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- 2021-11-06 发布
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湖南省张家界市 2020 年中考数学
一、选择题
1. 1
2020
的倒数是( )
A. 1
2020
B. 1
2020 C. 2020 D. 2020
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义解答即可.
【详解】解:∵ 1
2020 ×2020=1,
∴ 1
2020
的倒数是 2020.
故答案为 C.
【点睛】本题主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数.
2.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形,则它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.
【详解】从正面看有三列,从左到右依次有 2、1、1 个正方形,图形如下:
故选 A.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,解题时注意从正面看得到的图形是主视图.
3.下列计算正确的是( )
A. 22 3 5a a a B. 32 5a a C. 2 2( 1) 1a a D. 2( 2)( 2) 4a a a
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【详解】解:A、 2 3 5a a a ,故原式错误;
B、 32 6a a ,故原式错误;
C、 2 2( 1 1) 2a a a ,故原式错误;
D、 2( 2)( 2) 4a a a ,故原式正确,
故选:D.
【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式,熟练掌握公式及法则是解本题
的关键.
4.下列采用的调查方式中,不合适的是( )
A. 了解澧水河的水质,采用抽样调查.
B. 了解一批灯泡的使用寿命,采用全面调查.
C. 了解张家界市中学生睡眠时间,采用抽样调查.
D. 了解某班同学的数学成绩,采用全面调查.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据调查对象的特点,结合普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得
到的调查结果接近准确数值,从而可得答案.
【详解】解:了解澧水河的水质,采用普查不太可能做到,所以采用抽样调查,故 A 合适,
了解一批灯泡的使用寿命,不宜采用全面调查,因为调查带有破坏性,故 B 不合适,
了解张家界市中学生睡眠时间,工作量大,宜采用抽样调查,故 C 合适,
了解某班同学的数学成绩,采用全面调查.合适,故 D 合适,
故选 B.
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,
对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
5.如图,四边形 ABCD 为 O 的内接四边形,已知 BCD 为120 ,则 BOD 的度数为( )
A. 100 B. 110 C. 120 D. 130
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算,得到答案.
【详解】解:∵四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形,
∴∠A=180°−∠BCD=60°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,
故选:C.
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
6.《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,一车空:二人共车,九人步,问人与车各几何?译文
为:今有若干人乘车,每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车:若每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘,
问共有多少人,多少辆车?设共有 x 人,可列方程( )
A. 2 93 2
x x B. 923 2
x x C. 923 2
x x D. 2 93 2
x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设有 x 人,根据车的辆数不变,即可得出关于 x 的一元一次方程,此题得解.
【详解】解:设有 x 人,根据车的辆数不变列出等量关系,
每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车,则车辆数为: 23
x ,
每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘,则车辆数为: 9
2
x ,
∴列出方程 为: 923 2
x x .
故选:B.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关
键.
7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 2 6 8 0x x 的两根,则该等腰三角形的底边长为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 或 4
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次方程求出方程的解,得出三角形的边长,用三角形存在的条件分类讨论边长,即可得出答案.
【详解】解:x2-6x+8=0
(x-4)(x-2)=0
解得:x=4 或 x=2,
当等腰三角形的三边为 2,2,4 时,不符合三角形三边关系定理,此时不能组成三角形;
当等腰三角形的三边为 2,4,4 时,符合三角形三边关系定理,此时能组成三角形,
所以三角形的底边长为 2,
故选:A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,解一元二次方程,能求出方程的解并能够判
断三角形三边存在的条件是解此题的关键.
8.如图所示,过 y 轴正半轴上的任意一点 P,作 x 轴的平行线,分别与反比例函数 6y x
和 8y x
的图象
交于点 A 和点 B,若点 C 是 x 轴上任意一点,连接 ,AC BC ,则 ABC 的面积为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知,当 C 点位于 O 点是,△ABC 的面积与△ABO 的面积相
等,由此即可求解.
【详解】解:∵AB∥x 轴,且△ABC 与△ABO 共底边 AB,
∴△ABC 的面积等于△ABO 的面积,
连接 OA、OB,如下图所示:
则 1 1
2 2 ABO PBO PAOS S S PO PB PO PA
1 1|8| | 6 | 4 3 72 2
.
