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- 2021-11-06 发布
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得分________卷后分________评价________
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.用配方法将二次函数 y=x2-8x-9 化为 y=a(x-h)2+k 的形式为(B)
A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25
2.如图,点 A,B,C 在⊙O 上,若∠AOB=72°,则∠ACB 的度数为(D)
A.28°B.54°C.18°D.36°
第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 9 第 6 题图
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若斜边 AB 的长是直角边 BC 的 3 倍,则 tanB 的值是(D)
A.1
3B.3C. 2
4 D.2 2
4.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴为直线 x=1,则下列结论正确的是
(D)
A.ac>0B.b<0C.b2-4ac<0D.2a+b=0
5.如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC,CD 是⊙O 的两条弦,且 CD∥AB,若⊙O
的半径为 5,CD=8,则弦 AC 的长为(D)
A.10B.8C.4 3D.4 5
6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=5,点 E 在 DC 上,将矩形 ABCD 沿 AE 直线
折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处,那么 cos∠EFC 的值是(A)
A.3
5B.4
5C.1
2D. 3
2
7.我国北斗导航装备的不断更新,极大地方便了人们的出行.某中学组织学生利用导航
到 C 地进行社会实践活动,到达 A 地时,发现 C 地恰好在 A 地的正北方向,导航显示路线
应沿北偏东 60°方向走到 B 地,再沿北偏西 37°方向走才能到达 C 地,如图所示,已知 A,
B 两地相距 6km,则 A,C 两地的距离约为(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°
≈1.33, 3≈1.73)(C)
A.12kmB.10.8kmC.9.9kmD.8.6km
第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
8.如图是一座抛物线形拱桥,P 处有一照明灯,水面 OA 宽 4m,分别从 O,A 两处观
测 P 处,仰角分别为α,β,且 tanα=1
2
,tanβ=3
2
,以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建
立平面直角坐标系,若水面上升 1m,则水面的宽为(A)
A.2 2mB.2 3mC.3 2
2 mD. 3
2 m
9.如图,在正方形 ABCD 中,AB=12,点 E 为 BC 的中点,以 CD 为直径作半圆 CFD,
点 F 为半圆的中点,连接 AF,EF,则图中阴影部分的面积是(C)
A.18+36πB.24+18πC.18+18πD.12+18π
10.如图,点 P 是以 AB 为直径的半圆上的一动点,CA⊥AB,PD⊥AC 于点 D,连接
AP,设 AP=x,PA-PD=y,则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是(C)
A B C D
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
11.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=6,cosB=2
3
,则 BC 的长为__4__.
12.已知抛物线y=-x2+2x+3 上有两点A(-7,y1),B(8,y2),则 y1”“<”或“=”).
13.如图,AB,CD 是⊙O 的两条直径,E 为 AD 上的一点,若∠D=55°,则∠E=__35°
__.
第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图
14.如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2 2,∠BAC=45°,把△ABC 绕点 B 顺时针旋
转 60°到△A′BC′的位置,则顶点 C 经过的路线长为__2
3π__.
15.设计师以 y=2x2-4x+8 的图形为灵感设计的杯子如图所示.若 AB=4cm,DE=3cm,
则杯子的高 CE=__11__cm.
16.如图,抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 D,以 AB 为直径的
半圆交 y 轴于点 C,则线段 CD 的长为__3+ 3__.
17.(滨州中考)如图,⊙O 是正方形 ABCD 的内切圆,切点分别为 E,F,G,H,ED 与
⊙O 相交于点 M,则 sin∠MFG 的值为 5
5
.
18.在△ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有 AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立.依据以
上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,点 P 在以 DE 为直
径的半圆上运动,则 PF2+PG2 的最小值为__10__.
三、解答题(共 66 分)
19.(8 分)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3 3,解这个直角三角形.
解:在 Rt△ABC 中,∵∠A=30°,AC=3 3,∴BC=AC·tanA=3 3·tan30°=3,AB
= AC
cosA= 3 3
cos30°=6,∠B=90°-30°=60°
20.(8 分)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A,B,C 三点.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出不等式 ax2+bx+c>-3 的解集.
