一元二次方程的应用教案(1) 7页

一元二次方程的应用 一. 本周教学内容：一元二次方程的应用 教学目标：‎ ‎ *知识与技能：‎ ‎ 会列出方程解决实际问题，并提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。‎ ‎ *过程与方法：‎ ‎ 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般思维过程。‎ ‎ *情感、态度与价值观：‎ ‎ 进一步巩固数学来源于生活，又服务于生活的认识观。‎ 教学重点： 建立一元二次方程的模型解决实际问题。‎ 教学难点：根据不同题型，认真审题，寻找等量关系，再列方程。‎ 方法指导：这部分内容要求同学们能综合应用已有知识，经过自主探索和合作交流去尝试解决，在实践中获得成功经验。因此，我们对部分内容的学习，要特别注意培养观察，分析及合情推理的能力。注意解决问题的过程性原则，充分体现课程标准中“让不同的人在数学上得到不同的发展”这一理念。‎ 主要内容：‎ ‎（一）列一元二次方程解应用题的一般步骤：‎ ‎ （1）审题：即读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。‎ ‎ （2）设未知数：即将题目中的未知量用字母来表示。‎ ‎ （3）列方程：根据等量关系列出方程，这是解应用题的关键。‎ ‎ （4）解方程：求出所列方程中未知数的值。‎ ‎ （5）检验：检验方程的解是否符合实际意义。‎ ‎ （6）答：写出问题的答案。‎ ‎（二）提醒同学们分析问题时应注意的几个方面：‎ ‎ （1）认真审题，看题中是否存在着某种公式，可根据此公式列方程。‎ ‎ （2）善于将应用题分类，如工程问题、数字问题、行程问题、经济问题及图形的面积问题等，从这些题中找出各量之间的等量关系，列出方程。‎ ‎ （3）注意抓住题中一些表达相等关系的语句来列方程。‎ ‎ （4）必须对方程的解加以检验，看看它是否有实际意义。并舍去没有实际意义的方程的解，然后再作答。‎ ‎【典型例题】‎ ‎ 1. 有关数字问题 ‎ 解数字问题关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续整数（或连续偶数、奇数）问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般不直接设这个多位数，而是设这个多位数的某位上的数字，再用代数式表示其余数位的数字，然后根据题中提供的数量关系列方程。‎ ‎ 例1. 一个两位数、十位数字与个位数字之和是5‎ 7‎ ‎，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。‎ ‎ 分析：先理解数与数字之间的关系。‎ ‎ 两位数=十位数字×10+个位数字 ‎ 再将原来的两位数和对调后的两位数列表分析 ‎ 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解方程得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：原来的两位数是32或23。‎ ‎ 2. 有关面积问题 ‎ 解这类问题的关键是：‎ ‎ （1）熟记特殊图形的面积公式；‎ ‎ （2）会将不规则图形变换成规则图形，再找出各部分面积之间的关系，然后运用面积公式列出方程。‎ ‎ 例2. 如图所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板。求仓库的长和宽各是多少米？‎ ‎ 分析：如图所示，根据题意知，32米木板只须同三面、两面宽、一面长，还有1米宽的门。若设宽为x米，则长应为（32+1-2x）米。‎ ‎ 解：设仓库的宽为x米，则长为（33-2x）米 ‎ 依题意得：x(33-2x)=130‎ ‎ 整理得：2x2-33x+130=0‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ 检验：‎ ‎ ‎ ‎ 答：仓库的长为13米，宽为10米。‎ ‎ 3. 有关增长率（降低率）问题 ‎ 解这类题的关键是能理解“增长了”与“增长到”的区别，并能理解第二次增长是在第一次的基础发生的。会通过分析、归纳，并记住公式：b=a（1±x）n ‎ 其中a为增长（或降低）的基础数，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的数量。‎ ‎ 例3. 某农场的产量两年从50万公斤增加到60.5万公斤，求平均每年的增长率。‎ ‎ 分析： 增长了 增长到 ‎ 第一年 50x 50+50x=50(1+x)‎ ‎ 第二年 50(1+x)·x 50(1+x)+50(1+x)·x=50(1+x)2‎ ‎ 解：设平均每年的增长率为x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验：x=-2.10不合题意，舍去。‎ ‎ 答：平均每年增产率为10%。‎ ‎ 4. 