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  • 2021-11-10 发布

中考数学总复习二次函数压轴题专题练习(pdf,含解析)

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2020 年中考数学总复习二次函数压轴题专题练习 1.如图,顶点为 P(2,﹣4)的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点,点 A (m,n)在该函数图象上,连接 AP、OP. (1)求二次函数 y=ax2+bx+c 的表达式; (2)若∠APO=90°,求点 A 的坐标; (3)若点 A 关于抛物线的对称轴的对称点为 C,点 A 关于 y 轴的对称点为 D,设抛物线与 x 轴的另一交点为 B,请解答下列问题: ①当 m≠4 时,试判断四边形 OBCD 的形状并说明理由; ②当 n<0 时,若四边形 OBCD 的面积为 12,求点 A 的坐标. 解:(1)∵图象经过原点, ∴c=0, ∵顶点为 P(2,﹣4) ∴抛物线与 x 轴另一个交点(4,0), 将(2,﹣4)和(4,0)代入 y=ax2+bx, ∴a=1,b=﹣4, ∴二次函数的解析式为 y=x2﹣4x; (2)∵∠APO=90°, ∴AP⊥PO, ∵A(m,m2﹣4m), ∴m﹣2= , ∴m= , ∴A( ,﹣ ); (3)①由已知可得 C(4﹣m,n),D(﹣m,n),B(4,0), ∴CD∥OB, ∵CD=4,OB=4, ∴四边形 OBCD 是平行四边形; ②∵四边形 OBCD 是平行四边形,n<0, ∴12=4×(﹣n), ∴n=﹣3, ∴A(1,﹣3)或 A(3,3). 2.在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2+kx+c 的图象经过点 C(0,1), 当 x=2 时,函数有最小值. (1)求抛物线的解析式; (2)直线 l⊥y 轴,垂足坐标为(0,﹣1),抛物线的对称轴与直线 l 交于点 A.在 x 轴上有一点 B,且 AB= ,试在直线 l 上求异于点 A 的一点 Q,使点 Q 在 △ABC 的外接圆上; (3)点 P(a,b)为抛物线上一动点,点 M 为坐标系中一定点,若点 P 到 直线 l 的距离始终等于线段 PM 的长,求定点 M 的坐标. 解:(1)∵图象经过点 C(0,1), ∴c=1, ∵对称轴 x=2, ∴k=﹣1, ∴抛物线解析式为 y= x2﹣x+1; (2)由题意可知 A(2,﹣1),设 B(t,0), ∵AB= , ∴(t﹣2)2+1=2, ∴t=1 或 t=3, ∴B(1,0)或 B(3,0), ∵B(1,0)时,A、B、C 三点共线,舍去, ∴B(3,0), ∴AC=2 ,BC= , ∴∠BAC=90°, ∴△ABC 为直角三角形,BC 为外接圆的直径,外接圆的圆心为 BC 的中点( , ),半径为 , 设 Q(x,﹣1),则有(x﹣ )2+( +1)2=( )2, ∴x=1 或 x=2(舍去), ∴Q(1,﹣1); (3)设顶点 M(m,n),∵P(a,b)为抛物线上一动点, ∴b= a2﹣a+1, ∵P 到直线 l 的距离等于 PM, ∴(m﹣a)2+(n﹣b)2=(b+1)2, ∴ +(2n﹣2m+2)a+(m2+n2﹣2n﹣3)=0, ∵a 为任意值上述等式均成立, ∴ , ∴ , 此时 m2+n2﹣2n﹣3=0, ∴定点 M(2,1). 3.如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两 点,与 y 轴交于点 C,已知 BC=2 ,tan∠OBC= . (1)求拋物线的解析式; (2)如图 2,若点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点,过点 P 作 y 轴的平 行线交直线 BC 于点 D,作 PE⊥BC 于点 E,当点 P 的横坐标为 2 时,求△PDE 的面积; (3)若点 M 为抛物线上的一个动点,以点 M 为圆心, 为半径作⊙M,当 ⊙M 在运动过程中与直线 BC 相切时,求点 M 的坐标(请直接写出答案). 