学生用中考数学专题复习题8 几何最值问题解法探讨 9页

‎【2014年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。‎ 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。‎ 一、 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：‎ 典型例题：例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】‎ A．　　　B．　　　C．5　　　D．‎ 例2.在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。‎ 例3.如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ 。‎ 例4. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ▲ ．‎ 练习题：‎ ‎1. 如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】‎ A‎.13cm B‎.12cm C‎.10cm D‎.8cm ‎2.如图，圆柱的底面周长为‎6cm，AC是底面圆的直径，高BC=‎6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 A、㎝ B、‎5cm C、㎝ D、‎‎7cm ‎3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ．‎ 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ． ‎ 例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎　 A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ 例5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是【 】‎ A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 例8. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．‎ 练习题：‎ ‎1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】‎ ‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ ‎3.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】A． B． C．3 D．2‎ ‎4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 ▲ 　．‎ ‎5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=‎10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为‎1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为‎2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ ‎（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ 三、应用轴对称的性质求最值：‎ 典型例题：例1. 如图，圆柱形玻璃杯高为‎12cm、底面周长为‎18cm，在杯内离杯底‎4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿‎4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm． ‎ 例2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周 长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】‎ A．130° B．120° C．110° D．100° ‎ 例3. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　▲　　．‎ 例4. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．‎ 例5.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　▲　　。‎ 练习题：‎ ‎1.如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为 ▲ ．‎ ‎2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．‎ ‎4.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】‎ ‎ A、2 B、‎4 C、 D、‎ ‎5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．‎ 四、应用二次函数求最值：典型例题：‎ 例1. 正方形ABCD的边长为‎1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm2．‎ 例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；‎ ‎(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ ‎(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.‎ 例9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=‎5米，AC=‎12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为‎1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为‎2米/秒．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．‎ 例11.如图1，已知△ABC中，AB=‎10cm，AC=‎8cm，BC=‎6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为‎2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC．‎ ‎（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．‎ ‎（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．‎ 例12.如图，矩形ABCD的两边长AB=‎18cm，AD=‎4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒‎2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒‎1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.‎ 例13.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．‎ 例14.在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB ‎(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。‎ 例16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．‎ ‎（1）求证：△BMD∽△CNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？‎ ‎（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．‎ 练习题：‎ ‎1. 在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？‎ ‎（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎2.如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。(1) 求CD的长及∠1的度数；‎ ‎(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?‎ ‎4. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．‎ ‎ （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求 出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．‎ ‎5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。‎ 点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点 A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，‎ 以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（＞0），正 方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.（1）当＝1时，正方形EFGH的边长是 ；‎ 当＝3时，正方形EFGH的边长是 ；‎ ‎（2） 当0＜≤2时，求S与的函数关系式；‎ ‎（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ ‎6.如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？‎ ‎（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．‎ ‎①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．‎ ‎ ‎ 五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝‎4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【 】‎ ‎ A、 B、‎8cm C、 D、 例2.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 例3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【 】 ‎ A、3.5 B、‎4.2 ‎‎ C、5.8 D、7‎ 例4.已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB的长度的最小值为【 】‎ A．1 B． C． D．2‎ 例5．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣x﹣6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎6‎ ‎　‎