连云港市中考数学试卷含答案解析 19页

江苏省连云港市2018年中考数学试卷（解析版）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（2018年江苏省连云港市）﹣8的相反数是（　　）‎ A．﹣8 B． C．8 D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣8的相反数是8，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．（2018年江苏省连云港市）下列运算正确的是（　　）‎ A．x﹣2x=﹣x B．2x﹣y=xy C．x2+x2=x4 D．（x﹣l）2=x2﹣1‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（B）原式=2x﹣y，故B错误；‎ ‎（C）原式=2x2，故C错误；‎ ‎（D）原式=x2﹣2x+1，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎3．（2018年江苏省连云港市）地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.5×108 B．1.5×107 C．1.5×109 D．1.5×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：150 000 000=1.5×108，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（2018年江苏省连云港市）一组数据2，1，2，5，3，2的众数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多，‎ 所以众数为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．‎ ‎　‎ ‎5．（2018年江苏省连云港市）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解：∵共6个数，大于3的有3个，‎ ‎∴P（大于3）==；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎6．（2018年江苏省连云港市）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．‎ ‎　‎ ‎7．（2018年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　）‎ A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面 C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m ‎【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．‎ ‎【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；‎ B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；‎ C、当t=10时h=141m，此选项错误；‎ D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．‎ ‎　‎ ‎8．（2018年江苏省连云港市）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2‎ ‎【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BA=BC，AC⊥BD，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵点A（1，1），‎ ‎∴OA=，‎ ‎∴BO=，‎ ‎∵直线AC的解析式为y=x，‎ ‎∴直线BD的解析式为y=﹣x，‎ ‎∵OB=，‎ ‎∴点B的坐标为（，），‎ ‎∵点B在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得，k=﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，毎小题3分，共24分,不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（2018年江苏省连云港市）使有意义的x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．‎ ‎【解答】解：根据二次根式的意义，得 x﹣2≥0，解得x≥2．‎ ‎【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎　‎ ‎10．（2018年江苏省连云港市）分解因式：16﹣x2=　（4+x）（4﹣x）　．‎ ‎【分析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．‎ ‎【解答】解：16﹣x2=（4+x）（4﹣x）．‎ ‎【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2018年江苏省连云港市）如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为　1：9　．‎ ‎【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∵AD：DB=1：2，‎ ‎∴AD：AB=1：3，‎ ‎∴S△ADE：S△ABC是1：9．‎ 故答案为：1：9．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2018年江苏省连云港市）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为　y1＜y2　．‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=﹣，﹣4＜0，‎ ‎∴在每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，﹣4＜﹣1，‎ ‎∴y1＜y2，‎ 故答案为：y1＜y2．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．‎ ‎　‎ ‎13．（2018年江苏省连云港市）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　2π　cm．‎ ‎【分析】根据弧长公式可得结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，扇形的弧长为=2π，‎ 故答案为：2π ‎【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2018年江苏省连云港市）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=　44°　．‎ ‎【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥BC，‎ ‎∴∠OBA+∠CBP=90°，‎ ‎∵OC⊥OA，‎ ‎∴∠A+∠APO=90°，‎ ‎∵OA=OB，∠OAB=22°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=22°，‎ ‎∴∠APO=∠CBP=68°，‎ ‎∵∠APO=∠CPB，‎ ‎∴∠CPB=∠ABP=68°，‎ ‎∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，‎ 故答案为：44°‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎15．（2018年江苏省连云港市）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为　﹣　．‎ ‎【分析】由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB ‎∵AB=2，OA2+OB2=AB2‎ ‎∴OA=OB=‎ ‎∴A点坐标是（，0），B点坐标是（0，）‎ ‎∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点 ‎∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=﹣1，b=‎ ‎∴=﹣‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．‎ ‎　‎ ‎16．（2018年江苏省连云港市）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为　2　．‎ ‎【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，连接BD．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=，‎ ‎∵CG=DG，CF=FB，‎ ‎∴GF=BD=，‎ ‎∵AG⊥FG，‎ ‎∴∠AGF=90°，‎ ‎∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，‎ ‎∴∠DAG=∠CGF，‎ ‎∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴b2=2a2，‎ ‎∵a＞0．