解:(1)∵BC=2 ,tan∠OBC= , ∴OB=4,OC=2, ∴点 B 为(4,0),点 C 为(0,2)代入 y=﹣ x2+bx+c 中, ∴c=2,b= , ∴y=﹣ x2+ x+2; (2)当 x=2 时,y=3, ∴P(2,3), ∵B(4,0),C(0,2), ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+2, ∵PD 平行于 y 轴, ∴D(2,1), ∴PD=2, ∵PD 平行于 y 轴, ∴∠PDE=∠OCB, ∵PE⊥BC, ∴∠PED=∠COB=90°, ∴△PDE∽△BCO, ∴△PDE 与△BCO 的面积之比是对应边 PD 与 BC 的平方, ∵△BCO 的面积为 4, ∴△PED 的面积是 4× = ; (3)过点 M 作 MG⊥BC 于点 G,过点 M 作 MH∥AB 于点 H, ∴△MGH∽△COB, ∴ = , ∵⊙M 与直线 BC 相切, ∴MG= , ∴MH=5, 设点 M(x,﹣ x2+ x+2), 如图 1,设 H(x+5,﹣ x2+ x+2)代入 y=﹣ x+2, ∴x=﹣1 或 x=5, ∴M(﹣1,0)或 M(5,﹣3); 如图 2,点 H(x﹣5, x2+ x+2)代入 y=﹣ x+2, ∴方程无解, 综上所述:M(﹣1,0)或 M(5,﹣3). 4.如图,抛物线 y=ax2+(4a﹣1)x﹣4 与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C, 且 OC=2OB,点 D 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合),过点 D 作矩形 DEFH,点 H、F 在抛物线上,点 E 在 x 轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)当矩形 DEFH 的周长最大时,求矩形 DEFH 的面积; (3)在(2)的条件下,矩形 DEFH 不动,将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个 单位,抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N,连接 M、N.若 MN 恰好平分 矩形 DEFH 的面积,求 m 的值. 解:(1)在抛物线 y=ax2+(4a﹣1)x﹣4 中, 当 x=0 时,y=﹣4, ∴C(0,﹣4), ∴OC=4, ∵OC=2OB, ∴OB=2, ∴B(2,0), 将 B(2,0)代入 y=ax2+(4a﹣1)x﹣4, 得,a= , ∴抛物线的解析式为 y= x2+x﹣4; (2)设点 D 坐标为(x,0), ∵四边形 DEFH 为矩形, ∴H(x, x2+x﹣4), ∵y= x2+x﹣4= (x+1)2﹣ , ∴抛物线对称轴为 x=﹣1, ∴点 H 到对称轴的距离为 x+1, 由对称性可知 DE=FH=2x+2, ∴矩形 DEFH 的周长 C=2(2x+2)+2(﹣ x2﹣x+4)=﹣x2+2x+12=﹣(x ﹣1)2+13, ∴当 x=1 时,矩形 DEFH 周长取最大值 13, ∴此时 H(1,﹣ ), ∴HF=2x+2=4,DH= , ∴S 矩形 DEFH=HF•DH=4× =10; (3)如图,连接 BH,EH,DF,设 EH 与 DF 交于点 G, 过点 G 作 BH 的平行线,交 ED 于 M,交 HF 于点 N,则直线 MN 将矩形 DEFH 的面积分成相等的两半, 由(2)知,抛物线对称轴为 x=﹣1,H(1,﹣ ), ∴G(﹣1,﹣ ), 设直线 BH 的解析式为 y=kx+b, 将点 B(2,0),H(1,﹣ )代入, 得, , 解得, , ∴直线 BH 的解析式为 y= x﹣5, ∴可设直线 MN 的解析式为 y= x+n, 将点(﹣1,﹣ )代入,得 n= , ∴直线 MN 的解析式为 y= x+ , 当 y=0 时,x=﹣ , ∴M(﹣ ,0), ∵B(2,0), ∴将抛物线沿着 x 轴向左平移 个单位,抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、 N,连接 M、N,则 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积, ∴m 的值为 . 5.如图 1,在平面直角坐标系中,已知直线 l1:y=﹣x+6 与直线 l2 相交于点 A, 与 x 轴相交于点 B,与 y 轴相交于点 C,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过 点 O、点 A 和点 B,已知点 A 到 x 轴的距离等于 2. (1)求抛物线的解析式; (2)点 H 为直线 l2 上方抛物线上一动点,当点 H 到 l2 的距离最大时,求点 H 的坐标; (3)如图 2,P 为射线 OA 的一个动点,点 P 从点 O 出发,沿着 OA 方向以 每秒 个单位长度的速度移动,以 OP 为边在 OA 的上方作正方形 OPMN, 设正方形 POMN 与△OAC 重叠的面积为 S,设移动时间为 t 秒,直接写出 S 与 t 之间的函数关系式. 