+4=8 个； 第四个图案有三角形 4+4+4=12 个； 第五个图案有三角形 4+4+4+4=16 个。 故选 C。 5．（2019·尉氏县十八里镇实验中学中考模拟）(3 分 )如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排 列规律，第 9 行从左至右第 5 个数是( ) A．2 10 B． 41 C．5 2 D． 51 【详解】 根据三角形数列的特点，归纳出每 n 行第一个数的通用公式是  1 12 n n   ，所以，第 9 行从左至右第 5 个 数是  9 9 1 1 (5 1)2     = 41 . 故选：B 知识点二 单项式 概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫 单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）. 【注意】： 1）圆周率 是常数，所以 也是常数； 2）当一个单项式的系数是 1 或－1 时，“1”通常省略不写; 3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数． 单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数； 单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 【注意】： 1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是 1 或者-1。 2)一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。 3）负数作系数时，需带上前面的符号。 4）若系数是 1 或-1 时，“1”通常省略不写。 1．（2015·福建中考真题）已知一个单项式的系数是 2，次数是 3，则这个单项式可以是（ ） A． 22xy B． 23x C． 32xy D． 32x 【详解】 此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母． A． 22xy 系数是﹣2，错误； B． 23x 系数是 3，错误； C． 32xy 次数是 4，错误； D． 32x 符合系数是 2，次数是 3，正确； 故选 D． 2.（2019·广西中考模拟）单项式 2 2 r 的系数是( ) A． 1 2 B．π C．2 D． 2  【详解】 单项式 2 2 r 的系数是： 2  ． 故选 D． 3．（2015·内蒙古中考真题）下列说法中，正确的是（ ） A．－ 的系数是 B． 的系数是 C．3a 的系数是 3a D． x 的系数是 【详解】 A、﹣ 的系数是﹣ ，故本选项错误；B、 的系数是 ，故本选项错误；C、3a 的系数是 3，故本选项 错误；D、 x 的系数 ，故本选项正确． 4．（2018·贵州中考模拟）下面关于单项式- 1 3 a3bc2 的系数与次数叙述正确的是（ ） A．系数是 1 3 ，次数是 6 B．系数是- 1 3 ，次数是 5 C．系数是 1 3 ，次数是 5 D．系数是- 1 3 ，次数是 6 【详解】 单项式的系数为： 1 3  ；次数为：3+1+2=6．故选 D． 5．（2017·重庆中考模拟）在式子-4，0，x-2y， 23 4 x y ， 4 m ， 3 xy 中，单项式有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【详解】 根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，可知：在式子-4， 0，x-2y， 23 4 x y ， 4 m ， 3 xy 中，单项式有-4，0， 23 4 x y ， 3 xy 共 4 个. 故选 B. 考查题型三 利用单项式概念确定字母取值 1．（2017·河北中考模拟）如果单项式 3anb2c 是 5 次单项式，那么 n=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】根据单项式的次数的概念可得：n+2+1=5，解得，n=2， 故选 A. 知识点三 多项式 概念：几个单项式的和叫多项式. 多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里， 次数最高项的次数叫多项式的次数； 【注意】 1.ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式（若 a、b、c、p、q 是常数）. 2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。 1．（2018·上海中考模拟）下列说法正确的是（ ） A．2a2b 与–2b2a 的和为 0 B． 22 3 a b 的系数是 2 3 ，次数是 4 次 C．2x2y–3y2–1 是 3 次 3 项式 D． 3 x2y3 与– 3 21 3 x y 是同类项 【详解】 A、2a2b 与-2b2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； B、 2 3 πa2b 的系数是 2 3 π，次数是 3 次，此选项错误； C、2x2y-3y2-1 是 3 次 3 项式，此选项正确； D、 3 x2y3 与﹣ 3 21 3 x y 相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误； 故选 C． 2.（2017·浙江中考模拟）下列说法中正确的是（ ） A．3x3-2x2+1 是五次三项式 B．3m2- 2 n 是二次二项式 C．x2-x-34 是四次三项式 D．2x2-2x+3 中一次项系数为-2 【详解】 选项 A，3x3-2x2+1 是三次三项式，选项 A 错误；选项 B，3m2- 2 n 不是整式，选项 B 错误；选项 C，x2-x-34 是二 次三项式，选项 C 错误；选项 D，2x2-2x+3 的一次项系数为-2，正确, 3．（2015·江苏中考模拟）下列代数式中，次数为 4 的单项式是 （ ） A． B．x C．4xy D． 【详解】 单项式的次数是等于单项式中各字母的指数之和.A 为多项式；B 的次数为 3 次；C 的次数为 2 次；D 的次数为 4 次. 故选 D． 考查题型四 利用多项式概念确定字母取值 1．（2017·重庆中考模拟）若多项式 5x2y|m| 1 4  （m+1）y2﹣3 是三次三项式，则 m 等于（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【详解】 根据三次三项式的定义，可得 2+|m|=3，- 1 4 （m+1）≠0， 联立方程组，得 2 3 1 0 m m      ＝ 解得 m=1． 故选 C． 知识点四 整式的加减 同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 步骤：①找 ②移 ③合 去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号， 括号里的各项都要变号. 