中考数学解题指导专题5：方程（组）应用探讨 62页

1 【2013 年中考攻略】专题 5：方程（组）应用探讨 初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同 题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无 理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）。 它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为： ①审（审题）； ②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）； ③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程（组））； ⑥解（解方程（组））； ⑦验（检验解的有效性和实际意义的符合性）； ⑧答（回答题问）。 它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润 和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题； （10）分段问题；（11）规律探究问题；（12）不定方程问题；（13）在函数问题中的应用问题。下面 通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、行程问题 解题指导： （1）基本量是：路程、速度和时间。 基本关系是：①路程= 速度×时间；②时间= 路程 速度 ；③速度= 路程 时间 。 （2）基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题等。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃 而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问 题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。 行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化： ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系： 2 顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。 典型例题： 例 1.（2012 宁夏区 3 分）小颖家离学校 1200 米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了 16 分钟.假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/时，下坡路的平均速度是 5 千米/时.若设小颖上坡用了 x 分 钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为【 】 A． 3x 5y 1200 x y 16    B． 35x y 1.260 60 x y 16     C． 3x 5y 1.2 x y 16    D． 35x y 120060 60 x y 16     【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为： 上坡用的时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡速度=1200， 上坡用的时间＋下坡用的时间=16。 把相关数值代入（注意单位的通一），得 35x y 1.260 60 x y 16     。故选 B。 例 2.（2012 浙江台州 4 分）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租 车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 1 4 ，设公共汽车的平均速度为 x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】方程的应用（行程问题）。 【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车 的平均速度为 x 千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时得出租车的平均速度为 x＋20 千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了 1 4 ，即 回来时路上所花时间是去时路上所花时间的 3 4 40 x+20 = 40 x · 故选 A。 例 3.（2012 四川内江 3 分）甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多 3 行驶 15 千米，设甲车的速度为 x 千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】 A. 30 40 15xx  B. 30 40 15xx C. 30 40 15xx  D. 30 40 15xx 【答案】C。 【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）。 【分析】∵甲车的速度为 x 千米/小时，则乙甲车的速度为 15x  千米/小时 ∴甲车行驶 30 千米的时间为 30 x ，乙车行驶 40 千米的时间为 40 15x  ， ∴根据甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同得 30 40 15xx  。故选 C。 例 5. （2012 江苏宿迁 10 分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以 60km/h 的速度走平路，后 又以 30km/h 的速度爬坡，共用了 6.5h；原路返回时，汽车以 40km/h 的速度下坡，又以 50km/h 的速度走 平路，共用了 6 h。问平路和坡路各有多远？ 【答案】解：设平路有 x km ，坡路有 y km，根据题意，得 xy+ =6.560 30 xy+ =650 40     ，解得 x=150 y=120    。 答：平路有 150 km ，坡路有 120 km。 4 【考点】二元一次方程组的应用（行程问题）。 【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： （1）以 60km/h 的速度走平路的时间＋以 30km/h 的速度爬坡的时间=6.5 h； （2）以 40km/h 的速度下坡的时间＋以 50km/h 的速度走平路的时间=6 h。 例 6. （2012 辽宁丹东 10 分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小 时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的 1.5 倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地与灾区的 距离为 90 千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？ 【答案】解：设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时． 根据题意，得： 90 90 1=x 1.5x 2 ，解这个方程，得 x=60 。 经检验，x=60 是所列方程的根。 1.5x=1.5×60=90。 答：第一队的平均速度是 60 千米/时，第二队的平均速度是 90 千米/时。 【考点】分式方程的应用。 【分析】设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时．根据半小时后，第二队 前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是 1 2 小时，即可列方程求解。 练习题： 1. （2012 辽宁本溪 3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公 交车上学所需的时间少用了 15 分钟，现已知小林家距学校 8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速 度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程为【 】 A、 88+15=x 2.5x B、 88= +15x 2.5x C、 8 1 8+=x 4 2.5x D、 8 8 1=+x 2.5x 4 2. （2012 山东滨州 3 分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时 15 分 钟．