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- 2021-11-06 发布
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第二节 力的合成与分解
一、力的合成
力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下,用一个力等效代替几个力的共同作用,如
果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同,那么这个力就是那几个力的合力。合力与分
力是一种等效替代的关系。
1.平行四边形定则
当同一直线上的两个力同向时,合力等于这两力之和,即 1 2 F F F 合
;当同一直线上的两个
力方向相反时,合力等于较大力与较小力之差,即 1 2 F F F 合
。
有两个力的方向不在同一直线上,则不能简单地用加、减来计算合力的
大小。实验证明,互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”,
内容如下:以两分力为邻边作平行四边形,两分力所夹的对角线即表示合力
的大小与方向,如图 4.46所示。利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方
向。设力 1F , 2F 的夹角为 ,则它们的合力 F
合的大小可由余弦定理求得:
2 2
1 2 1 2 2 cos 180F F F F F 合
根据 cos 180 cos ,因此
2 2
1 2 1 2 2 cosF F F FF 合 。
(1)两个力的合成
对子一些特殊情况下的合力计算,可以根据三角形知识来求解合力。下面列举出两个等大的力
F ,夹角取下列情况时合力的大小,如图 4.47所示,请同学们利用平行四边形定则,结合数学知识
来试着验证,以掌握合力的计算方法。
从上述计算合力的过程中,还可以得出以下几个结论:
①合力不一定比分力大。实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。
②合力大小的变化范围是 21 1 2F F F F F 合
。
③当两个分力大小不变时,两分力夹角越大,合力越小。
上述几种特殊情况下的两个力的合力的值,同学们要牢记,在很多情形下都可以直接运用。
例 1 如图 4.48所示,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,已知两人手臂上的拉力大小相等
且为 F ,两人手臂间的夹角为 ,水和水桶所受总重力为G ,则下列说法中正确的是( )。
A.当 为120时, F G B.不管 为何值,
2
GF
C.当 0 时,
2
GF D. 越大时F 越小
分析与解 两人提起水桶匀速前行时,两手臂的拉力的合力大小应等于水
桶所受重力G 的大小。由平行四边形知识可知,当 为120时,手臂拉力
F G ,当 0 时,两拉力 F 同方向,
2
GF 。当两拉力夹角变大时,由于合力不变,相当于
平行四边形的对角线不变,而两邻边夹角变大,对应的邻边长度变长,即 F 变大。本题正确选项为
AC。
(2)多个力的合成
当需要求解若于个力的合力时,我们可以先合成其中两个力,然后用这两个力的合力再与第三
个力合成……如此进行下去,可以求得这几个力的合力。但是合成的时候,可以先对这几个力进行
观察,优先合成同一直线上的力或者优先合成那些容易计算的力,这样可以简化问题。
例 2 如图 4.49所示,6个力的合力为 1F ,若去掉1N的那个分力,则其余 5个力的合力为 2F ,
关于 1F , 2F 的大小及方向表述正确的是( )。
A. 1 0F
B. 1 1NF ,方向与1N的力相反
C. 2 1NF ,方向与 4N的力相同
D. 2 7NF ,方向与 4N的力相同
分析与解 观察本题中的 6个力,发现有 3对力是共线的,若将 3对共线的力先合成,则问题
将大大简化。因此,先将3N与6N、4N与1N、2N与5N这 3对力合成,则得到如图 4.50(a)所示
的 3 个3N的力,这 3 个力中任意 2 个力的合力都与第 3
个力等大反向,因此最终的合力 1 0F 。若将1N的那个
分力撤去,则将共线的力合成后如图 4.50(b)所示,显然剩
余 5个力的合力 2 1NF ,方向与 4N的力同向,本题正
确选项为 AC。
2.三角形定则
如图 4.51所示,在平行四边形定则中,将分力 2F 平移至其对边的位置,则可发现 1F , 2F 首尾
相接,自 1F 的起始端指向 2F 末端的有向线段,即为 1F , 2F 的合力这就县三角形定则。
利用三角形定则,除了可以求解合力、分力大小的问题,还可以方便地判断力的最值(即最大值
或最小值)和力的动态变化问题。
(1)合力的最小值问题.