解:(1)∵点 A 到 x 轴的距离等于 2, ∴点 A 的纵坐标为 2, ∴2=﹣x+6, ∴x=4, ∴A(4,2), 当 y=0 时,﹣x+6=0, ∴x=6, ∴B(6,0), 把 A(4,2),B(6,0),O(0,0)代入 y=ax2+bx+c 得 , 解得: , ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x; (2)设直线 l2 的解析式为 y=kx, ∴2=4k, ∴k= , ∴直线 l2 的解析式为 y= x, 设点 H 的坐标为(m,﹣ m2+ m), 如图 1,过 H 作 HG∥y 轴交直线 l2 于 G, ∴G(m, m), ∴HG=﹣ m2+ m﹣ m=﹣ m2+m=﹣ (m﹣2)+1, 当 m=2 时,HG 有最大值, ∴点 H 的坐标为(2,2); (3)当 0<t 时,如图 2,过 A 作 AE⊥OB 于 E, ∴OA= =2 ,tan∠AOE= , ∵∠NOP=∠BOC=90°, ∴∠HON=∠AOE, ∴tan∠NOH=tan∠AOE= = , ∵OP=ON=NM=PM= t, ∴NH=NM= t, S= ×( t+ t) t= t2; 当 <t≤2 时,过点 P 作 PH⊥x 轴, ∵∠POH=∠QON,OP= t, ∴OP=ON=NM=PM= t, ∴NQ= t, 可求 P(2t,t), 直线 MP 的解析式为 y=﹣2x+5t ∴G(5t﹣6,﹣5t+12), ∴GP=3 (2﹣t),AP=2 ﹣ t, ∴MG=6 ﹣3 t, ∵∠MGK=∠AGP, ∴△GPA∽△GKM, ∴MK= t﹣2 , ∴S= ﹣ × t× t﹣ ×( t﹣2 )×(6 ﹣3 t)=﹣ t2+40t﹣30; 当 2<t≤ 时,可求 N(﹣t,2t), 则直线 MN 的解析式为 y= x+ t, ∴K(4﹣ t, t+2), ∵NQ= t, ∴Q(0, t), ∴MK= t﹣2 , ∴S= ﹣﹣ × t× t﹣ ×( t﹣2 + t﹣2 )× t= ﹣ t2+10t; 当 t> 时,S=S△OAC= ×4×6=12; 6.如图 1,小明用一张边长为 6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒, 从四个角各剪去一个边长为 xcm 的正方形,再折成如图 2 所示的无盖纸盒, 记它的容积为 ycm. (1)y 关于 x 的函数表达式是 y=4x3﹣24x2+36x ,自变量 x 的取值范围 是 0<x<3 ; (2)为探究 y 随 x 的变化规律,小明类比二次函数进行了如下探究: ①列表:请你补充表格中的数据: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 16 13.5 8 2.5 0 ②描点:把上表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中(如图 3) 描出相应的点; ③连线:用光滑的曲线顺次连结各点. (3)利用函数图象解决:若该纸盒的容积超过 12cm3,估计正方形边长 x 的 取值范围.(保留一位小数) 解:(1)y=x(6﹣2x)2 =4x3﹣24x2+36x(0<x<3), 故答案为:y=4x3﹣24x2+36x,0<x<3; (2)①在 y=4x3﹣24x2+36x 中, 当 x=1 时,y=16;当 x=2 时,y=8, 故答案为:16,8; ②如图 1 所示, ③如图 2 所示, (3)由函数图象可以看出,若该纸盒的容积超过 12cm3,正方形边长 x 的取 值范围大概为 0.4≤x≤1.7. 7.定义:若函数 y=x2+bx+c(c≠0)与 x 轴的交点 A,B 的横坐标为 xA,xB, 与 y 轴交点的纵坐标为 yC,若 xA,xB 中至少存在一个值,满足 xA=yC(或 xB=yC),则称该函数为友好函数.如图,函数 y=x2+2x﹣3 与 x 轴的一个交 点 A 的横坐标为 3,与 y 轴交点 C 的纵坐标为﹣3,满足 xA=yC,称 y=x2+2x ﹣3 为友好函数. (1)判断 y=x2﹣4x+3 是否为友好函数,并说明理由; (2)请探究友好函数 y=x2+bx+c 表达式中的 b 与 c 之间的关系; (3)若 y=x2+bx+c 是友好函数,且∠ACB 为锐角,求 c 的取值范围. 