中考数学总复习二次函数压轴题专题练习（pdf，含解析） 38页

2020 年中考数学总复习二次函数压轴题专题练习 1．如图，顶点为 P（2，﹣4）的二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过原点，点 A （m，n）在该函数图象上，连接 AP、OP． （1）求二次函数 y＝ax2+bx+c 的表达式； （2）若∠APO＝90°，求点 A 的坐标； （3）若点 A 关于抛物线的对称轴的对称点为 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 D，设抛物线与 x 轴的另一交点为 B，请解答下列问题： ①当 m≠4 时，试判断四边形 OBCD 的形状并说明理由； ②当 n＜0 时，若四边形 OBCD 的面积为 12，求点 A 的坐标． 解：（1）∵图象经过原点， ∴c＝0， ∵顶点为 P（2，﹣4） ∴抛物线与 x 轴另一个交点（4，0）， 将（2，﹣4）和（4，0）代入 y＝ax2+bx， ∴a＝1，b＝﹣4， ∴二次函数的解析式为 y＝x2﹣4x； （2）∵∠APO＝90°， ∴AP⊥PO， ∵A（m，m2﹣4m）， ∴m﹣2＝ ， ∴m＝ ， ∴A（ ，﹣ ）； （3）①由已知可得 C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0）， ∴CD∥OB， ∵CD＝4，OB＝4， ∴四边形 OBCD 是平行四边形； ②∵四边形 OBCD 是平行四边形，n＜0， ∴12＝4×（﹣n）， ∴n＝﹣3， ∴A（1，﹣3）或 A（3，3）． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ x2+kx+c 的图象经过点 C（0，1）， 当 x＝2 时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式； （2）直线 l⊥y 轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线 l 交于点 A．在 x 轴上有一点 B，且 AB＝ ，试在直线 l 上求异于点 A 的一点 Q，使点 Q 在 △ABC 的外接圆上； （3）点 P（a，b）为抛物线上一动点，点 M 为坐标系中一定点，若点 P 到 直线 l 的距离始终等于线段 PM 的长，求定点 M 的坐标． 解：（1）∵图象经过点 C（0，1）， ∴c＝1， ∵对称轴 x＝2， ∴k＝﹣1， ∴抛物线解析式为 y＝ x2﹣x+1； （2）由题意可知 A（2，﹣1），设 B（t，0）， ∵AB＝ ， ∴（t﹣2）2+1＝2， ∴t＝1 或 t＝3， ∴B（1，0）或 B（3，0）， ∵B（1，0）时，A、B、C 三点共线，舍去， ∴B（3，0）， ∴AC＝2 ，BC＝ ， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为 BC 的中点（ ， ），半径为 ， 设 Q（x，﹣1），则有（x﹣ ）2+（ +1）2＝（ ）2， ∴x＝1 或 x＝2（舍去）， ∴Q（1，﹣1）； （3）设顶点 M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点， ∴b＝ a2﹣a+1， ∵P 到直线 l 的距离等于 PM， ∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2， ∴ +（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0， ∵a 为任意值上述等式均成立， ∴ ， ∴ ， 此时 m2+n2﹣2n﹣3＝0， ∴定点 M（2，1）． 3．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C，已知 BC＝2 ，tan∠OBC＝ ． （1）求拋物线的解析式； （2）如图 2，若点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平 行线交直线 BC 于点 D，作 PE⊥BC 于点 E，当点 P 的横坐标为 2 时，求△PDE 的面积； （3）若点 M 为抛物线上的一个动点，以点 M 为圆心， 为半径作⊙M，当 ⊙M 在运动过程中与直线 BC 相切时，求点 M 的坐标（请直接写出答案）． 