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- 2021-11-07 发布
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浙江中考数学专题训练——填空题5
1.分解因式:______.
2.已知圆弧的长为 10πcm,弧的半径为 20cm,则圆弧的度数为_____.
3.在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=___________.(结果保留根号)
4.如图,已知直线y=+b交y轴正半轴于点B,在x轴负半轴上取点A,使2BO=3AO,AC⊥x轴交直线y=+b于点C,若△OAC的面积为,则b的值为_____.
5.如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心坐标为(,a)半径为,函数y=2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2,则a的值为_____.
6.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E是对角线BD上的一点,连结AE,过点E作EF垂直AE交BC于点F,连结AF,交对角线BD于G.若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3:8,则cos∠GEF=_____.
7.二次函数的函数图象如图,点位于坐标原点,点在y轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,,, 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,则的斜边长为____________.
8.如图,边长为2的菱形ABCD中,BD=2,E、F分别是AD,CD上的动点(包含端点),且AE+CF=2,则线段EF长的最小值是__________.
9.如图,已知AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,且sin∠ACE=155,点D为弧BE中点,连结DE,则DE2AD2的值为_____.
10.在关于“折纸问题”的数学活动课中,小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH,再将纸片EFGH按如图所示分别沿MN、P2折叠,使点E,G落在线段PN上点E,G处,当PNEF时,若阴影部分的周长之和为16,△AEH,△CFG的面积之和为12,则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为_____.
11.如图所示,在两建筑物之间有一高为15米的旗杆,从高建筑物的顶端A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的底端墙角C点,且俯角a为60°,又从A点测得矮建筑物左上角顶端D点的俯角β为30°,若旗杆底部点G为BC的中点(点B为点A向地面所作垂线的垂足)则矮建筑物的高CD为_____.
参考答案
1.4(y+1)(y-1)
【解析】
【分析】
提出公因式4,即可解答.
【详解】
原式=4(y2-1)=4(y+1)(y-1)
故答案为:4(y+1)(y-1)
【点睛】
此题考查因式分解-提公因式,解题关键在于掌握运算法则.
2.90°
【解析】
【分析】
把弧长公式l=进行变形,把已知数据代入计算即可得到答案.
【详解】
解:∵l=,
∴n==90° .
故答案为90°.
【点睛】
本题考查的是弧长的计算,正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键.
3.
【解析】
【分析】
先延长EF和BC,交于点G,再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形,并求得其斜边BE的长,然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形,最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系,并根据BG=BC+CG进行计算即可.
【详解】
延长EF和BC,交于点G.
∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=9,
∴直角三角形ABE中,BE==9,
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F,
∴∠BEG=∠DEF.
∵AD∥BC,
∴∠G=∠DEF,
∴∠BEG=∠G,
∴BG=BE=9.
由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,
∴.
设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC.
∵BG=BC+CG,
∴9=9+2x+x,解得x=3-3,
∴BC=9+2(3-3)=6+3.
故答案为6+3.
考点:矩形的性质;等腰三角形的判定;相似三角形的判定与性质.
4.
【解析】
【分析】
根据条件求出B(0,b),B(0,b),,再由△OAC的面积
,即可求b的值.
【详解】
解:∵y=+b交y轴正半轴于点B,
∴B(0,b),
∵在x轴负半轴上取点A,使2BO=3AO,
∴B(0,b),
当x=﹣时,y=2b,
∴C(﹣,2b),
∴△OAC的面积,
∴b=,
故答案为.
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质;熟练掌握函数图象及性质,会求三角形的面积是解题的关键.
5.4﹣2
【解析】
【分析】
作AH⊥x轴于H,交CB于D,作AE⊥CB于E,连结AC,由题意得出,把代入y=2x-2得,得出D点坐标为,得出HD=,由垂径定理得出CE=BE=,由勾股定理得出,求出直线y=2x-2与坐标轴的交点坐标,得出OG=2,OF=1,由平行线的性质得出∠ADE=∠HDF=∠OGF,求出DE=2AE=4,由勾股定理得出,即可得出结果.
