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  • 2021-11-06 发布

2020年湖南省张家界市中考数学真题

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湖南省张家界市 2020 年中考数学 一、选择题 1. 1 2020 的倒数是( ) A. 1 2020  B. 1 2020 C. 2020 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答即可. 【详解】解:∵ 1 2020 ×2020=1, ∴ 1 2020 的倒数是 2020. 故答案为 C. 【点睛】本题主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数. 2.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形,则它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 【详解】从正面看有三列,从左到右依次有 2、1、1 个正方形,图形如下: 故选 A. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,解题时注意从正面看得到的图形是主视图. 3.下列计算正确的是( ) A. 22 3 5a a a  B.  32 5a a C. 2 2( 1) 1a a   D. 2( 2)( 2) 4a a a    【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可 【详解】解:A、 2 3 5a a a  ,故原式错误; B、 32 6a a ,故原式错误; C、 2 2( 1 1) 2a a a    ,故原式错误; D、 2( 2)( 2) 4a a a    ,故原式正确, 故选:D. 【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式,熟练掌握公式及法则是解本题 的关键. 4.下列采用的调查方式中,不合适的是( ) A. 了解澧水河的水质,采用抽样调查. B. 了解一批灯泡的使用寿命,采用全面调查. C. 了解张家界市中学生睡眠时间,采用抽样调查. D. 了解某班同学的数学成绩,采用全面调查. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据调查对象的特点,结合普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得 到的调查结果接近准确数值,从而可得答案. 【详解】解:了解澧水河的水质,采用普查不太可能做到,所以采用抽样调查,故 A 合适, 了解一批灯泡的使用寿命,不宜采用全面调查,因为调查带有破坏性,故 B 不合适, 了解张家界市中学生睡眠时间,工作量大,宜采用抽样调查,故 C 合适, 了解某班同学的数学成绩,采用全面调查.合适,故 D 合适, 故选 B. 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查, 对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查. 5.如图,四边形 ABCD 为 O 的内接四边形,已知 BCD 为120 ,则 BOD 的度数为( ) A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算,得到答案. 【详解】解:∵四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形, ∴∠A=180°−∠BCD=60°, 由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°, 故选:C. 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 6.《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,一车空:二人共车,九人步,问人与车各几何?译文 为:今有若干人乘车,每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车:若每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘, 问共有多少人,多少辆车?设共有 x 人,可列方程( ) A. 2 93 2 x x   B. 923 2 x x   C. 923 2 x x  D. 2 93 2 x x   【答案】B 【解析】 【分析】 设有 x 人,根据车的辆数不变,即可得出关于 x 的一元一次方程,此题得解. 【详解】解:设有 x 人,根据车的辆数不变列出等量关系, 每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车,则车辆数为: 23 x  , 每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘,则车辆数为: 9 2 x  , ∴列出方程 为: 923 2 x x   . 故选:B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关 键. 7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 2 6 8 0x x   的两根,则该等腰三角形的底边长为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 或 4 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次方程求出方程的解,得出三角形的边长,用三角形存在的条件分类讨论边长,即可得出答案. 