解:(1)y=x2﹣4x+3 是友好函数,理由如下: 当 x=0 时,y=3;当 y=0 时,x=1 或 3, ∴y=x2﹣4x+3 与 x 轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是 3, ∴y=x2﹣4x+3 是友好函数; (2)当 x=0 时,y=c,即与 y 轴交点的纵坐标为 c, ∵y=x2+bx+c 是友好函数, ∴x=c 时,y=0,即(c,0)在 y=x2+bx+c 上, 代入得:0=c2+bc+c, ∴0=c(c+b+1), 而 c≠0, ∴b+c=﹣1; (3)①如图 1,当 C 在 y 轴负半轴上时, 由(2)可得:c=﹣b﹣1,即 y=x2+bx﹣b﹣1, 显然当 x=1 时,y=0, 即与 x 轴的一个交点为(1,0), 则∠ACO=45°, ∴只需满足∠BCO<45°,即 BO<CO ∴c<﹣1; ②如图 2,当 C 在 y 轴正半轴上,且 A 与 B 不重合时, ∴显然都满足∠ACB 为锐角, ∴c>0,且 c≠1; ③当 C 与原点重合时,不符合题意, 综上所述,c<﹣1 或 c>0,且 c≠1. 8.已知:抛物线 y=ax2﹣3(a﹣1)x+2a﹣6(a>0). (1)求证:抛物线与 x 轴有两个交点. (2)设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1,x2(其中 x1>x2).若 t 是关于 a 的函数、且 t=ax2﹣x1,求这个函数的表达式; (3)若 a=1,将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B.平移后如 图所示,过 A 作直线 AC,分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C,且 OP =1.M 是线段 AC 上一动点,求 2MB+MC 的最小值. (1)证明:△=b2﹣4ab=[﹣3(a﹣1)]2﹣4a(2a﹣6)=a2+6a+9=(a+3) 2, ∵a>0, ∴(a+3)2>0, ∴抛物线与 x 轴有两个交点; (2)解:令 y=0,则 ax2﹣3(a﹣1)x+2a﹣6=0, ∴ 或 , ∵a>0, ∴ 且 x1>x2, ∴x1=2, , ∴ , ∴t=a﹣5; (3)解:当 a=1 时,则 y=x2﹣4, 向上平移一个单位得 y=x2﹣3, 令 y=0,则 x2﹣3=0, 得 , ∴ , , ∵OP=1, ∴直线 , 联立: , 解得, , , 即 , , ∴AO= , 在 Rt△AOP 中, AP= =2, 过 C 作 CN⊥y 轴,过 M 作 MG⊥CN 于 G,过 C 作 CH⊥x 轴于 H, ∵CN∥x 轴, ∴∠GCM=∠PAO, 又∵∠AOP=∠CGM=90°, ∴△AOP∽△CGM, ∴ = = , ∴ , ∵B 到 CN 最小距离为 CH, ∴MB+GM 的最小值为 CH 的长度 , ∴2MB+MC 的最小值为 . 9.如图,抛物线 y1=ax2+c 的顶点为 M,且抛物线与直线 y2=kx+1 相交于 A、 B 两点,且点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(2,3),连结 AM、BM. (1)a= 1 ,c= ﹣1 ,k= 1 (直接写出结果); (2)当 y1<y2 时,则 x 的取值范围为 ﹣1<x<2 (直接写出结果); (3)在直线 AB 下方的抛物线上是否存在一点 P,使得△ABP 的面积最大? 若存在,求出△ABP 的最大面积及点 P 坐标. 解:(1)将点 B 的坐标(2,3)代入 y2=kx+1 得: 3=2k+1 解得:k=1 ∴y2=x+1 令 y2=0 得:0=x+1 解得:x=﹣1 ∴A(﹣1,0) 将 A(﹣1,0)、B(2,3)代入 y1=ax2+c 得: 解得:a=1,c=﹣1 故答案为:1,﹣1,1; (2)∵A(﹣1,0)、B(2,3) ∴结合图象可得:当 y1<y2 时,则 x 的取值范围为﹣1<x<2 故答案为:﹣1<x<2; (3)在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P,使得△ABP 的面积最大. 