中考一轮复习教案之三角形（五）18-23 13页

第五篇 三角形 专题十八 几何初步及平行线、相交线 一、考点扫描 ‎1、了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交 直线确定一个交点，‎ 解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；‎ ‎2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线 段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 二、考点训练 ‎1、如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED平分∠BEF，‎ A B C D E F0‎ 交CD于D，则∠EDF＝ ‎ ‎2、若一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是 ‎ ‎3、把63.5°用度分秒表示 ，把18°18′18″用度表示 ‎ ‎4、在平面上画出四条直线，交点的个数最多应该是（　　）‎ ‎ (A) 4个　(B) 5个　　(C) 6个　(D) 8个 ‎5、如果两个角的两边分别平行且一个角比另一个角的3倍少30°,则这两个角的度数分别为　　　‎ ‎6、用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数（　　　）‎ ‎ (A) 5个 (B) 10个 (C) 11个　 (D)以上都不对 ‎7、已知三条直线a,b,c，下列命题中错误的是（　　）‎ (A) 如果a∥b,b∥c,那么a∥c　　‎ (B) ‎　(B)如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c (C) 如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c　　‎ (D) ‎　(D)如果a⊥b,a∥c,那么b⊥c ‎8、下列命题中(1)过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；(2)经过一点有且只有一条直线和已知直线平行；(3)过线段AB外一点P作线段AB的中垂线；(4)如果直线l1与l2相交，直线l3与l4相交，那么l1∥l3；(5)如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；(6)两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行；(7)两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补；其中正确命题的个数为（　　　）‎ ‎(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)5个 ‎9、（2005年临汾市）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．‎ ‎10、如图6，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）‎ ‎ A．180° B．150° C．135° D．120°‎ 三、例题剖析 ‎1、已知如图：AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB, ∠EDC与∠CHF互补,求证：DE⊥AC.‎ ‎2、‎ ‎2、（06年广安）如图5，AB∥CD，若∠ABE=120°， ∠DCE=35°，则有∠BEC=_______度．‎ ‎3、.如图，AB∥CD, ∠A＝75°,∠C＝30°,‎ ‎　则∠E的度数为 .‎ ‎4、如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.‎ 专题十九 三角形的概念和全等三角形 一、考点扫描 ‎1、了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高．了解三角形的稳定性。三角形两边之和大于第三边。‎ ‎3、探索并掌握三角形中位线的性质。‎ ‎2、全等三角形的性质与判定：‎ ‎（1）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；（对应的 中线 、高线 、 角平分线 也分别相等。）‎ ‎（2）判定:一般三角形有SAS，ASA，AAS、SSS，直角三角形还有HL 二、考点训练 ‎1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．‎ ‎2、如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______．‎ ‎3、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；‎ ‎③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是_________．‎ ‎4、如图5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．‎ ‎5、（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．‎ ‎6、（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）‎ ‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 ‎7、（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（ ）‎ A．10，25 B．10，36或12，36‎ ‎ C．12，36 D．10，25或12，36‎ ‎8、（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；‎ ‎③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）‎ ‎ A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④‎ 三、例题剖析 ‎1、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAC；‎ ‎（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．‎ ‎2、（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：‎ ‎①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．‎ 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）‎ ‎ ‎ ‎3、例9 已知：如图∠A=2∠B，CD平分∠ACB， ‎ 求证：BC=AD+AC ‎4、已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．‎ ‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．‎ ‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．‎ 四、综合应用 ‎1、如图14－1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB = 90°，M为AB边中点．‎ 操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME = PM，连结DE．‎ 探究：⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；‎ ‎⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P按上述方法操作；‎ ‎⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；‎ 如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；‎ ‎(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)‎ ‎⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线 段DE有关的结论(直接写答案)．‎ 专题二十 等腰三角形 一、考点扫描 ‎1、等腰三角形的有关概念；‎ ‎2、等腰三角形的性质：‎ ‎①轴对称图形；②等边对等角；③三线合一 ‎3、腰三角形的判断方法：‎ ‎ ①等角对等边；②两条边相等的三角形 ‎4、等边三角形的性质与判断方法：‎ ‎ 三边相等，三个角都等于60º。‎ 二、考点训练 ‎1、如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．‎ ‎（1） （2）‎ ‎2、如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．‎ ‎3、（06年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．‎ ‎（3） （4）‎ ‎4、（06年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．‎ ‎5、（06年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．‎ ‎6、如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．‎ ‎ ‎ ‎ （6） （7） （8）‎ ‎7、（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．‎ ‎8、（2006年日照市）如图8，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（ ）‎ A．30° B．36° C．45° D．72°‎ ‎ ‎ 三、例题剖析 ‎1、如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．‎ ‎ ‎ ‎2、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．‎ ‎3、（06年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．‎ ‎（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎4、（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．‎ ‎（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．‎ ‎（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．‎ 四、综合应用 ‎1、（06年福建省龙岩14分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，点A的横坐标为，过点的直线与轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，于点H．