2019年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（3月）（含答案解析） 23页

‎2019年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（3月份）‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．化简的结果为（　　）‎ A．±5 B．25 C．﹣5 D．5‎ ‎2．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．3x2+4x2＝7x4 B．2x3•3x3＝6x3 ‎ C．x6÷x3＝x2 D．（x2）4＝x8‎ ‎4．五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、40‎ ‎5．运用乘法公式计算（a+3）（a﹣3）的结果是（　　）‎ A．a2﹣6a+9 B．a2﹣3a+9 C．a2﹣9 D．a2﹣6a﹣9‎ ‎6．点P（2，﹣5）关于y轴的对称点的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣5，2） D．（﹣2，﹣5）‎ ‎7．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（　　）‎ A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（k＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D，QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（　　）‎ A．增大 B．减小 ‎ C．先减小后增大 D．先增大后减小 ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．计算：cos45°＝　 　．‎ ‎12．计算结果是　 　．‎ ‎13．将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知∠1＝52°，则∠α＝　 　．‎ ‎14．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为　 　．‎ ‎15．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k等于　 　．‎ ‎16．如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为　 　．‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．解方程组．‎ ‎18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．‎ ‎19．某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．‎ ‎（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？‎ ‎（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．‎ ‎20．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？‎ ‎21．已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．‎ ‎（1）求证：∠EBA＝∠C；‎ ‎（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．‎ ‎22．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．‎ ‎（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；‎ ‎（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．‎ ‎23．已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．‎ ‎（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；‎ ‎（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的对称轴；‎ ‎（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．‎ ‎2019年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．【分析】根据算术平方根的定义，直接得出表示25的算术平方根，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵表示25的算术平方根，‎ ‎∴＝5．‎ 故选：D．[来源:学科网]‎ ‎【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题容易出错选择A，应引起同学们的注意．‎ ‎2．【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．‎ ‎【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，‎ ‎∴x+2≠0，‎ 解得：x≠﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．‎ ‎3．【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的定义解答．‎ ‎【解答】解：A、∵3x2+4x2＝7x2≠7x4，故本选项错误；‎ B、∵2x3•3x3＝2×3x3+3≠6x3，故本选项错误；‎ C、∵x6和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ D、∵（x2）4＝x2×4＝x8，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎4．【分析】根据众数和中位数的定义求解．‎ ‎【解答】解：这组数据的众数和中位数分别42，40．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．‎ ‎5．【分析】将原式直接套用平方差公式展开即可得．‎ ‎【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣32＝a2﹣9，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是关键．‎ ‎6．【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．‎ ‎【解答】解：点P（2，﹣5）关于y轴的对称点的坐标是：（﹣2，﹣5）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．‎ 记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．‎ ‎7．【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．‎ ‎【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，‎ ‎∴朝上一面的数字是偶数的概率为：＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．‎ ‎8．【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．‎ ‎9．【分析】首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．‎ ‎【解答】解：AC＝m﹣1，CQ＝n，‎ 则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．‎ ‎∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，‎ ‎∴mn＝k＝4（常数）．‎ ‎∴S四边形ACQE＝AC•CQ＝4﹣n，‎ ‎∵当m＞1时，n随m的增大而减小，‎ ‎∴S四边形ACQE＝4﹣n随m的增大而增大．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．‎ ‎10．【分析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用正弦定义求∠C的正弦值即可得到sin∠DMN．‎ ‎【解答】解：连结AD，如图，‎ ‎∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，‎ ‎∴BC＝10，‎ ‎∵点D为边BC的中点，‎ ‎∴DA＝DC＝5，‎ ‎∴∠1＝∠C，‎ ‎∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，‎ ‎∴点A、D在以MN为直径的圆上，‎ ‎∴∠1＝∠DMN，‎ ‎∴∠C＝∠DMN，‎ 在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，‎ ‎∴sin∠DMN＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．