当已知分力 1F 的大小、方向及另一个分力 2F 的方向时,合力 F
合
取最小值的条件是 F
合
与 2F 垂
直,如图 4.52所示, F
合的最小值为 1min sinF F
合 。
(2)分力的最小值问题
当合力F
合的方向确定,而大小未知,分力 1F 的大小和方向均确定时,另一个分力 2F 取最小值
的条件是 2F 与合力 F
合
垂直,如图 4.53所示, 2F 的最小值为 2min 1 sinF F 。
例 3 如图 4.54所示,分力 1F 的大小、方向均不变, 2F 大小不变,方向变化。 1F , 2F 与它们
合力 F 之间的夹角分别为 , 。则当 ________时, 取最大值,其最大值应满足的关系为
________。
分析与解 如图 4.55所示,以分力 1F 的末端为圆心, 2F 的大小为半径画半圆, 1F , 2F 以及它
们的合力 F 围成一个矢量三角形,其中 F 即为从 1F 的起始端指向 2F 末端的有向线段,可见,当 2F
方向变化时,F 的方向、大小随之变化, 也在改变。当 F 恰和半圆相切时, 2F 与F 垂直,即 90
时, 角取得最大值,有 2
1
sin F
F
。
例 4 如图 4.56所示,竖直杆 AB可在竖直面内左右摆动, A端系有两根绳子 AC 与 AD,在
绳 AC 拉力作用下整个装置处于平衡状态,若绳 AC加长,使点C缓慢向左移动,杆 AB仍竖直,
且处于平衡状态,则绳 AC 的拉力T 和杆 AB所受的压力N 与原先相比,下列说法中正确的是( )。
A.T 增大, N 减小
B.T 减小, N 增大
C.T 和 N 均增大
D.T 和 N 均减小
分析与解 杆 AB可在竖直面内左右摆动,则要使杆处于竖直平衡状
态,绳 AC 与绳 AD对杆上 A点的拉力的合力 N 必竖直向下,即沿着杆的方向,
否则杆将倒下。绳 AD对 A点的拉力大小等于重物所受重力大小,记为 0F ,画出 A
点力的矢量三角形如图 4.57所示。当绳 AC加长,使点C缓慢向左移动时,绳 AC
的拉力T 与坚直方向的夹角变大,T 逐渐变为 1T , 2T ,对应地,合力由N 逐渐变
为 1N , 2N 。可见,T 和N 均减小,选项 D正确。
例 5 如图 4.58所示,小球质量为m,用一细线悬挂。现用一大小恒为
1
2
F mg 的力慢慢将
小球拉起,在小球可能的平衡位置中,细线与竖直方向的最大夹角 是多少?
