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  • 2021-11-06 发布

中考一轮复习教案之三角形(五)18-23

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第五篇 三角形 专题十八 几何初步及平行线、相交线 一、考点扫描 ‎1、了解直线、线段和射线等概概念的区别,两条相交 直线确定一个交点,‎ 解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念,掌握两点确定一条直线的性质,角平分线的概念,度、分、秒的换算,几何图形的符号表示法,会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形;‎ ‎2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念,了解垂线 段最短的性质,平行线的基本性质,理解对顶角、补角、邻补角的概念,理解对顶角的性质,同角或等角的补角相等的性质,掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,会识辨别同位角、内错角和同旁内角,会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算,会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 二、考点训练 ‎1、如图,AB∥CD,∠CFE=112°,ED平分∠BEF,‎ A B C D E F0‎ 交CD于D,则∠EDF= ‎ ‎2、若一个角的余角是这个角的4倍,则这个角的度数是 ‎ ‎3、把63.5°用度分秒表示 ,把18°18′18″用度表示 ‎ ‎4、在平面上画出四条直线,交点的个数最多应该是(  )‎ ‎ (A) 4个 (B) 5个  (C) 6个 (D) 8个 ‎5、如果两个角的两边分别平行且一个角比另一个角的3倍少30°,则这两个角的度数分别为   ‎ ‎6、用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数(   )‎ ‎ (A) 5个 (B) 10个 (C) 11个  (D)以上都不对 ‎7、已知三条直线a,b,c,下列命题中错误的是(  )‎ (A) 如果a∥b,b∥c,那么a∥c  ‎ (B) ‎ (B)如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c (C) 如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c  ‎ (D) ‎ (D)如果a⊥b,a∥c,那么b⊥c ‎8、下列命题中(1)过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;(2)经过一点有且只有一条直线和已知直线平行;(3)过线段AB外一点P作线段AB的中垂线;(4)如果直线l1与l2相交,直线l3与l4相交,那么l1∥l3;(5)如果两条直线都与同一条直线垂直,那么这两条直线平行;(6)两条直线没有公共点,那么这两条直线一定平行;(7)两条直线与第三条直线相交,如果内错角相等,则同旁内角互补;其中正确命题的个数为(   )‎ ‎(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)5个 ‎9、(2005年临汾市)如图4,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,若∠AOD=145°,则∠BOC=_______度.‎ ‎10、如图6,是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A、B、C、D、E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是( )‎ ‎ A.180° B.150° C.135° D.120°‎ 三、例题剖析 ‎1、已知如图:AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB, ∠EDC与∠CHF互补,求证:DE⊥AC.‎ ‎2、‎ ‎2、(06年广安)如图5,AB∥CD,若∠ABE=120°, ∠DCE=35°,则有∠BEC=_______度.‎ ‎3、.如图,AB∥CD, ∠A=75°,∠C=30°,‎ ‎ 则∠E的度数为 .‎ ‎4、如图,AB∥CD,求∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD的度数.‎ 专题十九 三角形的概念和全等三角形 一、考点扫描 ‎1、了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高.了解三角形的稳定性。三角形两边之和大于第三边。‎ ‎3、探索并掌握三角形中位线的性质。‎ ‎2、全等三角形的性质与判定:‎ ‎(1)性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;(对应的 中线 、高线 、 角平分线 也分别相等。)‎ ‎(2)判定:一般三角形有SAS,ASA,AAS、SSS,直角三角形还有HL 二、考点训练 ‎1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么D点到直线AB的距离是_______cm.‎ ‎2、如图4,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,则∠1+∠2的度数为______.‎ ‎3、如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;‎ ‎③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正确的结论是_________.‎ ‎4、如图5,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,那么图中全等三角形共有________对.‎ ‎5、(2006年河南省)如图6,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是________.‎ ‎6、(2006年绍兴市)若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )‎ ‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 ‎7、(2006年德阳市)已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似.