华师版数学九年级下册课件-第26章 二次函数-26二次函数的图象与性质 33页

HS九(下) 教学课件 第26章 二次函数 1. 二次函数y=ax2的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 94 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表 示几组对应值： 1 例1 2 4-2-4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x, y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． -3 3o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下. x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4-2-4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. xo y=x2 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 2. 图像关于y轴对称; 知识要点 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的 关系是什么？ 二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同， 它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 2y x 2y ax 2 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识要点 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 2y x  2y ax  问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 知识要点 解：分别填表，再画出它们的图象，如图. x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· － 2 －1.5 － 1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 21 2y x 22y x 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 在同一直角坐标系中，画出函数 的 图象． 2 21 22  ,y x y x例2 -2 2 2 4 6 4-4 8 21 2y x 22y x2y x 思考1：从二次函数 开口大小 与a的大小有什么关系？ 2 2 21 , , 22y x y x y x   当a>0时，a越大，开口越小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2 21 22  ,y x y x x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8－4.5－2－0.522y x  21 2y x －2 2 －2 －4 －6 4－4 －8 21 2  y x 22y x 2y x  当a<0时，a越小（即 a的绝对值越大）， 开口越小. 思考2：从二次函数 开口大 小与a的大小有什么关系？ 2 2 21 22      , ,y x y x y x 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点 D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？ 例3 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上. （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y 轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐 标； 解：点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4）， 点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）， 点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）. （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函 数y=－x2的图象上吗？ 解：当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 已知 是二次函数，且当x＞0时， y随x增大而增大，则k= . 2 42( ) k ky k x    分析： 是二次函数，即二次项的系数 不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大, 即说明二次项的系数大于0.因此， 2 42   ( ) k ky k x 2 4 2 2 0 k k k       ＞ 解得 k=2 2 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数 的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面 积之和． < 例4 分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求 出纵坐标，再比较大小即可得解； (2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2， 代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函 数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部 分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于 右边第一象限内的矩形面积． (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形， 且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内， 左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 方法总结：二次函数y＝ax2的图象关于y轴对 称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数 比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转 变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根 据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图 形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化 为规则图形以方便求解． 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2 的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴 和顶点： 23xy  23xy  2 3 1 xy  2 3 1 xy  开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. （4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实 数m的取值范围． 解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B 两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所 围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 ∴此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 2 3 4, , y x y x     4, 1, 16, 1, x x y y         或 1 2 1 2 二次函数y=ax2 的图象及性质 画 法 描 点 法 以对称轴为中 心 对 称 取 点 图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形 性 质 重点关注 4 个 方 面 开口方向及大小 对 称 轴 顶 点 坐 标 增 减 性