有关利润问题 ‎ 解决这类题的关键掌握两个基本数量关系：‎ ‎ （1）利润=售价-进价（单件）‎ ‎ （2）每件商品的利润×销售量=总利润 ‎ 例4. 将进货价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少个？‎ ‎ 分析：这个问题不能直接设，应设每个商品涨价x元，根据涨价1元，售量会减少10个，涨价x元，其销售量会减少10x个，列分析表如下：‎ ‎ 每件商品的利润 销售量 总利润 ‎ （50+x）-40 （500-10x） 8000‎ ‎ 解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x）元，依题意得：‎ ‎ ‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：要想赚得8000元，售价应定为60元或80元。‎ ‎ 若售价为60元，则进货量为400个 ‎ 若售价为80元，则进货量为200个 ‎ 例5. （创新课）‎ ‎ 一块矩形耕地大小尺寸（如图1所示）要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？‎ 图1‎ ‎ 分析：这道题的难度是图形较复杂，如果单个考虑每一小块耕地面积，不可能找到解题思路，应理解挖渠所用土地面积只与挖渠的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，因此将图形稍作变换，问题即可解决（如图2所示）‎ 图2‎ ‎ 解：设水渠应挖x米宽 7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验：x=96不合题意，舍去 ‎ 答：水渠应挖1米宽。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎ 1. 一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是（ ）‎ ‎ A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25和-36‎ ‎ 2. 某商品原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在的成本是195元，设平均每次降低成本的百分率为x，则可列方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 3. 一个小组有若干人，新年时互送贺年片一张，已知全组互送贺年片72张，则这个小组共有人数是（ ）‎ ‎ A. 12人 B. 18人 C. 9人 D. 10人 ‎ 4. 三个连续奇数，它们的平方和为251，则这三个数分别为（ ）‎ ‎ A. 7、9、11 B. 5、7、9 C. 7、9、11或-11、-9、-7 D. 5、7、9或-9、-7、-5‎ 二. 解答题 ‎ 1. 三个连续的正整数中，前两数的平方和等于第三个数的平方，求这三个数。‎ ‎ 2. 某化肥厂今年一月份的化肥产量为4万吨，第一季度共生产化肥13.2万吨，问2、3月份平均每月的增长率是多少？‎ ‎ 3. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h（m）与球打出后飞行的时间t（s）之间的关系是：（1）经过多少秒钟后，球飞行的高度为9米；（2）经过多少秒钟后，球又落到地面。‎ 7‎ ‎ 4. 学校把校园内一块长50m，宽40m的小长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿地面积的，求草坪的宽度。‎ ‎ 5. 某人购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元后把其余的钱又购买了这种定期1年的债券（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率。‎ 7‎ 参考答案 一. 基础题 ‎ 1. C 2. B 3. C 4. C 二. 解答题 ‎ 1. 解：设中间一个数为x，则两端的数分别为x-1，x+1‎ ‎ ‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴这三个数为3，4，5‎ ‎ 2. 解：设2、3月份平均每月的增长率为x ‎ ‎ ‎ 解略 ‎ 看清题，第一季度的产量为13.2万吨，应为三个月产量之和 ‎ 3. 解：（1）依题意得：（直接利用公式）‎ ‎ 解得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：略 ‎ 4. 解：设草坪的宽度为xm ‎ ‎ ‎ （不合题意，舍去）‎ ‎ 答：草坪的宽度为10m。‎ ‎ 5. 解：设年利率为x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：略。‎ 7‎