解：（1）∵BC＝2 ，tan∠OBC＝ ， ∴OB＝4，OC＝2， ∴点 B 为（4，0），点 C 为（0，2）代入 y＝﹣ x2+bx+c 中， ∴c＝2，b＝ ， ∴y＝﹣ x2+ x+2； （2）当 x＝2 时，y＝3， ∴P（2，3）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+2， ∵PD 平行于 y 轴， ∴D（2，1）， ∴PD＝2， ∵PD 平行于 y 轴， ∴∠PDE＝∠OCB， ∵PE⊥BC， ∴∠PED＝∠COB＝90°， ∴△PDE∽△BCO， ∴△PDE 与△BCO 的面积之比是对应边 PD 与 BC 的平方， ∵△BCO 的面积为 4， ∴△PED 的面积是 4× ＝ ； （3）过点 M 作 MG⊥BC 于点 G，过点 M 作 MH∥AB 于点 H， ∴△MGH∽△COB， ∴ ＝ ， ∵⊙M 与直线 BC 相切， ∴MG＝ ， ∴MH＝5， 设点 M（x，﹣ x2+ x+2）， 如图 1，设 H（x+5，﹣ x2+ x+2）代入 y＝﹣ x+2， ∴x＝﹣1 或 x＝5， ∴M（﹣1，0）或 M（5，﹣3）； 如图 2，点 H（x﹣5， x2+ x+2）代入 y＝﹣ x+2， ∴方程无解， 综上所述：M（﹣1，0）或 M（5，﹣3）． 4．如图，抛物线 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， 且 OC＝2OB，点 D 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），过点 D 作矩形 DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积； （3）在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个 单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N，连接 M、N．若 MN 恰好平分 矩形 DEFH 的面积，求 m 的值． 解：（1）在抛物线 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 中， 当 x＝0 时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∵OC＝2OB， ∴OB＝2， ∴B（2，0）， 将 B（2，0）代入 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4， 得，a＝ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2+x﹣4； （2）设点 D 坐标为（x，0）， ∵四边形 DEFH 为矩形， ∴H（x， x2+x﹣4）， ∵y＝ x2+x﹣4＝ （x+1）2﹣ ， ∴抛物线对称轴为 x＝﹣1， ∴点 H 到对称轴的距离为 x+1， 由对称性可知 DE＝FH＝2x+2， ∴矩形 DEFH 的周长 C＝2（2x+2）+2（﹣ x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x ﹣1）2+13， ∴当 x＝1 时，矩形 DEFH 周长取最大值 13， ∴此时 H（1，﹣ ）， ∴HF＝2x+2＝4，DH＝ ， ∴S 矩形 DEFH＝HF•DH＝4× ＝10； （3）如图，连接 BH，EH，DF，设 EH 与 DF 交于点 G， 过点 G 作 BH 的平行线，交 ED 于 M，交 HF 于点 N，则直线 MN 将矩形 DEFH 的面积分成相等的两半， 由（2）知，抛物线对称轴为 x＝﹣1，H（1，﹣ ）， ∴G（﹣1，﹣ ）， 设直线 BH 的解析式为 y＝kx+b， 将点 B（2，0），H（1，﹣ ）代入， 得， ， 解得， ， ∴直线 BH 的解析式为 y＝ x﹣5， ∴可设直线 MN 的解析式为 y＝ x+n， 将点（﹣1，﹣ ）代入，得 n＝ ， ∴直线 MN 的解析式为 y＝ x+ ， 当 y＝0 时，x＝﹣ ， ∴M（﹣ ，0）， ∵B（2，0）， ∴将抛物线沿着 x 轴向左平移 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、 N，连接 M、N，则 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积， ∴m 的值为 ． 5．如图 1，在平面直角坐标系中，已知直线 l1：y＝﹣x+6 与直线 l2 相交于点 A， 与 x 轴相交于点 B，与 y 轴相交于点 C，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 点 O、点 A 和点 B，已知点 A 到 x 轴的距离等于 2． （1）求抛物线的解析式； （2）点 H 为直线 l2 上方抛物线上一动点，当点 H 到 l2 的距离最大时，求点 H 的坐标； （3）如图 2，P 为射线 OA 的一个动点，点 P 从点 O 出发，沿着 OA 方向以 每秒 个单位长度的速度移动，以 OP 为边在 OA 的上方作正方形 OPMN， 设正方形 POMN 与△OAC 重叠的面积为 S，设移动时间为 t 秒，直接写出 S 与 t 之间的函数关系式． 