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  • 2021-11-06 发布

2019年全国中考真题分类汇编:函数与几何图形综合探究题(压轴)

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(分类)专题复习(九)函数与几何图形综合探究题(压轴) 类型 1 探究线段问题 类型 2 探究角度问题 类型 3 探究面积问题 类型 4 探究几何图形性质问题 类型 5 探究特殊三角形的存在性问题 类型 6 探究特殊四边形的存在性问题 类型 7 探究全等、相似三角形的存在性问题 类型 8 反比例函数与几何图形的综合 类型 9 其他问题 类型 1 探究线段问题 (2019 柳州) (2019 绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数 y=ax2(a>0)的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位, 得到如图所示的抛物线,该抛物线与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧),OA=1,经过点 A 的一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象与 y 轴正半轴交于点 C,且与抛物线的另一个交点为 D,△ABD 的面积为 5. (1)求抛物线和一次函数的解析式; (2)抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方,求△ACE 面积的最大值,并求出此时点 E 的坐标; (3)若点 P 为 x 轴上任意一点,在(2)的结论下,求 PE+ PA 的最小值. 解:(1)将二次函数 y=ax2(a>0)的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,得到的抛物线解析式为 y =a(x﹣1)2﹣2, ∵OA=1, ∴点 A 的坐标为(﹣1,0),代入抛物线的解析式得,4a﹣2=0, ∴ , ∴抛物线的解析式为 y= ,即 y= . 令 y=0,解得 x1=﹣1,x2=3, ∴B(3,0), ∴AB=OA+OB=4, ∵△ABD 的面积为 5, ∴ =5, ∴yD= ,代入抛物线解析式得, , 解得 x1=﹣2,x2=4, ∴D(4, ), 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b, ∴ ,解得: , ∴直线 AD 的解析式为 y= . (2)过点 E 作 EM∥y 轴交 AD 于 M,如图,设 E(a, ),则 M(a, ), ∴ = , ∴S△ACE=S△AME﹣S△CME= = = , = , ∴当 a= 时,△ACE 的面积有最大值,最大值是 ,此时 E 点坐标为( ). (3)作 E 关于 x 轴的对称点 F,连接 EF 交 x 轴于点 G,过点 F 作 FH⊥AE 于点 H,交轴于点 P, ∵E( ),OA=1, ∴AG=1+ = ,EG= , ∴ , ∵∠AGE=∠AHP=90° ∴sin , ∴ , ∵E、F 关于 x 轴对称, ∴PE=PF, ∴PE+ AP=FP+HP=FH,此时 FH 最小, ∵EF= ,∠AEG=∠HEF, ∴ = , ∴ . ∴PE+ PA 的最小值是 3. (2019 张家界)已知抛物线 cbxaxy  2 ( a ≠0)过点 A(1,0), B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C, OC=3. (1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2) 过点 A 作 AM⊥BC,垂足为 M, 求证:四边形 ADBM 为正方形; (3) 点 P 力抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点,当 PBC 面积最大时,求 P 点坐标及最大面积的值; (4) 若点 Q 为线段 OC 上的一动点,问 AQ+ 2 1 QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值,若不存在,请说明理由. (2019 河南) (2019 贺州) (2019 黄石)如图,已知抛物线 21 3y x bx c   经过点 A(-1,0)、 B (5,0).(1)求抛物线的解析式,并写出 顶点 M 的坐标; (2)若点 C 在抛物线上,且点 C 的横坐标为 8,求四边形 AMBC 的面积 (3)定点 (0, )D m 在 y 轴上,若将抛物线的图象向左平移 2 各单位,再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线, 点 P 在新的抛物线上运动,求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d (用含 m 的代数式表示) (2019东营)已知抛物线 y  ax2  bx  4经过点 A(2,0)、B(-4,0),与 y 轴交于点C. (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图 1,点P 是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形 ABPC 的面积最大时, 求点 P 的坐标; (3)如图 2,线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E,垂足为 D,M 为抛物线的顶点,在直线DE 上是否存在一点 G, 使△CMG 的周长最小?若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由. (2019 乐山)如图 15 ,已知抛物线 )6)(2(  xxay 与 x 轴相交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 tan 2 3CAB .