中考数学解题指导专题8：几何最值问题解法探讨 62页

1 【2013 年中考攻略】专题 8：几何最值问题解法探讨 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系） 求最值；（ 2）应用垂线段最短的性质求最值；（ 3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题： 例 1. （2012 山东济南 3 分）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过 程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】 A． 21 B． 5 C． 145 5 5 D． 5 2 【答案】A。 【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE= 1 2 AB=1。 DE= 2 2 2 2AD AE 1 1 2     ， ∴OD 的最大值为： 21 。故选 A。 例 2.（2012 湖北鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC 中，BC= 24 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M、 N 分 别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ▲ 。 2 [ 【答案】4。 【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定 义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM。 ∵∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，∴∠EBM=∠NBM。 在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。 ∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN 有最小值，∴当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值。 ∵BC= 42，∠ABC=45°，∴CE 的最小值为 sin450=4。 ∴CM+MN 的最小值是 4。 例 3.（2011 四川凉山 5 分）如图，圆柱底面半径为 2cm ，高为9 cm ，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周 上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 ▲ cm 。 【答案】15 。 【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。 【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面 圆周长、1 3 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为 4 cm ， 高为 3 cm ，根据勾股定理，得斜线长为5 cm ，根据平行四边形的性质，棉线 最短为15 cm 。 例 4. （2012 四川眉山 3 分）在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 3 ▲ ． 【答案】1＜AD＜4。 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。 【分析】延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE．根据 SAS 证明△ABD≌△ECD， 得 CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解： 延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE。 ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。 ∴CE=AB。 在△ACE 中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即 2＜2AD＜8。 ∴1＜AD＜4。 练习题： 1. （2011 湖北荆门 3 分）如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm ，高为 5cm .若一只蚂蚁从 P 点开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.（2011 四川广安 3 分）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC= 2 3 BC．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【 】 A、 6(4 ) ㎝ B、5cm C、35㎝ D、7cm 3.（2011 广西贵港 2 分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中 点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则△BPG 的周长的最小值是 _ ▲ ． 4 二、应用垂线段最短的性质求最值： 典型例题： 例 1. （2012 山东莱芜 4 分）在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小 值是 ▲ ． 【答案】 24 5 。 【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。 【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当 BP′⊥AC 时，BP 取得最小值。 设 AP′=x，则由 AB＝AC＝5 得 CP′=5－x， 又∵BC＝6，∴在 Rt△AB P′和 Rt△CBP′中应用勾股定理，得 2 2 2 2 2 2BP AB AP BP BC CP       ， 。 ∴ 2 2 2 2AB AP BC CP     ，即  22 2 25 x 6 6 x    ，解得 7x= 5 。 ∴ 2 2 7 576 24BP 5 = =5 25 5    ，即 BP 的最小值是 24 5 。 例 2.（2012 浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD， BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】 A． 1 B． 3 C． 2 D． 3 ＋1 【答案】B。 5 【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角 三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分两步分析： （1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的 对称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的 K1 就是使 PK+QK 最小的位置。 （2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1 在 AB 上，即不论点 P 在 BC 上 任一点，点 P1 总在 AB 上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P1Q⊥AB 时 P1Q 最短。 过点 A 作 AQ1⊥DC 于点 Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300= 3233。 综上所述，PK+QK 的最小值为 3 。故选 B。 例 3.（2012 江苏连云港 12 分）已知梯形 ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝ 1，AB＝2，BC＝3， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能 否相等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存 在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE＝PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE， 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE＝nPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平 6 行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请 说明理由． 【答案】解：问题 1：对角线 PQ 与 DC 不可能相等。理由如下： ∵四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形， ∴∠DPC＝90°。 ∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2 2 。 设 PB＝x，则 AP＝2－x， 在 Rt△DPC 中，PD2＋PC2＝DC2，即 x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得 x2－2x＋3＝0， ∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。 ∴不存在 PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线 PQ 与 DC 不可能相等。 问题 2：存在。理由如下： 如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G， 则 G 是 DC 的中点。 过点 Q 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H。 ∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即 ∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。 ∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。 又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。 ∴AD＝HC。 ∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4， ∴当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为 4。 问题 3：存在。理由如下： 如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G， ∵PE∥CQ，PD＝DE，∴ DG PD 1=GC CQ 2 。 ∴G 是 DC 上一定点。 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H， 同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴ AD PD 1=CH CQ 2 。 ∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。 ∴当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为 5。 问题 4：如图 3，设 PQ 与 AB 相交于点 G， 7 ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴ PA AG 1=BQ BG n+1 。 ∴G 是 DC 上一定点。 作 QH∥PE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CK⊥CD，交 QH 的延长线于 K。 ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90° ∠PAG＝∠QBG， ∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴ AD PA 1=BH BQ n+1 ， ∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。 过点 D 作 DM⊥BC 于 M，则四边形 ABND 是矩形。 ∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。 ∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。 ∴CK＝CH•cos45°＝ 2 2 (n＋4)， ∴当 PQ⊥CD 时，PQ 的长最小，最小值为 (n＋4)。 【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，然后利 用矩形的性质，设 PB＝x，可得方程 x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对 角线 PQ，DC 的长不可能相等。 问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，可得 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H，易证得 Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得 BH＝4，则可得当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为 4。 问题 3 ：设 PQ 与 DC 相交于点 G ， PE∥CQ ， PD ＝ DE ，可得 DG PD 1=GC CQ 2 ，易证得 Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得 BH 的长，即可求得答案。 问题 4：作 QH∥PE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CK⊥CD，交 QH 的延长线于 K，易证得 与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH 是等腰直角三角形，继而可求得 CK 的值，即可求得答案。 8 例 4.（2012 四川广元 3 分） 如图，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 在直线 yx 上运动，当线段 AB 最短 时，点 B 的坐标为【 】 A.（0，0） B.（ 2 1 ， 2 1 ） C.（ 2 2 ， 2 2 ） D.（ 2 2 ， 2 2 ） 例 5.（2012 四川乐山 3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF．在此运动变化的过程 中，有下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形 CEDF 不可能为正方形； ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④点 C 到线段 EF 的最大距离为 ． 其中正确结论的个数是【 】 9 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】①连接 CD（如图 1）。 ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。 ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。 ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE 是等腰直角三角形。 故此结论正确。 ②当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，∵由三角形中位线定理，DE 平行且等于 1 2 BC。 ∴四边形 CEDF 是平行四边形。 又∵E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，∴四边形 CEDF 是菱形。 又∵∠C=90°，∴四边形 CEDF 是正方形。 故此结论错误。 ③如图 2，分别过点 D，作 DM⊥AC，DN⊥BC，于点 M，N， 由②，知四边形 CMDN 是正方形，∴DM=DN。 由①，知△DFE 是等腰直角三角形，∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 ∴由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。 ∴四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 ④由①，△DEF 是等腰直角三角形，∴DE= 2 EF。 当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此时点 C 到线段 EF 的最大距离为 。 故此结论正确。 10 故正确的有 2 个：①④。故选 B。 例 6.（2012 四川成都 4 分）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼 图： 第一步：如图①，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使 用)； 第二步：如图②，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M， 线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 第三步：如图③，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右 侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的 四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm． 【答案】20；12+ 4 13 。 【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。 【分析】画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2 的示意图，如答图 1 所示。 图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC， M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形 中位线定理）。 又∵M1M2∥N1N2，∴四边形 M1N1N2M2 是一个平行四边形， 其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。 ∵BC=6 为定值，∴四边形的周长取决于 MN 的大小。 如答图 2 所示，是剪拼之前的完整示意图。 过 G、H 点作 BC 边的平行线，分别交 AB、CD 于 P 点、Q 点，则四边形 PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD 的一半。 11 ∵M 是线段 PQ 上的任意一点，N 是线段 BC 上的任意一点， ∴根据垂线段最短，得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离，即 MN 最小值为 4； 而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度，即 2 2 2 2PB BC 4 6 2 13    。 ∵四边形 M1N1N2M2 的周长=2BC+2MN=12+2MN， ∴四边形 M1N1N2M2 周长的最小值为 12+2×4=20；最大值为 12+2×2 13 =12+ 4 13 。 例 7. （2012 四川乐山 3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别 在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF．在此运动变化的过 程中，有下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形 CEDF 不可能为正方形； ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④点 C 到线段 EF 的最大距离为 ． 其中正确结论的个数是【 】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】①连接 CD（如图 1）。 ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。 ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。 ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE 是等腰直角三角形。 故此结论正确。 ②当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，∵由三角形中位线定理，DE 平行且等于 1 2 BC。 ∴四边形 CEDF 是平行四边形。 12 又∵E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，∴四边形 CEDF 是菱形。 又∵∠C=90°，∴四边形 CEDF 是正方形。 故此结论错误。 ③如图 2，分别过点 D，作 DM⊥AC，DN⊥BC，于点 M，N， 由②，知四边形 CMDN 是正方形，∴DM=DN。 由①，知△DFE 是等腰直角三角形，∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 ∴由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。 ∴四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 ④由①，△DEF 是等腰直角三角形，∴DE= 2 EF。 当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此 时点 C 到线段 EF 的最大距离为 。 故此结论正确。 故正确的有 2 个：①④。故选 B。 