解：（1）∵点 A 到 x 轴的距离等于 2， ∴点 A 的纵坐标为 2， ∴2＝﹣x+6， ∴x＝4， ∴A（4，2）， 当 y＝0 时，﹣x+6＝0， ∴x＝6， ∴B（6，0）， 把 A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入 y＝ax2+bx+c 得 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x； （2）设直线 l2 的解析式为 y＝kx， ∴2＝4k， ∴k＝ ， ∴直线 l2 的解析式为 y＝ x， 设点 H 的坐标为（m，﹣ m2+ m）， 如图 1，过 H 作 HG∥y 轴交直线 l2 于 G， ∴G（m， m）， ∴HG＝﹣ m2+ m﹣ m＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣2）+1， 当 m＝2 时，HG 有最大值， ∴点 H 的坐标为（2，2）； （3）当 0＜t 时，如图 2，过 A 作 AE⊥OB 于 E， ∴OA＝ ＝2 ，tan∠AOE＝ ， ∵∠NOP＝∠BOC＝90°， ∴∠HON＝∠AOE， ∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝ ＝ ， ∵OP＝ON＝NM＝PM＝ t， ∴NH＝NM＝ t， S＝ ×（ t+ t） t＝ t2； 当 ＜t≤2 时，过点 P 作 PH⊥x 轴， ∵∠POH＝∠QON，OP＝ t， ∴OP＝ON＝NM＝PM＝ t， ∴NQ＝ t， 可求 P（2t，t）， 直线 MP 的解析式为 y＝﹣2x+5t ∴G（5t﹣6，﹣5t+12）， ∴GP＝3 （2﹣t），AP＝2 ﹣ t， ∴MG＝6 ﹣3 t， ∵∠MGK＝∠AGP， ∴△GPA∽△GKM， ∴MK＝ t﹣2 ， ∴S＝ ﹣ × t× t﹣ ×（ t﹣2 ）×（6 ﹣3 t）＝﹣ t2+40t﹣30； 当 2＜t≤ 时，可求 N（﹣t，2t）， 则直线 MN 的解析式为 y＝ x+ t， ∴K（4﹣ t， t+2）， ∵NQ＝ t， ∴Q（0， t）， ∴MK＝ t﹣2 ， ∴S＝ ﹣﹣ × t× t﹣ ×（ t﹣2 + t﹣2 ）× t＝ ﹣ t2+10t； 当 t＞ 时，S＝S△OAC＝ ×4×6＝12； 6．如图 1，小明用一张边长为 6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒， 从四个角各剪去一个边长为 xcm 的正方形，再折成如图 2 所示的无盖纸盒， 记它的容积为 ycm． （1）y 关于 x 的函数表达式是 y＝4x3﹣24x2+36x ，自变量 x 的取值范围 是 0＜x＜3 ； （2）为探究 y 随 x 的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究： ①列表：请你补充表格中的数据： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 16 13.5 8 2.5 0 ②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图 3） 描出相应的点； ③连线：用光滑的曲线顺次连结各点． （3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过 12cm3，估计正方形边长 x 的 取值范围．（保留一位小数） 解：（1）y＝x（6﹣2x）2 ＝4x3﹣24x2+36x（0＜x＜3）， 故答案为：y＝4x3﹣24x2+36x，0＜x＜3； （2）①在 y＝4x3﹣24x2+36x 中， 当 x＝1 时，y＝16；当 x＝2 时，y＝8， 故答案为：16，8； ②如图 1 所示， ③如图 2 所示， （3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过 12cm3，正方形边长 x 的取 值范围大概为 0.4≤x≤1.7． 7．定义：若函数 y＝x2+bx+c（c≠0）与 x 轴的交点 A，B 的横坐标为 xA，xB， 与 y 轴交点的纵坐标为 yC，若 xA，xB 中至少存在一个值，满足 xA＝yC（或 xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数 y＝x2+2x﹣3 与 x 轴的一个交 点 A 的横坐标为 3，与 y 轴交点 C 的纵坐标为﹣3，满足 xA＝yC，称 y＝x2+2x ﹣3 为友好函数． （1）判断 y＝x2﹣4x+3 是否为友好函数，并说明理由； （2）请探究友好函数 y＝x2+bx+c 表达式中的 b 与 c 之间的关系； （3）若 y＝x2+bx+c 是友好函数，且∠ACB 为锐角，求 c 的取值范围． 