【详解】解:x2-6x+8=0 (x-4)(x-2)=0 解得:x=4 或 x=2, 当等腰三角形的三边为 2,2,4 时,不符合三角形三边关系定理,此时不能组成三角形; 当等腰三角形的三边为 2,4,4 时,符合三角形三边关系定理,此时能组成三角形, 所以三角形的底边长为 2, 故选:A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,解一元二次方程,能求出方程的解并能够判 断三角形三边存在的条件是解此题的关键. 8.如图所示,过 y 轴正半轴上的任意一点 P,作 x 轴的平行线,分别与反比例函数 6y x   和 8y x  的图象 交于点 A 和点 B,若点 C 是 x 轴上任意一点,连接 ,AC BC ,则 ABC 的面积为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知,当 C 点位于 O 点是,△ABC 的面积与△ABO 的面积相 等,由此即可求解. 【详解】解:∵AB∥x 轴,且△ABC 与△ABO 共底边 AB, ∴△ABC 的面积等于△ABO 的面积, 连接 OA、OB,如下图所示: 则 1 1 2 2       ABO PBO PAOS S S PO PB PO PA 1 1|8| | 6 | 4 3 72 2         . 故选:B. 【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质,熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线,与原点构成 的矩形的面积为| |k 这个结论. 二、填空题 9.因式分解: 2 9x   _____. 【答案】  3 3x x  【解析】 【分析】 根据公式法进行因式分解即可. 【详解】解:   2 2 29 3 3 3x x x x      , 故答案为:  3 3x x  . 【点睛】本题考查用公式法因式分解,熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键. 10.今年夏季我国南方多地连降暴雨,引发了严重的洪涝灾害,给国家和人民的财产造成了严重的损失,为 支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救,国家发展改革委员会下达了 211000000 元救灾应急资金支持暴 雨洪涝灾区用于抗洪救灾,则 211000000 元用科学记数法表示为___________元. 【答案】2.11×108 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正整数;当原数的 绝对值<1 时,n 是负整数. 【详解】211000000 的小数点向左移动 8 位得到 2.11, 所以 211000000 用科学记数法表示为 2.11×108, 故答案为:2.11×108. 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 11.如图, AOB 的一边OA为平面镜, 38AOB   ,一束光线(与水平线 OB 平行)从点 C 射入经平面 镜反射后,反射光线落在OB 上的点 E 处,则 DEB 的度数是_______度. 【答案】76° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠ADC 的度数,由光线的反射定理可得∠ODE 的度数,在根据三角形外角性质即可 求解. 【详解】解:∵DC∥OB, ∴∠ADC=∠AOB=38°, 由光线的反射定理易得,∠ODE=∠ACD=38°, ∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°, 故答案为:76°. 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理,掌握入射角=反射角是解题的关键. 12.新学期开学,刚刚组建的七年级(1)班有男生 30 人,女生 24 人,欲从该班级中选出一名值日班长,任 何人都有同样的机会,则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____. 【答案】 5 9 【解析】 【分析】 先求出全班的学生数,再根据概率公式进行求解即可. 【详解】全班共有学生 30+24=54(人), 其中男生 30 人,则这班选中一名男生当值日班长的概率是 30 54 = 5 9 , 故答案为: 5 9 . 【点睛】本题考查了简单的概率计算,如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= m n . 13.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,将其绕顶点 C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置,使得点 B 落在对角线CF 上,则阴影部分的面积是______. 【答案】 2 1 【解析】 【分析】 如下图所示,△ENC、△MPF 为等腰直角三角形,先求出 MB=NC= 2 2 ,证明△PBC≌△PEC,进而得到 EP=BP,设 MP=x,则 EP=BP= 2x ,解出 x,最后阴影部分面积等于 2 倍△BPC 面积即可求解. 【详解】解:过 E 点作 MN∥BC 交 AB、CD 于 M、N 点,设 AB 与 EF 交于点 P 点,连接 CP,如下图所示, ∵B 在对角线 CF 上,∴∠DCE=∠ECF=45°,EC=1, ∴△ENC 为等腰直角三角形, ∴MB=CN= 2 2 EC= 2 2 , 又 BC=AD=CD=CE,且 CP=CP,△PEC 和△PBC 均为直角三角形, ∴△PEC≌△PBC(HL), ∴PB=PE, 又∠PFB=45°,∴∠FPB=45°=∠MPE, ∴△MPE 为等腰直角三角形, 设 MP=x,则 EP=BP= 2x , ∵MP+BP=MB, ∴ 22 2x x  ,解得 2 2 2x  , ∴BP= 2 2 1 x , ∴阴影部分的面积= 12 2 1 ( 2 1) 2 12         PBCS BC BP . 故答案为: 2 1 . 【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质,本题关键是能想到过 E 点作 BC 的平行线,再证明△ENC、 △MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长. 14.