要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边.那么另外两边的长度(单位:cm)分别为( )‎ A.10,25 B.10,36或12,36‎ ‎ C.12,36 D.10,25或12,36‎ ‎8、(2005年黄冈市)如图所示,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;‎ ‎③S四边形AEPF=S△ABC;④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有( )‎ ‎ A.①④ B.①② C.①②③ D.①②③④‎ 三、例题剖析 ‎1、已知:如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG∥BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DB,连结AE、CD.‎ ‎(1)求证:△AGE≌△DAC;‎ ‎(2)过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连结AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.‎ ‎2、(2006年内江市)如图,在△ABD和△ACE中,有下列四个等式:‎ ‎①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE.‎ 请你以其中三个等式作为题设,余下的作为结论,写出一个真命题(要求写出已知,求证及证明过程)‎ ‎ ‎ ‎3、例9 已知:如图∠A=2∠B,CD平分∠ACB, ‎ 求证:BC=AD+AC ‎4、已知∠AOB=900,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.‎ ‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:OD+OE=OC.‎ ‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.‎ 四、综合应用 ‎1、如图14-1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB = 90°,M为AB边中点.‎ 操作:以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连结PM并延长到点E,使ME = PM,连结DE.‎ 探究:⑴请猜想与线段DE有关的三个结论;‎ ‎⑵请你利用图14-2,图14-3选择不同位置的点P按上述方法操作;‎ ‎⑶经历⑵之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;‎ 如果你认为你写的结论是错误的,请用图14-2或图14-3加以说明;‎ ‎(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)‎ ‎⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图14-4操作,并写出与线 段DE有关的结论(直接写答案).‎ 专题二十 等腰三角形 一、考点扫描 ‎1、等腰三角形的有关概念;‎ ‎2、等腰三角形的性质:‎ ‎①轴对称图形;②等边对等角;③三线合一 ‎3、腰三角形的判断方法:‎ ‎ ①等角对等边;②两条边相等的三角形 ‎4、等边三角形的性质与判断方法:‎ ‎ 三边相等,三个角都等于60º。‎ 二、考点训练 ‎1、如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°.‎ ‎(1) (2)‎ ‎2、如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.‎ ‎3、(06年烟台市)如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________.‎ ‎(3) (4)‎ ‎4、(06年包头市)如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离D的距离约为_______米(精确到1米).‎ ‎5、(06年诸暨市)等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间应为________.‎ ‎6、如图6,等边△ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),点A关于x轴对称点A′的坐标为_______.‎ ‎ ‎ ‎ (6) (7) (8)‎ ‎7、(2006年江阴市)如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________.‎ ‎8、(2006年日照市)如图8,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于( )‎ A.30° B.36° C.45° D.72°‎ ‎ ‎ 三、例题剖析 ‎1、如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______.‎ ‎ ‎ ‎2、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.‎ ‎3、(06年常德市)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.‎ ‎(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎4、(2005年江西省)如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点.‎ ‎(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论.‎ ‎(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.‎ 四、综合应用 ‎1、(06年福建省龙岩14分)如图,已知抛物线与坐标轴交于A、B、C三点,点A的横坐标为,过点的直线与轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,于点H.若,且.‎ ‎(1)确定b、c的值:;‎ ‎(2)写出点B、P、Q的坐标(其中Q、P用含的式子表示):‎ ‎;‎ ‎(第28题图)‎ ‎(3)依点的变化,是否存在的值,使 为等腰三角形?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由.