如图,设平行于直线 y2=x+1 的直线解析式为:y3=x+b 由 得:x2﹣1=x+b ∴x2﹣x﹣1﹣b=0 令△=0 得:1﹣4(﹣1﹣b)=0 解得:b=﹣ ∴y3=x﹣ , ∴x2﹣x﹣1+ =0 解得:x1=x2= ∴P( ,﹣ ) ∴当点 P 坐标为( ,﹣ )时,△ABP 的面积最大 设 y3=x﹣ 与 x 轴交于点 C,则点 C 坐标为:( ,0),过点 C 作 CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等,可知线段 CD 的长度即为△ABP 的高的长度 ∵y2=x+1 与 x 轴所成锐角为 45° ∴△ACD 为等腰直角三角形 ∵AC= ﹣(﹣1)= ∴CD= = = ∵A(﹣1,0)、B(2,3) ∴AB= = ∴△ABP 的面积为: × × = ∴在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P,使得△ABP 的面积最大;△ABP 的最大面积为 ;点 P 坐标为( ,﹣ ). 10.如图,在平面直角坐标系 中,一次函数 y= x﹣2 的图象分别交 x、y 轴于 点 A、B,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A、B,点 P 为第四象限内抛物线上的 一个动点. (1)求此抛物线对应的函数表达式; (2)如图 1 所示,过点 P 作 PM∥y 轴,分别交直线 AB、x 轴于点 C、D, 若以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似,求 点 P 的坐标; (3)如图 2 所示,过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q,连接 PB,当△PBQ 中有某个 角的度数等于∠OAB 度数的 2 倍时,请直接写出点 P 的横坐标. 解:(1)令 x=0,得 y= x﹣2=﹣2,则 B(0,﹣2), 令 y=0,得 0= x﹣2,解得 x=4,则 A(4,0), 把 A(4,0),B(0,﹣2)代入 y=x2+bx+c(a≠0)中,得: , 解得: , ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣ x﹣2; (2)∵PM∥y 轴, ∴∠ADC=90°, ∵∠ACD=∠BCP, ∴以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似,存 在两种情况: ①当∠CBP=90°时,如图 1,过 P 作 PN⊥y 轴于 N, 设 P(x,x2﹣ x﹣2),则 C(x, x﹣2), ∵∠ABO+∠PBN=∠ABO+∠OAB=90°, ∴∠PBN=∠OAB, ∵∠AOB=∠BNP=90°, ∴△AOB∽△BNP, ∴ ,即 = , 解得:x1=0(舍),x2= , ∴P( ,﹣5); ②当∠CPB=90°时,如图 2,则 B 和 P 是对称点, 当 y=﹣2 时,x2﹣ x﹣2=﹣2, x1=0(舍),x2= , ∴P( ,﹣2); 综上,点 P 的坐标是( ,﹣5)或( ,﹣2); (3)∵OA=4,OB=2,∠AOB=90°, ∴∠BOA≠45°, ∴∠BQP≠2∠BOA, ∴分两种情况: ①当∠PBQ=2∠OAB 时,如图 3,取 AB 的中点 E,连接 OE,过 P 作 PG⊥ x 轴于 G,交直线 AB 于 H, ∴OE=AE, ∴∠OAB=∠AOE, ∴∠OEB=2∠OAB=∠PBQ, ∵OB∥PG, ∴∠OBE=∠PHB, ∴△BOE∽△HPB, ∴ , 由勾股定理得:AB= =2 , ∴BE= , ∵GH∥OB, ∴ ,即 , ∴BH= x, 设 P(x,x2﹣ x﹣2),则 H(x, x﹣2), ∴PH= x﹣2﹣(x2﹣ x﹣2)=﹣x2+4x, ∴ , 解得:x1=0,x2=3, ∴点 P 的横坐标是 3; ②当∠BPQ=2∠OAB 时,如图 4,取 AB 的 中点 E,连接 OE,过 P 作 PG ⊥x 轴于 G,交直线 AB 于 H,过 O 作 OF⊥AB 于 F,连接 AP,则∠BPQ= ∠OEF, 设点 P(t,t2﹣ t﹣2),则 H(t, t﹣2), ∴PH= t﹣2﹣(t2﹣ t﹣2)=﹣t2+4t, ∵OB=4,OC=2, ∴BC=2 , ∴OE=BE=CE= ,OF= = = , ∴EF= = = , S△ABP= = , ∴2 PQ=4(﹣t2+4t), PQ= , ∵∠OFE=∠PQB=90°, ∴△PBQ∽△EOF, ∴ ,即 , ∴BQ= , ∵BQ2+PQ2=PB2, ∴ = , 44t2﹣388t+803=0, (2t﹣11)(22t﹣73)=0, 解得:t1=5.5(舍),t2= ; 综上,存在点 P,使得△PBQ 中有某个角的度数等于∠OAB 度数的 2 倍时, 其 P 点的横坐标为 3 或 . 11.如图,抛物线 y=ax2+bx﹣ 过点 A(﹣ ,0)和点 B( ,2),连结 AB 交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的函数解析式; (2)点 P 在线段 AB 下方的抛物线上运动,连结 AP,BP.