【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试13 二次函数（培优提高）（教师版） 13页

专题 01 有理数（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2019·湖北中考模拟）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0）、点 B（3，0）、点 C（4， y1），若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a； ③若 y2＞y1，则 x2＞4； ④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和 1 3 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0）、点 B（3，0）， 可得抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3）， 即 y=ax2﹣2ax﹣3a， ∵y=a（x﹣1）2﹣4a， ∴当 x=1 时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确； 当 x=4 时，y=a×5×1=5a， ∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误； ∵点 C（4，5a）关于直线 x=1 的对称点为（﹣2，5a）， ∴当 y2＞y1，则 x2＞4 或 x＜﹣2，所以③错误； ∵b=﹣2a，c=﹣3a， ∴方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0， 整理得 3x2+2x﹣1=0，解得 x1=﹣1，x2= 1 3 ，所以④正确， 故选 B． 2．（2019·河南中考模拟）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交 点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m （am+b）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【详解】 ①∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a、b 异号， ∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴 㔠㔳 㔠 th∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误； ④根据图示知，当 m=1 时，有最大值； 当 m≠1 时，有 am2+bm+c≤a+b+c， 所以 a+b≥m（am+b）（m 为实数）． 故正确． ⑤如图，当﹣1＜x＜3 时，y 不只是大于 0． 故错误． 故选：A． 3．（2018·山西中考真题）用配方法将二次函数 y=x2﹣8x﹣9 化为 y=a（x﹣h）2+k 的形式为（ ） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】B 【详解】 y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选 B． 4．（2018·甘肃中考真题）如图，已知二次函数  2y ax bx c a 0    的图象如图所示，有下列 5 个结论 abc 0① ； b a c ② ； 4a 2b c 0  ③ ； 3a c ④ ；  a b m am b (m 1   ⑤ 的实数).其中正 确结论的有 ( ) A． ①②③ B． ②③⑤ C． ②③④ D． ③④⑤ 【答案】B 【详解】 ① 对称轴在 y 轴的右侧， ab 0  ， 由图象可知： c 0 ， abc 0  ，故 ① 不正确； ② 当 x 1  时， y a b c 0    ， b a c   ，故 ② 正确； ③ 由对称知，当 x 2 时，函数值大于 0，即 y 4a 2b c 0    ，故 ③ 正确； bx 12a   ④ ， b 2a   ， a b c 0   ， a 2a c 0    ， 3a c  ，故 ④ 不正确； ⑤ 当 x 1 时，y 的值最大.此时， y a b c   ， 而当 x m 时， 2y am bm c   ， 所以  2a b c am bm c m 1      ， 故 2a b am bm   ，即  a b m am b   ，故 ⑤ 正确， 故 ②③⑤ 正确， 故选 B． 5．（2019·内蒙古中考模拟）当 ab＞0 时，y＝ax2 与 y＝ax+b 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ∵ab＞0，∴a、b 同号．当 a＞0，b＞0 时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限， 没有图象符合要求； 当 a＜0，b＜0 时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求． 故选 B． 6．（2018·四川中考真题）若二次函数 2 2 2y ax bx a    （ a ，b 为常数）的图象如图，则 a 的值为（ ） A．1 B． 2 C． 2 D．-2 【答案】C 【详解】 由图可知，函数图象开口向下， ∴a＜0， 又∵函数图象经过坐标原点（0，0）， ∴a2-2=0， 解得 a1= 2 （舍去），a2=- 2 ， 故选 C． 7．（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）二次函数 y＝x2﹣6x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个 交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ） A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0） 【答案】C 【详解】 解：由二次函数 2 6y x x m   得到对称轴是直线 3x  ，则抛物线与 x 轴的两个交点坐标关于直线 3x  对 称， ∵其中一个交点的坐标为 1,0 ，则另一个交点的坐标为 5,0 ， 故选：C． 8．（2018·湖北中考模拟）在同一直角坐标系中，函数 y＝mx+m 和函数 y＝mx2+2x+2（m 是常数，且 m≠0） 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0，则函数 y=-mx2+x+1 开口方向朝上，与图象不符，故 A 选项错误； B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0，则函数 y=-mx2+x+1 开口方向朝上，对称轴为 x=- 2 b a ＝ 1 2m ＜0，则 对称轴应在 y 轴左侧，与图象不符，故 B 选项错误； C、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＞0，则函数 y=-mx2+x+1 开口方向朝下，与图象不符，故 C 选项错误； D、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0，则函数 y=-mx2+x+1 开口方向朝上，对称轴为 x=- 2 b a ＝ 1 2m ＜0，则 对称轴应在 y 轴左侧，与图象符合，故 D 选项正确． 