设抛物线的顶点为 M ,对称轴交 x 轴于点 N . (1)求抛物线的解析式; (2) P 为抛物线的对称轴上一点, )0,(nQ 为 x 轴上一点,且 PCPQ  . ①当点 P 在线段 MN (含端点)上运动时,求 n 的变化范围; ②当 n 取最大值时,求点 P 到线段 CQ 的距离; ③当 n 取最大值时,将线段..CQ 向上平移 t 个单位长度,使得线段..CQ 与抛物线有两个交点,求t 的取值范围. 图15 备用图 解:(1)根据题意得: )0,2(A , )0,6(B , 在 AOCRt 中, 2 3tan  AO COCAO ,且 2OA ,得 3CO , )3,0(C ,将C 点坐标代入 )6)(2(  xxay 得: 4 1a , 故抛物线解析式为: )6)(2(4 1  xxy ; (2)①由(1)知,抛物线的对称轴为: 2x ,顶点 M ( )4,2 , 设 P 点坐标为 )2( m, (其中 40  m ), 则 222 )3(2  mPC , 222 )2(  nmPQ , 222 3 nCQ  ,  PCPQ  ,在 PCQRt 中,由勾股定理得: 222 CQPQPC  , 即 222222 3)2()3(2 nnmm  ,整理得: )43(2 1 2  mmn 8 7)2 3(2 1 2  m ( 40  m ), 当 2 3m 时, n 取得最小值为 8 7 ;当 4m 时, n 取得最大值为 4 , 所以, 48 7  n ; ②由①知:当 n 取最大值 4 时, 4m ,  )4,2(P , )0,4(Q , 则 5PC , 52PQ , 5CQ , 设点 P 到线段CQ 距离为 h , 由 PQPChCQS PCQ  2 1 2 1 , 得: 2 CQ PQPCh ,故点 P 到线段 CQ 距离为 2 ; ③由②可知:当 n 取最大值 4 时, )0,4(Q , 线段 CQ 的解析式为: 34 3  xy , 设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为: txy  34 3 , 当线段CQ 向上平移,使点Q 恰好在抛物线上时,线段CQ 与抛物线有两个交点, 此时对应的点 'Q 的纵坐标为: 3)64)(24(4 1  , 将 )3,4('Q 代入 txy  34 3 得: 3t , 当线段 CQ 继续向上平移,线段 CQ 与抛物线只有一个交点时, 联解        txy xxy 34 3 )6)(2(4 1 得: txxx  34 3)6)(2(4 1 ,化简得: 0472  txx , 由 01649  t ,得 16 49t , 当线段CQ 与抛物线有两个交点时, 16 493  t . (2019 宿迁) (2019 滨州) (2019 天津) (2019 重庆 B 卷)在平面直角坐标系中,抛物线 y= 32x2 3x4 3 2  与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧), 与 y 轴交于点 C,顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 Q. (1)如图 1,连接 AC,BC.若点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点,过点 P 作 PE∥y 轴交 BC 于点 E,作 PF⊥BC 于 点 F,过点 B 作 BG∥AC 交 y 轴于点 G.点 H,K 分别在对称轴和 y 轴上运动,连接 PH,HK.当△PEF 的周长最大时, 求 PH+HK+ 2 3 KG 的最小值及点 H 的坐标. (2)如图 2,将抛物线沿射线 AC 方向平移,当抛物线经过原点 O 时停止平移,此时抛物线顶点记为 D/,N 为直线 DQ 上一点,连接点 D/,C,N,△D/CN 能否构成等腰三角形?若能,直接写出满足条件的点 N 的坐标;若不能,请 说明理由. 提示:(1)易求 A(-2,0),B(4,0),C(0, 32 ),D(1, 4 39 ),△PEF∽△BOC. ∴当 PE 最大时,△PEF 的周长最大.易求直线 BC 的解析式为 y= 32x2 3  设 P(x, 32x2 3x4 3 2  ),则 E(x, 32x2 3  ) ∴PE= 32x2 3x4 3 2  -( 32x2 3  )= x3x4 3 2  ∴当 x=2 时,PE 有最大值. ∴P(2, 32 ),此时 如图,将直线 OG 绕点 G 逆时针旋转 60 °得到直线 l, 过点 P 作 PM⊥l 于点 M,过点 K 作 KM/⊥l 于 M/. 则 PH+HK+ 2 3 KG= PH+HK+KM/≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得 PM=10,H(1, 3 ) (2)易得直线 AC 的解析式为 y= 32x3  ,过 D 作 AC 的平行线,易求此直线的解析式为 y= 4 35x3  ,所以可 设 D/(m, 4 35m3  ),平移后的抛物线 y1= 4 35m3)mx(4 3 2  .将(0,0)代入解得 m1=-1(舍),m2=5.所以 D/(5, 4 325 ). 设 N(1,n),又 C(0, 32 ),D/(5, 4 325 ). 所以 NC2=1+(n- 32 )2,D/C2= 22 )324 325(5  = 16 1267 ,D/N2= 22 )n4 325()15 ( . 分 NC2= D/C2;D/C2= D/N2;NC2= D/N2.列出关于 n 的方程求解. 答案 N1(1, 4 139338  ),N2(1, 4 139338  ),N3(1, 4 1011325  ),N4(1, 4 1011325  ), N5(1, 136 3641 ). 类型 2 探究角度问题 (2019 玉林) (2019 海南) (2019 烟台) (2019 兰州) (2019 苏州)如图①,抛物线 axaxy  )1(2 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 位于点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C.