例 8. （2012 浙江宁波 3 分）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 2 ，D 是线段 BC 上的 一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 ▲ ． 【答案】 3 。 【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数 值。 【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，此时线段 EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径 OE 最短时，EF 最短。如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OH⊥EF， 垂足为 H。 ∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=2 2 ， 13 ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为 2。 由圆周角定理可知∠EOH= 1 2 ∠EOF=∠BAC=60°， ∴在 Rt△EOH 中，EH=OE•sin∠EOH=1× 33=22 。 由垂径定理可知 EF=2EH= 3 。 例 9. （2012 四川自贡 12 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形， 点 E、F 分别在菱形的边 BC．CD 上滑动，且 E、F 不与 B．C．D 重合． （1）证明不论 E、F 在 BC．CD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BC．CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC ∵四边形 ABCD 为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。 ∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。 ∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。 ∴BE=CF。 （2）四边形 AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则 S△ABE=S△ACF。 ∴S 四边形 AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作 AH⊥BC 于 H 点，则 BH=2， 22 AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4 322       四 形边 。 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短． 14 故△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 S△CEF=S 四边形 AECF﹣S△AEF，则此时△CEF 的面积就会最大． ∴S△CEF=S 四边形 AECF﹣S△AEF    2214 3 2 3 2 3 3 32      。 ∴△CEF 的面积的最大值是 3 。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证△ABC、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而 求证△ABE≌△ACF，即可求得 BE=CF。 （2）由△ABE≌△ACF 可得 S△ABE=S△ACF，故根据 S 四边形 AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△AEF 的面积 会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 S△CEF=S 四边形 AECF－S△AEF， 则△CEF 的面积就会最大。 例 10.（2012 浙江义乌 10 分）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针 方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程 中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值． 【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°。 ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。 （2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。 15 ∴ 1 1 BABA BC BC ，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。 ∴△ABA1∽△CBC1。∴ 1 1 22 ABA CBC S AB 4 16 S CB 5 25               。 ∵S△ABA1=4，∴S△CBC1= 25 4 。 （3）过点 B 作 BD⊥AC，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形，∴点 D 在线段 AC 上。 在 Rt△BCD 中，BD=BC×sin45°= 5 22 。 ①如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP1 最小。 最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2。 ②如图 2，当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP1 最大。 最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。 【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角 形的判定和性质。 【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三 角形的性质，即可求得∠CC1A1 的度数。 （2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1， 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1 的面积。 （3）由 ①当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时， EP1 最小；②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时， EP1 最大，即可求得线段 EP1 长度的最大值与最小值。 例11. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且 ∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ． （2）若∠B=45°，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合）， ①求 CE 的最大值； 16 ②若△ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长． （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。 （2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形。 ∴ 22AC BC 2 222    。 ∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。 ∴AD：AC=AE：AD，∴ 22AD ADAE AC 2  22 AD2 。 当 AD 最小时，AE 最小，此时 AD⊥BC，AD= 1 2 BC=1。 ∴AE 的最小值为 222122 。∴CE 的最大值= 222 22。 ②当 AD=AE 时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。 ∴点 D 与 B 重合，不合题意舍去。 当 EA=ED 时，如图 1，∴∠EAD=∠1=45°。 ∴AD 平分∠BAC，∴AD 垂直平分 BC。∴BD=1。 当 DA=DE 时，如图 2， ∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。 ∴DC=CA= 2 。∴BD=BC－DC=2－ 2 。 综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为 1 或 2－ 。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。 【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得 AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C 得到 ∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 （2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB 为等腰直角三角形，则 ，由 ∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有 AD：AC=AE：AD，即 17 22AD ADAE AC 2  22 AD2 ，当 AD⊥BC，AD 最小，此时 AE 最小，从而由 CE=AC－AE 得到 CE 的最 大值。 ②分当 AD=AE，， EA=ED，DA=DE 三种情况讨论即可。 练习题： 1. （2011 浙江衢州 3 分）如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 2.（2011 四川南充 8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是 BC 的中 点． （1）求证：△MDC 是等边三角形； （2）将△MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD′）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC′）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果 存在，请计算出△AEF 周长的最小值． 3.（2011 浙江台州 4 分）如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【 】 A． 13 B． 5 C．3 D．2 18 4.（2011 河南省 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接 BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 ▲ ． 5.