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- 2021-11-10 发布
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HS九(下)
教学课件
第26章 二次函数
1. 二次函数y=ax2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2的图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
画出二次函数y=x2的图象.
9 4 1 0 1 94
1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表
示几组对应值:
1
例1
2 4-2-4 o
3
6
9
x
y
2. 描点:根据表中x, y的数值在坐标平面中描点(x,y)
3. 连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到
y = x2 的图象.
-3 3o
3
6
9
当取更多个点时,函数y=x2的图象如下.
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的
路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
练一练:画出函数y=-x2的图象.
y
2 4-2-4 0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
根据你以往学习函数图象性质的经验,说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质,并与同伴交流.
xo
y=x2
1.y=x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点( 0 ,0 );
5.图象有最低点.
y
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
o x
y
y=-x2
1.y=-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点( 0 ,0 );
5.图象有最高点.
1. 顶点都在原点;
3.当a>0时,开口向上;
当a<0时,开口向下.
二次函数y=ax2 的图象性质:
2. 图像关于y轴对称;
知识要点
观察下列图象,抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的
关系是什么?
二次项系数互为相反数,
开口相反,大小相同,
它们关于x轴对称. x
y
O
y=ax2
y=-ax2
交流讨论
二次函数y=ax2的性质
问题1:观察图形,y随x的变化如何变化?
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
2y x 2y ax
2
对于抛物线 y = ax 2 (a>0)
当x>0时,y随x取值的增大而增大;
当x<0时,y随x取值的增大而减小.
知识要点
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
2y x 2y ax
问题2:观察图形,y随x的变化如何变化?
对于抛物线 y = ax 2 (a<0)
当x>0时,y随x取值的增大而减小;
当x<0时,y随x取值的增大而增大.
知识要点
解:分别填表,再画出它们的图象,如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· -
2
-1.5 -
1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
21
2y x
22y x
8
4.5
2 0.5 0 84.520.5
8
4.5
2 0.5 0 84.520.5
在同一直角坐标系中,画出函数 的
图象.
2 21 22
,y x y x例2
-2 2
2
4
6
4-4
8
21
2y x
22y x2y x
思考1:从二次函数 开口大小
与a的大小有什么关系?
2 2 21 , , 22y x y x y x
当a>0时,a越大,开口越小.
练一练:在同一直角坐标系中,画出函数
的图象.
2 21 22
,y x y x
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-8
-4.5
-2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5
-8
-4.5
-2 -0.5 0 -8-4.5-2-0.522y x
21
2y x
-2 2
-2
-4
-6
4-4
-8
21
2
y x
22y x 2y x
当a<0时,a越小(即
a的绝对值越大),
开口越小.
思考2:从二次函数 开口大
小与a的大小有什么关系?
2 2 21 22
, ,y x y x y x
对于抛物线 y = ax 2 ,|a|越大,抛物线的开口越小.
y=ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大,开口越小
关于y轴对称,对称轴是直线x=0
顶点坐标是原点(0,0)
当x=0时,y最小值=0 当x=0时,y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O x
y
O
x
已知二次函数y=x2.
(1)判断点A(2,4)在二次函数图象上吗?
(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标,关
于y轴的对称点C的坐标,关于原点O的对称点
D的坐标;
(3)点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二
次函数y=-x2的图象上吗?
例3
(1)判断点A(2,4)在二次函数图象上吗?
解:当x=2时,y=x2=4,
所以A(2,4)在二次函数图象上.
(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标,关于y
轴的对称点C的坐标,关于原点O的对称点D的坐
标;
解:点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,-4),
点A关于y轴的对称点C的坐标为(-2,4),
点A关于原点O的对称点D的坐标为(-2,-4).
(3)点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二次函
数y=-x2的图象上吗?
解:当x=-2时,y=x2=4,
所以C点在二次函数y=x2的图象上;
当x=2时,y=-x2=-4,
所以B点在二次函数y=-x2的图象上;
当x=-2时,y=-x2=-4,
所以D点在二次函数y=-x2的图象上.
已知 是二次函数,且当x>0时,
y随x增大而增大,则k= .
2 42( ) k ky k x
分析: 是二次函数,即二次项的系数
不为0,x的指数等于2.又因当x>0时,y随x增大而增大,
即说明二次项的系数大于0.因此,
2 42 ( ) k ky k x
2 4 2
2 0
k k
k
> 解得 k=2
2
已知二次函数y=2x2.
(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则
y1_____y2;(填“>”“=”或“<”);
(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形
ABCD的顶点A、B在x轴上,C、D恰好在二次函数
的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面
积之和.
<
例4
分析:(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求
出纵坐标,再比较大小即可得解;
(2)由于函数图象经过点B,根据点B的横坐标为2,
代入表达式可求出点C的纵坐标,再根据二次函
数图象关于y轴对称求出OA=OB,即图象左边部
分与右边部分对称,两个阴影部分面积相加等于
右边第一象限内的矩形面积.
(2)解:∵二次函数y=2x2的图象经过点B,
∴当x=2时,y=2×22=8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形,
且y轴为它们的对称轴,
∴OA=OB,
∴在长方形ABCD内,
左边阴影部分面积等于右边空白部分面积,
∴S阴影部分面积之和=2×8=16.
方法总结:二次函数y=ax2的图象关于y轴对
称,因此左右两部分折叠可以重合,在二次函数
比较大小中,我们根据图象中点具有的对称性转
变到同一变化区域中(全部为升或全部为降),根
据图象中函数值高低去比较;对于求不规则的图
形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化
为规则图形以方便求解.
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3、如右图,观察函数y=( k-1)x2
的图象,则k的取值范围是 .
x
y
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴
和顶点:
23xy
23xy
2
3
1 xy
2
3
1 xy
开口方向 对称轴 顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
O
5.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0),过点(-1,2).
(1)则a的值是 ;
(2)对称轴是 ,开口 .
(3)顶点坐标是 ,顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方(除顶点外).
(4)若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1
6.已知二次函数y=x2,若x≥m时,y最小值为0,求实
数m的取值范围.
解:∵二次函数y=x2,
∴当x=0时,y有最小值,且y最小值=0,
∵当x≥m时,y最小值=0,
∴m≤0.
7.已知:如图,直线y=3x+4与抛物线y=x2交于A、B
两点,求出A、B两点的坐标,并求出两交点与原点所
围成的三角形的面积.
解:由题意得
解得
∴此两函数的交点坐标为A(4,16)和B(-1,1).
∵直线y=3x+4与y轴相交于点C(0,4),即CO=4.
∴S△ACO= ·CO·4=8,S△BOC= ×4×1=2,
∴S△ABO=S△ACO+S△BOC=10.
2
3 4,
,
y x
y x
4, 1,
16, 1,
x x
y y
或
1
2
1
2
二次函数y=ax2
的图象及性质
画 法 描 点 法 以对称轴为中
心 对 称 取 点
图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形
性 质 重点关注
4 个 方 面
开口方向及大小
对 称 轴
顶 点 坐 标
增 减 性