b＞0，‎ ‎∴b=a，‎ 在Rt△GCF中，3a2=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴AB=2b=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（2018年江苏省连云港市）计算：（﹣2）2+20180﹣‎ ‎【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．‎ ‎【解答】解：原式=4+1﹣6=﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．‎ ‎　‎ ‎18．（2018年江苏省连云港市）解方程：﹣=0‎ ‎【分析】根据灯饰的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：两边乘x（x﹣1），得 ‎3x﹣2（x﹣1）=0，‎ 解得x=2，‎ 经检验：x=2是原分式方程的解．‎ ‎【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．‎ ‎　‎ ‎19．（2018年江苏省连云港市）解不等式组：‎ ‎【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，得x＜2，‎ 解不等式②，得x≥﹣3，‎ 不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图 ‎，‎ 原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2018年江苏省连云港市）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．某社区为了了解家庭对于文化教育的消费悄况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．‎ 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次被调査的家庭有　150　户，表中 m=　42　；‎ ‎（2）本次调查数据的中位数出现在　B　组．扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是　36　度；‎ ‎（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？‎ 组別 家庭年文化教育消费金额x（元）‎ 户数 A x≤5000‎ ‎36‎ B ‎5000＜x≤10000‎ m C ‎10000＜x≤15000‎ ‎27‎ D ‎15000＜x≤20000‎ ‎15‎ E x＞20000‎ ‎30‎ ‎【分析】（1）依据A组或E组数据，即可得到样本容量，进而得出m的值；‎ ‎（2）依据中位数为第75和76个数据的平均数，即可得到中位数的位置，利用圆心角计算公式，即可得到D组所在扇形的圆心角；‎ ‎（3）依据家庭年文化教育消费10000元以上的家庭所占的比例，即可得到家庭年文化教育消费10000元以上的家庭的数量．‎ ‎【解答】解：（1）样本容量为：36÷24%=150，‎ m=150﹣36﹣27﹣15﹣30=42，‎ 故答案为：150，42；‎ ‎（2）中位数为第75和76个数据的平均数，而36+42=78＞76，‎ ‎∴中位数落在B组，‎ D组所在扇形的圆心角为360°×=36°，‎ 故答案为：B，36；‎ ‎（3）家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有2500×=1200（户）．‎ ‎【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体以及中位数的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．‎ ‎　‎ ‎21．（2018年江苏省连云港市）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．‎ ‎（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是　　；‎ ‎（2）现甲队在前两周比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式求解；‎ ‎（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．‎ ‎【解答】解：（1）甲队最终获胜的概率是；‎ 故答案为；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，‎ 所以甲队最终获胜的概率=．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．‎ ‎　‎ ‎22．（2018年江苏省连云港市）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．‎ ‎（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；‎ ‎（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；‎ ‎（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠FAE=∠CDE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=DE，‎ 又∵∠FEA=∠CED，‎ ‎∴△FAE≌△CDE，‎ ‎∴CD=FA，‎ 又∵CD∥AF，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形；‎ ‎（2）BC=2CD．‎ 证明：∵CF平分∠BCD，‎ ‎∴∠DCE=45°，‎ ‎∵∠CDE=90°，‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=DE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴AD=2CD，‎ ‎∵AD=BC，‎ ‎∴BC=2CD．‎ ‎【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．‎ ‎　‎ ‎23．（2018年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求k2，n的值；‎ ‎（2）请直接写出不等式k1x+b的解集；‎ ‎（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．‎ ‎【分析】（1）将A点坐标代入y=‎ ‎（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；‎ ‎（3）求出对称点坐标，求面积．‎ ‎【解答】解：（1）将A（4，﹣2）代入y=，得k2=﹣8．‎ ‎∴y=﹣‎ 将（﹣2，n）代入y=﹣‎ n=4．‎ ‎∴k2=﹣8，n=4‎ ‎（2）根据函数图象可知：‎ ‎﹣2＜x＜0或x＞4‎ ‎（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y=k1x+b，得k1=﹣1，b=2‎ ‎∴一次函数的关系式为y=﹣x+2‎ 与x轴交于点C（2，0）‎ ‎∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），‎ S△A'BC=（4+2）×（4+2）×﹣×4×4﹣×2×2=8‎ ‎∴△A'BC的面积为8．‎ ‎【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．‎ ‎　‎ ‎24．（2018年江苏省连云港市）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：‎ 购买数量低于5000块 购买数量不低于5000块 红色地砖 原价销售 以八折销售 蓝色地砖 原价销售 以九折销售 如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．‎ ‎（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？‎ ‎（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答案；‎ ‎（2）利用已知得出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；‎ ‎（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000﹣x）块，所需的总费用为y元，‎ 由题意可得：x≥（12000﹣x），‎ 解得：x≥4000，‎ 又x≤6000，‎ 所以蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000，‎ 当4000≤x＜5000时，‎ y=10x+×0.8（12000﹣x）‎ ‎=76800+3.6x，‎ 所以x=4000时，y有最小值91200，‎ 当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（1200﹣x）=2.6x+76800，‎ 所以x=5000时，y有最小值89800，‎ ‎∵89800＜91200，‎ ‎∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（2018年江苏省连云港市）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．