（2011 云南昆明 12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 B→C→A 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求 AC、BC 的长； （2）设点 P 的运动时间为 x（秒），△PBQ 的面积为 y（cm2），当△PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQ⊥AB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明 理由； （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使△BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不 存在，请说明理由． 三、应用轴对称的性质求最值： 典型例题： 例 1. （2012 山东青岛 3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm． 19 【答案】15。 【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于 点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离，且 AP=BP。 由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 2 2 2 2BC DC BD 9 12 15     。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。 例 2. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上分 别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】 A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B。 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。 【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M ＋∠A″)即可得出答案： 如图，作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 A′A″即为 △AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。 20 ∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。 ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。 ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。 故选 B。 例 3. （2012 福建莆田 4 分）点 A、Ｂ均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点， 则 OP OQ ＝ ▲ ． 【答案】5。 【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与 方程的关系。 【分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q，求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论： 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P， 由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PA－PB|的值最大的点。 ∵点 B 是正方形 ADPC 的中点， ∴P（3，0）即 OP=3。 作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q，则 A′B 即为 QA+QB 的最小值。 ∵A′（-1，2），B（2，1）， 设过 A′B 的直线为：y=kx+b， 21 则 2 k b 1 2k b      ，解得 1k 3 5b 3     。∴Q（0， 5 3 ），即 OQ= 5 3 。 ∴OP•OQ=3× 5 3 =5。 例 4. （2012 四川攀枝花 4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一 动点，则 PE+PB 的最小值为 ▲ ． 【答案】 25。 【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。 【分析】连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。 ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称，∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 ∵AB=4，E 是 BC 的中点，∴CE=2。 在 Rt△CDE 中， 2 2 2 2DE= CD +CE 4 +2 2 5。 例 5. （2012 广西贵港 2 分）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN＝20，AC＝8，BD＝6，则 PA＋PB 的最小值是 ▲ 。 【答案】14 2。 【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。 【分析】∵MN＝20，∴⊙O 的半径＝10。 连接 OA、OB， 22 在 Rt△OBD 中，OB＝10，BD＝6， ∴OD＝ OB2－BD2＝ 102－62＝8。 同理，在 Rt△AOC 中，OA＝10，AC＝8， ∴OC＝ OA2－AC2＝ 102－82＝6。 ∴CD＝8＋6＝14。 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′，则 AB′即为 PA＋PB 的最小值，B′D＝BD＝6，过点 B′ 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E。 在 Rt△AB′E 中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14， ∴AB′＝ AE2＋B′E2＝ 142＋142＝14 2。 例 6. （2012 湖北十堰 6 分）阅读材料： 例：说明代数式 22x 1 (x 3) 4   ＋ 的几何意义，并求它的最小值． 解： 2 2 2 2 2 2x 1 (x 3) 4 (x 0) 1 (x 3) 2          ，如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0） 是 x 轴上一点，则 22(x 0) 1可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， 22(x 3) 2可以看成点 P 与点 B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PA＋PB 的最小 值． 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′，因此，求 PA＋PB 的最小值，只需求 PA′＋PB 的最小值，而 点 A′、B 间的直线段距离最短，所以 PA′＋PB 的最小值为线段 A′B 的长度．为此，构造直角三角形 A′CB， 因为 A′C=3，CB=3，所以 A′B=3 2 ，即原式的最小值为 3 。 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 22(x 1) 1 (x 2) 9     的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、点 B 的距离之和．（填写点 B 的坐标） （2）代数式 22x 49 x 12x 37    的最小值为 ． 【答案】解：（1）（ 2，3）。 （2）10。 23 【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。 【分析】（1）∵原式化为 2 2 2 2(x 1) 1 (x 2) 3     的形式， ∴代数式 22(x 1) 1 (x 2) 9     的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A （1，1）、点 B（2，3）的距离之和。 （2）∵原式化为 2 2 2 2(x 0) 7 (x 6) 1     的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1） 的距离之和。 如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′， ∴求 PA＋PB 的最小值，只需求 PA′＋PB 的最小值，而点 A′、B 间的直线段距离最短。 ∴PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度。 ∵A（0，7）， B（6，1）， ∴A′（0，－7）， A′C=6，BC=8。 ∴ 2 2 2 2A B A C BC 6 8 =10      。 例 7. （2012 四川凉山 8 分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。 如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规 律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（2）），问 题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的： ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′． ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 24 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 得周长最小． （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ． 【答案】解：（1）作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）8． 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连 接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值，即可得出答案： ∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线。 ∵BC=6，BC 边上的高为 4，∴DE=3，DD′=4。 ∴ 2 2 2 2D E DE DD 3 4 5       。 ∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。 练习题： 1. （2011 黑龙江大庆 3 分）如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x 轴上一动点，则△ABP 的周长的 最小值为 ▲ ． 25 2. （2011 辽宁营口 3 分）如图，在平面直角坐标系中，有 A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点 C(a，1)， 当 a＝ ▲ 时，AC＋BC 的值最小． 