分析与解 当小球平衡时,重力mg与拉力F 的合力 F
合—定沿着细线的方向,且根据三角形定
则,当 F 与mg首尾相接时, F
合就是从mg的起始端指向 F 末端的有向线段。画出表示重力的有
向线段,并以重力的末端为圆心,以 F 的大小为半径画圆,则 F
合,mg, F 组成的矢量三角形如
图 4.59所示。当F 取不同方向时,F合的大小、方向均随之发生变化。只有当F
合恰与圆相切,即 F
与F
合垂直时, 最大,且满足
1sin
2
F
mg
, 30 。
二、力的分解
力的分解是力的合成的逆运算,即已知某个力,求解其分力的过程。力的分解同样遵循平行四
边形法则和三角形定则。
求解一个力的分力的过程,就像已知对角线,画出平行四边形的过程。如果不加以限制,结果
有无数种,如图 4.60所示。但是,当两个邻边的方向确定时,所画出的平行四边形就是唯一的。因
此,在分力的方向确定时,分解的情况就是唯一的,如图 4.61所示。
1.按照力的作用效果分解力
实际分解一个力时,往往根据力的作用效果来确定两个分力的方向,从而把力分解,下面举几
个例子。
(1)水平面上物体所受拉力的分解:如图 4.62所示,拉力F 实际产生了两
个作用效果——想要物体沿水平面向右运动和想把物体竖直提起离开水平面。
因此可以把力沿着水平方向和竖直方向分解为 1F , 2F 两个分力。可求得
1 cosF F , 2 sinF F 。
(2)斜面上物体重力的分解:如图 4.63所示,物块的重力实际产生了两个作
用效果,一是使物体有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面。因此可将物
体重力G 分解为平行于斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力 1G , 2G ,可求
得 1 sinG G , 2 cosG G 。值得注意的是, 2G 并不是物体对斜面的压力,
而只是大小与物体对斜面的压力相等。
(3)被夹板夹起的球重力的分解:如图 4.64所示,球的重力的作用效果就是挤压左右两个夹板,
因此可将重力G 分解为垂直于两个夹板的分力 1F , 2F 。设两板夹角为 ,夹板的平分线竖直,则
由对#性及平行四边形法则可知 1 2
2sin
2
GF F 。
(4)斜靠在墙壁上球的重力分解:如图 4.65所示,球固定在轻杆一端,斜靠在竖直墙壁上,轻杆
另一端通过可自由转动的铰链与水平地面相连。小球的重力产生的效果,一方面使球对墙有压力,
另一方面,使球对杆也有压力。球对轻杆的压力方向需要我们探讨:因为杆另一端与铰链相连,可
以自由转动,因此若球对杆的弹力不沿着杆,杆必转动,因此球对杆的压力沿着杆斜向下。至此,
可以将球的重力G 分解为沿着杆斜向下的分力 1F 和垂直于墙璧向右的分力 2F ,可求得 1 sin
GF
,
2 tan
GF
。
例 6 如图 4.66所示,两光滑平板OM ,ON构成一具有固定夹角 0 75 的V形糟,一球置
于槽内,用 表示 NO板与水平面之间的夹角。若球对板 NO压力的大小正好等于球所受重力的大
小,则 值应该是( )。
A.15 B.30 C. 45 D.60
分析与解 将球的重力分解为垂直于OM ,ON板方向的两个分力 1F , 2F ,其中垂直于ON板
的分力 2F G 。在图 4.67所示的平行四边形 ABCD中, 0180 105BCD , ACB ,
则
180105
2
CAB ACD
,解得 30 ,选项 B正确。
2.力的正交分解法
实际分解力时,还可以根据问题的需要,把力沿着两个相互垂直的方向进行分解,即正文分解。
分解时,要根据实际情况建立以物体所在位置为坐标原点的 xOy坐标系,并使尽量多的力出现在坐
标轴上,再把其他力沿着 x, y轴分解为 1xF , 1yF , 2xF , 2yF 等。接下来可以求解 x轴、 y轴上
