初三数学上册基础知识讲解练习 菱形的性质与判定 4页

菱形的性质与判定 一、菱形：有一组邻边相等的平行四边形 菱形性质： 1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等； 3． 每条对角线平分一组对角； 4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。 二、菱形的性质证明 已知：如图，菱形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，求证 AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC。 提示：利用“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质进行证明。 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在等腰三角形 ABD 中 ∵BO=OD ∴AC⊥BD，AC 平分∠BAD 同理 AC 平分∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC。 知识点解读：菱形 ABCD 的对角线互相垂直，即把菱形分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是 两条对角线的一半，所以利用三角形的面积可以得出菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 三、菱形的判定定理 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 判定定理 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 已知：平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 互相垂直. O D CB A 求证：四边形 ABCD 是菱形． 证明 ：∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC（平行四边形的对角线相互平分）。 又∵AC⊥BD， ∴ BD 所在 直线是线段 AC 的垂直平分线， ∴ AB＝BC，[来源:学科网] ∴ 四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 例 1：如图已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行）， ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF 平分 AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △ AOE≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形 AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 判定定理 2 四条边都相等的四边形是菱形 已知：如图，四边形 ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形 ABCD 是菱形 证明：∵ AB=CD，BC=AD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 又∵AB=BC, ∴四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 技巧：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题 1、如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，且 tan∠ABD= ，则菱形 ABCD 的面积为 cm2． 思路分析：连接 AC 交 BD 于点 O，则可设 BO=3x，AO=4x，继而在 RT△ ABO 中利用勾股定理求出 AB， 结合菱形的周长为 20cm 可得出 x 的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．解答：解： 连接 AC 交 BD 于点 O， 则 AC⊥BD，AO=OC，BO=DO， 设 BO=3x，AO=4x， 则 AB=5x， 又∵菱形 ABCD 的周长为 20cm，[来源:学.科.网] ∴4×5x=20cm， 解得：x=1， 故可得 AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm， 故可得 AC×BD=24cm2． 故答案为：24． 点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积 3 4 1 2 的一半是解答本题的关键．[来源:学科网] 2、如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长 分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的长是（ ） A．5 cm B．2 cm C． cm D． cm [来源:Zxxk.Com] 考点：菱形的性质；勾股定理． 分析：根据菱形的性质得出 BO、CO 的长，在 RT△ BOC 中求出 BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半， 也等于 BC×AE，可得出 AE 的长度．解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CO= AC=3cm，BO= BD=4cm，AO⊥BO， ∴BC= =5cm， ∴S 菱形 ABCD=BD•AC 2 = ×6×8=24cm2， ∵S 菱形 ABCD=BC×AD， ∴BC×AE=24，[来源:Zxxk.Com] ∴AE= cm， 故选 D． 点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的 对角线互相垂直且平分． 3 5 48 5 24 5 1 2 22A O +B O