他骑自行车的平均速度是 250 米/分钟，步行的平均速度是 80 米/分钟．他家离学校的距离是 2900 米．如 果他骑车和步行的时间分别为 x, y 分钟，列出的方程是【 】 A． 1 4 250 80 2900 xy xy     B． 15 80 250 2900 xy xy      C． 1 4 80 250 2900 xy xy     D． 15 250 80 2900 xy xy      5 3. （2012 辽宁鞍山 3 分） A、B 两地相距 10 千米，甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是乙 的速度的 3 倍，结果甲比乙早到 1 3 小时．设乙的速度为 x 千米/时，可列方程为 ▲ ． 4. （2012 湖北十堰 8 分）一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶 60 千米 后，再以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40 分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 5. （2012 辽宁锦州 10 分）某部队要进行一次急行军训练，路程为 32km.大部队先行，出发 1 小时后， 由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前 20 分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部 队的 1.5 倍，求大部队的行进速度. （列方程解应用题） 6. （2012 山东青岛 6 分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约 84km， 返回时经过跨海大桥，全程约 45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2 倍，所用时间却比返回 时多 20min．求小丽所乘汽车返回时的平均速度． 7. （2012 广西桂林 8 分）李明到离家 2.1 千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家 中，此时距联欢会开始还有 42 分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了 1 分钟，然后立即匀速 骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少 20 分钟，且骑自行车的速度是 步行速度的 3 倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 8. （2011 广西崇左 2 分）元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日 行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”，请你回答：良马 ▲ 天可以追上驽马. 二、工程问题 解题指导： （1）基本量是：工作量、工作效率、工作时间。 基本关系是：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间= 工作量 工作效率 ；③工作效率= 工作量 工作时间 。 （2）基本类型：有工作总量和无工作总量。 （3）在工程问题中，若工作总量给出了明确的数量，此时工作效率也即工作速度；若没有给出明确 的数量，一般常将全部工作量看作整体 1，如果完成全部工作的时间为 t，则工作效率为1 t 。常见的相等关 系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量；②如果以时间作相等关系，完成同 一工作的时间差=多用的时间。 典型例题： 例 1. （2012 四川达州 3 分）为保证达万高速公路在 2012 年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完 6 成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用 40 天,如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务.若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是 【 】 A、 1 1 1 x 10 x 40 x 14   B、 1 1 1 x 10 x 40 x 14   C、 1 1 1 x 10 x 40 x 14   D、 1 1 1 x 10 x 14 x 40   【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。 【分析】设规定的时间为 x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程 所需时间是（x+40）天．甲队单独一天完成这项工程的 1 x 10 ，乙队单独一天完成这项工程的 1 x 40 ， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的 1 x 14 ，则 1 1 1 x 10 x 40 x 14   。故选 B。 例 2. （2012 吉林省 2 分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时 间与原计划生产 450 台机器所需时间相同．设原计划每天生产 x 台机器，则可列方程为【 】 A． 600 450 x x 50  B． 600 450 x x 50  C． 600 450 x 50 x D． 600 450 x 50 x 【答案】C。 【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。 【分析】因为原计划每天生产 x 台机器，现在平均每天比原计划多生产 50 台，所以，现在生产 600 台机 器所需时间是 600 x 50 天，原计划生产 450 台机器所需时间是 450 x 天，由“现在生产 600 台机器所需时间与 原计划生产 450 台机器所需时间相同”得方程 600 450 x 50 x 。故选 C。. 例 3. （2012 辽宁铁岭 3 分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；若甲、乙 两工程队合作施工 5 天后，乙工程队在单独施工 45 天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设 乙工程队单独完成此工程需要 x 天，可列方程为 ▲ . 【答案】 5 45+ =120 x 。 【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。 【分析】∵甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；∴合作的工作效率为： 1 20 。 若设乙工程队单独完成此工程需要 x 天，则可列方程 。 7 例 4. （2012 福建厦门 9 分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用 x 小时， 乙车床需用 (x2－1)小时，丙车床需用(2x－2)小时. （1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 2 3 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需 的时间； （2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由. 【答案】解：（1）由题意得, x＝2 3(2x－2)，解得 x＝4。 ∴ x2－1＝16－1＝15(小时)。 答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是 15 小时。 （2）不相同。 若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得, 1 x2－1＝ 1 2x－2 ， ∴ 1 x＋1＝1 2。∴x＝1。 