已知△ABC 的面积是 6 (1)求 a 的值 (2)求△ABC 外接圆圆心的坐标 (3)如图②,P 是抛物线上一点,Q 为射线 CA 上一点,且 P、Q 两点均在第三象限内, Q、A 是位于直线 BP 同侧的不同两点,若点 P 到 x 轴的距离为 d ,△QPB 的面积为 d2 ,且 AQBPAQ  ,求点 Q 的坐标 (2019 资阳) (2019 遂宁) (2019 盐城) (2019 重庆 A 卷)如图,在平面在角坐标系中,抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交与点 A,B(点 A 在点 B 的左侧)交 y 轴于点 C,点 D 为抛物线的顶点,对称轴与 x 轴交于点 E. (1)连结 BD,点 M 是线段 BD 上一动点(点 M 不与端点 B,D 重合),过点 M 作 MN⊥BD 交抛物线于点 N(点 N 在对称轴的右侧),过点 N 作 NH⊥x 轴,垂足为 H,交 BD 于点 F,点 P 是线段 OC 上一动点,当 MN 取得最 大值时,求 HF+FP+ 1 3 PC 的最小值; (2)在(1)中,当 MN 取得最大值 HF+FP+1/3PC 取得小值时,把点 P 向上平移个 2 2 单位得到点 Q,连结 AQ, 把△AOQ 绕点 O 瓶时针旋转一定的角度 (0°< <360°),得到△AOQ,其中边 AQ 交坐标轴于点 C 在旋转 过程中,是否存在一点 G 使得 OGQQ ''  ?若存在,请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标;若不存在,请 说明理由. (2019 南充)如图,抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴交于点 A(-1,0),点 B(-3,0),且 OB=OC. (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点 P 的坐标; (3)抛物线上两点 M,N,点 M 的横坐标为 m,点 N 的横坐标为 m+4.点 D 是抛物线上 M,N 之间的动点,过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E. ①求 DE 的最大值.②点 D 关于点 E 的对称点为 F.当 m 为何值时,四边形 MDNF 为矩形? 解:(1)∵OB=OC,B(-3,0),∴C(0,-3)(1 分) 又题意可得:       3 039 0 c cba cba 解得: 3,4,1  cba .∴ 342  xxy (3 分) (2)过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,如图所示,BG=AG=AB·sin45°= 2 (4 分) ∵BC= 232 OB ,∴CG=BC-BG= 22 ,∴tan∠ACG= 2 1 CG AG (5 分) 设 P( 34, 2  ttt ),过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,tan∠POQ=tan∠ACG= 2 1 . ①当 P 在 x 轴上方时, 034,0 2  ttt 则 PQ= tOQtt  ,342 ,tan∠POQ= 0672,2 134 2 2   ttt tt OQ PQ 解得 2 3,2 21  tt ,∴ )4 3,2 3(),1,2( 21  PP (6 分) ②当点 P 在第三象限时, 0692,2 134 2 2   ttt yt , 解得: 4 339,4 339 43  tt ∴ )8 339,4 339(),8 339,4 339( 43  PP (7 分) ③当点 P 在第四象限时,∠POB>90°,而∠ACB<90°,∴点 P 不在第四象限 故点 P 坐标为 ),1,2( 或 )4 3,2 3( 或 )8 339,4 339(  或 )8 339,4 339(  (3)①由已知, )3)4(4)4(,4(),34,( 22  mmmNmmmM 即 )3512,4( 2  mmmN ,设直线 MN 为 nkxy  得:      3512)4( 34 2 2 mmnmk mmnkm 解得:      34 82 2 mmn mk 故 MN 为 )34()8( 2  mmxmy (8 分) 设 )34,( 2  tttD , ))34()82(,( 2  mmtmtE ∴DE=  )34( 2 tt )]34()82[( 2  mmtm =   4)2()4()2(2 222  mtmmtmt , 当 2 mt 时,DE 最大值为 4(9 分) ②当 DE 最大时,点 )198,2( 2  mmmE 为 MN 的中点. 由已知,点 E 为 DF 的中点,∴当 DE 最大时,四边形 MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形,则 ,4 222 DEDFMN  故 222 44)328(4  m , 化简得, 4 3)4( 2 m ,故 2 34 m . 当 2 34 m 或 2 34  时,四边形 MDNF 为矩形(10 分) (2019 泰安) (2019 德州)如图,抛物线 y=mx2-5 2mx-4 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,与 y 轴交于点 C,且 x2-x1=11 2 . (1)求抛物线的解析式; (2)若 P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当 a≤x1≤a+2,x2≥9 2 时,均有 y1≤y2,求 a 的取值范围; (3)抛物线上一点 D(1,-5),直线 BD 与 y 轴交于点 E,动点 M 在线段 BD 上,当 ∠ BDC= ∠ MCE 时,求点 M 的 坐标. 类型 3 探究面积问题 (2019吉林) (2019绥化) (2019广元) (2019常州) (2019益阳) (2019湘西)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧), 点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3. (1)求抛物线的解析式; (2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、C、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值; (3)在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P,使 △ ODP 中 OD 边上的高为若存在,求 出点 P 的坐标;若 不存在,请说明理由; (4)矩形 ABCD 不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L,且直线 KL 平分矩形 的面积时,求抛物线平移的距离。 (2019 十堰) (2019 毕节) (2019 淮安) (2019 呼和浩特) (2019 荆门) (2019 黔东南)已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(1,0)和点 B(-3,0),与 y 轴交于点 C, 点 P 为第二象限内抛物线上的动点. (1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为; (2)如图 26-1,连接 OP 交 BC 于点 D,当 S△CPD:S△BPD=1:2 时,请求出点 D 的坐标; (3)如图 26-2,点 E 的坐标为(0,-1),点 G 为 x 轴负半轴上的一点,∠OGE=15°, 连接 PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点 P 的坐标; (4)如图 26-3,是否存在点 P,使四边形 BOCP 的面积为 8?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (2019 深圳) (2019 天水)如图,已知抛物线 cbxaxy  2 经过点 A(-3,0)、B(9,0)和 C(0,4),CD 垂直于 y 轴,交 抛物线于点 D,DE 垂直于 x 轴,垂足为 E,直线l 是该抛物线的对称轴,点 F 是抛物线的顶点. (1)求出该二次函数的表达式及点 D 的坐标; (2)若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移,使其直角边 OC 与对称轴l 重合,再沿对称轴l 向上平移到点 C 与点 F 重合,得 到 Rt△ FOA 11 ,求此时 Rt△ FOA 11 与矩形 OCDE 重叠部分图形的面积; (3)若△Rt△AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度(0<t≤6)得到 Rt△ 222 COA ,Rt△ 222 COA 与△Rt△OED 重叠部 分图形的面积记为 S,求 S 和 t 之间的函数表达式,并写出自变量 t 的取值范围. (2019 武汉)已知抛物线 C1:y=(x-1)2-4 和 C2:y=x2 (1) 如何将抛物线 C1 平移得到抛物线 C2? (2) 如图 1,抛物线 C1 与 x 轴正半轴交于点 A,直线 bxy  3 4 经过点 A,交抛物线 C1 于另一点 B.请你在线段 AB 上取点 P,过点 P 作直线 PQ∥y 轴交抛物线 C1 于点 Q,连接 AQ ① 若 AP=AQ,求点 P 的横坐标 ② 若 PA=PQ,直接写出点 P 的横坐标 (3) 如图 2,△MNE 的顶点 M、N 在抛物线 C2 上,点 M 在点 N 右边,两条直线 ME、NE 与抛物线 C2 均有唯一公共 点,ME、NE 均与 y 轴不平行.若△MNE 的面积为 2,设 M、N 两点的横坐标分别为 m、n,求 m 与 n 的数量关系 (2019 常德) (2019 聊城) (2019 衡阳) (2019 巴中) (2019 临沂)在平面直角坐标系中,直线 2y x= + 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + + < 经过点 A、B. (1) 求 a b、 满足的关系式及 c 的值。 (2) 当 0x< 时,若 2 ( 0)y ax bx c a= + + < 的函数值随 x 的增大而增大,求 a 的取值范围。 (3) 如图,当 1a = - 时,在抛物线上是否存在点 P,使△PAB 的面积为 1,若存在,请求出符合条件的所有点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。 (2019 宜宾) (2019 凉山州)如图,抛物线 cbxaxy  2 的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得△PAC 的周长最小,若存在,请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长; 若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M(不与点 C 重合),使得 S△PAM=S△PAC,若存在,请求 出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. (2019 达州) 解:(1)∵ , ∴ 1 0 9 3 0 b c b c         ,解得: , ∴抛物线的解析式为 2 2 3y x x    , ∵ 2 2 3y x x    = 2( 1) 4x   , ∴抛物线的顶点坐标为(-1,4). 缺------ (2019 枣庄)如图,已知抛物线 y= 42 32  xax 的对称轴是直线 x =3,且与 x 轴相交于 A,B 两点(B 点在 A 点 右侧)与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标; (2)如图 1,若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合),,是否存在点 P,使四边形 PBOC 的面积最大?