的合力
1 2 3x xx xF F F F , 1 2 3y y y yF F F F
最后求 xF 和 yF 的合力F合大小:
2 2
x yF F F 合 , F合与 x轴方向的夹角 满足 tan y
x
F
F
。
例 7 如图 4.68所示,三个共点力 1 10NF , 2 3 2NF , 3 15NF ,它们的方向如图 4.68
所示,求这三个力的合力大小和方向。
分析与解 本题若用平行四边形法则逐一合成各个力,则过于烦琐,因此考虑正交分解的方法。
如图 4.69(a)所示建立 x,y坐标轴,力 3F 在 y轴负半轴上。将力 1F 沿坐标轴方向分解为 1xF 和 1yF 两
个分力,结合数学知识可得 1 1 cos53 6NxF F , 1 1 sin 53 8NyF F 。同样地,将力 2F 沿坐
标轴方向分解为 2xF 和 2 yF 两个分力,则 2 2 cos 45 3NxF F , 2 2 sin 45 3NyF F 。故 x轴上
的力的合力 1 2 3Nx x xF F F , y轴上的力的合力 3 1 2 4Ny yy FF F F ,如图 4.69(b)所示。
则三个力的合力大小为
2 2 5Nx yF F F 合 ,合力方向在第四象限,与 x轴正方向夹角为53。
3.力分解的几种情况,
在对力迸行分解时,所加的附加条件不同,那么得到的分力情况也会不同,在有些附加条件下
甚至无法得到分力,即不能分解。当分力与合力所构成的三角形仅有一种情况时,只有一解,当构
成的三角形有两种或多种情况时,有两解或多解。下面介绍几种不同的附加条件下力的分解情况。
(1)已知合力和两个分力的方向,求两个分力的大小,有一组解。这种情况已在前文介绍过,不
再赘述。
(2)已知合力和一个分力的大小与方向,求另一个分力的大小和方向,有一
组解。例如,已知合力 F 和它的一个分力 1F ,则另一个分力 2F 就是从 1F 末端指
向F 末端的有向线段,显然 2F 仅有一解,如图 4.70所示。
(3)已知合力 F 和两个分力 1F , 2F 的大小。当合力为某一定值,而分力的取值不同时,所能分
解的情况也会变化。
①当 1 2F F F 时,有两解。分别以合力 F 的起始端与末端为圆心,以 1F , 2F 的大小为半径
画圆,两圆有两个交点,如图 4.71(a)所示, 1F , 2F ,F 可构成两个三角形,有两解。
②当 1 2F F F 时,有一解。分别以合力 F 的起始端与末端为圆心,以 1F , 2F 的大小为半径
画圆,两圆相切,则仅有一解,如图 4.71(b)所示。
③当 1 2F F F 时,无解。此种情况下两圆相离,无交点,故无解,如图 4.71(c)所示。比如,
一个6N的力无法分解为 2N和3N的两个分力。
(4)如图 4.72所示,若已知合力 F 、一个分力 1F 的大小与另一分力 2F
的方向,求 1F 的方向和 2F 的大小,则较复杂,讨论如下:
①当 1 sinF F 时,有唯一解。由于 1F 的大小恰等于F 的末端到 2F
所在方向的距离,这也是 1F 所能取到的最小值。因此 1F , 2F , F 仅能构成一个直角三角形,如图
4.73(a)所示,仅有唯一解。
②当 1sinF F F 时,有两组解。如图 4.73(b)所示,该情况下 1F , 2F ,F 可构成两个三角
形,因此有两组解。
③当 1F F 时,有一组解。由于要保证 2F 的方向始终不变,在该种情况下, 1F , 2F ,F 只可
构成如图 4.73(c)所示的三角形,仅有一组解。
④当 1 sinF F 时,无解。该种情况下 1F , 2F ,F 构不成三角形,无法分解。
例 8 已知力 40NF ,现要把力F 分解为两个力 1F 和 2F ,且 1F 与F 的夹角为30,若 2F 取
某一数值,可使 1F 有两个大小不同的数值,问: 2F 大小的取值范围是什么?
