【精品】人教版 九年级下册数学 27 31页

27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 平行线分线段成比例 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 理解相似三角形的概念. 2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌 握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重 点、难点) 3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应 用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和 计算. (重点、难点) 学习目标 导入新课 复习引入 1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 . 2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 A B C A′ B′ C′ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与 △A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 讲授新课 平行线分线段成比例（基本事实）一 如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相 交的平行线l3，l4，l5.分别度量在l1上截得的两条线段 AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度. 合作探究 A C EB D F l4 l5 l1 l2 l3 (1) 计算 的值，它们相等吗？ EF DE BC AB 与 A C EB D F l4 l5 l1 l2 l3 (2) 任意平移 l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE， EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？ A C EB D F l4 l5 l1 l2 l3 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若l3∥l4∥ l5， 则 ， ， ， AB DE BC EF  归纳： BC EF AB DE  AB DE AC DF  …BC EF AC DF  A B C D E F l4 l5 l3 l2l1 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. DF BD CE AC  BF BD AE AC  CE DF AE BF  AC BD BF AE  D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 如图，直线l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例 的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， 平行线分线段成比例定理的推论二 观察与思考 把直线 n 向左或向右 任意平移，这些线段 依然成比例. A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置， 说说图中有哪些成比例线段？ 图中的部分线擦去， 得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置， 说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得 到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 如图，DE∥BC， ，则 ； FG∥BC， ，则 .  AB AD 5 2  AC AE 练一练 2 5 A B C E D F G 2 CG AG  AB AF 2 3 例 如图，在△ABC中， EF∥BC. (1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解：∵EF∥BC ，∴ AE AF BE FC  ， ∴ 7 7 4 AF  ， 解得 AF = 4. (2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ A B C E F 解：∵EF∥BC ，∴ ,AE AF AB AC  ∴ 6 5 10 AC  ， 解得 AC = . 25 3 ∴ FC = AC－AF = . 2 5 1 05 3 3   如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则 AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= . A B C ED F G 练一练 7.5 6 ,可得到ECAD AE BD CE  可以通过 ,可得 到AG AB AC AG AF  如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D 作BC的平行线DE，交AC于点E. 问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？ 问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？ B C A D E 相似三角形的引理三 合作探究 问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ B C A D E 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要DE∥BC，这个结论恒成立. 想一想： B C A D E 我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要 证明什么？ 由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？ ，而除 DE 外，其他的线段都在 △ABC 的边上，要想利用前面学 到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？ B C A D E 由前面的结论可得 AD AE AB AC  ，需要证明的是 AD AE DE AB AC BC   可以将 DE 平移到 BC 边上去 证明： 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 用相似的定义证明△ADE∽△ABC ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ , .AD AE BF AE AB AC BC AC   ∵ 四边形DEFB为平行四边形，∴ DE=BF. ∴△ADE∽△ABC.∴ =AD AE DE AB AC BC  ， 由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似 三角形. 3 练一练 C D A B E F O 相似具有传递性 2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_____.4︰3 3. 若 △ABC 的三条边长的比为3 cm，5 cm，6 cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 那么 A′B′C′ 的最大边长是______.24 cm 当堂练习 1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B C A E F D B 2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2 cm，BE=6 cm， BC = 4 cm，则EF 的长为 ( )A A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2 cm A B C E F 4 3 3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____， 对应边的比例式为 ＝ ＝ AD AB AE AC DE BC ADE ABC —— ——． B C A D E 4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1 ∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的 相似比为 .1:20 5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长． 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D A C B E F ∴ 即 DE EF AD AB  ， ∴ △DEF ∽ △DAB， 2 4 5 AB  ， 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 6. 如图，已知菱形 ABCD 在△AEF的内部，AE=5 cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴CD∥AB， ∴ . CD DF AE AF  设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm. 20 . 9 4 5 4 x x  ， 20 9 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例 ◑ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑ 相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似 ◑ 基本事实 平 行 线 分 线 段 成 比 例