‎ ‎【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°＝．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答的关键．‎ ‎12．【分析】根据同分母的分式相加的法则，分母不变分子相加减，再约分即可得出结果．‎ ‎【解答】解：原式＝‎ ‎＝1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查了分式的加减法，同分母的分式相加减的法则：分母不变，分子相加．‎ ‎13．【分析】依据∠α＝∠3，以及∠1＝∠4＝52°，即可得到∠α＝（180°﹣52°）＝64°．‎ ‎【解答】解：∵对边平行，‎ ‎∴∠2＝∠α，‎ 由折叠可得，∠2＝∠3，‎ ‎∴∠α＝∠3，‎ 又∵∠1＝∠4＝52°，‎ ‎∴∠α＝（180°﹣52°）＝64°，‎ 故答案为：64°．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．‎ ‎14．【分析】根据三角形的中位线得出DE＝BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出即可．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴DE＝BC，DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝（）2＝，‎ 故答案为：1：4．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ ‎15．【分析】设点C坐标为（a，），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC＝2AB＝2，可求出a的值，继而得出k的值．‎ ‎【解答】解：设点C坐标为（a，），（k＜0），点D的坐标为（x，y），‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AC与BD的中点坐标相同，‎ ‎∴（，）＝（，），‎ 则x＝a﹣1，y＝，‎ 代入y＝，可得：k＝2a﹣2a2 ①；‎ 在Rt△AOB中，AB＝＝，‎ ‎∴BC＝2AB＝2，‎ 故BC2＝（0﹣a）2+（﹣2）2＝（2）2，‎ 整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，‎ 将①k＝2a﹣2a2，代入后化简可得：a2＝4，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴a＝﹣2，‎ ‎∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．‎ 故答案为：﹣12．‎ 方法二：‎ 因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．‎ 故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0）‎ 根据K的几何意义，|﹣a|×|2+b|＝|﹣1﹣a|×|b|，‎ 整理得2a+ab＝b+ab，‎ 解得b＝2a．‎ 过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，‎ 由已知易得AD＝2，AH＝a，DH＝b＝2a．‎ AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，‎ 得a＝2．‎ 所以D坐标是（﹣3，4）‎ 所以|K|＝12，由函数图象在第二象限，‎ 所以k＝﹣12．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC＝2AB＝2，得出方程，难度较大，注意仔细运算．‎ ‎16．【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可；‎ ‎【解答】解：分四种情形：‎ ‎①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，‎ ‎∵∠BAD＝∠CBE，‎ ‎∴△ABD≌△BCE（ASA），[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴BD＝EC＝1，‎ ‎∴AE＝AC﹣EC＝2．‎ ‎②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．‎ ‎∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x，‎ ‎∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，‎ ‎∴△ABD∽△BFE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴AE＝AC+CE＝‎ ‎③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．‎ ‎∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠FBE，‎ ‎∴△ABD≌△BCE（ASA），‎ ‎∴EC＝BD＝1，‎ ‎∴AE＝AC+EC＝4．‎ ‎④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．‎ 设EC＝EF＝CF＝m，‎ 由△ABD∽△BFE，可得＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴AE＝AC﹣EC＝，‎ 综上所述，满足条件的AE的值为2或4或或．‎ 故答案为2或4或或．‎ ‎【点评】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎②﹣①得：x＝6，‎ 将x＝6代入①得：y＝4，‎ 则方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎18．【分析】利用△PCF∽△PBA，求出PC的长，从而可得PE，再利用△PGE∽△AGD，即可求出DG的长．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，有 ‎△PCF∽△PBA ‎∴‎ 而DF＝2CF，即CF＝CD ‎∴＝‎ ‎∴＝即 而AB＝BC＝6，‎ ‎∴PC＝3‎ 又∵点E是BC的中点 ‎∴DE＝3，PE＝6‎ ‎∵AD∥EP ‎∴△PGE∽△AGD ‎∴‎ 而PE＝AD＝6，‎ ‎∴GE＝GD＝‎ 故DG的长为．‎ ‎【点评】本题是利用三角形相似，对应边成比例，从而根据比例线段来求未知线段，关键是要找准能够运用的相似三角形．‎ ‎19．【分析】（1）关键描述语是：买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元；‎ 设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，列方程组解x，y的值即可；‎ ‎（2）关键描述语是：本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元；‎ 设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个；可得m+（2m﹣10）≥80，3（2m﹣10）+5m≤320，求得m的整数值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元．（1分）‎ 根据题意可得 解这个方程组得（4分）‎ 答：甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元．（5分）‎ ‎[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎（2）设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个．（6分）‎ 根据题意可得m+（2m﹣10）≥80，解这个不等式得m≥30，‎ ‎3（2m﹣10）+5m≤320 解这个不等式得m≤31．（9分）‎ 因为m为正整数，所以m的值为：30或31‎ 故本次购进甲笔记本50个、乙笔记本30个；或购进甲笔记本52个、乙笔记本31个．‎ ‎【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．‎ ‎20．【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．‎ ‎【解答】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，‎ ‎∴FA∥EG，EA∥FH，‎ ‎∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，‎ ‎∴△GEA∽△AFH，‎ ‎∴＝．‎ ‎∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，‎ ‎∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴FH＝1.05里．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．‎ ‎21．【分析】（1）欲证明∠EBA＝∠C，只要证明△BAE∽△CEB即可；‎ ‎（2）欲证明AB2＝AD•AC，只要证明△BAD∽△CAB即可；‎ ‎【解答】（1）证明：∵ED2＝EA•EC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵∠BEA＝∠CEB，‎ ‎∴△BAE∽△CEB，‎ ‎∴∠EBA＝∠C．‎ ‎（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，‎ ‎∴EB＝ED，‎ ‎∴∠EDB＝∠EBD，‎ ‎∴∠C+∠DBC＝∠EBA+∠ABD，‎ ‎∵∠EBA＝∠C，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABD，‎ ‎∵DB＝DC，‎ ‎∴∠C＝∠DBC，‎ ‎∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，‎ ‎∴△BAD∽△CAB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB2＝AD•AC．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎22．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出y1＝，y2＝，将其代入x1+y1＝x2+y2中可得出x1﹣x2＝，结合x1＜x2可得出x2＝y1，x1＝y2，再利用两点间的距离公式可证出OC＝OD；‎ ‎（2）由正切的定义可得出＝，结合+＝10可求出x1，y1的值，再由点C在第一象限即可得出点C的坐标；‎ ‎（3）由点C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，重复（2）的过程可得出点D的坐标，再由点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．‎ ‎【解答】（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，‎ ‎∴y1＝，y2＝．‎ ‎∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，‎ ‎∴x1﹣x2＝．‎ 又∵x1＜x2，‎ ‎∴＝1，‎ ‎∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．‎ ‎∴OC＝＝，OD＝＝，‎ ‎∴OC＝OD．‎ ‎（2）解：∵tan∠BOC＝，‎ ‎∴＝．‎ 又∵OC＝，‎ ‎∴+＝10，‎ ‎∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．‎ ‎∵点C在第一象限，‎ ‎∴点C的坐标为（1，3）．‎ ‎（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，‎ ‎∴tan∠AOD＝，‎ ‎∴＝．‎ ‎∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴m＝1×3＝3，‎ ‎∴x2•y2＝3，‎ ‎∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．‎ ‎∵点D在第一象限，‎ ‎∴点D的坐标为（3，1）．‎ 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），‎ 将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、正切的定义以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征结合x1+y1＝x2+y2，找出x2＝y1，x1＝y2；（2）利用正切的定义、OC＝及点C在第一象限，求出点C 的坐标；（3）根据点C，D的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．‎ ‎23．【分析】（1）由AC＝BD知+＝+，得＝，根据OD⊥AC知＝，从而得＝＝，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；‎ ‎（2）连接BC，设OF＝t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC＝DF＝2t，由DF＝1﹣t可得t＝，即可知BC＝DF＝，继而求得EF＝AC＝，由余切函数定义可得答案；‎ ‎（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC＝AD＝、OF＝，从而根据三角形面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵OD⊥AC，‎ ‎∴＝，∠AFO＝90°，‎ 又∵AC＝BD，‎ ‎∴＝，即+＝+，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，‎ ‎∵AB＝2，‎ ‎∴AO＝BO＝1，‎ ‎∴AF＝AOsin∠AOF＝1×＝，‎ 则AC＝2AF＝；‎ ‎（2）如图1，连接BC，‎ ‎∵AB为直径，OD⊥AC，‎ ‎∴∠AFO＝∠C＝90°，‎ ‎∴OD∥BC，‎ ‎∴∠D＝∠EBC，‎ ‎∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，‎ ‎∴△DEF≌△BEC（ASA），‎ ‎∴BC＝DF、EC＝EF，‎ 又∵AO＝OB，‎ ‎∴OF是△ABC的中位线，‎ 设OF＝t，则BC＝DF＝2t，‎ ‎∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t，‎ ‎∴1﹣t＝2t，‎ 解得：t＝，‎ 则DF＝BC＝、AC＝＝＝，‎ ‎∴EF＝FC＝AC＝，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ABD＝∠D，‎ 则cot∠ABD＝cot∠D＝＝＝；‎ ‎（3）如图2，‎ ‎∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，‎ ‎∴∠BOC＝、∠AOD＝∠COD＝，‎ 则+2×＝180，‎ 解得：n＝4，‎ ‎∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，‎ ‎∴BC＝AC＝，‎ ‎∵∠AFO＝90°，‎ ‎∴OF＝AOcos∠AOF＝，‎ 则DF＝OD﹣OF＝1﹣，‎ ‎∴S△ACD＝AC•DF＝××（1﹣）＝．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．‎ ‎24．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；‎ ‎（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；‎ ‎（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，‎ ‎∴B（0，4），‎ ‎∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，‎ ‎∴C（5，4）；‎ ‎（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，‎ ‎∴A（﹣1，0），‎ ‎∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，‎ 将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，‎ ‎∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；‎ ‎（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，‎ 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），‎ ‎①a＞0时，如图1，‎ 将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，‎ ‎∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，‎ ‎∴﹣3a＜4，‎ a＞﹣，‎ 将x＝5代入抛物线得y＝12a，‎ ‎∴12a≥4，‎ a≥，‎ ‎∴a≥；‎ ‎②a＜0时，如图2，‎ 将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，‎ ‎∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，‎ ‎∴﹣3a＞4，‎ a＜﹣；‎ ‎③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，‎ 将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，‎ 解得a＝﹣1．‎ 综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．‎