若存在,求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值;若不存在,试说明理由; (3)如图 2,若 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN=3 时,求点 M 的 坐标. (2019 自贡)如图,已知直线 AB 与抛物线 cxaxyC  2: 2 相交于点 A(-1,0)和点 B(2,3)两点. (1)求抛物线 C 函数表达式; (2)若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点,以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB,当平行四边 形 MANB 的面积最大时,求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标; (3)在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F,使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 4 17y 的距离, 若存在,求出定点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)把 A(-1,0),B(2,3)代入抛物线得      344 02 ca ca 解之得      3 1 c a ∴抛物线 C 的函数表达式为: 322  xxy (2)∵A(-1,0),B(2,3),∴直线 AB 的解析式为: 1 xy ,如图所示,过 M 作 MN∥y 轴交 AB 于 N,设 )32,( 2  mmmM ,则 )1,( mmN ,(-1<m<2) ∴ 22  mmyyMN NM ,∴S△ABM=S△AMN+S△BMN= MNxx AB )(2 1  ∴S△ABM= 8 27)2 1(2 33)2(2 1 22  mmm ,∴当 2 1m 时,△ABM 的面积有最大值 8 27 ,而 S□MANB=2S△ ABM= 4 27 ,此时 )2 7,2 1(M (3)存在,点 )4 15,1(F 理由如下:令抛物线顶点为 D,则 D(1,4),则顶点 D 到直线 4 17y 的距离为 4 1 ,设 ),1( nF 设 )32,( 2  xxxP , 设 P 到直线 4 17y 的距离为 PG.则 PG= 4 52)32(4 17 22  xxxx ,∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF,∴当 P 与顶点 D 重合时,也有 PG=PF. 此时 PG= 4 1 ,即顶点 D 到直线 4 17y 的距离为 4 1 ∴PF=DF= 4 1 ,∴ )4 15,1(F ,∵PG=PF,∴ 22 PFPG  , ∵ 2222222 )4 32()1()324 15()1(  xxxxxxPF 222 )4 52(  xxPG ∴ 222222 )4 32()1()324 15()1(  xxxxxx 22 )4 52(  xx 整理化简可得 00 x ,∴当 )4 15,1(F 时,无论 x 取任何实数,均有 PG=PF 类型 4 探究几何图形性质问题 (2019 娄底) (2019 泸州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 cbxaxy  2 的图象经过点 A(-2,0),C(0,-6), 其对称轴为直线 2x . (1)求该二次函数的解析式; (2)若直线 mxy  3 1 将△AOC 的面积分成相等的两部分,求 m 的值; (3)点 B 是该二次函数图象与 x 轴的另一个交点,点 D 是直线 2x 上位于 x 轴下方的动点,点 E 是第四象限内 该二次函数图象上的动点,且位于直线 2x 右侧.若以点 E 为直角顶点的△BED 与△AOC 相似,求点 E 的坐标. (2019 新疆) (2019 咸宁)如图,在平面直角坐标系中,直线 22 1  xy 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 cbxxy  2 2 1 经过 A,B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC 时,求点 D 的坐标; (3)已知 E,F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点,当 B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合 条件的 E 点的坐标. (2019 鄂州)如图,已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,AB=4,交 y 轴于点 C,对称轴是直线 x=1. (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标; (2)连接 BC,E 是线段 OC 上一点,E 关于直线 x=1 的对称点 F 正好落在 BC 上,求点 F 的坐标; (3)动点 M 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N,交线段 BC 于点 Q.设运动时间为 t(t>0)秒. ①若△AOC 与△BMN 相似,请直接写出 t 的值; ②△BOQ 能否为等腰三角形?若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由. 解:(1))∵点 A、B 关于直线 x=1 对称,AB=4 ∴A(-1,0),B(3,0) …………1′ 代入 y=-x2+bx+c 中,得: − 9 + 3b + c = 0 − 1 − b + c = 0 解得 b = 2 c = 3∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3 …………2′ ∴C 点坐标为(0,3) …………3′ (2)设直线 BC 的解析式为 y=mx+n,则有: n = 3 3m + n = 0解得 m = − 1 n = 3∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3 …………4′ ∵点 E、F 关于直线 x=1 对称 , 又 E 到对称轴的距离为 1, ∴ EF=2 ∴F 点的横坐标为 2,将 x=2 代入 y=-x+3 中, 得:y=-2+3=1 ∴F(2,1) …………6′ (3)○1 t=1 (若有 t = 3 2 ,则扣 1 分) …………9′ ○2 ∵M(2t,0),MN⊥x 轴 ∴Q(2t,3-2t) ∵△BOQ 为等腰三角形, ∴分三种情况讨论 第一种,当 OQ=BQ 时, ∵QM⊥OB ∴OM=MB ∴2t=3-2t ∴t= 3 4 …………10′ 第二种,当 BO=BQ 时,在 Rt△BMQ 中 ∵∠OBQ =45O ∴ BQ= 2BM ∴BO= 2BM 即 3= 2(3 − 2t) ∴t= 6 − 3 2 4 …………11′ 第三种,当 OQ=OB 时,则点 Q、C 重合,此时 t=0 而 t>0,故不符合题意 综上述,当 t= 3 4 秒或 6 − 3 2 4 秒时,△BOQ 为等腰三角形. …………12′(解法正确即可) (2019 广东)如题 25-1 图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= 8 37 4 33 8 3y 2  xx 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 右侧),点 D 为抛物线的顶点,点 C 在 y 轴的正半轴上,CD 交 x 轴于点 F,△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE, 点 A 恰好旋转到点 F,连接 BE. (1)求点 A、B、D 的坐标; (2)求证:四边形 BFCE 是平行四边形; (3)如题 25-2 图,过项点 D 作 DD2,⊥x 轴于点 D1,点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 PM⊥x 轴,点 M 为垂足,使得△ PAM 与△DD,A 相似(不含全等). ①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标: ②直接回答这样的点 P 共有几个? 解: (2019 福建)已知抛物线 y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2,0),求 a、c 满足的关系式; (2)设 A 为抛物线上的一定点,直线 l:y=kx+1-k 与抛物线交于点 B、C 两点,直线 BD 垂直于 直线 y=-1,垂足为点 D.当 k=0 时,直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上,且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点 A 的坐标和抛物线的解析式; ②证明:对于每个给定的实数 k,都有 A、D、C 三点共线. 解:(1) y=a(x-2)2, c=4a; (2) y=kx+1-k= k(x-1)+1 过定点(1,1), 且当 k=0 时,直线 l 变为 y=1 平行 x 轴,与轴的交点为(0,1) 又△ABC 为等腰直角三角形,∴点 A 为抛物线的顶点 ①c=1,顶点 A(1,0) 抛物线的解析式: y= x2-2x+1. ②      kkxy xxy 1 122 x2-(2+k)x+k=0, x= 2 1 (2+k± 42 k ) xD=xB= 2 1 (2+k- 42 k ), yD=-1; D          1,2 41 2kk yC= 2 1 (2+k2+k 42 k , C          2 )4(1,2 41 22 kkkkk , A(1,0) ∴直线 AD 的斜率 k AD= 4 2 2   kk = 2 42  kk , 直线 AC 的斜率 k AC= 2 42  kk ∴k AD= k AC, 点 A、C、D 三点共线. (2019 攀枝花)已知抛物线 2y x bx c    的对称轴为直线 x=1,其图象与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交 于点 C(0,3). (1)求 b,c 的值; (2)直线 l 与 x 轴相交于点 P.①如图 1,若 l∥y 轴,且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E,F,点 C 关于直线 x =1 的对称点为点 D,求四边形 CEDF 面积的最大值;②如图 2,若直线 l 与线段 BC 相交于点 Q,当△PCQ∽△CAP 时,求直线 l 的表达式. (2019 无锡)已知二次函数 42  bxaxy (a>0)的图像与 x 轴交于 A、B 两点,(A 在 B 左侧,且 OA<OB), 与 y 轴交于点 C.D 为顶点,直线 AC 交对称轴于点 E,直线 BE 交 y 轴于点 F,AC:CE=2:1. (1)求 C 点坐标,并判断 b 的正负性; (2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线 AC 交于点 D,已知 DC:CA=1:2,直线 BD 与 y 轴交于点 E, 连接 BC.①若△BCE 的面积为 8,求二次函数的解析式;②若△BCD 为锐角三角形,请直接写出 OA 的取值范围. (1)令 x=0,则 4y ,∴C(0,-4) ∵OA<OB,∴对称轴在 y 轴右侧,即 02 a b ∵a>0,∴b<0 (2) ①过点 D 作 DM⊥oy,则 2 1 CO MC OA DM CA DC , ∴ AODM 2 1 设 A(-2m,0)m>0,则 AO=2m,DM=m ∵OC=4,∴CM=2 ∴D(m,-6),B(4m,0) A 型相似可得 OB BN OE DN  ∴OE=8 8442 1 BEF△  mS ∴ 1m ∴A(-2,0),B(4,0) 设 )4)(2(  xxay 即 aaxaxy 822  令 x=0,则 y=-8a ∴C(0,-8a) ∴-8a=-4,a= 2 1 ∴ 42 1 2  xxy ②易知:B(4m,0)C(0,-4)D(m,-6),通过分析可得∠CBD 一定为锐角 计算可得 2 2 2 2 2 216 16, 4, 9 36CB m CD m DB m      1°当∠CDB 为锐角时, 2 2 2CD DB CB > 2 2 24 9 36 16 16m m m   > ,解得 2 m 2 < < 2°当∠BCD 为锐角时, 2 2 2CD CB DB > 2 2 24 16 16 9 36m m m   > ,解得 m 2 m 2> 或 <- (舍) 综上: 2 m 2< < , 2 2 m 4<2 < ∴ 2 2 4OA< < (2019 长沙) (2019 潍坊) (2019 连云港)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 L1: 2y x bx c   过点 C(0,﹣3),与抛物线 L2: 21 3 22 2y x x    的一个交点为 A,且点 A 的横坐标为 2,点 P、Q 