分析与解 要解答此类问题,必须先画图后分析,由于已知合力F 的大小和方向,以及一个分
力 1F 的方向,因此可以试着把另一个分力 2F 的大小从小逐渐增大去画力的三角形。
如图 4.74所示,以合力 F 的末端为圆心,以 2F 的大小为半径去画圆孤与 1F 相交,分别可得到
如下几种情况:
(1)当 2 20NF 时,圆弧与 1F 没有交点,即不能画出平行四边形,无解。
(2)当 2 20NF 时,圆弧与 1F 相切,有一个解,且此时 2F 取得最小值,这时 1 20 3NF 如图
4.74(a)所示。
(3)当 220N 40NF 时,圆弧与 1F 有两个交点,有两个解,即 2F 的某一数值对应着 1F 的两
个不同的数值,如图 4.74(b)所示。
(4)当 2 40NF 时,圆弧与 1F 只有一个交点,只有唯一解,如图 4.74(c)所示。
综上所述,符合条件的 2F 的取值范围为 220N 40NF 。
4.力的二次分解
力的二次分解就是将某个力分解后,将这个力的分力再分解,下面举例说明。
例 9 如图 4.75所示,为了推动一个大橱,某人找了两块木板,搭成一个人宇形,他往中问一
站,橱被推动了。设橱和墙壁间的距离为 s,两木版长均为 l ( l略大于
2
s
),人所受重力为G ,试求
木板对橱的水平推力。
分析与解 如图 4.76所示,设杆与水平地面间的夹角为 ,则由几何关系可得
2
2
2 22 4sin
2
sl
l s
l l
, 2cos
2
s
s
l l
人对两行的压力等于其重力的大小,可以将人对杆的压力分解为沿着杆方向的 1G , 2G 两个分力,
由几何关系可知 1 2sin
GG
,因此杆对箱子的作用力等于 1G ,方向沿杆,再将 1G 分解为水平向左
与坚直向下的分力 1F , 2F ,则 1F 即等于木板对橱的水平推力,易得
1 1 2 2
coscos
2sin 2 4
G GsF G
l s
练习题
1.一物体受到大小分别为 1F , 2F , 3F 的三个共点力的作用,其力的矢量关系如图 4.77所示,
则它们的合力大小是( )。
A. 12F B. 22F
C. 32F D. 1 2 3F F F
2.关于力的分解,下面说法中正确的是( )。
A.一个力不可能分解成两个大小都比它大的力
B.一个力不可能分解成两个大小都与它相等的力
C.—个力分解时只要按平行四边形法则去分解一定能得到确定的解
D.已知一个力的两个分力的方向,或已知其中一个分力的大小和方向,分解这个力一定有确
定的解
3.将5N的力进行分解,若一个分力大小为10N,则另一个分力的大小可能是( )。
A.4N B.18N C.6N D.16N
4.如图 4.78所示,水平横梁的一端 A插在墙壁内,另一端装有小滑轮B,—轻绳上端固定在
墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂一质量为 10kgm 的重物,已知绳与杆的夹角 30ABO ,滑
轮B受到绳子的作用力大小为( )。
A.50N B.86.6N C.100N D.173N
5.如图 4.79所示,用长轻绳悬挂一质量为m的小球,对小球施加一个力,使绳和竖直方向成
角并绷紧,小球处于静止状态,此力最小为( )。
A. sinmg B. cosmg C. tanmg D. cotmg
6.如图 4.80所示,橡皮条的O端固定,用 A,B两弹簧秤拉橡皮条的另一端D,使其伸长至
