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- 2021-11-06 发布
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第二篇 攻专题·疑难探究
专题七 二次函数与几何综合问题
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图1
§ (3)存在.假设抛物线C2的对称轴l上存在点Q.
§ 过点B′作B′D⊥l于点D,则∠B′DQ=90°.
§ ①当点Q在顶点C的下方时,如图2.
§ ∵B(-1,-4)、C(1,-4),抛物线C2的对
称轴为直线x=1,
§ ∴BC⊥l,BC=2,
§ ∴∠BCQ=90°,
§ 易得△BCQ≌△QDB′,
§ ∴B′D=CQ,QD=BC.
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图2
§ 设点Q(1,b),
§ 则B′D=CQ=-4-b,QD=BC=2,
§ ∴B′(-3-b,2+b),
§ ∴(-3-b)2-2(-3-b)-3=2+b.
§ 整理,得b2+7b+10=0,解得b1=-2,b2=-5.
§ ∵b<-4,
§ ∴Q(1,-5).
§ ②当点Q在顶点C的上方时,同理可得Q(1,-2).
§ 综上所述,在抛物线C2的对称轴上存在点Q,且Q(1,-5)或Q(1,
-2).
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§ 解题技巧:本题考查二次函数的图象与性质、
利用二次函数求最值、二次函数图象上点的
坐标特征、全等三角形的判定与性质以及分
类讨论的数学思想,熟练掌握二次函数的图
象及性质是解此类题的关键.
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§ (1)求抛物线的解析式;
§ (2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于点E.
§ ①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点
重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,
求△BDF面积的最大值;
§ ②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=
∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存
在,请说明理由.
§ 分析:(1)应用对称轴方程、根与系数关系求
b,c;(2)①设出点F坐标表示△BDF面积,
求最大值;②利用勾股定理逆定理,证明
∠BCD=90°,再利用锐角三角函数,问题
可解.
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§ 解题技巧:探究面积的最值问题:(1)设动点
或图形运动的时间t或动点的坐标(t,at2+bt
+c);(2)用含有未知数的代数式表示出图形
的面积;(3)用二次函数的知识求最值时,常
采用配方法;(4)特别注意,当所研究的图形
在运动过程中发生变化,要根据图形的形状
进行分类讨论.注意分析整个过程中发生的
变化情况,以防漏解.分类讨论时要注意在
每种情况下的最值,比较即可得到面积的最
值.
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图1
图2
§ (1)求抛物线的解析式;
§ (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接
PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积
最大,并求出其最大值;
§ (3)如图2,F是抛物线的对称轴l上的一点,
在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以
点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,
直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不
存在,请说明理由.
§ 分析:(1)利用待定系数法可得抛物线的解析
式;(2)过点P作PQ∥y轴交OE于点Q,设
P(m,m2-4m+3),根据直线OE的解析式
表示点Q的坐标,根据面积和可得四边形
AOPE的面积,利用配方法可得其最大值;
(3)存在四种情况:作辅助线,构建全等三角
形,证明△MOP≌△NPF,根据PM+PN=
2及点P在抛物线上可得点P的坐标.同理可
得其他图形中点P的坐标.
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图3
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图4
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§ (1)求抛物线的解析式;
§ (2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值;
§ (3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的
坐标.
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§ 1.(2019·四川绵阳中考)在平面直角坐标系
中,将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平
移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图
所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、
B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一
次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交
于点C,且与抛物线的另一个交点为D,
△ABD的面积为5.
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§ 5.(2019·四川巴中中考)如图,抛物线y=
ax2+bx-5(a≠0)经过x轴上的点A(1,0)和点B
及y轴上的点C,经过B、C两点的直线为y=
x+n.
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§ (1)求抛物线的解析式;
§ (2)点P从A出发,在线段AB上以每秒1个单位
的速度向B运动,同时点E从B出发,在线段
BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其
中一个点到达终点时,另一点也停止运
动.设运动时间为t秒,求t为何值时,△PBE
的面积最大并求出最大值;
§ (3)过点A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一
动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线
交直线BC于点Q.若以点A、M、N、Q为顶点
的四边形是平行四边形,求点N的横坐标.
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图2
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图3