设点 P 的横坐标 为 m,△ABP 的面积为 s. ①求 s 与 m 的函数关系式; ②当 s 取最大值时,抛物线上是否存在点 Q,使得 S△ACQ=s.若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)将点 A(﹣ ,0)和点 B( ,2)代入 y=ax2+bx﹣ , 得, , 解得, , ∴抛物线的函数解析式为 y= x2+ x﹣ ; (2)①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, 将点 A(﹣ ,0),B( ,2)代入, 得, , 解得,k= ,b=1, ∴直线 AB 的解析式为 y= x+1, 如图 1,过点 P 作 x 轴的垂线,交 AB 于点 M, 设 P(m, m2+ m﹣ ),则 M(m, m+1), ∴PM= m+1﹣( m2+ m﹣ )=﹣ m2+ , ∴s= PM(xB﹣xA) = ×(﹣ m2+ )×( + ) =﹣ m2+ , ∴s 与 m 的函数关系式为 s=﹣ m2+ ; ②在 s=﹣ m2+ 中, 当 m=0 时,s 取最大值 , ∴P(0,﹣ ), ∴CP= , ∵S△ACQ=S△ABP, ∴S△AQB=2S△ABP, ∴可使直线 AB 向上平移 3 个单位长度,得直线 y= x+4, 联立 , 解得,x1=3,x2=﹣3, ∴Q 点坐标为(3,4+ ),(﹣3,4﹣ ). 12.某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究 过程如下,请补充完整. (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值列表如下:其中, m= 0 . x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …… (2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,已画出了函数图 象的一部分,请画出该函数图象的另一部分; (3)观察函数图象,写出一条函数的性质: 图象关于 y 轴对称(答案不唯 一) ; (4)观察函数图象发现:若关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根,则 a 的取值范围是 ﹣1<a<0 . 解:(1)当 x=﹣2 时,y=4﹣2×2=0; 故答案为:0. (2)根据给定的表格中数据描点画出图形,如图所示. (3)观察函数图象,可得出:①函数图象关于 y 轴对称,②当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,③函数有最小值﹣1. 故答案为:图象关于 y 轴对称(答案不唯一); (4)由函数图象知:∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根, ∴a 的取值范围是﹣1<a< 0, 故答案为:﹣1<a<0. 13.如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是对称轴上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,直接写出点 P 的坐标和周长最小值; (3)为抛物线上一点,若 S△QAB=8,求出此时点 Q 的坐标. 解:(1)∵抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(﹣1,0)、B(3,0)两点, ∴ , 解得 , ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3; (2)连接 BC 交抛物线的对称轴与点 P. ∵y=x2﹣2x﹣3, ∴C(0,﹣3), ∵点 A 与点 B 关于 x= =1 对称, ∴PA=PB. ∴AP+PC=CP+PB. ∴当点 P、C、B 在一条直线上时,AP+PC 有最小值. 又∵BC 为定值, ∴当点 P、C、B 在一条直线上时,△APC 的周长最小. ∵BC= =3 ,AC= = , ∴△PAC 的周长最小值为:AC+BC= +3 , 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,则 , 解得:k=1,b=﹣3. ∴直线 AD 的解析式为 y=x﹣3. 将 x=1 代入 y=x﹣3 得:y=﹣2, ∴点 P 的坐标为(1,﹣2), 即当点 P 的坐标为(1,﹣2)时,△PAC 的周长最小.