E点, A,B两掸黉的弹力大小和方向如图所示,其中 90 。今保持 A的读数不变,当
由图示位置逐渐减小时,欲使D端仍在E点保持不动,应采用的方法是( )。
A.使 B的读数变小,同时 角减小,
B.使 B的读数变小,同时 角增大
C.使 B的读数变小,同时 角先增大后减小
D.使 B的读数变大,同时 角减小
7.将一个 20NF 的力分解成两个分力 1F 和 2F ,若 1F , 2F 的方向与 F 方向的夹角都为30,
则 1F , 2F 的大小是________。
8.已知三个共点力的大小分别为 1 50NF , 2 40NF , 3 30NF ,方向如图 4.81所示, 1F
与 2F 的夹角为37, 2F 与 3F 垂直,则这三个力的合力的大小为________N,方向________。
9.作用在一物体上的两个大小一定的共点力的合力的大小随夹角 变化的关系如图 4.82所示,
则这两个力的大小分别是________和________。
10.如图 4.83所示,从正六边形 ABCDEF 的一个顶点向其他 5个顶点作用着 5个力 1F , 2F ,
3F , 4F , 5F 。已知 1 10NF ,具体各力的大小跟对应的边长成正比,这 5 个力的合力大小为
________N。
11.试用作图法将已知力 F 分解:
(1)如图 4.84(a)所示,已知分力 1F 和 2F 的方向,求出两分力的大小;
(2)如图 4.84(b)所示,已知分力 1F 的大小和方向,求另一个分力 2F 。
12.如图 4.85所示,已知力F 大小为10N,其中一个分力 1F 方向与F 成
30角,另一分力 2F 的最小值为________N,对应的 1F 的值为________N。
13.求解下列问题:
(1)如图 4.86(a)所示,重为100N的重球放在竖直墙与斜面之间,斜面倾角
为37,所有接触面光滑,试用力的分解法求出小球对竖直墙与斜面的压力。
(2)如图 4.86(b)所示,一个人用60N的力 F 拉木箱,使木箱在氷平地面上前进,拉力与水平方
向夹角为30,求拉力在水平方向和竖直方向的两个分力。
(3)如图 4.86(c)所示,三根细绳OA,OB,OC 连接后悬挂重物G,A,B端固定于天花板上,
绳OA,OB与天花板的夹角分别为30和60,试用力的分解法求绳OA,OB的拉力。
(4)如图 4.86(d)所示,轻杆 AO, BO通过铰链与竖直墙壁连接,杆 AO水平,杆OB与墙壁夹
角为60。两杆在O点铰接在一起,在O点用细线悬挂重为G 的物体,已知两扞的受力均沿杆方向,
试用力的分解法求两杆弹力的大小。
14.如图 4.87所示,欲使一条无动力小船在河中前进,甲、乙两人分别通过绳索施加拉力 1F ,
2F 作用在船上,已知 1F 的大小为100N,方向与船前进方向的夹角为30,且为了使船受到的合力
能恰平行于河岸方向,乙的拉力 2F 与河岸垂直。
(1)求乙的拉力 2F 的大小,拉力的合力F 的大小。
(2)船前进一段时间后,乙已疲惫不堪,为了保证船所受拉力的合力不变,甲的拉力方向不变的
条件下,使乙施加的拉力 2F 最小,乙应沿着什么方向拉船?拉力 2F 最小值为多少?此时甲的拉力 1F
应调节为多少?
15.某压榨机的结构如图 4.88所示,其中 B为固定铰链,C为滑块,可沿光滑壁移动,D为
被压榨的物体,已知O到B和C的距离都是100cm,A到OB和OC 的距离为10cm,当在铰链 A
处作用压力F 时,物体D受到的压力为多少?