故选：D． 9．（2019·东港区日照街道三中中考模拟）将抛物线 y= 1 2 x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的 解析式为（ ） A．y= 1 2 （x﹣8）2+5 B．y= 1 2 （x﹣4）2+5 C．y= 1 2 （x﹣8）2+3 D．y= 1 2 （x﹣4）2+3 【答案】D 【详解】 y= 1 2 x2﹣6x+21 = 1 2 （x2﹣12x）+21 = 1 2 [（x﹣6）2﹣36]+21 = 1 2 （x﹣6）2+3， 故 y= 1 2 （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y= 1 2 （x﹣4）2+3． 故选 D． 10．（2018·河北中考模拟）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物 线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的 关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2t  ；③足球被踢出 9s 时落地；④足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m. 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 由题意，抛物线的解析式为 y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得 a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为 20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴 t=4.5，故②正确，∵t=9 时，y=0，∴ 足球被踢出 9s 时落地，故③正确，∵t=1.5 时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选 B． 11．（2018·安徽中考模拟）某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少 10 千克．设销售单价为每千克 x 元， 月销售利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 【答案】C 【解析】 设销售单价为每千克 x 元，此时的销售数量为  500 10 50x  ，每千克赚的钱为 40,x  则    40 500 10 50y x x      . 故选 C. 12．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）已知二次函数 y＝x2﹣2mx+m2+1（m 为常数），当自变量 x 的值 满足﹣3≤x≤﹣1 时，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 m 的值为（ ） A．1 或﹣3 B．﹣3 或﹣5 C．1 或﹣1 D．1 或﹣5 【答案】D 【详解】 由 y＝x2﹣2mx+m2+1（m 为常数） =(x-m)2+1 知，其对称轴为 x=m 当 m -3 时，在﹣3≤x≤﹣1 上，y 随 x 的增大而增大.所以 x=-3 时取得最小值 y=5， 即（-3-m）2+1=5，所以 m=-5 或-1（舍去） 当﹣3≤m≤﹣1 时，函数值 y 的最小值为 1，不符合题意. 当 m -1 时，在﹣3≤x≤﹣1 上，y 随 x 的增大而减小.所以当 x=-1 时取得最小值 y=5， 即（-1-m）2+1=5，所以 m=1 或-3（舍去） 综上所述，m 的值为 1 或-5 故选 D 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2018·江西中考模拟）已知关于 x 的方程 x2＋2kx＋k2＋k＋3＝0 的两根分别是 x1，x2，则(x1－1)2＋(x2 －1)2 的最小值是________． 【答案】8 【解析】 ∵关于 x 的方程 x2+2kx+k2+k+3=0 的两根分别是 x1、x2， ∴x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2+k+3， ∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得 k≤﹣3， ∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2 =x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1 =（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2 =（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2 =2k2+2k﹣4 =2（k+ 1 2 ）2﹣ 9 2 当 k=-3 时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2 的值最小，最小为 8. 故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2 的最小值是 8． 故答案为：8． 14．（2019·新疆中考模拟）已知二次函数 y=x2﹣4x+k 的图象的顶点在 x 轴下方，则实数 k 的取值范围是_____． 【答案】k＜4 【详解】 ∵二次函数 y=x2﹣4x+k 中 a=1＞0，图象的开口向上， 又∵二次函数 y=x2﹣4x+k 的图象的顶点在 x 轴下方， ∴抛物线 y=x2﹣4x+k 的图象与 x 轴有两个交点， ∴△>0，即（-4）2-4k>0， ∴k＜4， 故答案为：k＜4. 15．（2018·辽宁中考真题）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a  0）与 x 轴的两个交点分别为 A（-1，0）和 B （2，0），当 y＜0 时，x 的取值范围是___________． 【答案】x＜-1 或 x＞2 【详解】 观察图象可知，抛物线与 x 轴两交点为（−1，0），（2，0），y＜0，图象在 x 轴的下方，所以答案是 x＜−1 或 x＞2． 故答案为：x＜-1 或 x＞2 16．（2019·云南中考模拟）已知 A（0,3），B（2,3）是抛物线 上两点，该抛物线的顶点坐 标是_________. 【答案】（1,4）. 【解析】 把 A（0,3），B（2,3）代入抛物线 可得 b=2，c=3，所以 = ， 即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）. 17．（2016·四川中考真题）设 m，n 是一元二次方程 x2＋2x－7＝0 的两个根，则 m2＋3m＋n＝_______. 