‎ 专题二十一 直角三角形 一、考点扫描 ‎1、了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。‎ ‎①.直角三角形中两锐角互余;‎ ‎②.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;‎ ‎③.直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半;‎ ‎2、体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。‎ ‎3、掌握角平分线的性质定理及其逆定理,线段中垂线性质定理及其逆定理。‎ 二、考点训练 ‎1.直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是( )‎ A、45°B、135°C、45°或135°D、以上答案都不对 ‎2、等腰直角三角形中,若斜边和斜边上的高的和是6cm,则斜边长是 cm。‎ ‎3、.三角形三个角的度数之比为1:2:3,它的最大边长等于16cm,则最小边长是 cm E A B C D ‎4、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120度,AD⊥AC,DC=5,则BD= 。‎ D A B C ‎(4) (5) ‎ ‎5、如图,△ABC中,AB=AC,DE是AB的中垂线, ΔBCE的周长为14cm, BC=5cm,则AB= 。‎ ‎6、如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,AD=2AB,若沿过点D的折痕DE将A角翻折,使点A落在BC上的A处,则∠EAB=_________度.‎ ‎ (6) (7)‎ ‎7、如图,矩形纸片ABCD,AB=2,∠ADB=30°,沿对角线BD折叠(使△ABD和△EBD落在同一平面内),则A、E两点间的距离为________.‎ ‎8、(06年盐城)如图5,AB是⊙O的弦,圆心O到AB的距离OD=1,AB=4,则该圆的半径是_____.‎ ‎ (8) (9)‎ ‎9、(2006年河南省)如图,C、D是两个村庄,分别位于一个湖的南、北两端的A和B的正东方向上,且D位于C的北偏东30°方向上,CD=6km,则AB=_______km.‎ ‎10、(05年吉林省)如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是( )‎ A.10° B.20° C.30° D.40°‎ ‎ (10) (11)‎ ‎11、2006年烟台市)如图10,CD是Rt△ABC斜边上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于( )‎ A.25° B.30° C.45° D.60°‎ ‎12、(2006年包头市)如图12,将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,若AC=1,则图中阴影部分的面积为( )‎ A. B. C. D.3‎ 三、例题剖析 ‎1、(06年日照市)如图,已知等腰Rt△AOB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连接AE、BF.‎ 求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.‎ ‎2、如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=______.‎ ‎3、(2006年包头市)《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”.一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶(如图所示),在距离路边25米处有“车速检测仪O”,测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点,所用时间为1.5秒.‎ ‎(1)试求该车从A点到B的平均速度;(2)试说明该车是否超过限速.‎ 四、综合应用 ‎1、如图,正方形网格中,小格的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一实线上;②连结三个格点,使之构成直角三角形,小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC.请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并使三个网格中的直角三角形互不全等.‎ 专题二十二 解直角三角形 一、考点扫描 B A C ‎1、理解锐角三角形函数角的概念;‎ ‎2、会由已知锐角求它的三角函数,由已知三角函数值求它对应、的锐角 ;‎ ‎3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。‎ ‎4、掌握根据已知条件解直角三角形的方法,运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到:1)了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念;2)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型;3)涉及解斜三角形的问题时,会通过作适当的辅助线构造直角三角形,使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题 二、考点训练 ‎1、在Rt△ABC中,∠C=90°,a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、在ΔABC中,已知∠C=90°,sinB=,则cosA的值是 ( )‎ ‎ A. B. c. D.‎ ‎3、(2006年海南省)如图9,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用( )‎ A.L1 B.L2 C.L3 D.L4‎ ‎4、如图,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为_______米.‎ ‎5、半径为10cm的圆内接正三角形的边长为 ,内接正方形的边长为 ,内接正六边形的边长为 ‎ ‎6、如果sin2 α+sin230°= 1,那么锐角α的度数是( )‎ A.15° B.30° C.45° D.60°‎ ‎7、若0<cosα≤,则锐角α的取值范围是()‎ ‎ A.0<α<30○ B、α≥30○‎ C.30○≤α≤60○ D.30○≤α≤90○‎ ‎8、α为锐角,则sinα+cosα的值( )‎ ‎ A.小于1 B.大于1 C.等于1 D.