观察下面的变化规律: 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 11 , , ,1 3 3 3 5 3 5 5 7 5 7 7 9 7 9            ,…… 根据上面的规律计算: 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2021         __________. 【答案】 2020 2021 【解析】 【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律,按照该规律展开原式,根据邻项相消求解本题. 【详解】由题干信息可抽象出一般规律: 2 1 1 a b a b   ( ,a b 均为奇数,且 2b a  ). 故 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2021         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20201 1 ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2019 2021 3 3 5 5 2019 2019 2021 2021 2021                      . 故答案: 2020 2021 . 【点睛】本题考查规律的抽象总结,解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律,严格按 照该规律求解. 三、解答题 15.计算: 2 0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2             . 【答案】 4 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂进行运算即可. 【详解】 2 0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2             22 1 2 1 42       2 1 2 1 4     4  【点睛】本题考查了绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂,熟知以上运算是解题 的关键. 16.如图,在矩形 ABCD 中,过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF ,分别交 , AD BC 于点 ,E F . (1)求证:△ ≌△DOE BOF ; (2)若 6, 8AB AD  ,连接 ,BE DF ,求四边形 BFDE 的周长. 【答案】(1)证明过程见解析;(2)25 【解析】 【分析】 (1)根据矩形的性质可得 BO DO , EOD FOB   , EDO FBO   ,即可证的两个三角形全等; (2)设 AE x ,根据已知条件可得 8AE x  ,由(1)可推得△ △EBO EDO ,可得 ED=EB,可证得 四边形 EBFD 是菱形,根据勾股定理可得 BE 的长,即可求得周长; 【详解】(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD BC∥ , DO BO , ∴ EDO FBO   , 又∵ EF BD , ∴ =90EOD FOB   , 在△DOE 和△BOF 中, =90 EDO FBO DO BO EOD FOB           , ∴  △ ≌△DOE BOF ASA . (2)由(1)可得, ED BF , ED BF , ∴四边形 BFDE 是平行四边形, 在△EBO 和△EDO 中, =90 DO BO EOD FOB EO EO         , ∴△ △EBO EDO , ∴ ED EB , ∴四边形 BFDE 是菱形, 根据 6, 8AB AD  ,设 AE x ,可得 8BE ED x   , 在 Rt△ABE 中,根据勾股定理可得: 2 2 2BE AB AE  , 即 2 2 28- = 6x x  , 解得: 7 4x  , ∴ 7 258 4 4BE    , ∴四边形 BFDE 的周长= 25 4=254  . 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用,结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的 关键. 17.先化简,再求值: 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x          ,其中 3x  . 【答案】 2 2 1x  ,1. 【解析】 【分析】 括号内后面的分式分子、分母先分解因式,约分后进行分式的减法运算,然后再进行分式的除法运算进行 化简,最后把 x 的值代入进行计算即可. 【详解】 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x          =        2 2 1 1 14 1 11 x x x x xx          =    4 2 1 1 1 11x x x x x          = 2 1 11x x  = 2 2 1x  , 当 3x  时,原式=  2 2 3 1 =1. 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值,涉及了二次根式的运算,分式的约分,分式的除法运 算、减法运算等,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 18.为保障学生的身心健康和生命安全,政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动.