北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章-2正方形的判定 18页

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1.了解一元二次方程的概念.（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、 b、c为常,a≠ 0）.（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难 点） 学习目标 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 924  x x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分 式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程 叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一 元二次方程呢？ 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地 面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯（如图） ,四周未铺地毯 的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么地 毯中央长方形图案的长为 m, 宽为　　　 m.根据题意,可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .① 该方程中未知数的个数和最 高次数各是多少？ 一元二次方程的相关概念 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等 于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数 依次可表示为 , , , .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 . 化简，得 x2 - 8x - 20＝0. ② 该方程中未知数的个数和最 高次数各是多少？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端 距墙　　m.如果设梯子底端滑动 x m , 那么滑动后梯子底端距墙　　 m . 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为 10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距 地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底 端滑动多少米？ 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102 . 化简，得 x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1m xm 该方程中未知数的个数和最 高次数各是多少？ 观察与思考： ① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0. 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一 元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a 、 b 、 c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ★一元二次方程的概念 ★一元二次方程的一般形式是 想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可 以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数. 1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　时,是一元二次 方程． 2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　 时,是一元一次方程． ≠3 ≠±1 =-1 练一练： 2 2 2 2 2 1A. 0 B. 3 5 0 C. ( 1)( 2) 0 D. 0 x x xy y x x x ax bx c            下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 例1 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2； (2)(a－1)x ∣ a ∣ +1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0,所以 当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣ a ∣ +1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方 程是一元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未 知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值． 例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 例3 1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么? (1)7x2 - 6x = 0 (2)2x2 - 5xy + 6y = 0 (3) (4) (5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2 01 3 12  x x 0 2 2  y √ 方程中同时出现x、y两个未知数 非整式方程 √ 化简后是一元一次方程 2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项： 方　程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 3x2= 5x - 1 (x + 2) (x - 1)=6 4 - 7x2=0 3x2 - 5x + 1 = 0 x2 + x - 8 = 0 3 -5 1 1 1 -8 7x2 - 4 = 0 7 0 -4 3.如图,有一块矩形铁皮,长19 cm,宽15 cm．在它的四个角分别切 去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方 盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切 去多大的正方形？列出方程，并将其化为一般式. 解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm,则纸盒底面的长方形的长为 （19 -2x）cm ,宽为（15 - 2x）cm. 依题意，得 (19 - 2x) (15 - 2x) = 81. x2 - 17x + 51 = 0 (一般式). xcm xcm 一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式 概念 ax2+bx+c=0(a 、 b 、 c为常数, a≠0) ax2 称为二次项,a 称为二次项系数; bx 称为一次项,b 称为一次项系数; c 称为常数项 一般式