3.（2011 山东济宁 8 分）去冬今春，济宁市遭遇了 200 年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某 河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村 A 和李村 B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河 道上的大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为 x 轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为 A（2， 3）， B（12，7）。 (1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 O 多远的地方可使所用输水管道最短？ (2) 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 4.（2011 辽宁本溪 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分 别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值【 】 26 A、2 B、4 C、 22 D、 42 5.（2011 辽宁阜新 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的 任意一点，当△AEF 的周长最小时，则 DF 的长为【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2011 贵州六盘水 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 的 中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是 【 】 A．3 B．4 C．5 D．6 7.（2011 甘肃天水 4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线 AC 平分∠BAD， 点 E 在 AB 上，且 AE=2（AE＜AD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 ▲ ． 四、应用二次函数求最值： 典型例题： 例 1. （2012 四川自贡 4 分）正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC．CD 上两个动点，且始终保 持 AM⊥MN，当 BM= ▲ cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 ▲ cm2． 27 【答案】 1 2 ， 5 8 。 【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】设 BM=xcm，则 MC=1﹣xcm， ∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。 ∴△ABM∽△MCN，∴ AB BM MC CN ，即 1x 1 x CN ，解得 CN=x（1﹣x）。 ∴ 22 ABCN 1 1 1 1 1 1 5S 1 [1 x 1 x ] x x x2 2 2 2 2 2 8            四 形 （ ） （ ）边 。 ∵ 1 2 ＜0，∴当 x= cm 时，S 四边形 ABCN 最大，最大值是 5 8 cm2。 例 2.（2012 江苏扬州 3 分）如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE，那么 DE 长的最小值是 ▲ ． 【答案】1。 【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】设 AC＝x，则 BC＝2－x， ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝ 2 x2 ，CE＝ 2 (2 x)2 － 。 ∴∠DCE＝90°。 ∴DE2＝DC2＋CE2＝（ ）2＋[ ]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。 ∴当 x＝1 时，DE2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1。 例 3.（2012 宁夏区 10 分）在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是 BC 上的任意一点（P 与 B、C 不重合）， 过点 P 作 AP⊥PE，垂足为 P，PE 交 CD 于点 E. (1)连接 AE，当△APE 与△ADE 全等时，求 BP 的长； (2)若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定 y 与 x 的函数关系式。当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ (3)若 PE∥BD，试求出此时 BP 的长. 28 【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。 在 Rt△ABP 中，AB=2，∴BP= 2 2 2 2AP AB 3 2 5    。 （2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。 ∴ AB BP PC CE ，即 2x 3 x y 。∴ 213y x x22   。 ∵ 221 3 1 3 9y x x (x )2 2 2 2 8       ∴当 3x 2 时，y 的值最大，最大值是 9 8 。 （2）设 BP=x, 由（2）得 213CE x x22   。 ∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。 ∴ CP CE CB CD ， 即 213xx3x 22 32   ， 化简得 23x 13x 12 0   。 解得 1 4x 3 或 2x3 （不合题意，舍去）。 ∴当 BP= 4 3 时， PE∥BD。 【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行 的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）由△APE≌△ADE 可得 AP=AD=3，在 Rt△ABP 中，应用勾股定理即可求得 BP 的长。 （2）由 AP⊥PE，得 Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得 y 与 x 的函 数关系式。化为顶点式即可求得当 时，y 的值最大，最大值是 。 （3）由 PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得 BP 的长。 例 4.（2012 广东广州 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于 E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． 29 （1）当 α=60°时，求 CE 的长； （2）当 60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数 k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． ②连接 CF，当 CE2﹣CF2 取最大值时，求 tan∠DCF 的值． 【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα= CE BC ，即 sin60°= CE 3 10 2 ，解得 CE=53。 （2）①存在 k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下： 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G， ∵F 为 AD 的中点，∴AF=FD。 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG 和△CFD 中， ∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD， ∴△AFG≌△CFD（AAS）。 ∴CF=GF，AG=CD。 ∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。 ∵AB=5，BC=10，点 F 是 AD 的中点，∴AG=5，AF= 1 2 AD= BC=5。∴AG=AF。 ∴∠AFG=∠G。 在△AFG 中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数 k=3，使得∠EFD=3∠AEF。 ②设 BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在 Rt△BCE 中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。 在 Rt△CEG 中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。 ∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（ CG）2= 1 4 CG2= （200﹣20x）=50﹣5x。 ∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣ 5 2 ）2+50+ 25 4 。 30 ∴当 x= 5 2 ，即点 E 是 AB 的中点时，CE2﹣CF2 取最大值。 此时，EG=10﹣x=10﹣ 5 15=22 ，CE= 2 25 5 15100 x = 100 =42 ， ∴ 5 15 CG 152tan DCF tan G 15EG 3 2       。 【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判 定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）利用 60°角的正弦值列式计算即可得解。 （2）①连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G，利用“角边角”证明△AFG 和△CFD 全等，根据全 等三角形对应边相等可得 CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=GF， 再根据 AB、BC 的长度可得 AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形 的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。 ②设 BE=x，在 Rt△BCE 中，利用勾股定理表示出 CE2，表示出 EG 的长度，在 Rt△CEG 中， 利用勾股定理表示出 CG2，从而得到 CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。 例 5.（2012 江苏镇江 11 分）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP， 以 AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设 BP=x。 ①若，BM= 3 8 ，求 x 的值； ②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，∠BAD=150？并判断此时以 DG、 GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形， ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。 31 ∴△ADM≌△APN（ASA）， ∴AM=AN。 （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ BM BP CP CA ， ∵BN= 3 8 ，AC=2，CP=2－x，∴ 3 x8 2 x 2 ，即 24x 8x+3=0 。 解得 x= 1 2 或 x= 3 2 。 ②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积。 ∵△ADM≌△APN，∴ ADM APNSS 。 ∴ APM ANP APM ADM ADPAMPNS S S S S S        四 形边 。 如图，过点 P 作 PS⊥AB 于点 S，过点 D 作 DT⊥AP 于点 T，则点 T 是 AP 的中 点。 在 Rt△BPS 中，∵∠P=600，BP=x， ∴PS=BPsin600= 3 2 x，BS=BPcos600= x。 ∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－ x。 ∴ 22 2 2 2 213AP AS PS 2 x + x =x 2x+422     ＋ 。 ∴ 2 ADP 1 1 3 3S AP DT AP AP= AP2 2 2 4       。 ∴      222 ADPAMPN 3 3 3 3 3S S S AP x 2x+4 x 1 + 0 x 24 4 4 4 <<      四 形边 。 ∴当 x=1 时，S 的最小值为 33 4 。 ③连接 PG，设 DE 交 AP 于点 O。 若∠BAD=150， ∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。 ∵△APD 和△APE 都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形 ADPE 是菱形。 ∴DO 垂直平分 AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。 ∴∠PGA =900。 32 设 BG=t， 在 Rt△BPG 中，∠B=600，∴BP=2t，PG= 3t 。∴AG=PG= 。 ∴ 3t+t=2，解得 t= 3 －1。∴BP=2t=2 －2。 ∴当 BP=2 －2 时，∠BAD=150。 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 ∵四边形 ADPE 是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。 ∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。 设 AO=a，则 AD=AE=2 a，OD= a。∴DG=DO－GO=（ －1）a。 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（ －1）a=（3－ ）a， HE=2DO－DH=2 a－2a=2（ －1）a。 ∵      222 2 2DG GH 3 1 a + 3 3 a = 16 8 3 a           ，    222HE 2 3 1 a = 16 8 3 a   ， ∴ 2 2 2DG GH HE。 ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用 ASA 证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ADPAMPNSS四 形边 ， 用 x 的代数式表示 S，用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。 ③由∠BAD=150 得到四边形 ADPE 是菱形，应用相关知识求解。 求出 DG、GH、HE 的表达式，用勾股定理逆定理证明。 例 6.（2012 江苏苏州 8 分）如图，已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上 的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与⊙O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为  x 2 x 4<< . 33 ⑴当 5x= 2 时，求弦 PA、PB 的长度； ⑵当 x 为何值时， PD PC 的值最大？最大值是多少？ l P D C B O A 【答案】解：（1）∵⊙O 与直线 l 相切于点 A，AB 为⊙O 的直径，∴AB⊥l。 又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴ PC PA AP AB ，即 PA2=PC·PD。 ∵PC= 5x= 2 ，AB=4，∴ 5PA 4 102   。 ∴在 Rt△APB 中，由勾股定理得： PB 16 10 6   。 （2）过 O 作 OE⊥PD，垂足为 E。 ∵PD 是⊙O 的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。 在矩形 OECA 中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。 ∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。 ∴     2PD PC=2 x 2 4 x = 2x +12x 16       2= 2 x 3 +2 。 ∵ 2 x 4<< ∴当 x=3 时， PD PC 有最大值，最大值是 2。 【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定 和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）由直线 l 与圆相切于点 A，且 AB 为圆的直径，根据切线的性质得到 AB 垂直于直线 l，又 PC 垂直于直线 l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到 AB 与 PC 平行，根据两直线平行内错角相 等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA 与△PAB 34 相似，由相似得比例，将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长，在 Rt△APB 中，由 AB 及 PA 的长，利 用勾股定理即可求出 PB 的长。 （2）过 O 作 OE 垂直于 PD，与 PD 交于点 E，由垂径定理得到 E 为 PD 的中点，再由三个角为 直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出 EC=OA=2，用 PC-EC 的长表示出 PE，根据 PD=2PE 表示出 PD，再由 PC-PD 表示出 CD，代入所求的式子中，整理后得到关于 x 的二次函 数，配方后根据自变量 x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值。 例 7.（2012 山东德州 12 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上 的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）如图 1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。 ∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。 ∴CH=QH。 35 ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。 又∵EF 为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． ∴在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即 2xBE 2+ 8 。 ∴ 2xCF BE EM 2+ x8    。 又∵四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， ∴     2 221 1 x 1 1S BE CF BC= 4+ x 4= x 2x+8= x 2 +62 2 4 2 2          。 ∵ 1042<<，∴当 x=2 时，S 有最小值 6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得 出答案。 （2）先由 AAS 证明△ABP≌△QBP，从而由 HL 得出△BCH≌△BQH，即可得 CH=QH。因此， △PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数 的最值求出即可。 例 8.（2012 陕西省 12 分）如图，正三角形 ABC 的边长为3+ 3 ． （1）如图①，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上．在正三角形 ABC 及其内部， 以 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E'F'P'N' ，且使正方形 的面积最大（不要求写作 法）； （2）求（1）中作出的正方形 的边长； （3）如图②，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 36 【答案】解：（1）如图①，正方形 E'F'P'N' 即为所求。 （2）设正方形 E'F'P'N' 的边长为 x． ∵△ABC 为正三角形，∴ 3AE'=BF'= x3 。 ∴ 23x+ x=3+ 33 。∴ 9+3 3x= 2 3+3 ，即 x=3 3 3 。 （3）如图②，连接 NE，EP，PN，则 0NEP=90 。 设正方形 DEMN 和正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（m≥n）， 它们的面积和为 S，则 NE= 2m ， PE= 2n 。 ∴  2 2 2 2 2 2 2PN =NE +PE =2m +2n =2 m +n . ∴ 2 2 21S=m +n = PN2 。 延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG⊥ND。 在 Rt PGN 中，    222 2 2PN =PG +GN = m+n + m n 。 ∵ 33m+m+n+ n= 3+333 ，即 m+n=3， ∴  291S= + m n22  。 ∴①当 2m n =0 时，即 mn 时，S 最小。 ∴ 219S = 3 =22最小 。 ②当 2mn 最大时，S 最大，即当 m 最大且 n 最小时，S 最大。 ∵ ，由（2）知， m =3 3 3最大 。 37 ∴  n =3 m =3 3 3 3 =6 3 3   最小 最大 。 ∴    2211S = 9+ m n = 9+ 3 3 3 6+3 3 =99 54 322    最大 最大 最小 。 