解：（1）y＝x2﹣4x+3 是友好函数，理由如下： 当 x＝0 时，y＝3；当 y＝0 时，x＝1 或 3， ∴y＝x2﹣4x+3 与 x 轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是 3， ∴y＝x2﹣4x+3 是友好函数； （2）当 x＝0 时，y＝c，即与 y 轴交点的纵坐标为 c， ∵y＝x2+bx+c 是友好函数， ∴x＝c 时，y＝0，即（c，0）在 y＝x2+bx+c 上， 代入得：0＝c2+bc+c， ∴0＝c（c+b+1）， 而 c≠0， ∴b+c＝﹣1； （3）①如图 1，当 C 在 y 轴负半轴上时， 由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即 y＝x2+bx﹣b﹣1， 显然当 x＝1 时，y＝0， 即与 x 轴的一个交点为（1，0）， 则∠ACO＝45°， ∴只需满足∠BCO＜45°，即 BO＜CO ∴c＜﹣1； ②如图 2，当 C 在 y 轴正半轴上，且 A 与 B 不重合时， ∴显然都满足∠ACB 为锐角， ∴c＞0，且 c≠1； ③当 C 与原点重合时，不符合题意， 综上所述，c＜﹣1 或 c＞0，且 c≠1． 8．已知：抛物线 y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）． （1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点． （2）设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1＞x2）．若 t 是关于 a 的函数、且 t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式； （3）若 a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B．平移后如 图所示，过 A 作直线 AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP ＝1．M 是线段 AC 上一动点，求 2MB+MC 的最小值． （1）证明：△＝b2﹣4ab＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3） 2， ∵a＞0， ∴（a+3）2＞0， ∴抛物线与 x 轴有两个交点； （2）解：令 y＝0，则 ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0， ∴ 或 ， ∵a＞0， ∴ 且 x1＞x2， ∴x1＝2， ， ∴ ， ∴t＝a﹣5； （3）解：当 a＝1 时，则 y＝x2﹣4， 向上平移一个单位得 y＝x2﹣3， 令 y＝0，则 x2﹣3＝0， 得 ， ∴ ， ， ∵OP＝1， ∴直线 ， 联立： ， 解得， ， ， 即 ， ， ∴AO＝ ， 在 Rt△AOP 中， AP＝ ＝2， 过 C 作 CN⊥y 轴，过 M 作 MG⊥CN 于 G，过 C 作 CH⊥x 轴于 H， ∵CN∥x 轴， ∴∠GCM＝∠PAO， 又∵∠AOP＝∠CGM＝90°， ∴△AOP∽△CGM， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ， ∵B 到 CN 最小距离为 CH， ∴MB+GM 的最小值为 CH 的长度 ， ∴2MB+MC 的最小值为 ． 9．如图，抛物线 y1＝ax2+c 的顶点为 M，且抛物线与直线 y2＝kx+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（2，3），连结 AM、BM． （1）a＝ 1 ，c＝ ﹣1 ，k＝ 1 （直接写出结果）； （2）当 y1＜y2 时，则 x 的取值范围为 ﹣1＜x＜2 （直接写出结果）； （3）在直线 AB 下方的抛物线上是否存在一点 P，使得△ABP 的面积最大？ 若存在，求出△ABP 的最大面积及点 P 坐标． 解：（1）将点 B 的坐标（2，3）代入 y2＝kx+1 得： 3＝2k+1 解得：k＝1 ∴y2＝x+1 令 y2＝0 得：0＝x+1 解得：x＝﹣1 ∴A（﹣1，0） 将 A（﹣1，0）、B（2，3）代入 y1＝ax2+c 得： 解得：a＝1，c＝﹣1 故答案为：1，﹣1，1； （2）∵A（﹣1，0）、B（2，3） ∴结合图象可得：当 y1＜y2 时，则 x 的取值范围为﹣1＜x＜2 故答案为：﹣1＜x＜2； （3）在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P，使得△ABP 的面积最大． 如图，设平行于直线 y2＝x+1 的直线解析式为：y3＝x+b 由 得：x2﹣1＝x+b ∴x2﹣x﹣1﹣b＝0 令△＝0 得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0 解得：b＝﹣ ∴y3＝x﹣ ， ∴x2﹣x﹣1+ ＝0 解得：x1＝x2＝ ∴P（ ，﹣ ） ∴当点 P 坐标为（ ，﹣ ）时，△ABP 的面积最大 设 y3＝x﹣ 与 x 轴交于点 C，则点 C 坐标为：（ ，0），过点 C 作 CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段 CD 的长度即为△ABP 的高的长度 ∵y2＝x+1 与 x 轴所成锐角为 45° ∴△ACD 为等腰直角三角形 ∵AC＝ ﹣（﹣1）＝ ∴CD＝ ＝ ＝ ∵A（﹣1，0）、B（2，3） ∴AB＝ ＝ ∴△ABP 的面积为： × × ＝ ∴在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为 ；点 P 坐标为（ ，﹣ ）． 