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质,熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线,与原点构成
的矩形的面积为| |k 这个结论.
二、填空题
9.因式分解: 2 9x _____.
【答案】 3 3x x
【解析】
【分析】
根据公式法进行因式分解即可.
【详解】解: 2 2 29 3 3 3x x x x ,
故答案为: 3 3x x .
【点睛】本题考查用公式法因式分解,熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键.
10.今年夏季我国南方多地连降暴雨,引发了严重的洪涝灾害,给国家和人民的财产造成了严重的损失,为
支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救,国家发展改革委员会下达了 211000000 元救灾应急资金支持暴
雨洪涝灾区用于抗洪救灾,则 211000000 元用科学记数法表示为___________元.
【答案】2.11×108
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,
小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正整数;当原数的
绝对值<1 时,n 是负整数.
【详解】211000000 的小数点向左移动 8 位得到 2.11,
所以 211000000 用科学记数法表示为 2.11×108,
故答案为:2.11×108.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整
数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
11.如图, AOB 的一边OA为平面镜, 38AOB ,一束光线(与水平线 OB 平行)从点 C 射入经平面
镜反射后,反射光线落在OB 上的点 E 处,则 DEB 的度数是_______度.
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC 的度数,由光线的反射定理可得∠ODE 的度数,在根据三角形外角性质即可
求解.
【详解】解:∵DC∥OB,
∴∠ADC=∠AOB=38°,
由光线的反射定理易得,∠ODE=∠ACD=38°,
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°,
故答案为:76°.
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理,掌握入射角=反射角是解题的关键.
12.新学期开学,刚刚组建的七年级(1)班有男生 30 人,女生 24 人,欲从该班级中选出一名值日班长,任
何人都有同样的机会,则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____.
【答案】 5
9
【解析】
【分析】
先求出全班的学生数,再根据概率公式进行求解即可.
【详解】全班共有学生 30+24=54(人),
其中男生 30 人,则这班选中一名男生当值日班长的概率是 30
54 = 5
9
,
故答案为: 5
9
.
【点睛】本题考查了简单的概率计算,如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A
出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= m
n
.
13.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,将其绕顶点 C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置,使得点 B
落在对角线CF 上,则阴影部分的面积是______.
【答案】 2 1
【解析】
【分析】
如下图所示,△ENC、△MPF 为等腰直角三角形,先求出 MB=NC= 2
2
,证明△PBC≌△PEC,进而得到
EP=BP,设 MP=x,则 EP=BP= 2x ,解出 x,最后阴影部分面积等于 2 倍△BPC 面积即可求解.
【详解】解:过 E 点作 MN∥BC 交 AB、CD 于 M、N 点,设 AB 与 EF 交于点 P 点,连接 CP,如下图所示,
∵B 在对角线 CF 上,∴∠DCE=∠ECF=45°,EC=1,
∴△ENC 为等腰直角三角形,
∴MB=CN= 2
2
EC= 2
2
,
又 BC=AD=CD=CE,且 CP=CP,△PEC 和△PBC 均为直角三角形,
∴△PEC≌△PBC(HL),
∴PB=PE,
又∠PFB=45°,∴∠FPB=45°=∠MPE,
∴△MPE 为等腰直角三角形,
设 MP=x,则 EP=BP= 2x ,
∵MP+BP=MB,
∴ 22 2x x ,解得 2 2
2x ,
∴BP= 2 2 1 x ,
∴阴影部分的面积= 12 2 1 ( 2 1) 2 12 PBCS BC BP .
故答案为: 2 1 .
【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质,本题关键是能想到过 E 点作 BC 的平行线,再证明△ENC、
△MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长.
14.观察下面的变化规律:
2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 11 , , ,1 3 3 3 5 3 5 5 7 5 7 7 9 7 9
,……
根据上面的规律计算:
2 2 2 2
1 3 3 5 5 7 2019 2021
__________.
【答案】 2020
2021
【解析】
【分析】
本题可通过题干信息总结分式规律,按照该规律展开原式,根据邻项相消求解本题.