【详解】
解:作AH⊥x轴于H,交CB于D,作AE⊥CB于E,连结AC,如图,
∵⊙A的圆心坐标为(,a),
∴OH=,AH=a,
把x=代入y=2x﹣2得y=2﹣2,
∴D点坐标为(,2﹣2),
∴HD=2﹣2,
∵AE⊥CB,
∴CE=BE=,
在Rt△ACE中,AC=,
∴,
∵y=2x﹣2,
当x=0时,y=﹣2;当y=0时,x=1,
∴G(0,﹣2),F(1,0),
∴OG=2,OF=1,
∵AH∥y轴,
∴∠ADE=∠CDF=∠OGF,
∴tan∠ADE==tan∠OGF==,
∴DE=2AE=4,
∴AD===2,
∴a=AH=AD+HD=2+2﹣2=4﹣2,
故答案为:4﹣2.
【点睛】
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、一次函数的应用、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识.本题综合性强,有一定难度.
6.
【解析】
【分析】
连接CE,作EH⊥CD于H,EM⊥BC于M,则四边形EMCH是矩形,得出EM=CH,CM=EH,由正方形的性质得出BC=CD=3,∠ABC=90°,AB=CB,∠ABE=∠CBE=∠BDC=45°,证明△ABE≌△CBE得出EA=EF,∠BAE=∠BCE,同理:△ADE≌△CDE,得出△ADE的面积=△CDE的面积,由已知得出△CDE:△CEF的面积=3:5,证明A、B、F、E四点共圆,由圆周角定理得出∠GEF=∠BAF,∠EFC=∠BAE=∠BCE,得出EF=EC,由等腰三角形的性质得出FM=CM=EH=DH,设FM=CM=EH=DH=x,则FC=2x,EM=HC=3-x,由△CDE:△CEF的面积=3:5得出方程,解得:x=,得出FC=1,BF=BC-FC=2,由勾股定理求出AF=,即可得出结果.
【详解】
解:连接CE,作EH⊥CD于H,EM⊥BC于M,如图所示:
则四边形EMCH是矩形,
∴EM=CH,CM=EH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=3,∠ABC=90°,AB=CB,∠ABE=∠CBE=∠BDC=45°,
在△ABE和△CBE中,,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴EA=EF,∠BAE=∠BCE,
同理:△ADE≌△CDE,
∴△ADE的面积=△CDE的面积,
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3:8,
∴△CDE:△CEF的面积=3:5,
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°,
∴∠ABC+∠AEF=180°,
∴A、B、F、E四点共圆,
∴∠GEF=∠BAF,∠EFC=∠BAE=∠BCE,
∴EF=EC,
∵EM⊥BC,
∴FM=CM=EH=DH,
设FM=CM=EH=DH=x,则FC=2x,EM=HC=3﹣x,
∵△CDE:△CEF的面积=3:5,
∴,
解得:x=,
∴FC=1,BF=BC﹣FC=2,
∴AF=,
∴cos∠GEF=cos∠BAF===;
故答案为:.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、四点共圆、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解题的关键.
7.20
【解析】
【分析】
先计算出△A0B1A1 ;△A1B2A2 ;△A2B3A3的边长,推理出斜边长组成的数列各项之间的排列规律,依据规律得到△A9B10A10的边长.
【详解】
∵等腰三角形A0B1A1,A0为原点;∴y=x;
∵y=x,y=x2, ∴B1的坐标为(1,1),则A1的坐标为(0,2);
∴A0A1=2;
∵A1的坐标为(0,2),斜率k=1, ∴直线A0B:y=x+2
∴B2(2,4), ∴A1A2=4;
∵A2坐标为(6,0), 等腰三角形A2B3A3 ;∴直线A2B3:y=x+6;
∴B3坐标为(3,9),则A2A3=6;
综上,由此可以推断出△A9B10A10的斜边为20.