‎ ‎（1）求坝高；‎ ‎（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底间时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎【分析】（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x，在Rt△BCN中，求出BN，构建方程即可解决问题；‎ ‎（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，由△EFH∽△FBH，可得=，即=，求出y即可；‎ ‎【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．‎ 由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x，‎ ‎∵四边形DMNC是矩形，‎ ‎∴DM=CN=2x，‎ 在Rt△NBC中，tan37°===，‎ ‎∴BN=x，‎ ‎∵x+3+x=14，‎ ‎∴x=3，‎ ‎∴DM=6，‎ 答：坝高为6m．‎ ‎（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，‎ 由△EFH∽△FBH，可得=，‎ 即=，‎ 解得y=﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），‎ ‎∴DF=2﹣7，‎ 答：DF的长为（2﹣7）m．‎ ‎【点评】本题考查了坡度坡角的求解，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中运用，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题．‎ ‎　‎ ‎26．（2018年江苏省连云港市）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．‎ ‎（1）直接写出这两个二次函数的表达式；‎ ‎（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；‎ ‎（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标 ‎【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；‎ ‎（2）先确定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，进而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出结论；‎ ‎（3）先利用勾股定理求出AD=，同理：CD=，BC=，再分两种情况：‎ ‎①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出，进而求出DE=，即可得出E（0，﹣），‎ 再判断出△DEF∽△DAO，得出，求出DF=，EF=，再用面积法求出E'M=，即可得出结论；‎ ‎②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出，求出AE=，‎ 当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA=，PO=，进而得出PE=，再判断出即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1=kx2+m（k＜0）的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴二次函数解析式为y1=﹣x2+1，‎ ‎∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2=ax2+b（a＞0）的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴二次函数y2=3x2﹣3；‎ ‎（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，‎ ‎∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，‎ 由抛物线的对称性知，若有内接正方形，‎ ‎∴2m=4﹣4m2，‎ ‎∴m=或m=（舍），‎ ‎∵0＜＜1，‎ ‎∴存在内接正方形，此时其边长为；‎ ‎（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，‎ ‎∴AD==，‎ 同理：CD=，‎ 在Rt△BOC中，OB=OC=1，‎ ‎∴BC==，‎ ‎①如图1，当△DBC∽△DAE时，‎ ‎∵∠CDB=∠ADO，‎ ‎∴在y轴上存在E，由，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=，‎ ‎∵D（0，﹣3），‎ ‎∴E（0，﹣），‎ 由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，‎ 连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，‎ ‎∵E，E'关于DA对称，‎ ‎∴DF垂直平分线EE'，‎ ‎∴△DEF∽△DAO，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=，EF=，‎ ‎∵S△DEE'=DE•E'M=EF×DF=，‎ ‎∴E'M=，‎ ‎∵DE'=DE=，‎ 在Rt△DE'M中，DM==2，‎ ‎∴OM=1，‎ ‎∴E'（，﹣1），‎ ‎②如图2，‎ 当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE，，‎ ‎∴，‎ ‎∴AE=，‎ 当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，‎ ‎∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，‎ ‎∴PD=PA，‎ 设PD=n，‎ ‎∴PO=3﹣n，PA=n，‎ 在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，‎ ‎∴n2=（3﹣n）2+1，‎ ‎∴n=，‎ ‎∴PA=，PO=，‎ ‎∵AE=，‎ ‎∴PE=，‎ 在AEQ中，OP∥EQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴OQ=，‎ ‎∵，‎ ‎∴QE=2，‎ ‎∴E（﹣，﹣2），‎ 当E'在直线DA右侧时，‎ 根据勾股定理得，AE==，‎ ‎∴AE'=‎ ‎∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，‎ ‎∴∠BDA=∠DAE'，‎ ‎∴AE'∥OD，‎ ‎∴E'（1，﹣），‎ 综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，‎ 即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（12018年江苏省连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．‎ ‎（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．‎ ‎（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．‎ ‎（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．‎ ‎【分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；‎ ‎（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；‎ ‎（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的性质即可证明；‎ ‎（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；‎ ‎【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．‎ 理由：如图1中，‎ ‎∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF．‎ ‎（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，‎ ‎∵S四边形ABCF=，‎ ‎∴S△ABE=，‎ ‎∴•AE•AB•siin60°=，‎ ‎∴AE=．‎ ‎（3）结论：S2﹣S1=．‎ 理由：如图2中，‎ ‎∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，‎ ‎∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．‎ ‎（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，‎ ‎∴S△BDF=，‎ ‎∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB，‎ ‎∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，‎ ‎∴CD=x﹣，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴=，即=，‎ 化简得：3x2﹣x﹣2=0，‎ 解得x=1或﹣（舍弃），‎ ‎∴CE=1，AE=3．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