人教版九年级上册数学同步课件-第22章-22二次函数y=ax²的图象和性质 21页

第二十二章　二次函数 22.1.2　二次函数y=ax²的图象和性质 　 1.一次函数的图象是一条 . 2.通常怎样画一个函数的图象？ 直线 列表、描点、连线 3.二次函数的一般形式是什么？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 4.下列函数中,哪些是二次函数？ ① 2xy  423 1 2  xxy⑤ 12  xy④ 2xxy ③ xxy 12 ② x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 9 4 1 0 1 94 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几 组对应值： 二次函数y=ax2的图象和性质1 例1 2 4-2-4 0 3 6 9 x y 函数图象画法 列表 描点 连线 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连结各点，就得到y = x2 的图象． 二次函数 y = x2的图 象形如物体抛射时所经 过的路线，这条曲线叫 做抛物线 y = x2 . x y O-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 y=x2 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 观察思考 2 4-2-4 O 3 6 9 x y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　 问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？ 在对称轴左侧，抛物线从左 往右下降；在对称称轴的右侧， 抛物线从左往右上升. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线 上的最低点. 练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？ 列表： y 2 4-2-4 0 -3 -6 -9 x 在对称轴左侧，抛物线从左 往右上升；在对称轴的右侧，抛 物线从左往右下降. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线 上的最高点. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 21 2y x 22y x 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．22 2,2 1 xyxy  二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系2 例2 －2 2 2 4 6 4－4 8 21 2y x 22y x2y x 问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什 么关系？ 2 2 21 , , 22y x y x y x   当a>0时，a的绝对值越大，开口越小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．2 21 , 22y x y x    x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 21 2y x  22y x  －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8－4.5－2－0.5 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8－4.5－2－0.5 －2 2 －2 －4 －6 4－4 －8 21 2y x  22y x  2y x  问题2 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什 么关系？ 2 2 21 , , 22y x y x y x      当a<0时，a的绝对值越大，开口越小. y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 问题1 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同， 它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 抛物线y=ax2与y=-ax2的关系3 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2； (填“>”“＝”或“<”) (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶 点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标 为2，求图中阴影部分的面积之和． 分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数 表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解； (2) 根据点B的横坐标为2，代入表达式 可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图 象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左 边部分与右边部分对称，两个阴影部分面 积相加等于右边第一象限内的矩形面积． < 例3 (2)解：∵点B的坐标为（2,0）， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8），BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右 边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两 部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根 据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部 为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对 于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规 则图形转化为规则图形以方便求解． 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 . x y k>1 4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 23xy  23xy  2 3 1 xy  2 3 1 xy  开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 ; （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）; (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 二次函数y=ax2 图 象 及 性 质 画 法 描 点 法 以对称轴为中 心 对 称 取 点 图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形 性 质 重点关注 4 个 方 面 开口方向及大小 对 称 轴 顶 点 坐 标 增 减 性