【详解】由题干信息可抽象出一般规律: 2 1 1
a b a b
( ,a b 均为奇数,且 2b a ).
故
2 2 2 2
1 3 3 5 5 7 2019 2021
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20201 1 ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2019 2021 3 3 5 5 2019 2019 2021 2021 2021
.
故答案: 2020
2021
.
【点睛】本题考查规律的抽象总结,解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律,严格按
照该规律求解.
三、解答题
15.计算:
2
0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2
.
【答案】 4
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂进行运算即可.
【详解】
2
0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2
22 1 2 1 42
2 1 2 1 4
4
【点睛】本题考查了绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂,熟知以上运算是解题
的关键.
16.如图,在矩形 ABCD 中,过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF ,分别交 , AD BC 于点 ,E F .
(1)求证:△ ≌△DOE BOF ;
(2)若 6, 8AB AD ,连接 ,BE DF ,求四边形 BFDE 的周长.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)25
【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质可得 BO DO , EOD FOB , EDO FBO ,即可证的两个三角形全等;
(2)设 AE x ,根据已知条件可得 8AE x ,由(1)可推得△ △EBO EDO ,可得 ED=EB,可证得
四边形 EBFD 是菱形,根据勾股定理可得 BE 的长,即可求得周长;
【详解】(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD BC∥ , DO BO ,
∴ EDO FBO ,
又∵ EF BD ,
∴ =90EOD FOB ,
在△DOE 和△BOF 中,
=90
EDO FBO
DO BO
EOD FOB
,
∴ △ ≌△DOE BOF ASA .
(2)由(1)可得, ED BF , ED BF ,
∴四边形 BFDE 是平行四边形,
在△EBO 和△EDO 中,
=90
DO BO
EOD FOB
EO EO
,
∴△ △EBO EDO ,
∴ ED EB ,
∴四边形 BFDE 是菱形,
根据 6, 8AB AD ,设 AE x ,可得 8BE ED x ,
在 Rt△ABE 中,根据勾股定理可得: 2 2 2BE AB AE ,
即 2 2 28- = 6x x ,
解得: 7
4x ,
∴ 7 258 4 4BE ,
∴四边形 BFDE 的周长=
25 4=254 .
【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用,结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的
关键.
17.先化简,再求值:
2
2
4 2 2 1
1 2 1 1
x x
x x x x
,其中 3x .
【答案】 2
2
1x
,1.
【解析】
【分析】
括号内后面的分式分子、分母先分解因式,约分后进行分式的减法运算,然后再进行分式的除法运算进行
化简,最后把 x 的值代入进行计算即可.
【详解】
2
2
4 2 2 1
1 2 1 1
x x
x x x x
=
2
2 1 1 14
1 11
x x x
x xx
=
4 2 1
1 1 11x
x
x x x
= 2 1
11x x
= 2
2
1x
,
当 3x 时,原式= 2
2
3 1 =1.
【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值,涉及了二次根式的运算,分式的约分,分式的除法运
算、减法运算等,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
18.为保障学生的身心健康和生命安全,政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动.为了调查学
生对安全知识的掌握情况,从某中学随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试,将成绩(成绩取整数)分为
“A:69 分及以下,B:70~79 分,C:80~89 分,D:90~100 分”四个等级进行统计,得到右边未画完整的统
计图:
D 组成绩的具体情况是:
分数(分) 93 95 97 98 99
人数(人) 2 3 5 2 1
根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)请补全条形统计图;
(2)D 组成绩的中位数是_________分;
(3)假设该校有 1200 名学生都参加此次测试,若成绩 80 分以上(含 80 分)为优秀,则该校成绩优秀的
学生人数约有多少人?
【答案】(1)见解析;(2)97;(3)690 人.
【解析】
【分析】
(1)用总人数减去 A、B、D 三组的人数和即可得出 C 组的人数,然后补全条形统计图即可;
(2)D 组共有 13 人,把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列,找到中间第七个数据即可;
(3)用 1200 乘以 80 分以上的人数所占的比例即可得出人数.