参考答案
1.A。由图 4.77知, 2F 与 3F 首尾相接,它们的合力恰等于 1F ,则三个力的合力为 12F
2.D。略。
3.C。设另一分力为 2F ,两分力之差应小于等于合力,则 2 10N 5NF ,解得 2N 155 NF 。
4.C.滑轮B所受绳子的作用力大小等于OB段、 BP段绳子所施力的合力大小,两段绳子拉
力大小均为100N,夹角为120,由平行四边形定则可知合力为100N。
5.A。小球静止时,小球所受重力与拉力 F 的合力 F
合必沿着细线延
长线的方向斜向下,即与竖直方向夹角为 斜向下方。画出表示小球所受
重力的有向线段,自重力的末端向表示合力方向的虚线作垂线,则垂线段
即为最小的拉力 minF 。如图 4.89所示,可得 minsin F
mg
, min sinF mg
选项 A正确。
6.C。记 A,b两弹簧秤的拉力分别为 AF , BF ,它们的合力记为 F
合,则 F
合与 AF , BF 构成
三角形。由于橡皮筋的D端仍在E点保持不动,因此 F
合大小、方向均不变,如图 4.90所示,以
的末端为圆心,以 AF 的大小为半径画圆,当 角由图示位置逐渐减小时, AF
将逆时针转动,而 BF 是从 F
合的起始端指向 AF 末端的有向线段,可见,随着 AF
的转动, BF 逐渐减小,而 先增大,当 BF 与圆相切时 最大,然后 再逐渐
减小,因此选项 C正确。
7. 1 2
3
3
FF F 。提示:画出分解后分力与合力所形成的平行四边形,
这县一个菱形。
8.80,与 2F 相同。提示:利用正交分解法,将 1F 沿 2F 和 3F 的反方向进
行分解,然后再求合力。
9.12.5N,7.5N。当两分力夹角为0时,两分力同向, 1 2 20NF F ,当两分力夹角头180
时,两分力反向, 1 2 5NF F ,解得 1 12.5NF , 2 7.5NF 。
10.60N。由几何关系, ABC△ 与 AFE△ 是顶角为120的等腰三角形,底边长为腰长的 3
倍,结合各力的大小跟对应的边长成正比,可知 2 4 13 10 3NF F F , ACD△ 与 AED△ 县
直角三角形,其中 30CAD EAD ,因此 AD的长度是长度的 2 倍, 3 12 20NF F 。为
了方便起见,可以先把 1F , 5F 合成,再把 2F , 4F 合成,最后把这些力的合力与 3F 加起来即可。 1F ,
5F 的合力为10N, 2F , 4F 的合力为30N,因此这 5个力的合力为 10N 30N 20N 60NF
合 。
11.利用平行四边形定则和三角形定则,可分别画出分力 1F 和 2F 如图 4.91 所示。结合直角三
角 形 知 识 和 余 弦 定 理 , 可 得 图 4.91(a) 中 1 tanF F , 2 cos
FF
, 图 4.91(b) 中
2 2
2 1 12 cosF F F FF 。
12.5,5 3。结合三角形定则,当 2F 与 1F 垂直时, 2F 取得最小值,这样 1F , 2F 和 F 围成直
角三角形, 2min sin30 5NF F , 1 cos30 5 3NF F 。
13.(1)对竖直墙的压力为
3
4
G,对斜面的压力为
5
4
G。
(2)水平方向的分力为
3
2
F,竖直方向的分力为
1
2
F 。
(3)绳OA的拉力为
1
2
G,绳OB的拉力为
3
2
G。
(4)杆 AO的弹力的大小为 3G,杆 BO的弹力的大小为 2G。
14.(1) 1F , 2F 合力的方向平行于河岸,根据平行四边形定则,画出如图 4.92(a)所示的矢量关
系,可解得合力 1 cos30 50 3NF F , 2 tan30 50NF F 。
(2)保证合力 F 大小和方向不变,甲的拉力方向也不变,可画出如图 4.92(b)所示的矢量三角形,
可见,从 1F 末端指向合力F 末端的有向线段即表示 2F ,当 1F 调整为不同大小时, 2F 的大小、方向
随之变化。当 2F 与 1F 垂直时 2F 取得最小值 2minF , 2min sin 30 25 3NF F ,方向与船前进方向
的夹角为60,对应的 1F 的大小应调整为 1 cos30 75NF F 。
15.先根据力F 的效果,把力 F 沿 AB和 AC方向分解为 ABF 和 ACF ,如图 4.93(a)所示,此时
力的平行四边形为菱形,设 AB,AC与 AO之间的夹角为 ,则
2cosAC
FF
。再把分力 ACF 沿
水平和竖直方向分解,如图 4.93(b)所示,则有 2 sin tan
2AC
FF F 。由几何关系可得
100tan 10
10
,故 2 10 5
2
FF F 。
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