最小值为 +3 ; (3)设 Q(x,y),则 S△QAB= AB•|y|=2|y|=8, ∴|y|=4, ∴y=±4. ①当 y=4 时,x2﹣2x﹣3=4,解得:x1=1﹣2 ,x2=1+2 , 此时 Q 点坐标为(1﹣2 ,4)或(1+2 ,4); ②当 y=﹣4 时,x2﹣2x﹣3=﹣4,解得 x3=x4=1; 此时 Q 点的坐标为(1,﹣4); 综上所述,Q 点坐标为(1﹣2 ,4)或(1+2 ,4)或(1,﹣4). 14.如图,直线 y=﹣x+5 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 D,抛物线 y=﹣x2+bx+c 与直线 y=﹣x+5 交于 B,D 两点,点 C 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是直线 BD 上方抛物线上的一个动点,其横坐标为 m,过点 M 作 x 轴的垂线,交直线 BD 于点 P,当线段 PM 的长度最大时,求 m 的值及 PM 的最大值; (3)在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q,使△BDQ 中 BD 边上的高为 3 ,若存在求出点 Q 的坐标;若不存在请说明理由. 解:(1)y=﹣x+5,令 x=0,则 y=5,令 y=0,则 x=5, 故点 B、D 的坐标分别为(5,0)、(0,5), 则二次函数表达式为:y=﹣x2+bx+5,将点 B 坐标代入上式并解得:b=4, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5; (2)设 M 点横坐标为 m(m>0),则 P(m,﹣m+5),M(m,﹣m2+4m+5), ∴PM=﹣m2+4m+5﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m﹣ )2+ , ∴当 m= 时,PM 有最大值 ; (3)如图,过 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G,交 x 轴于点 E,作 QH⊥BD 于 H, 设 Q(x,﹣x2+4x+5),则 G(x,﹣x+5), ∴QG=|﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)|=|﹣x2+5x|, ∵△BOD 是等腰直角三角形, ∴∠DBO=45°, ∴∠HGQ=∠BGE=45°, 当△BDQ 中 BD 边上的高为 3 时,即 QH=HG=3 , ∴QG= ×3 =6, ∴|﹣x2+5x|=6, 当﹣x2+5x=6 时,解得 x=2 或 x=3, ∴Q(2,9)或(3,8), 当﹣x2+5x=﹣6 时,解得 x=﹣1 或 x=6, ∴Q(﹣1,0)或(6,﹣7), 综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为 Q1(2,9),Q2(3,8),Q3(﹣1, 0),Q4(4,﹣5). 15.如图 1,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+ 的图象与 x 轴交 于 B(﹣1,0)、C(3,0)两点,点 A 为抛物线的顶点,F 为线段 AC 中点. (1)求 a,b 的值; (2)求证:BF⊥AC. (3)以抛物线的顶点 A 为圆心,AF 为半径作⊙A 点 E 是圆上一动点,点 P 为 EC 的中点(如图 2) ①当△ACE 面积最大时,求 PB 的长度; ②若点 M 为 BP 的中点,求点 M 运动的路径长. 解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3), 即﹣3a= ,解得:a=﹣ , 抛物线的表达式为:y=﹣ x2+ x+ , 故 b= ; (2)点 A 的坐标为:(1,2 ), 则 AB=AB=BC=4,点 F 是 AC 的中点,AF= AC =2, ∴BF⊥AC; (3)点 C(3,0),点 B(﹣1,0), 设点 E(m,n), 由 AE=2,根据两点间距离公式得:(m﹣1)2+(n﹣2 )2=4…①, 则点 P( , ),点 M( , ), 设:x= ,y= ,则 m=4x﹣1,n=4y,即点 M(x,y), 将 m、n 的值代入①式得:(4x﹣1)2+(4y﹣2 )2=4, 整理得:(x﹣ )2+(y﹣ )2= , 即点 M 到定点( , )的距离等于定值 , 故点 M 运动的轨迹为半径为 的圆, 则点 M 运动的路径长为( )2π= .