注意： 1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据. 2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. 3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而 忘记改变其余的符号. 4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项. 5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同 类项. 注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按 这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 考查题型五 同类项概念的理解 1．（2019·湖南中考真题）下列各式中，与 2 33x y 是同类项的是（ ） A． 52x B． 3 23x y C． 2 31 2 x y D． 51 3 y 【详解】 解：A. 52x 与 2 33x y 不是同类项，故本选项错误； B.3x3y2 与 2 33x y 不是同类项，故本选项错误； C. 2 31 2 x y 与 2 33x y 是同类项，故本选项正确； D. 51 3 y 与 2 33x y 不是同类项，故本选项错误； 故选：C． 2．（2016·云南中考真题）单项式 xm﹣1y3 与 4xyn 的和是单项式，则 nm 的值是（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 【详解】 已知得出两单项式是同类项，可得 m﹣1=1，n=3，解得 m=2，n=3，所以 nm=32=9，故答案选 D． 3．（2018·山东中考真题）若单项式 am﹣1b2 与 21 2 na b 的和仍是单项式，则 nm 的值是（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 【详解】 ∵单项式 am-1b2 与 1 2 a2bn 的和仍是单项式， ∴单项式 am-1b2 与 1 2 a2bn 是同类项， ∴m-1=2，n=2， ∴m=3，n=2， ∴nm=8． 故选：C． 4．（2019·辽宁中考模拟）若 m 2 n 113a b ab2 与  是同类项，则 m n (  ) A． 2 B．2 C．1 D． 1 【详解】 由题意得： 2 1 1 1 m n     － ， 1 2 m n     ，m+n=1. 故选 C. 5．（2013·四川中考真题）如果单项式 xa y 与 yb 是同类项，那么 a、b 的值分别为（ ） A．a ，b B．a ，b C．a ，b D．a ，b 【详解】 所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。因此， ∵ xa y 与 yb 是同类项， ∴ a 1 2 b a 1 b 。故选 C。 考查题型六 去括号（实质：移项、合并同类项） 1．（2018·湖南中考模拟）下列去括号正确的是 ( ) A．a-(b-c)=a-b-c B．x2-[-(-x+y)]=x2-x+y C．m-2(p-q)=m-2p+q D．a+(b-c-2d)=a+b-c+2d 【详解】 A. a-(b-c)=a-b+c，故错误； B. x2-[-(-x+y)]= x2-[x-y]=x2-x+y，正确； C. m-2(p-q)=m-2p+2q，故错误； D. a+(b-c-2d)=a+b-c-2d，故错误； 故选 B. 2．（2017·安徽中考模拟）已知 a-b=-3，c+d=2，则(b+c)-(a-d)的值为( ) A．1 B．5 C．-5 D．-1 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5b c a d b c a d a b c d               .故选 B. 3．（2017·安徽中考模拟）下列各题去括号错误的是( ) A． 1 13 32 2x y x y        B．m+(-n+a-b)=m-n+a-b C． 1 2  (4x-6y+3)=-2x+3y+3 D． 1 1 2 1 1 2 2 3 7 2 3 7a b c a b c                 【详解】 选项 A， 13 2x y     = 13 2x y  ； 选项 B，  m n a b m n a b        ； 选项 C，  1 34 6 3 2 32 2x y x y       ； 选项 D， 1 1 2 1 1 2 2 3 7 2 3 7a b c a b c                 . 综上，只有选项 C 错误，故选 C. 4．（2017·四川中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】试题分析：A、 与 不能合并，所以 A 选项错误；B、原式=6×2=12，所以 B 选项错误； C、原式= ，所以 C 选项准确；D、原式=2 ，所以 D 选项错误． 故选 C． 考查题型七 整体代换 1．（2018·重庆中考模拟）若 5 7y x  时，则代数式 3 2 10x y  的值为（ ） A．17 B．11 C． 11 D．10 【详解】 因为 3－2x＋10y＝3＋2(5y－x)，又 5y－x＝7， 所以 3－2x＋10y＝3＋2×7＝17. 故选 A. 2．（2015·湖南中考真题）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a﹣1 的值为（ ）． A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【详解】 所求代数式前两项提取 2，变形为 2（a2+2a）-1，将已知等式代入得：2×1-1=1，故选 B． 3．（2018·安徽中考模拟）已知 a-2b=-2,则 4-2a+4b 的值是( ) A．0 B．2 C．4 D．8 【详解】 ∵a-2b=-2， ∴-a+2b=2， ∴-2a+4b=4， ∴4-2a+4b=4+4=8， 故选 D. 4．（2013·江苏中考真题）已知 1x 3x   ，则 21 34 x x2 2   的值为 A．1 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 【详解】 解：∵ 2 21x 3 x 1 3x x 3x 1x         ， ∴  2 21 3 1 1 74 x x 4 x 3x 4 12 2 2 2 2          . 故选 D. 5．（2019·浙江中考模拟）已知 a2＋2a－3＝0，则代数式 2a2＋4a－3 的值是（ ） A．－3 B．0 C．3 D．6 【详解】 解：当 a2+2a=3 时 原式=2（a2+2a）﹣3=6﹣3=3 故选 C．