为了调查学 生对安全知识的掌握情况,从某中学随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试,将成绩(成绩取整数)分为 “A:69 分及以下,B:70~79 分,C:80~89 分,D:90~100 分”四个等级进行统计,得到右边未画完整的统 计图: D 组成绩的具体情况是: 分数(分) 93 95 97 98 99 人数(人) 2 3 5 2 1 根据以上图表提供的信息,解答下列问题: (1)请补全条形统计图; (2)D 组成绩的中位数是_________分; (3)假设该校有 1200 名学生都参加此次测试,若成绩 80 分以上(含 80 分)为优秀,则该校成绩优秀的 学生人数约有多少人? 【答案】(1)见解析;(2)97;(3)690 人. 【解析】 【分析】 (1)用总人数减去 A、B、D 三组的人数和即可得出 C 组的人数,然后补全条形统计图即可; (2)D 组共有 13 人,把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列,找到中间第七个数据即可; (3)用 1200 乘以 80 分以上的人数所占的比例即可得出人数. 【详解】解:(1)∵随机抽取 40 名学生,根据条形统计图可以得出:A 为 5 人,B 为 12 人,D 为 13 人, ∴C 的人数为:  40 5 12 13 =40 30=10    , 补全条形统计图如下图: (2)D 组共有 13 名学生,按照从小到大的顺序排列: 93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99 第七个数据为中位数,是 97, 故答案为:97; (3)80 分以上的是 C、D 两组,共有 10+13=23 人,所占的比列为:23÷40=0.575 所以 1200 名学生中 80 分以上的人数有:1200×0.575=690(人), 故答案为:690 人. 【点睛】本题主要考查的是条形统计图,中位数以及用样本估计总体,解决本题的关键就是明确题意,找 出所求问题的条件,仔细计算. 19.今年疫情防控期间,某学校花 2000 元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各 种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了 2 元,学校又购买了一批消毒液,花 1600 元购买到的数量与第 一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价. 【答案】第一批购进的消毒液的单价为 10 元. 【解析】 【分析】 设第一批购进的消毒液的单价为 x 元,根据两次购买到的数量相等可列出方程求解. 【详解】解:设第一批购进的消毒液的单价为 x 元, 根据题意可得: 2000 1600 2x x   , 解得:x=10, 经检验,x=10 是原方程的根, 答:第一批购进的消毒液的单价为 10 元. 【点睛】本题考查分式方程的应用,解题的关键是根据题中等量关系列出方程,分式方程要记得验根. 20.阅读下面的材料: 对于实数 ,a b ,我们定义符号 min{ , }a b 的意义为:当 a b 时,min{ , }a b a ;当 a b… 时,min{ , }a b b , 如: min{4, 2} 2,min{5,5} 5    . 根据上面的材料回答下列问题: (1) min{ 1,3}  ______; (2)当 2 3 2 2min ,2 3 3 x x x       时,求 x 的取值范围. 【答案】(1)﹣1 ;(2)x≥13 4 【解析】 【分析】 (1)比较大小,即可得出答案; (2)根据题意判断出 2x 3 x+2 2 3 - ≥ 解不等式即可判断 x 的取值范围. 【详解】解:(1)由题意得 min{ 1,3}  ﹣1 故答案为:﹣1; (2)由题意得: 2x 3 x+2 2 3 - ≥ 3(2x-3)≥2(x+2) 6x-9≥2x+4 4x≥13 X≥13 4 ∴x 的取值范围为 x≥13 4 . 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用,根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键. 21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座,位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010 年 1 月 25 日,“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图,航拍无人机以9m/s 的速度在空中 向正东方向飞行,拍摄云海中的“南天一柱”美景.在 A 处测得“南天一柱”底部 C 的俯角为37 ,继续飞行 6s 到达 B 处,这时测得“南天一柱”底部 C 的俯角为 45 ,已知“南天一柱”的高为150m ,问这架航拍无人机继 续向正东飞行是否安全?(参考数据:sin37 0.60  , cos37 0.80  , tan37 0.75  ) 【答案】安全 【解析】 【分析】 设无人机距地面 xm,直线 AB 与南天一柱相交于点 D,根据 AD-BD=AB 列方程求出 x 的值,与南天一柱 的高度比较即可. 【详解】解:设无人机距地面 xm,直线 AB 与南天一柱相交于点 D,由题意得∠CAD=37°,∠CBD=45°. 在 Rt△ACD 中, ∵tan∠CAD= 0.75CD x AD AD   , ∴AD= 4 3 x . 在 Rt△BCD 中, ∵tan∠CBD= 1CD x BD BD   , ∴BD= x . ∵AD-BD=AB, ∴ 4 3 x - x =9×6, ∴x=162, ∵162>150, ∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角 形解决问题,学会用构建方程的思想思考问题. 22.如图,在 Rt ABC 中, 90ACB   ,以 AB 为直径作 O ,过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D, 使 BCD A   . (1)求证: CD 为 O 的切线; (2)若 DE 平分 ADC ,且分别交 ,AC BC 于点 ,E F ,当 2CE  时,求 EF 的长. 