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形 EFPN 的位似正方形 E′F′P′N′，如答图①所示。 （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 E′F′+AE′+BF′=AB， 列方程求得正方形 E′F′P′N′的边长 （3）设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：  29S= + m n2  ，可见 S 的大小只与 m、n 的差有关：①当 m=n 时，S 取得最小值；②当 m 最大而 n 最 小时，S 取得最大值．m 最大 n 最小的情形见第（1）（ 2）问。 例 9. （2012 湖南株洲 8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5 米，AC=12 米．M 点在线段 CA 上， 从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒．运动时间为 t 秒． （1）当 t 为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当 t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】解：（1）∵从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒，运动时间为 t 秒， ∴AM=12﹣t，AN=2t。 ∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即 12﹣t=2t，解得：t=4 秒。 ∴当 t 为 4 时，∠AMN=∠ANM。 （2）如图作 NH⊥AC 于 H， ∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。 ∴△ANH∽△ABC。 ∴ AN NH AB BC ，即 2t NH 13 5 。∴NH=10 t13 。 ∴    22 ABC 1 10 5 60 5 180S 12 t t= t + t= t 6 +2 13 13 13 13 13        。 38 ∴当 t=6 时，△AMN 的面积最大，最大值为180 13 。 【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据 AM=AN，得到关于 t 的方程求得 t 值即可。 （2）作 NH⊥AC 于 H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用 t 表示出 NH，从而计算 其面积得到有关 t 的二次函数求最值即可。 例 10.（2012 湖南衡阳 10 分）如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（ 0，6），点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0＜t＜10 3 ）秒．解答如下问 题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP 的面积为 S， ①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； ②若我们规定：点 P、Q 的坐标分别为（x1，y1），（ x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量 PQ” 的坐标．当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标． 【答案】解：（1）∵A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则 OB=6，OA=8。 ∴ 2 2 2 2AB OB OA 6 8 10     。 如图①，当 PQ∥BO 时，AQ=2t，BP=3t，则 AP=10﹣3t。 ∵PQ∥BO，∴ AP AQ AB AO ，即10 3t 2t 10 5   ，解得 t= 20 11 。 ∴当 t= 秒时，PQ∥BO。 （2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10． ①如图②所示，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，则 PD∥BO。 ∴△APD∽△ABO。 ∴ AP PD AB OB ，即10 3t PD 10 6   ，解得 PD=6﹣ 9 5 t。 39 ∴ 2 21 1 9 9 9 5S AQ PD 2t 6 t = t +6t= t +52 2 5 5 5 3                    。 ∴S 与 t 之间的函数关系式为：S= 295t +553  （0＜t＜10 3 ）。 ∴当 t= 5 3 秒时，S 取得最大值，最大值为 5（平方单位）。 ②如图②所示，当 S 取最大值时，t= ， ∴PD=6﹣ 9 5 t=3，∴PD= 1 2 BO。 又 PD∥BO，∴此时 PD 为△OAB 的中位线，则 OD= OA=4。∴P（4，3）。 又 AQ=2t= ，∴OQ=OA﹣AQ=14 3 ，∴Q（ ，0）。 依题意，“向量 PQ”的坐标为（ ﹣4，0﹣3），即（ 2 3 ，﹣3）． ∴当 S 取最大值时，“向量 PQ”的坐标为（ ，﹣3）。 【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。 【分析】（1）如图①所示，当 PQ∥BO 时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式 AP AQ AB AO ，求 出 t 的值。 （2）①求 S 关系式的要点是求得△AQP 的高，如图②所示，过点 P 作过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D， 构造平行线 PD∥BO，由△APD∽△ABO 得 AP PD AB OB 求得 PD，从而 S 可求出．S 与 t 之间的函数关系 式是一个关于 t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 S 的最大值。 ②求出点 P、Q 的坐标：当 S 取最大值时，可推出此时 PD 为△OAB 的中位线，从而可求出点 P 的 纵横坐标，又易求 Q 点坐标，从而求得点 P、Q 的坐标；求得 P、Q 的坐标之后，代入“向量 PQ”坐标的定 义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。 例 11.（2012 贵州六盘水 16 分）如图 1，已知△ABC 中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2cm/s．连 接 PQ，设运动的时间为 t（单位：s）（ 0≤t≤4）．解答下列问题： 40 （1）当 t 为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP 面积为 S（单位：cm2），当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请 说明理由． （4）如图 2，把 △AQP 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQ′．那么是否存在某时刻 t，使四边形 AQPQ′为菱形？ 若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，∠C 为直角。 （1）BP=2t，则 AP=10﹣2t． 若 PQ∥BC，则 AP AQ AB AC ，即10 2t 2t 10 8   ，解得 20t 9 。 ∴当 s 时，PQ∥BC。 （2）如图 1 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D。 则 PD∥BC，∴△APD∽△ABC。 ∴ AP PD AB BC ，即10 2t PD 10 6   ，解得 6PD 6 t5 。 ∴S= 1 2 ×AQ×PD= ×2t×（ 66t5 ） 2 26 6 5 15t +6t t +5 5 2 2      。 ∴当 t= 5 2 s 时，S 取得最大值，最大值为15 2 cm2。 （3）不存在。理由如下： 假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分， 则有 S△AQP= S△ABC，而 S△ABC= AC•BC=24，∴此时 S△AQP=12。 由（2）可知，S△AQP= 26 t +6t5 ，∴ 26 t +6t5 =12，化简得：t2﹣5t+10=0。 ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分。 （4）存在。 假设存在时刻 t，使四边形 AQPQ′为菱形， 则有 AQ=PQ=BP=2t。 41 如图 2 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，则有 PD∥BC， ∴△APD∽△ABC。 ∴ AP PD AD AB BC AC，即10 2t PD AD 10 6 8  。 解得：PD= 66t5 ，AD= 88t5 ， ∴QD=AD﹣AQ= 8 188 t 2t=8 t55   。 在 Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（ 188t5 ）2+（ ）2=（2t）2， 化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2= 25 13 。 ∵t=5s 时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t= 。 由（2）可知，S△AQP= 26 t +6t5 ∴S 菱形 AQPQ′=2S△AQP=2×（ ）=2×[﹣ 6 5 ×（ ）2+6× ]= 2400 169 。 ∴存在时刻 t= ，使四边形 AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为 cm2。 【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元 二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。 【分析】（1）由 PQ∥BC 时的比例线段关系，列一元一次方程求解。 （2）如图 1 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得 PD，从 而可以得到 S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值。 （3）利用（2）中求得的△AQP 的面积表达式，再由线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分，列出一 元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于 0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分。 （4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得 PQ、QD 和 PD 的长度；然后在 Rt△PQD 中，求得时间 t 的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP 面积的 2 倍，从而可以利 用（2）中△AQP 面积的表达式，这样可以化简计算。 