2020九年级数学上册第2章对称图形—圆 8页

第2章 对称图形—圆 ‎2.5　第4课时　切线长定理 知识点　切线长定理的应用 ‎1．如图2－5－32，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦AB的长为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 图2－5－32‎ ‎　　　　‎ 图2－5－33‎ ‎.如图2－5－33，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A，B.如果CD＝7，AC＝4，那么BD等于(　　)‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ ‎3．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切．若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于(　　)‎ A．5 B．‎8 C．10 D．12‎ ‎4．已知线段PA，PB分别切⊙O于点A，B，的度数为120°，⊙O的半径为4，则线段AB的长为(　　)‎ A．8 B．‎4 C．6 D．8 图2－5－34‎ ‎　　‎ 图2－5－35‎ 8‎ ‎.如图2－5－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数为________．‎ ‎6．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠OPB＝________°.‎ 图2－5－36‎ ‎　　　　‎ 图2－5－37‎ ‎7．如图2－5－37，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为________．‎ 图2－5－38‎ ‎8．如图2－5－38，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为________．‎ ‎9．如图2－5－39，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点．如果⊙O的半径为5，∠OPA＝30°，求两条切线的夹角∠APB的度数及切线PA的长．‎ 图2－5－39‎ ‎ ‎ 8‎ 图2－5－40‎ ‎10．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎11．如图2－5－41，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°.求∠P的度数．‎ 图2－5－41‎ ‎12．如图2－5－42，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝‎5 cm，BC＝‎9 cm，AC＝‎6 cm，求AE，BF和CD的长．‎ 图2－5－42‎ ‎13．如图2－5－43，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E.‎ ‎(1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；‎ ‎(2)若∠P＝α，求∠COD的度数．‎ 8‎ 图2－5－43‎ ‎14．如图2－5－44，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.‎ ‎(1)求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.‎ 图2－5－44‎ ‎15．如图2－5－45，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.‎ ‎(1)求证：OM＝AN；‎ ‎(2)若⊙O的半径R＝3，PB＝9，求OM的长．‎ 图2－5－45‎ 8‎ 详解详析 ‎1．B　‎ ‎2． C ‎3．C　‎ ‎4． B ‎5．20°　[解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝×(180°－40°)＝70°.由PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，得∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－70°＝20°.‎ ‎6．50　40‎ ‎7．24　[解析] ∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥PA.‎ 在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP＝12，∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝24.‎ ‎8．60°　[解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，‎ ‎∴OP＝PA－OA＝4.‎ ‎∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，‎ ‎∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.‎ ‎∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，‎ ‎∴∠CPD＝60°.‎ ‎9．解：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.‎ ‎∵OA＝OB，OP＝OP，‎ ‎∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，‎ ‎∴∠APB＝2∠OPA＝60°.‎ 在Rt△AOP中，‎ 可求得OP＝2OA＝10，‎ ‎∴PA＝＝5 .‎ ‎10． A　[解析] 如图，连接OE，OF，ON，OG.‎ 在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.‎ ‎∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，‎ ‎∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.‎ 又∵OE＝OF＝OG，‎ ‎∴四边形AFOE，四边形FBGO是正方形，‎ ‎∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，‎ ‎∴DE＝3.‎ ‎∵DM是⊙O的切线，‎ ‎∴DN＝DE＝3，MN＝MG，‎ ‎∴CM＝5－2－MG＝3－MN.‎ 在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，‎ ‎∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，‎ 8‎ ‎∴MN＝，∴DM＝3＋＝.‎ 故选A.‎ ‎11．解：连接AB.‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CBA＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝90°－∠ACB＝20°.‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PA＝PB，∠CAP＝90°，‎ ‎∴∠PAB＝90°－20°＝70°.‎ ‎∵PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝70°，‎ ‎∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.‎ ‎12．解：∵⊙O与△ABC的三边都相切，‎ ‎∴AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF.‎ 设AE＝x cm，BF＝y cm，CD＝z cm，‎ 则解得 即AE＝‎1 cm，BF＝‎4 cm，CD＝‎5 cm.‎ ‎13．解：(1)△PCD的周长＝2PA.理由如下：‎ ‎∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，‎ ‎∴PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，‎ ‎∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD的周长＝2PA.‎ ‎(2)如图，连接OA，OE，OB.‎ 由切线的性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，BD＝DE，AC＝CE.‎ ‎∵OA＝OE＝OB，‎ 易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，‎ ‎∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，‎ ‎∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝(∠AOE＋∠BOE)＝∠AOB.‎ ‎∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠AOB＝180°－α，‎ ‎∴∠COD＝90°－α.‎ ‎14解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.‎ 8‎ ‎∵AM切⊙O于点A，‎ ‎∴OA⊥AD.‎ 又∵DO平分∠ADC，‎ ‎∴OE＝OA.‎ ‎∵OA为⊙O的半径，‎ ‎∴OE是⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎(2)过点D作DF⊥BC于点F.‎ ‎∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，‎ ‎∴AB⊥AD，AB⊥BC，‎ ‎∴四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴AD＝BF，AB＝DF.‎ 又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.‎ ‎∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，‎ ‎∴AD＝DE，BC＝CE，‎ ‎∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.‎ 在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴DF＝＝12，‎ ‎∴AB＝12，‎ ‎∴⊙O的半径R为6.‎ ‎15．解：(1)证明：如图，连接OA，则OA⊥PA.‎ ‎∵MN⊥PA，‎ ‎∴MN∥OA.‎ ‎∵OM∥PA，‎ ‎∴四边形ANMO是平行四边形．‎ 又∵MN⊥AP，‎ ‎∴▱ANMO是矩形，‎ ‎∴OM＝AN.‎ ‎(2)如图，连接OB，则OB⊥PB，‎ ‎∴∠OBM＝∠MNP＝90°.‎ ‎∵四边形ANMO是矩形，‎ ‎∴OA＝MN.‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴OB＝MN.‎ 8‎ ‎∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，‎ ‎∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.‎ 设OM＝x，则MP＝x，AN＝x.‎ ‎∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.‎ 在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，‎ 解得x＝5，即OM＝5. ‎ 8‎