2020年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 4页

‎2.3　一元二次方程根的判别式 知识点 1　不解方程，判断一元二次方程根的情况 ‎1．2016·怀化一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为(　　)‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎2．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．‎ ‎(1)5x2－4x－3＝0；　　　　(2)3x2＋2x＋1＝0；‎ ‎(3)2x2＋3＝2 x.‎ 知识点 2　已知一元二次方程根的情况，求方程中未知数的值或取值范围 ‎3．若关于x的方程x2＋x－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≥2 B．a≤‎2 C．a＞2 D．a＜2‎ ‎4．若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎5．教材习题2.3第4题变式当k为何值时，关于x的一元二次方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0的根分别满足下列情况：‎ ‎(1)有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)有两个相等的实数根；‎ ‎(3)没有实数根．‎ 知识点 3　证明一元二次方程根的情况 ‎6．求证：无论k取任何实数，关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋k－4＝0总有两个不相等的实数根．‎ 4‎ ‎7．2017·娄底若关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)‎ A．k＝4 B．k＞4‎ C．k≤4且k≠0 D．k≤4‎ ‎8．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|.‎ ‎(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．‎ ‎ ‎ ‎9．数学老师在讲一元二次方程的解法时，没有看讲义，不假思索地在黑板上写出了一组题目：①x2＋5x－2＝0；②x2－7x－3＝0；③－x2＋5x＋6＝0；④－x2＋8x＋＝0；⑤x2＋x－＝0；⑥－3x2＋8x＋9＝0.‎ 让同学们解这些方程，同学们很惊讶的是老师写的这些方程中，没有出现一个方程无实数根的情况．‎ ‎(1)请仔细观察上述方程的特征，想一想为什么数学老师能不看讲义，又不假思索地写出这组一定有实数根的一元二次方程；‎ ‎(2)请你也学着老师写出几个这样的方程．‎ ‎　　　　‎ 4‎ ‎1．A　[解析] 这里a＝1，b＝－1，c＝－1，Δ＝b2－‎4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，∴方程x2－x－1＝0有两个不相等的实数根．故选择A.‎ ‎2．解：(1)∵b2－‎4ac＝(－4)2－4×5×(－3)＝16＋60＝76>0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵b2－‎4ac＝22－4×3×1＝4－12＝－8<0，‎ ‎∴方程无实数根．‎ ‎(3)∵b2－‎4ac＝(－2 )2－4×2×3＝24－24＝0，‎ ‎∴方程有两个相等的实数根．‎ ‎3．C　[解析] 根据题意得Δ＝12－4(－a＋)＞0，解得a＞2.故选C.‎ ‎4．k＞1　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，∴Δ＜0.∵a＝1，b＝－2，c＝k，∴Δ＝b2－‎4ac＝(－2)2－4k＜0，即4－4k＜0，∴k＞1.‎ ‎5．解：2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，‎ ‎∴a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，‎ b2－‎4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9.‎ ‎(1)∵方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴8k＋9>0，∴k>－.‎ ‎(2)∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴8k＋9＝0，∴k＝－.‎ ‎(3)∵方程没有实数根，∴8k＋9<0，‎ ‎∴k<－.‎ ‎6．证明：∵Δ＝b2－‎4ac＝－4(k－4)＝k2＋2k＋1－4k＋16＝(k－1)2＋16>0，∴无论k取任何实数，关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋k－4＝0总有两个不相等的实数根．‎ ‎7．C　[解析] ∵关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有实数根，‎ ‎∴ 解得k≤4且k≠0.‎ ‎8．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)＝|m|，‎ ‎∴x2－5x＋6－|m|＝0.‎ ‎∵Δ＝b2－‎4ac＝(－5)2－4(6－|m|)＝1＋4|m|，‎ 而|m|≥0，∴Δ＞0，‎ ‎∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵方程的一个根是1，∴|m|＝2，‎ 解得m＝±2，‎ ‎∴原方程为x2－5x＋4＝0，‎ 解得x1＝1，x2＝4.‎ 即m的值为±2，方程的另一个根是4.‎ 4‎ ‎9．解：(1)通过观察可以发现，老师给出的这些方程有一个共同特征：方程的二次项系数与常数项的符号相反，所以b2－‎4ac的值总是大于零，因而这些方程都有实数根．‎ ‎(2)还可以写出许多符合这一特征的方程，如：－x2＋2x＋5＝0，x2－5x－12＝0.(答案不唯一)‎ 4‎