若，且．‎ ‎（1）确定b、c的值：；‎ ‎（2）写出点B、P、Q的坐标（其中Q、P用含的式子表示）：‎ ‎；‎ ‎（第28题图）‎ ‎（3）依点的变化，是否存在的值，使 为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．‎ 专题二十一 直角三角形 一、考点扫描 ‎1、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。‎ ‎①.直角三角形中两锐角互余；‎ ‎②.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；‎ ‎③.直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半；‎ ‎2、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。‎ ‎3、掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。‎ 二、考点训练 ‎1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）‎ A、45°B、135°C、45°或135°D、以上答案都不对 ‎2、等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm。‎ ‎3、.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cm E A B C D ‎4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝ 。‎ D A B C ‎(4) (5) ‎ ‎5、如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线， ΔBCE的周长为14cm, BC＝5cm，则AB= 。‎ ‎6、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A处，则∠EAB=_________度．‎ ‎ (6) (7)‎ ‎7、如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．‎ ‎8、（06年盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是_____．‎ ‎ (8) (9)‎ ‎9、（2006年河南省）如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端的A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=_______km．‎ ‎10、（05年吉林省）如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎ （10） （11）‎ ‎11、2006年烟台市）如图10，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）‎ A．25° B．30° C．45° D．60°‎ ‎12、（2006年包头市）如图12，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ 三、例题剖析 ‎1、（06年日照市）如图，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．‎ 求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．‎ ‎2、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．‎ ‎3、（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．‎ ‎（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．‎ 四、综合应用 ‎1、如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．‎ 专题二十二 解直角三角形 一、考点扫描 B A C ‎1、理解锐角三角形函数角的概念；‎ ‎2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；‎ ‎3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。‎ ‎4、掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题 二、考点训练 ‎1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、在ΔABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( )‎ ‎ A． B． c． D．‎ ‎3、（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）‎ A．L1 B．L2 C．L3 D．L4‎ ‎4、如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______米．‎ ‎5、半径为10cm的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为 ‎ ‎6、如果sin2 α+sin230°= 1，那么锐角α的度数是（ ）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎7、若0＜cosα≤，则锐角α的取值范围是（）‎ ‎ A．0＜α＜30○ B、α≥30○‎ C．30○≤α≤60○ D．30○≤α≤90○‎ ‎8、α为锐角，则sinα+cosα的值（ ）‎ ‎ A．小于1 B．大于1 C．等于1 D．不能确定 三、例题剖析 ‎1、梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆的高度．如图7，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆的顶端的影子落在教学楼前的坪地处，测得影长与地面的夹角．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆的高度．（可能用到的数据：，结果保留两个有效数字）‎ A B Ｄ E C 图7‎ ‎2、下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米．从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)‎ ‎ (1)求山坡路AB的高度BE．‎ ‎ (2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?‎ H A B C D M E F N I ‎ (sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781)‎ ‎3、如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB的高度．‎ 四、综合应用 ‎1、某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200‎ 米，一部拖拉机从O点出发，以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知： sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）‎ 专题二十三 相似三角形 一、考点扫描 ‎1、相似三角形定义：形状相同的三角形是相似三角形 ‎2、相似三角形的判断 ‎(1).两角对应相等的两个三角形 ‎(2).两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 ‎(3). 三边对应成比例的两个三角形 ‎3、相似三角形的性质 ‎(1).对应角相等,对应线段(对应边及对应边上的高线、中线和对应角的平分线)成比例，都等于相似比 ‎(2).周长之比等于相似比 ‎(3).面积之比等于相似比的平方 ‎4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；‎ 二、考点训练 ‎1、（2006·临安市）如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )。‎ ‎2、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，‎ A B C D 学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）.‎ ‎3、(2006·广安市)如图, Rt△ABC,‎ ‎ 斜边AC上有一动点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC, 使 截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条.‎ ‎4、（2006·鄂尔多斯市）如图9所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为 米．（不计宣传栏的厚度）‎ ‎2米 ‎3米 ‎5、2006年扬州市）如图4，有两个形状相同的星星图案，则x的值为（ ）‎ A．15 B．12 C．10 D．8‎ ‎6、（2006·伊春市）如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是( ) A ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 三、例题剖析 B A C P D ‎1、如图等边△ABC中，P为BC边的一点，且∠APD=60º若BP=1，CD=，则△ABC的边长为________．‎ ‎2、（2006·湛江市）如图10，在中，，，把边长分别为的个正方形依次放入中，请回答下列问题：‎ ‎（1）按要求填表 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）第个正方形的边长 ；‎ ‎（3）若是正整数，且，试判断的关系．‎ 图10‎ ‎3、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？为什么？‎ 四、综合应用 ‎1、（2006·枣庄市）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x, CE=y ‎ ‎(l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．‎ ‎2、如图所示，在正方形ABCD中，点E为C D边中点，连接BE，与AC相交于点F，则ΔABF与四边形ADEF的面积之比为多少？‎ ‎（1）当CE=2DE时， ‎ ‎（2）当CE=3DE时， ‎ ‎（3）当CE=nDE时， ‎ A C D B EE F ‎（4）仿照上述问题，请你提出一个问题。（分值1～4分）‎ ‎ （备用图）‎ ‎ ‎