10．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 y＝ x﹣2 的图象分别交 x、y 轴于 点 A、B，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的 一个动点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如图 1 所示，过点 P 作 PM∥y 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D， 若以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求 点 P 的坐标； （3）如图 2 所示，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q，连接 PB，当△PBQ 中有某个 角的度数等于∠OAB 度数的 2 倍时，请直接写出点 P 的横坐标． 解：（1）令 x＝0，得 y＝ x﹣2＝﹣2，则 B（0，﹣2）， 令 y＝0，得 0＝ x﹣2，解得 x＝4，则 A（4，0）， 把 A（4，0），B（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c（a≠0）中，得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣ x﹣2； （2）∵PM∥y 轴， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝∠BCP， ∴以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，存 在两种情况： ①当∠CBP＝90°时，如图 1，过 P 作 PN⊥y 轴于 N， 设 P（x，x2﹣ x﹣2），则 C（x， x﹣2）， ∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠PBN＝∠OAB， ∵∠AOB＝∠BNP＝90°， ∴△AOB∽△BNP， ∴ ，即 ＝ ， 解得：x1＝0（舍），x2＝ ， ∴P（ ，﹣5）； ②当∠CPB＝90°时，如图 2，则 B 和 P 是对称点， 当 y＝﹣2 时，x2﹣ x﹣2＝﹣2， x1＝0（舍），x2＝ ， ∴P（ ，﹣2）； 综上，点 P 的坐标是（ ，﹣5）或（ ，﹣2）； （3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°， ∴∠BOA≠45°， ∴∠BQP≠2∠BOA， ∴分两种情况： ①当∠PBQ＝2∠OAB 时，如图 3，取 AB 的中点 E，连接 OE，过 P 作 PG⊥ x 轴于 G，交直线 AB 于 H， ∴OE＝AE， ∴∠OAB＝∠AOE， ∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ， ∵OB∥PG， ∴∠OBE＝∠PHB， ∴△BOE∽△HPB， ∴ ， 由勾股定理得：AB＝ ＝2 ， ∴BE＝ ， ∵GH∥OB， ∴ ，即 ， ∴BH＝ x， 设 P（x，x2﹣ x﹣2），则 H（x， x﹣2）， ∴PH＝ x﹣2﹣（x2﹣ x﹣2）＝﹣x2+4x， ∴ ， 解得：x1＝0，x2＝3， ∴点 P 的横坐标是 3； ②当∠BPQ＝2∠OAB 时，如图 4，取 AB 的 中点 E，连接 OE，过 P 作 PG ⊥x 轴于 G，交直线 AB 于 H，过 O 作 OF⊥AB 于 F，连接 AP，则∠BPQ＝ ∠OEF， 设点 P（t，t2﹣ t﹣2），则 H（t， t﹣2）， ∴PH＝ t﹣2﹣（t2﹣ t﹣2）＝﹣t2+4t， ∵OB＝4，OC＝2， ∴BC＝2 ， ∴OE＝BE＝CE＝ ，OF＝ ＝ ＝ ， ∴EF＝ ＝ ＝ ， S△ABP＝ ＝ ， ∴2 PQ＝4（﹣t2+4t）， PQ＝ ， ∵∠OFE＝∠PQB＝90°， ∴△PBQ∽△EOF， ∴ ，即 ， ∴BQ＝ ， ∵BQ2+PQ2＝PB2， ∴ ＝ ， 44t2﹣388t+803＝0， （2t﹣11）（22t﹣73）＝0， 解得：t1＝5.5（舍），t2＝ ； 综上，存在点 P，使得△PBQ 中有某个角的度数等于∠OAB 度数的 2 倍时， 其 P 点的横坐标为 3 或 ． 11．