【答案】5 【解析】 根据根与系数的关系可知 m+n=﹣2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m﹣7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7=0 的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m 是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即 m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2019·山东中考模拟）已知二次函数的图象以 A（﹣1，4）为顶点，且过点 B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′，求 △ O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【详解】（1）设抛物线顶点式 y=a（x+1）2+4， 将 B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令 x=0，得 y=3，因此抛物线与 y 轴的交点为：（0，3）， 令 y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与 x 轴的交点为 M、N（M 在 N 的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M 与 O 重合，因此抛物线向右平移了 3 个单位， 故 A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S △ OA′B′= 1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 19．（2018·江苏中考真题）已知二次函数   2 1 3y x x m    （ m 为常数）. （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点； （2）当 m 取什么值时，该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 【答案】（1）证明见解析；（2） 3m   时，该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 【解析】 （1）证明：当 0y  时，   2 1 3 0x x m    . 解得 1 1x  ， 2 3x m  . 当 3 1m   ，即 2m   时，方程有两个相等的实数根；当 3 1m   ，即 2m   时，方程有两个不相等的 实数根. 所以，不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点. （2）解：当 0x  时， 2 6y m  ，即该函数的图像与 y 轴交点的纵坐标是 2 6m  . 当 2 6 0m   ，即 3m   时，该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 20．（2019·河北中考模拟）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销 售进行预测，井建立如下模型：设第 t 个月该原料药的月销售量为 P（单位：吨），P 与 t 之间存在如图所示 的函数关系，其图象是函数 P= 120 4t  （0＜t≤8）的图象与线段 AB 的组合；设第 t 个月销售该原料药每吨的 毛利润为 Q（单位：万元），Q 与 t 之间满足如下关系：Q= 2 8,0 12 44,12 24 t t t t        （1）当 8＜t≤24 时，求 P 关于 t 的函数解析式； （2）设第 t 个月销售该原料药的月毛利润为 w（单位：万元） ①求 w 关于 t 的函数解析式； ②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513 是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范 围所对应的月销售量 P 的最小值和最大值． 【答案】（1）P=t+2；（2）①当 0＜t≤8 时，w=240；当 8＜t≤12 时，w=2t2+12t+16；当 12＜t≤24 时，w=﹣t2+42t+88； ②此范围所对应的月销售量 P 的最小值为 12 吨，最大值为 19 吨． 【解析】 （1）设 8＜t≤24 时，P=kt+b， 将 A（8，10）、B（24，26）代入，得： 8 10 24 26 k b k b    ＝ ＝ ， 解得： 1 2 k b    ＝ ＝ ， ∴P=t+2； （2）①当 0＜t≤8 时，w=（2t+8）× 120 4t  =240； 当 8＜t≤12 时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16； 当 12＜t≤24 时，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88； ②当 8＜t≤12 时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2， ∴8＜t≤12 时，w 随 t 的增大而增大， 当 2（t+3）2-2=336 时，解题 t=10 或 t=-16（舍）， 当 t=12 时，w 取得最大值，最大值为 448， 此时月销量 P=t+2 在 t=10 时取得最小值 12，在 t=12 时取得最大值 14； 当 12＜t≤24 时，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529， 当 t=12 时，w 取得最小值 448， 由-（t-21）2+529=513 得 t=17 或 t=25， ∴当 12＜t≤17 时，448＜w≤513， 此时 P=t+2 的最小值为 14，最大值为 19； 综上，此范围所对应的月销售量 P 的最小值为 12 吨，最大值为 19 吨． 21．（2019·富顺第二中学校中考模拟）温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产 2 件 甲或 1 件乙，甲产品每件可获利 15 元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于 5 件，当每天生 产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件，当天平均每件获利减少 2 元．设每天安排 x 人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每 天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的 总利润 W（元）的最大值及相应的 x 值． 【答案】（1）填表见解析；（2）每件乙产品可获得的利润是 110 元；（3）安排 26 人生产乙产品时，可获得 的最大总利润为 3198 元. 【解析】 （1） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 65-x 2（65-x） 15 乙 130-2x （2）解：由题意得 15×2（65-x）=x（130-2x）+550 ∴x2-80x+700=0 解得 x1=10，x2=70（不合题意，舍去） ∴130-2x=110（元） 答：每件乙产品可获得的利润是 110 元。 （3）解：设生产甲产品 m 人 W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200 ∵2m=65-x-m ∴m= 65 x 3  ∵x，m 都是非负整数 ∴取 x=26 时，此时 m=13，65-x-m=26， 即当 x=26 时，W 最大值=3198（元） 答：安排 26 人生产乙产品时，可获得的最大总利润为 3198 元。