【详解】解:(1)∵随机抽取 40 名学生,根据条形统计图可以得出:A 为 5 人,B 为 12 人,D 为 13 人,
∴C 的人数为: 40 5 12 13 =40 30=10 ,
补全条形统计图如下图:
(2)D 组共有 13 名学生,按照从小到大的顺序排列:
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99
第七个数据为中位数,是 97,
故答案为:97;
(3)80 分以上的是 C、D 两组,共有 10+13=23 人,所占的比列为:23÷40=0.575
所以 1200 名学生中 80 分以上的人数有:1200×0.575=690(人),
故答案为:690 人.
【点睛】本题主要考查的是条形统计图,中位数以及用样本估计总体,解决本题的关键就是明确题意,找
出所求问题的条件,仔细计算.
19.今年疫情防控期间,某学校花 2000 元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各
种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了 2 元,学校又购买了一批消毒液,花 1600 元购买到的数量与第
一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价.
【答案】第一批购进的消毒液的单价为 10 元.
【解析】
【分析】
设第一批购进的消毒液的单价为 x 元,根据两次购买到的数量相等可列出方程求解.
【详解】解:设第一批购进的消毒液的单价为 x 元,
根据题意可得: 2000 1600
2x x
,
解得:x=10,
经检验,x=10 是原方程的根,
答:第一批购进的消毒液的单价为 10 元.
【点睛】本题考查分式方程的应用,解题的关键是根据题中等量关系列出方程,分式方程要记得验根.
20.阅读下面的材料:
对于实数 ,a b ,我们定义符号 min{ , }a b 的意义为:当 a b 时,min{ , }a b a ;当 a b
时,min{ , }a b b ,
如: min{4, 2} 2,min{5,5} 5 .
根据上面的材料回答下列问题:
(1) min{ 1,3} ______;
(2)当 2 3 2 2min ,2 3 3
x x x
时,求 x 的取值范围.
【答案】(1)﹣1 ;(2)x≥13
4
【解析】
【分析】
(1)比较大小,即可得出答案;
(2)根据题意判断出 2x 3 x+2
2 3
- ≥ 解不等式即可判断 x 的取值范围.
【详解】解:(1)由题意得 min{ 1,3} ﹣1
故答案为:﹣1;
(2)由题意得: 2x 3 x+2
2 3
- ≥
3(2x-3)≥2(x+2)
6x-9≥2x+4
4x≥13
X≥13
4
∴x 的取值范围为 x≥13
4
.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用,根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键.
21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座,位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010
年 1 月 25 日,“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图,航拍无人机以9m/s 的速度在空中
向正东方向飞行,拍摄云海中的“南天一柱”美景.在 A 处测得“南天一柱”底部 C 的俯角为37 ,继续飞行 6s
到达 B 处,这时测得“南天一柱”底部 C 的俯角为 45 ,已知“南天一柱”的高为150m ,问这架航拍无人机继
续向正东飞行是否安全?(参考数据:sin37 0.60 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )
【答案】安全
【解析】
【分析】
设无人机距地面 xm,直线 AB 与南天一柱相交于点 D,根据 AD-BD=AB 列方程求出 x 的值,与南天一柱
的高度比较即可.
【详解】解:设无人机距地面 xm,直线 AB 与南天一柱相交于点 D,由题意得∠CAD=37°,∠CBD=45°.
在 Rt△ACD 中,
∵tan∠CAD= 0.75CD x
AD AD
,
∴AD= 4
3 x .
在 Rt△BCD 中,
∵tan∠CBD= 1CD x
BD BD
,
∴BD= x .
∵AD-BD=AB,
∴ 4
3 x - x =9×6,
∴x=162,
∵162>150,
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角
形解决问题,学会用构建方程的思想思考问题.
22.如图,在 Rt ABC 中, 90ACB ,以 AB 为直径作 O ,过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D,
使 BCD A .
(1)求证: CD 为 O 的切线;
(2)若 DE 平分 ADC ,且分别交 ,AC BC 于点 ,E F ,当 2CE 时,求 EF 的长.
【答案】(1)见解析;(2)EF= 2 2 .
【解析】
【分析】
(1)如图,连接 OC,欲证明 CD 是 O 的切线,只需求得∠OCD=90 ;
(2)由角平分线及三角形外角性质可得 A ADE BCD CDF ,即∠CEF=∠CFE,根据勾股
定理可求得 EF的长.