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣ 过点 A（﹣ ，0）和点 B（ ，2），连结 AB 交 y 轴于点 C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 P 在线段 AB 下方的抛物线上运动，连结 AP，BP．设点 P 的横坐标 为 m，△ABP 的面积为 s． ①求 s 与 m 的函数关系式； ②当 s 取最大值时，抛物线上是否存在点 Q，使得 S△ACQ＝s．若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）将点 A（﹣ ，0）和点 B（ ，2）代入 y＝ax2+bx﹣ ， 得， ， 解得， ， ∴抛物线的函数解析式为 y＝ x2+ x﹣ ； （2）①设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b， 将点 A（﹣ ，0），B（ ，2）代入， 得， ， 解得，k＝ ，b＝1， ∴直线 AB 的解析式为 y＝ x+1， 如图 1，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 M， 设 P（m， m2+ m﹣ ），则 M（m， m+1）， ∴PM＝ m+1﹣（ m2+ m﹣ ）＝﹣ m2+ ， ∴s＝ PM（xB﹣xA） ＝ ×（﹣ m2+ ）×（ + ） ＝﹣ m2+ ， ∴s 与 m 的函数关系式为 s＝﹣ m2+ ； ②在 s＝﹣ m2+ 中， 当 m＝0 时，s 取最大值 ， ∴P（0，﹣ ）， ∴CP＝ ， ∵S△ACQ＝S△ABP， ∴S△AQB＝2S△ABP， ∴可使直线 AB 向上平移 3 个单位长度，得直线 y＝ x+4， 联立 ， 解得，x1＝3，x2＝﹣3， ∴Q 点坐标为（3，4+ ），（﹣3，4﹣ ）． 12．某班“数学兴趣小组”对函数 y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究 过程如下，请补充完整． （1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：其中， m＝ 0 ． x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …… （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图 象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象，写出一条函数的性质： 图象关于 y 轴对称（答案不唯 一） ； （4）观察函数图象发现：若关于 x 的方程 x2﹣2|x|＝a 有 4 个实数根，则 a 的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ． 解：（1）当 x＝﹣2 时，y＝4﹣2×2＝0； 故答案为：0． （2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于 y 轴对称，②当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，③函数有最小值﹣1． 故答案为：图象关于 y 轴对称（答案不唯一）； （4）由函数图象知：∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|＝a 有 4 个实数根， ∴a 的取值范围是﹣1＜a＜ 0， 故答案为：﹣1＜a＜0． 13．如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是对称轴上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，直接写出点 P 的坐标和周长最小值； （3）为抛物线上一点，若 S△QAB＝8，求出此时点 Q 的坐标． 解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接 BC 交抛物线的对称轴与点 P． ∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵点 A 与点 B 关于 x＝ ＝1 对称， ∴PA＝PB． ∴AP+PC＝CP+PB． ∴当点 P、C、B 在一条直线上时，AP+PC 有最小值． 又∵BC 为定值， ∴当点 P、C、B 在一条直线上时，△APC 的周长最小． ∵BC＝ ＝3 ，AC＝ ＝ ， ∴△PAC 的周长最小值为：AC+BC＝ +3 ， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b，则 ， 解得：k＝1，b＝﹣3． ∴直线 AD 的解析式为 y＝x﹣3． 将 x＝1 代入 y＝x﹣3 得：y＝﹣2， ∴点 P 的坐标为（1，﹣2）， 即当点 P 的坐标为（1，﹣2）时，△PAC 的周长最小．