解:(1)易得 y=ax2 +bx-3,将 A(-1,0),C(4,5)两点的坐标分别代入,得
a-b-3=0,
16a+4b-3=5,解得
a=1,
b=-2,∴二次函数的表达式为 y=x2-2x-3
(3)点 B 关于对称轴的对称点为(2,-3),∴ax2+bx+c>-3 的解集为 x<0 或 x>2
21.(8 分)如图,AB 与⊙O 相切于点 C,OA,OB 分别交⊙O 于点 D,E,且 CD = CE .
(1)求证:OA=OB;
(2)已知 AB=4 3,OA=4,求阴影部分的面积.
解:(1)证明:连接 OC,∵AB 与⊙O 相切于点 C,∴∠ACO=∠BCO=90°.又∵ CD =
CE ,∴∠AOC=∠BOC,∴∠A=∠B,∴OA=OB
(2)由(1)可知△OAB 是等腰三角形,∴BC=1
2AB=2 3,∴sin∠COB=BC
OB= 3
2
,∴∠COB
=60°,∴∠B=30°,∴OC=1
2OB=2,∴S 扇形 OCE=60π×4
360
=2π
3
,S△OCB=1
2
×2 3×2=
2 3,∴S 阴影=S△OCB-S 扇形 OCE=2 3-2
3
π
22.(10 分)如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45°,再
沿 AC 方向前进 73.2m 到达山脚 B 处,测得塔尖 D 的仰角为 60°,塔底 E 的仰角为 30°,
求塔高 DE(精确到 0.1m, 3≈1.732).
解:∵∠DBC=60°,∠EBC=30°,∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=30°,∠BDE=30°,
∴∠BDE=∠DBE,∴BE=DE.设 EC=xm,则 BE= EC
sin∠EBC=2x(m),BC= EC
tan∠EBC=
3x(m),∴DE=BE=2x(m),∴DC=EC+DE=x+2x=3x(m).∵∠DAC=45°,∴AC=
CD
tan∠DAC=3x(m),∴BC=AC-AB=(3x-73.2)(m),∴ 3x=3x-73.2,∴x= 73.2
3- 3
,∴DE
=2x=2× 73.2
3- 3
≈115.5(m),∴塔高约为 115.5m
23.(10 分)(随州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边 AB 上的中线 CD 为
直径作⊙O,与 BC 交于点 M,与 AB 的另一个交点为 E,过 M 作 MN⊥AB,垂足为 N.
(1)求证:MN 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O 的直径为 5,sinB=3
5
,求 ED 的长.
解:(1)证明:连接 OM,∵OC=OM,∴∠OCM=∠OMC.∵CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB
上的中线,∴CD=1
2AB=BD,∴∠DCB=∠B,∴∠OMC=∠B,∴OM∥BD.又∵MN⊥AB,
∴OM⊥MN,∴MN 是⊙O 的切线
(2)连接 DM,CE,∵CD 是⊙O 的直径,∴∠CED=∠DMC=90°,即 DM⊥BC,CE
⊥AB.又∵由(1)知 BD=CD=5,∴M 为 BC 的中点.∵sinB=3
5
,∴cosB=4
5
,∴BM=BD·cosB
=4,∴BC=2BM=8,∴BE=BC·cosB=8×4
5
=32
5
,∴ED=BE-BD=32
5
-5=7
5
24.(10 分)(青岛中考)某公司生产 A 型活动板房的成本是每个 425 元.图①表示 A 型活
动板房的一面墙,它由矩形和抛物线构成,矩形的长 AD=4m,宽 AB=3m,抛物线的最高
点 E 到 BC 的距离为 4m.
(1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用 y=kx2+m(k≠0)表示,求该抛物线的函数
表达式;
(2)现将 A 型活动板房改造为 B 型活动板房,如图②,在抛物线与 AD 之间的区域内加装
一扇长方形窗户 FGMN,点 G,M 在 AD 上,点 N,F 在抛物线上,窗户的成本为 50 元/m2.