分别是抛物线 L1、抛物线 L2 上的动点. (1)求抛物线 L1 对应的函数表达式; (2)若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点 P 的坐标; (3)设点 R 为抛物线 L1 上另一个动点,且 CA 平分∠PCR,若 OQ∥PR,求出点 Q 的坐标. (2019 成都)如图,抛物线 y= cbxax 2 经过点 A(-2,5),与 x 轴相交于 B(-1,0),C(3,0)两点, (1)抛物线的函数表达式; (2)点 D 在抛物线的对称轴上,且位于 x 轴的上方,将△BCD 沿沿直线 BD 翻折得到△B CD,若点 C恰好落在 抛物线的对称轴上,求点 C和点 D 的坐标; (3)设 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点 Q 在抛物线的对称轴上,当△CPQ 为等边三角形时,求直线 BP 的函数表达式. 类型 5 探究特殊三角形的存在性问题 (2019 眉山)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣ 9 4 x2+bx+c 经过点 A(﹣5,0)和点 B(1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,PG⊥y 轴,交抛物线于点 G.过点 G 作 GF⊥x 轴于点 F.当矩形 PEFG 的周长最大时,求点 P 的横坐标; (3)如图 2,连接 AD、BD,点 M 在线段 AB 上(不与 A、B 重合),作∠DMN=∠DBA, MN 交线段 AD 于点 N,是否存在这样点 M,使得△DMN 为等腰三角形?若存在,求出 AN 的长;若不存在,请说明理由. BA C O D E F GP y x 图 1 图 2 A B C D y xM N O 解:(1)抛物线的解析式为:y=﹣ 9 4 (x+5)(x﹣1) =﹣ 9 4 x2﹣ 9 16 x+ 9 20 ………………2 分 配方得:y=﹣ 9 4 (x+2)2+4 ,∴顶点 D 的坐标为(﹣2,4). ………………………………3 分 (2)设点 P 的坐标为(a,﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ), 则 PE=﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ,PG=2(﹣2﹣a)=﹣4﹣2a. ………………………………4 分 ∴矩形 PEFG 的周长=2(PE+PG)=2(﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ﹣4﹣2a) =﹣ 9 8 a2﹣ 9 68 a﹣ 9 32 =﹣ 9 8 (a+ 4 17 )2+ 18 225 ……………………………6 分 ∵﹣ 9 8 <0, ∴当 a=﹣ 4 17 时,矩形 PEFG 的周长最大, 此时,点 P 的横坐标为﹣ 4 17 .…………………… ………7 分 (3)存在. ∵AD=BD, ∴∠DAB=∠DBA. ∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA, 又∵∠DMN=∠DBA, ∴∠AMN=∠MDB, ∴△AMN∽△BDM, ∴ MB AN = DB AM ………………………………………………………8 分 易求得:AB=6,AD=DB=5. △DMN 为等腰三角形有三种可能: ①当 MN=DM 时,则△AMN≌△BDM, ∴AM=BD=5, ∴AN=MB=1; ………………………………………………………9 分 ②当 DN=MN 时,则∠ADM=∠DMN=∠DBA, 又∵∠DAM=∠BAD, ∴△DAM∽△BAD, ∴AD2=AM•BA. ∴AM= 6 25 , BM=6﹣ 6 25 = 6 11 , ∵ MB AN = DB AM , ∴ 6 11 AN = 5 6 25 , ∴AN= 36 55 . ………………………………………………………………10 分 ③DN=DM 不成立. ∵∠DNM>∠DAB, 而∠DAB=∠DMN, ∴∠DNM>∠DMN, ∴DN≠DM. 综上所述,存在点 M 满足要求,此时 AN 的长为 1 或 36 55 .………………………………………11 分 (2019 广西北部湾) (2019 随州) (2019 黄冈)如图 1 在平面直角坐标系 xoy 中,已知 A(-2,2),B(-2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点 M 以每秒 2 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动(M 不与点 B、点 D 重合),设运动时间为 t(秒). (1)求经过 A、C、D 三点的抛物线的解析式; (2)点 P 在(1)中的抛物线上,当 M 为 BC 的中点时,若 ∆PAM ≅ ∆PBM ,求点 P 的坐标; (3)当 M 在 CD 上运动时,如图 2,过点 M 作 MF⊥x 轴,垂足为 F,ME 垂直 AB,垂足为 E.设矩形 MEBF 与 ∆BCD重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值; (4)点 Q 为 x 轴上一点,直线 AQ 与直线 BC 交于点 H,与 y 轴交于点 K.是否存在点 Q,使得 ∆HOK 为等腰三角形? 若存在,直接写出符合条件的所有 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (2019 菏泽) (2019 淄博) (2019 陇南) 类型 6 探究特殊四边形的存在性问题 (2019 巴彦淖尔) (2019 齐齐哈尔) (2019 邵阳) (2019 荆州) (2019 贵港) (2019 山西) (2019 孝感)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 aaxaxy 822  与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C(0,-4). (1)点 A 的坐标为 ☆ ,点 B 的坐标为 ☆ ,线段 AC 的长为 ☆ ,抛物线的解析式为 ☆ . (4 分) (2)点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点. ①如果在 x 轴上存在点 Q,使得以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形。