例 12.（2012 山东日照 9 分）如图，矩形 ABCD 的两边长 AB=18cm，AD=4cm，点 P、Q 分别从 A、B 同 时出发，P 在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1cm 的速 度匀速运动．设运动时间为 x 秒，△PBQ 的面积为 y（cm2）. （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 42 【答案】解：（1）∵ PBQ 1S PB BQ2 ， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y= 1 2 （18－2x）x，即 y=－x2＋9x（00，∴y>x。 ∵z－y= 2 5 1 7 45 3 2 6  >0 ∴ z＞y。 ∴ z＞y＞x。 ∴⊙P 的面积 S 的最大值为 4 9  。 【考点】尺规作图，切线的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方 程，二次根式化简，实数的大小比较。 【分析】（1）作出∠B 的角平分线 BD，再过 X 作 OX⊥AB，交 BD 于点 O，则 O 点即为⊙O 的圆心。 （2）由于⊙P 与△ABC 哪两条边相切不能确定，故应分⊙P 与 Rt△ABC 的边 AB 和 BC 相切；⊙P 与 Rt△ABC 的边 AB 和 AC 相切时；⊙P 与 Rt△ABC 的边 BC 和 AC 相切时三种情况进行讨论。 例 10.（2011 山东潍坊 3 分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、 线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是. 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。 【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可：如图， 甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70= 4900 ；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=50 2 59 = 5000 ；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°= 95 22 = 4512.5 ；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90 ×sin60°=45 3 = 6075 。∵ ＜ 4900 ＜ ＜ ，∴GH＜AB＜DE＜JK。可见丁同学所 放的风筝最高。故选 D。 例 11.（2011 安徽省 12 分）在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， 旋转角为 (0°＜ ＜180°)，得到△A1B1C． (1)如图 1，当 AB∥CB1 时，设 A1B1 与 BC 相交于点 D．证明：△A1CD 是等边三角形； (2)如图 2，连接 AA1、BB1，设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图 3，设 AC 的中点为 E，A1B1 的中点为 P，AC＝a，连接 EP．当 ＝ °时，EP 的长 度最大，最大值为 ． 【答案】解：（1）证：∵△A1B1C 是△ABC 旋转得到， ∴∠A1B1C＝∠ABC＝30°，∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠CA1B1＝∠CAB＝60°。 又∵AB∥CB1，∴∠BCB1＝∠ABC＝30°。∴∠A1CD＝60°。∴∠A1DC＝60°。 ∴△A1CD 是等边三角形。 (2)证：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC：CB＝tan∠ABC＝ 33 ： 又∵在△ACA1 和△BCB1 中，∠ACA1＝∠BCB1，AC：CB＝A1C：CB1＝ ， ∴△ACA1∽△BCB1。∴S1∶S2＝ 2 23 :3 =3:9=1:3。 （3）120， 3 2 a 。 【考点】旋转的性质，平行的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，锐角三角函数，相似三角形 的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质。 【分析】（1）易求得△A1CD 的三内角都等于 600， 因此得证。 60 (2) 易证得△ACA1∽△BCB1，且相似比为 33 ：，应用相似三角形面积的比等于对应边的比的 平方的性质，得证。 （3）连接 CP，则 EP≤CE＋CP，当 E、C、P 共线时，EP 最大。由直角三角形斜边上的中线性质 可知，CP＝ 11 22AB a ，故 EP 的最大值为 3 2 a 。没有旋转时∠ACP＝60°，从而当 E、C、P 共线时，旋转 了 1200。 例 12.（黑龙江大庆 3 分）已知⊙O 的半径为 1，圆心 O 到直线 l 的距离为 2，过 l 上的点 A 作⊙O 的切线， 切点为 B，则线段 AB 的长度的最小值为【 】 A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】C。 【考点】点到直线的距离的定义，切线的性质，勾股定理。 【分析】先连接 OB，易知△AOB 是直角三角形，再利用勾股 定理即可求出 AB： AB 2 2 2 2AO OB 2 1 3     。故选 C。 例 13.（四川资阳 9 分）在一次机器人测试中，要求机器人从 A 出发到达 B 处．如图 1， 已知点 A 在 O 的正西方 600cm 处，B 在 O 的正北方 300cm 处，且机器人在射线 AO 及其右侧(AO 下方) 区域的速度为 20cm/秒，在射线 AO 的左侧(AO 上方)区域的速度为 10cm/秒． (1) 分别求机器人沿 A→O→B 路线和沿 A→B 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒)；(3 分) (2) 若∠OCB=45°，求机器人沿 A→C→B 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒)；(3 分) (3) 如图 2,作∠OAD=30°，再作 BE⊥AD 于 E,交 OA 于 P．试说明：从 A 出发到达 B 处，机器人沿 A→P→B 路线行进所用时间最短．(3 分) (参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 5 ≈2.236， 6 ≈2.449) 【答案】解：(1) 沿 A→O→B 路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60(秒)， 在 Rt△OBA 中，由勾股定理，得 AB= 22600 300 =300 5 (cm)。 61 ∴沿 A→B 路线行进所用时间为：300 5 ÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。 (2) 在 Rt△OBC 中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC= OB=300cm，BC= 300 sin 45º=300 2 (cm)。 ∴AC=600－300=300(cm)。 ∴沿 A→C→B 路线行进所用时间为：AC÷20+BC÷10=300÷20+300 ÷10≈15+42.42≈57(秒)。 (3) 在 AO 上任取异于点 P 的一点 P′，作 P′E′⊥AD 于 E′，连结 P′B， 在 Rt△APE 和 Rt△AP′E′中，sin30°= EP E P AP AP   ， ∴EP= AP 2 ，E′P′= AP 2  。 ∴沿 A→P→B 路线行进所用时间为： AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10= 1 10 BE(秒)； 沿 A→P′→B 路线行进所用时间为： AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10= (E′P′+P′B)(秒)。 连结 BE′，则 E′P′+P′B > BE′>BE，∴ BE < (E′P′+P′B)。 ∴ 沿 A→P→B 路线行进所用时间，小于沿 A→P′→B 路线行进所用时间， 即机器人沿 A→P→B 路线行进所用时间最短。 【考点】动态型问题，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，垂线段的性质。 【分析】(1)直接由速度、路程和时间的关系可求沿 A→O→B 路线行进所用时间；由勾股定理求出 AB 的 长即可求得沿 A→B 路线到达 B 处所用的时间。 （2）由锐角三角函数求出 BC 的长，即可求出沿 A→C→B 路线行进所用时间。 （3）根据垂线段最短的性质即可求得。 例 14.（2011 江西南昌 7 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为弦 BC 所对优弧上 任意一点（B，C 两点除外）． （1）求∠BAC 的度数； （2）求△ABC 面积的最大值． （参考数据： 3sin 60 2 ， 3cos30 2 ， 3tan 30 3 .） 【答案】解：(1)连接 BO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 CD。 ∵BD 是直径，∴BD=4， 0DCB 90。 62 在 Rt△DBC 中， BC 2 3 3sin BDC BD 4 2    ， ∴ BDC 60，∴ 0BAC BDC 60    。 (2) 因为△ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时 点 A 落在优弧 BC 的中点处。 过 O 作 OE⊥BC 于 E，延长 EO 交⊙O 于点 A，则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB，AC， 则 AB=AC， 01BAE BAC 302    。 在 Rt△ABE 中，∵ 0BE 3, BAE 30   ， ∴ BE 3AE 3tan 30 3 3    。 ∴S△ABC= 1 2 3 3 3 32    。 答：△ABC 面积的最大值是33。 【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接 BO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在 Rt△DBC 中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 BDC 的度数，再由圆周角定理即可求解。 （2））因为△ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点 A 应落在优弧 BC 的中点处，过 OE⊥BC 与点 E，延长 EO 交⊙O 于点 A，则 A 为优弧 BC 的中点，连接 AB， AC，则 AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE 的度数，在 Rt△ABE 中，利用锐角三角函数的定义及特殊 角的三角函数值可求出 AE 的长，由三角形的面积公式即可解答。