已知 GM=2m,求每个 B 型活动板房的成本是多少;(每个 B 型活动板房的成本=每个 A 型
活动板房的成本+一扇窗户 FGMN 的成本)
(3)根据市场调查,以单价 650 元销售(2)中的 B 型活动板房,每月能售出 100 个,而单价
每降低 10 元,每月能多售出 20 个.公司每月最多能生产 160 个 B 型活动板房.不考虑其他
因素,公司将销售单价 n(元)定为多少时,每月销售 B 型活动板房所获利润 w(元)最大?最大
利润是多少?
解:(1)把 D(2,0),E(0,1)两点的坐标代入 y=kx2+m,得 m=1,
4k+m=0,
得
k=-1
4
,
m=1,
∴
该抛物线的函数表达式为 y=-1
4x2+1
(2)当 x=1 时,y=-1
4x2+1=3
4
,∴N(1,3
4),∴MN=3
4m,∴S 矩形 FGMN=MN·GM=3
4
×2
=3
2(m2),∴每个 B 型活动板房的成本是 425+3
2
×50=500(元)
(3)根据题意,得 w=(n-500)[100+20(650-n)
10
]=-2n2+2400n-700000=-2(n-
600)2+20000,∵每月最多能生产 160 个 B 型活动板房,∴100+20(650-n)
10
≤160,解得
n≥620,∴当 n=620 时,w 有最大值,w 最大值=19200 元,∴公司将销售单价 n(元)定为 620
元时,每月销售 B 型活动板房所获利润 w(元)最大,最大利润是 19200 元
25.(12 分)如图①,在平面直角坐标系中,一次函数 y=-3
4x+3 的图象与 x 轴交于点 A,
与 y 轴交于点 B,抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A,B 两点,在第一象限的抛物线上取一点 D,
过点 D 作 DC⊥x 轴于点 C,交直线 AB 于点 E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)是否存在点 D,使得△BDE 和△ACE 相似?若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,
请说明理由;
(3)如图②,F 是第一象限内抛物线上的一动点(不与点 D 重合),点 G 是线段 AB 上的动
点,连接 DF,FG,当四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大时,请直接写出点 G 的坐标.
解:(1)y=-x2+13
4 x+3
(2)存在,理由如下:过点 B 作 BH⊥CD 于点 H,设 C(t,0),且 0<t<4,则 D(t,-t2
+13
4 t+3),E(t,-3
4t+3),H(t,3),∴EC=-3
4t+3,AC=4-t,BH=t,DH=-t2+13
4 t,
DE=-t2+4t.∵∠BED=∠AEC,∴①当∠BDE=∠ACE=90°时,△BDE∽△ACE,∴BD
DE
=AC
CE
,∴BD·CE=AC·DE,∴t(-3
4t+3)=(4-t)(-t2+4t),解得 t1=0(舍去),t2=4(舍去),
t3=13
4
,∴D(13
4
,3);②当∠BDE=∠CAE 时,△DBE∽△ACE,则BH
DH=tan∠BDE=tan∠
CAE=CE
AC
,∴BH·AC=CE·DH,∴t(4-t)=(-3
4t+3)(-t2+13
4 t),解得 t1=0(舍),t2=4(舍),
t3=23
12
,∴D(23
12
,50
9 ).综上所述,点 D 的坐标为(13
4
,3)或(23
12
,50
9 )
(3)∵四边形 DEGF 是平行四边形,∴DE∥FG,DE=FG.设 D(m,-m2+13
4 m+3),F(n,
-n2+13
4 n+3),且 0<m<4,n<4,m≠n,则 E(m,-3
4m+3),G(n,-3
4n+3),则 DE=
-m2+4m,FG=-n2+4n,∴-m2+4m=-n2+4n,即(m-n)(m+n-4)=0.∵m-n≠0,
∴m+n-4=0,即 m+n=4.过点 G 作 GK⊥CD 于点 K,则 GK∥AC,∴∠EGK=∠BAO,
∴GK
EG=cos∠EGK=cos∠BAO=AO
AB
,即 GK·AB=AO·EG,∴5(n-m)=4EG,即 EG=5
4(n-
m),∴C▱DEGF=2(DE+EG)=2[(-m2+4m)+5
4(n-m)]=-2(m-3
4)2+89
8
,∴当 m=3
4时,∴▱
DEGF 周长最大为89
8
,此时点 G(13
4
, 9
16)