求点 Q 的坐标. ②如图 2,过点 P 作 PE∥CA 交线段 BC 于点 E,过点 P 作直线 tx  交 BC 于点 F,交 x 轴于点 G,记 PE= f ,求 f 关 于 t 的函数解析式;当 t 取 m 和 )20(2 1-4  mm 时,试比较 f 的对应函数值 1f 和 2f 的大小.(5 分) (2019 广安) 类型 7 探究全等、相似三角形的存在性问题 (2019 郴州)已知抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴分别交于 A(-3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)点 F 是线段 AD 上一个动点. ①如图 1,设 k= AF AD ,当 k 为何值时,CF= 1 2 AD? ②如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标;若不相似,请说明理由. (2019 襄阳) (2019 安顺)如图,抛物线 y= 2 1 x2+bx+c 与直线 y= 2 1 x+3 分别相交于 A, B 两点,且此抛物线与 x 轴的一个交 点为 C,连接 AC, BC. 已知 A(0,3),C(-3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值; (3)点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点,连接 PA,过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q,问:是否存在点 P 使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若还在存在,请说明理由. 解:(1) ① 将 A(0,3),C(-3,0)代入 y= 2 1 x2+bx+c 得      032 9 3 cb c 解得      3 2 5 c b ∴抛物线的解析式是 y= 2 1 x2+ 2 5 x+3 …………………… ………………………………………(4 分) (2)由        32 5 2 1 32 1 2xy xy 解得      3 0 1 1 y x ,      1 4 2 2 y x ∵A (0,3), ∴B(-4,1) ① 当点 B、C、M 三点不共线时, |MB-MC|< BC ②当点 B、C、M 三点共线时, |MB-MC|=BC ∴当点、C、M 三点共线时,|MB-MC|取最大值,即为 BC 的长, 过点 B 作 x 轴于点 E,在 Rt△BEC 中,由勾股定理得 BC= 22 CEBE  = 2 ∴|MB-MC|取最大值为 2 …………………… ………………………………………(8 分) (3)存在点 P 使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. 设点 P 坐标为(x, 32 5 2 1 2  xx ) (x>0) 在 Rt△BEC 中,∵BE=CE=1, ∴∠BCE=450, 在 Rt△ACO 中,∵AO=CO=3, ∴∠ACO=450, ∴∠ACB=1800-450-450=900, AC=3 2 . 过点 P 作 PQ⊥PA 于点 P,则∠APQ=900 ……………………………………(10 分) 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 G,∵∠ PQA=∠APQ=900 ∠ PAG=∠QAP, ∴△PGA∽△QPA ∵∠ PGA=∠ACB=900 ∴ ① 当 AG PG = AC BC = 3 1 时,△PAG∽△BAC ∴ 3 1 332 5 2 1 2   xx x 解得 x1 =1, x2 =0, (舍去) ∴点 P 的纵坐标为 2 1 ×12+ 2 5 ×1+3=6, ∴点 P 为(1,6)………………………………(12 分) ②当 AG PG = BC AC = 3 时,△PAG∽△ABC ∴ 3 332 5 2 1 2   xx x 解得 x1 =- 3 13 (舍去), x2 =0(舍去), ∴此时无符合条件的点 P 综上所述,存在点 P(1,6) …………………… ………………………………………(14 分) (2019 岳阳) 类型 8 反比例函数与几何图形的综合 (2019 泰州) (2019 河池) 类型 9 其他问题 (2019 攀枝花)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,2),动点 P 在 3 3y x 的图象上运动(不与 O 重合),连接 AP.过点 P 作 PQ⊥AP,交 x 轴于点 Q,连接 AQ. (1)求线段 AP 长度的取值范围; (2)试问:点 P 运动的过程中,∠QAP 是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由. (3)当△OPQ 为等腰三角形时,求点 Q 的坐标. (2019 怀化) (2019 宜昌)在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的四个顶点坐标分别为 A(-2,4),B(-2,-2),C(4,-2),D (4,4). (1)填空:正方形的面积为;当双曲线 )0(  kx ky 与正方形 ABCD 有四个交点时, k 的取值范围是:; (2)已知抛物线 L: )0()( 2  anmxay 顶点 P 在边 BC 上,与边 AB,DC 分别相交于点 E,F,过点 B 的双 曲线 )0(  kx ky 与边 DC 交于点 N. ①点 )32,( 2  mmmQ 是平面内一动点,在抛物线 L 的运动过程中,点 Q 随 m 运动,分别切运动过程中点 Q 在 最高位置和最低位置时的坐标; ②当点 F 在点 N 下方,AE=NF,点 P 不与 B,C 两点重合时,求 CP CF BP BE  的值; ③求证:抛物线 L 与直线 1x 的交点 M 始终位于 x 轴下方. (2019 大庆)