不能确定 三、例题剖析 ‎1、梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时,测量朝西教学楼前的旗杆的高度.如图7,当阳光从正西方向照射过来时,旗杆的顶端的影子落在教学楼前的坪地处,测得影长与地面的夹角.在同一时刻,测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m.根据这些数据求旗杆的高度.(可能用到的数据:,结果保留两个有效数字)‎ A B D E C 图7‎ ‎2、下图表示一山坡路的横截面,CM是一段平路,它高出水平地面24米.从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路,山坡路AB的路面长100米,它的坡角∠BAE=5°,山坡路BC的坡角∠CBH=12°.为了方便交通,政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同,使得∠DBI=5°.(精确到0.O1米)‎ ‎ (1)求山坡路AB的高度BE.‎ ‎ (2)降低坡度后,整个山坡的路面加长了多少米?‎ H A B C D M E F N I ‎ (sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)‎ ‎3、如图,初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度,在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°,再沿直线CB后退8米到D点,在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°;已知测角器的高度是1.6米,求旗杆AB的高度.‎ 四、综合应用 ‎1、某校的教室A位于工地O的正西方向、,且 OA=200‎ 米,一部拖拉机从O点出发,以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为130米,试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内?若不在,请说明理由;若在,求出教室A受污染的时间有几秒?(已知: sin53°≈0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)‎ 专题二十三 相似三角形 一、考点扫描 ‎1、相似三角形定义:形状相同的三角形是相似三角形 ‎2、相似三角形的判断 ‎(1).两角对应相等的两个三角形 ‎(2).两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 ‎(3). 三边对应成比例的两个三角形 ‎3、相似三角形的性质 ‎(1).对应角相等,对应线段(对应边及对应边上的高线、中线和对应角的平分线)成比例,都等于相似比 ‎(2).周长之比等于相似比 ‎(3).面积之比等于相似比的平方 ‎4、了解图形 的位似,灵活运用位似将一个图形放大或缩小;‎ 二、考点训练 ‎1、(2006·临安市)如图,小正方形的边长均为l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )。‎ ‎2、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,‎ A B C D 学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如下图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度约为________米(精确到0.1米).‎ ‎3、(2006·广安市)如图, Rt△ABC,‎ ‎ 斜边AC上有一动点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC, 使 截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条.‎ ‎4、(2006·鄂尔多斯市)如图9所示,某校宣传栏后面2米处种了一排树,每隔2米一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处,正好看到两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为 米.(不计宣传栏的厚度)‎ ‎2米 ‎3米 ‎5、2006年扬州市)如图4,有两个形状相同的星星图案,则x的值为( )‎ A.15 B.12 C.10 D.8‎ ‎6、(2006·伊春市)如图,△ABC中,∠B=900,AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点C落在AB边上的C′处,并且C′D∥BC,则CD的长是( ) A ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 三、例题剖析 B A C P D ‎1、如图等边△ABC中,P为BC边的一点,且∠APD=60º若BP=1,CD=,则△ABC的边长为________.‎ ‎2、(2006·湛江市)如图10,在中,,,把边长分别为的个正方形依次放入中,请回答下列问题:‎ ‎(1)按要求填表 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(2)第个正方形的边长 ;‎ ‎(3)若是正整数,且,试判断的关系.‎ 图10‎ ‎3、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上,另两个顶点在两条直角边上,如图(1);另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上,如图(2).两种情形下正方形的面积哪个大?为什么?‎ 四、综合应用 ‎1、(2006·枣庄市)如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x, CE=y ‎ ‎(l)如果∠BAC=300,∠DAE=l050,试确定y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时,(l)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.‎ ‎2、如图所示,在正方形ABCD中,点E为C D边中点,连接BE,与AC相交于点F,则ΔABF与四边形ADEF的面积之比为多少?‎ ‎(1)当CE=2DE时, ‎ ‎(2)当CE=3DE时, ‎ ‎(3)当CE=nDE时, ‎ A C D B EE F ‎(4)仿照上述问题,请你提出一个问题。(分值1~4分)‎ ‎ (备用图)‎ ‎ ‎