【详解】
(1)证明:如图,连接 OC
∵ AB 为 O 的直径
∴ ACB 90 ,即∠A+∠ABC=90
又∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵ BCD A
∴∠BCD+∠OCB=90 ,即∠OCD=90
∵OC 是圆 O 的半径
∴CD 是 O 的切线.
(2)解:∵ DE 平分 ADC
∴∠CDE=∠ADE
又∵ BCD A
∴ A ADE BCD CDF ,即∠CEF=∠CFE
∵∠ACB= 90 , 2CE
∴CE=CF=2
∴EF= 2 2 2 2CE CF
【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理,熟练进行推理论证是解
题关键.
23.如图,抛物线 2 6y ax x c 交 x 轴于 , A B 两点,交 y 轴于点 C.直线 5y x 经过点 ,B C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴 l 与直线 BC 相交于点 P,连接 ,AC AP ,判定 APC△ 的形状,并说明理由;
(3)在直线 BC 上是否存在点 M,使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍?若存在,请求出点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 2 6 5y x x ;(2) APC△ 的为直角三角形,理由见解析;(3)存在使 AM 与直线 BC 的
夹角等于 ACB 的 2 倍的点,且坐标为 M1(13 17,6 6
),M2( 23
6
, 7
6
).
【解析】
【分析】
(1)先根据直线 5y x 经过点 ,B C ,即可确定 B、C 的坐标,然后用带定系数法解答即可;
(2)先求出 A、B 的坐标结合抛物线的对称性,说明三角形 APB 为等腰三角形;再结合 OB=OC 得到
∠ABP=45°,进一步说明∠APB=90°,则∠APC=90°即可判定 APC△ 的形状;
(3)作 AN⊥BC 于 N,NH⊥x 轴于 H,作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1,AC 于 E;然后说明△ANB 为
等腰直角三角形,进而确定 N 的坐标;再求出 AC 的解析式,进而确定 M1E 的解析式;然后联立直线 BC
和 M1E 的解析式即可求得 M1 的坐标;在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2,利用中点坐标公式即
可确定点 M2 的坐标
【详解】解:(1)∵直线 5y x 经过点 ,B C
∴当 x=0 时,可得 y=5,即 C 的坐标为(0,5)
当 y=0 时,可得 x=5,即 B 的坐标为(5,0)
∴
2
2
5 0 6 0
0 5 6 5
a c
a c
解得 1
5
a
c
∴该抛物线的解析式为 2 6 5y x x
(2) APC△ 的为直角三角形,理由如下:
∵解方程 2 6 5x x =0,则 x1=1,x2=5
∴A(1,0),B(5,0)
∵抛物线 2 6 5y x x 的对称轴 l 为 x=3
∴△APB 为等腰三角形
∵C 的坐标为(5,0), B 的坐标为(5,0)
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°,
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴ APC△ 的为直角三角形;
(3)如图:作 AN⊥BC 于 N,NH⊥x 轴于 H,作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1,AC 于 E,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB 为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N(3,2)
设 AC 的函数解析式为 y=kx+b
∵C(0,5),A(1,0)
∴ 5 0
0
k b
k b
解得 b=5,k=-5
∴AC 的函数解析式为 y=-5x+5
设 EM1 的函数解析式为 y= 1
5 x+n
∵点 E 的坐标为( 1 5,2 2
)
∴ 5
2 = 1
5 × 1
2 +n,解得:n=12
5
∴EM1 的函数解析式为 y= 1
5 x+ 12
5
∵
5
1 12
5 5
y x
y x
解得
13
6
17
6
x
y
∴M1 的坐标为(13 17,6 6
);
在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2
设 M2(a,-a+5)
则有:3=
13
6
2
a ,解得 a= 23
6
∴-a+5= 7
6
∴M2 的坐标为( 23
6
, 7
6
).
综上,存在使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍的点,且坐标为 M1(13 17,6 6
),M2( 23
6
, 7
6
).
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题,主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的
判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识,考查知识点较多,综合应用所学知识成为解答本题的关
键.
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