【答案】(1)见解析;(2)EF= 2 2 . 【解析】 【分析】 (1)如图,连接 OC,欲证明 CD 是 O 的切线,只需求得∠OCD=90 ; (2)由角平分线及三角形外角性质可得 A ADE BCD CDF      ,即∠CEF=∠CFE,根据勾股 定理可求得 EF的长. 【详解】 (1)证明:如图,连接 OC ∵ AB 为 O 的直径 ∴ ACB 90   ,即∠A+∠ABC=90 又∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB ∵ BCD A   ∴∠BCD+∠OCB=90 ,即∠OCD=90 ∵OC 是圆 O 的半径 ∴CD 是 O 的切线. (2)解:∵ DE 平分 ADC ∴∠CDE=∠ADE 又∵ BCD A   ∴ A ADE BCD CDF      ,即∠CEF=∠CFE ∵∠ACB= 90 , 2CE  ∴CE=CF=2 ∴EF= 2 2 2 2CE CF  【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理,熟练进行推理论证是解 题关键. 23.如图,抛物线 2 6y ax x c   交 x 轴于 , A B 两点,交 y 轴于点 C.直线 5y x   经过点 ,B C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴 l 与直线 BC 相交于点 P,连接 ,AC AP ,判定 APC△ 的形状,并说明理由; (3)在直线 BC 上是否存在点 M,使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍?若存在,请求出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) 2 6 5y x x   ;(2) APC△ 的为直角三角形,理由见解析;(3)存在使 AM 与直线 BC 的 夹角等于 ACB 的 2 倍的点,且坐标为 M1(13 17,6 6 ),M2( 23 6 , 7 6 ). 【解析】 【分析】 (1)先根据直线 5y x   经过点 ,B C ,即可确定 B、C 的坐标,然后用带定系数法解答即可; (2)先求出 A、B 的坐标结合抛物线的对称性,说明三角形 APB 为等腰三角形;再结合 OB=OC 得到 ∠ABP=45°,进一步说明∠APB=90°,则∠APC=90°即可判定 APC△ 的形状; (3)作 AN⊥BC 于 N,NH⊥x 轴于 H,作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1,AC 于 E;然后说明△ANB 为 等腰直角三角形,进而确定 N 的坐标;再求出 AC 的解析式,进而确定 M1E 的解析式;然后联立直线 BC 和 M1E 的解析式即可求得 M1 的坐标;在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2,利用中点坐标公式即 可确定点 M2 的坐标 【详解】解:(1)∵直线 5y x   经过点 ,B C ∴当 x=0 时,可得 y=5,即 C 的坐标为(0,5) 当 y=0 时,可得 x=5,即 B 的坐标为(5,0) ∴ 2 2 5 0 6 0 0 5 6 5 a c a c            解得 1 5 a c    ∴该抛物线的解析式为 2 6 5y x x   (2) APC△ 的为直角三角形,理由如下: ∵解方程 2 6 5x x  =0,则 x1=1,x2=5 ∴A(1,0),B(5,0) ∵抛物线 2 6 5y x x   的对称轴 l 为 x=3 ∴△APB 为等腰三角形 ∵C 的坐标为(5,0), B 的坐标为(5,0) ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°, ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴ APC△ 的为直角三角形; (3)如图:作 AN⊥BC 于 N,NH⊥x 轴于 H,作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1,AC 于 E, ∵M1A=M1C, ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB 为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N(3,2) 设 AC 的函数解析式为 y=kx+b ∵C(0,5),A(1,0) ∴ 5 0 0 k b k b       解得 b=5,k=-5 ∴AC 的函数解析式为 y=-5x+5 设 EM1 的函数解析式为 y= 1 5 x+n ∵点 E 的坐标为( 1 5,2 2 ) ∴ 5 2 = 1 5 × 1 2 +n,解得:n=12 5 ∴EM1 的函数解析式为 y= 1 5 x+ 12 5 ∵ 5 1 12 5 5 y x y x      解得 13 6 17 6 x y     ∴M1 的坐标为(13 17,6 6 ); 在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2 设 M2(a,-a+5) 则有:3= 13 6 2 a ,解得 a= 23 6 ∴-a+5= 7 6 ∴M2 的坐标为( 23 6 , 7 6 ). 综上,存在使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍的点,且坐标为 M1(13 17,6 6 ),M2( 23 6 , 7 6 ). 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题,主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的 判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识,考查知识点较多,综合应用所学知识成为解答本题的关 键.