最小值为 +3 ； （3）设 Q（x，y），则 S△QAB＝ AB•|y|＝2|y|＝8， ∴|y|＝4， ∴y＝±4． ①当 y＝4 时，x2﹣2x﹣3＝4，解得：x1＝1﹣2 ，x2＝1+2 ， 此时 Q 点坐标为（1﹣2 ，4）或（1+2 ，4）； ②当 y＝﹣4 时，x2﹣2x﹣3＝﹣4，解得 x3＝x4＝1； 此时 Q 点的坐标为（1，﹣4）； 综上所述，Q 点坐标为（1﹣2 ，4）或（1+2 ，4）或（1，﹣4）． 14．如图，直线 y＝﹣x+5 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与直线 y＝﹣x+5 交于 B，D 两点，点 C 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是直线 BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线，交直线 BD 于点 P，当线段 PM 的长度最大时，求 m 的值及 PM 的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使△BDQ 中 BD 边上的高为 3 ，若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由． 解：（1）y＝﹣x+5，令 x＝0，则 y＝5，令 y＝0，则 x＝5， 故点 B、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5）， 则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点 B 坐标代入上式并解得：b＝4， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）设 M 点横坐标为 m（m＞0），则 P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5）， ∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣ ）2+ ， ∴当 m＝ 时，PM 有最大值 ； （3）如图，过 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QH⊥BD 于 H， 设 Q（x，﹣x2+4x+5），则 G（x，﹣x+5）， ∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|， ∵△BOD 是等腰直角三角形， ∴∠DBO＝45°， ∴∠HGQ＝∠BGE＝45°， 当△BDQ 中 BD 边上的高为 3 时，即 QH＝HG＝3 ， ∴QG＝ ×3 ＝6， ∴|﹣x2+5x|＝6， 当﹣x2+5x＝6 时，解得 x＝2 或 x＝3， ∴Q（2，9）或（3，8）， 当﹣x2+5x＝﹣6 时，解得 x＝﹣1 或 x＝6， ∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7）， 综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为 Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1， 0），Q4（4，﹣5）． 15．如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+ 的图象与 x 轴交 于 B（﹣1，0）、C（3，0）两点，点 A 为抛物线的顶点，F 为线段 AC 中点． （1）求 a，b 的值； （2）求证：BF⊥AC． （3）以抛物线的顶点 A 为圆心，AF 为半径作⊙A 点 E 是圆上一动点，点 P 为 EC 的中点（如图 2） ①当△ACE 面积最大时，求 PB 的长度； ②若点 M 为 BP 的中点，求点 M 运动的路径长． 解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 即﹣3a＝ ，解得：a＝﹣ ， 抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+ ， 故 b＝ ； （2）点 A 的坐标为：（1，2 ）， 则 AB＝AB＝BC＝4，点 F 是 AC 的中点，AF＝ AC ＝2， ∴BF⊥AC； （3）点 C（3，0），点 B（﹣1，0）， 设点 E（m，n）， 由 AE＝2，根据两点间距离公式得：（m﹣1）2+（n﹣2 ）2＝4…①， 则点 P（ ， ），点 M（ ， ）， 设：x＝ ，y＝ ，则 m＝4x﹣1，n＝4y，即点 M（x，y）， 将 m、n 的值代入①式得：（4x﹣1）2+（4y﹣2 ）2＝4， 整理得：（x﹣ ）2+（y﹣ ）2＝ ， 即点 M 到定点（ ， ）的距离等于定值 ， 故点 M 运动的轨迹为半径为 的圆， 则点 M 运动的路径长为（ ）2π＝ ．