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义和图像,熟练掌握这两点是解题的关键.
8.
【解析】
【分析】
由在边长为2的菱形ABCD中,BD=2,易得△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形,继而证得△BDE≌△BCF(SAS),继而证得△BEF是正三角形,继而可得当动点E运动到点D或点A时,BE的最大,当BE⊥AD,即E为AD的中点时,BE的最小.
【详解】
∵四边形ABCD是边长为2的菱形,BD=2,
∴△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形,
∵AE+CF=2,
∴CF=2−AE=AD−AE=DE,
又∵BD=BC=2,∠BDE=∠C=60∘,
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF(SAS),
∴∠EBD=∠FBC,
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF,
∴∠EBF=∠DBC=60∘,
又∵BE=BF,
∴△BEF是正三角形,
∴EF=BE=BF,
当BE⊥AD,即E为AD的中点时,BE的最小值为,
所以EF=BE=.
【点睛】
本题考查的是菱形的性质和全等三角形的判定和性质,熟练掌握这两点是解题的关键.
9.3-52
【解析】
【分析】
连接OD,BD,AD,AE,BE,得到∠ACE=∠ABE,求得sin∠ABE=AEAB=55
,设AE=5x,AB=5x,根据勾股定理得到BE=AB2-AE2=25x,根据垂径定理得到OD⊥BE,OD平分BE,设OD,BE相交于H,得到BH=EH=5x,根据勾股定理得到OH=0B2-BH2=52x,求得DH=5-52x,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:连接OD,BD,AD,AE,BE,
∴∠ACE=∠ABE,
∵sin∠ACE=55,
∴sin∠ABE=AEAB=55,
∴设AE=5x,AB=5x,
∴BE=AB2-AE2=25x,
∵点D为弧BE中点,
∴OD⊥BE,OD平分BE,
设OD,BE相交于H,
∴BH=EH=5x,
∴OH=0B2-BH2=52x2,
∴DH=5-52x2,
∵∠BAD=∠DBH,∠ADB=∠BHD=90°,
∴△BDH∽△ABD,
∴ABBD=ADBH=BDDH,
∴5xBD=AD5x=BD5-52x,
∴BD2=25-552x,
∴AD2=25+552x,
∵点D为弧BE中点,
∴BD=DE,
∴DE2AD2=25-5525+55=3-52,
故答案为:3-52.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,三角函数的定义,正确的作出辅助线是解题的关键.
10.12
【解析】
【分析】
证出EH是△ABD的中位线,得出BD=2EH=4HN,由题意可以设AN=PC=x,EN=HN=PF=PG=y.构建方程组求出x,y即可解决问题.
【详解】
解:连接BD,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC与BD垂直平分,
∵E是AB的中点,H是AD的中点,
∴AE=AH,EH是△ABD的中位线,
∴EN=HN,BD=2EH=4HN,
由题意可以设AN=PC=x,EN=HN=PF=PG=y.
则有,
解得:,
∴AN=2,HN=3,
∴BD=4HN=12;
故答案为12
【点睛】
本題考查了菱形的性质,矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识,解題的关键是学会利用参数构建方程解决问題,属于中考常考題型.
11.20米
【解析】
【分析】
根据点G是BC中点,可判断EG是△ABC的中位线,求出AB,在Rt△ABC和在Rt△AFD中,利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF,继而可求出CD的长度.
【详解】
解:过点D作DF⊥AF于点F,
∵点G是BC中点,EG∥AB,
∴EG是△ABC的中位线,
∴AB=2EG=30米,
在Rt△ABC中,∵∠CAB=30°,
∴BC=ABtan∠BAC=30×33=102米.
在Rt△AFD中,∵AF=BC=102米,
∴FD=AF•tanβ=102×33=10米,
∴CD=AB﹣FD=30﹣10=20米.
故答案为:20米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相关线段的长度.
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