经检验，x＝1 不是原方程的解， ∴ 原方程无解。 答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。 【考点】一元一次方程和分式方程的应用。 【分析】（1）若甲车床需要 x 小时，丙车床需用（2x-2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的2 3，即 可列出方程求解。 （2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可。 例 5. （2012 辽宁沈阳 10 分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工 10 个零件，甲加工 150 个零件所用时间与乙加工 120 个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？ 【答案】解：设乙每小时加工机器零件 x 个， 则甲每小时加工机器零件（x＋10） 个， 根据题意得： 150 120 x 10 x ，解得 x=40。 经检验， x=40 是原方程的解， x+10=40+10=50。 答： 甲每小时加工 50 个零件， 乙每小时加工 40 个零件。 【考点】分式方程的应用（工程问题）。 【分析】根据“甲加工 150 个零件所用的时间与乙加工 120 个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只 需表示出他们各自的时间即可。 8 例 6. （2012 山东临沂 6 分）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的 数量的 2 倍多 9 件，若加工 1800 件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的 3 7 倍，求手 工每小时加工产品的数量． 练习题： 1. （2012 内蒙古赤峰 3 分）某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要 6 小时完 成；如果让初三学生单独工作，需要 4 小时完成．现在由初二、初三学生一起工作 x 小时，完成了任务．根 据题意，可列方程为 ▲ ． 2. （2012湖北黄冈6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两 个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故 障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件． 3. （2012 贵州安顺 10 分）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为 300 米的污水排放管道，铺设 120 米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 20%，结果共用了 27 天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ 4. （2012 山东泰安 10 分）一项工程，甲，乙两公司合做，12 天可以完成，共需付施工费 102000 元；如 果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施工费比甲公司每 天的施工费少 1500 元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 9 5. （2012 广西玉林、防城港 10 分）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两车 合运，10 天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用 15 天. （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金 65000 元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多 1500 元，试问：租甲乙两车、 单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由. 三、溶度问题 解题指导： （1）基本量是：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。 基本关系是：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）； ②浓度= 溶 溶液 质 ×100％= + 溶 溶 溶 质 质 剂 ×100％ （纯度（含量）= 物 混合物 纯净 ×100％= + 物 物 纯净 纯净 杂质 ×100％）； ③溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂） （2）在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程 应用题中的主要等量关系。 典型例题： 例 1. （2011 湖南株洲 6 分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但 适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的 A、B 两种饮料均需加入同种 添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶， 问 A、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 【答案】解：设 A 饮料生产了 x 瓶，B 饮料生产了 y 瓶，依题意得： 100 2 3 270 xy xy    ， 解得： 30 70 x y    。 答：A 饮料生产了 30 瓶，B 饮料生产了 70 瓶 。 【考点】二元一次方程组的应用（浓度问题）。 10 【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： ①A 两种饮料＋B 两种饮料＝100 瓶 x ＋ y ＝ 100 ②A 两种饮料添加剂＋B 两种饮料添加剂＝270 克 2 x ＋ 3 y ＝ 270。 例 2. （2011 浙江温州 12 分）2011 年 5 月 20 日是第 22 个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开 展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答 下列问题． （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的 40%，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于 85%，求其中所含碳水化合物质量的最大 值． 【答案】解：（1）400×5%=20 克． 答：这份快餐中所含脂肪质量为 20 克； （2）设所含矿物质的质量为 x 克，由题意得： +4 +20+400×40%=400， ∴ =44。∴4 =176。 答：所含矿物质的质量为 176 克； （3）设所含矿物质的质量为 y 克，则所含碳水化合物的质量为（380﹣5 ）克。 ∴4 +（380﹣5 ）≤400×85%， ∴ ≥40，∴380﹣5 ≤180， 答：所含碳水化合物质量的最大值为 180 克． 【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用 【分析】（1）快餐中所含脂肪质量=快餐总质量×脂肪所占百分比。 11 （2）根据这份快餐总质量为 400 克，列出方程求解即可。 （3）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于 85%，列出不等式求解即可。 练习题： 1. （2000 浙江湖州 10 分）某校初三学生在上实验课时，要把 2000 克质量分数为 80%的酒精溶液配制成 质量分数为 60%的酒精溶液，某学生未经考虑先加了 500 克水． （1）试通过计算说明该学生加水是否过量； （2）如果加水不过量，则还应加入质量分数为 20%的酒精溶液多少克？如果加水已经过量，则需再加入 质量分数为 95%的酒精溶液多少克？ 2. （2002 重庆市 10 分）实际测试表明 1 千克重的干衣物用水洗涤后拧干，湿重为 2 千克，今用浓度为 1% 的洗衣粉溶液洗涤 0.5 千克干衣物，然后用总量为 20 千克的清水分两次漂洗．假设在洗涤和漂洗的过程中， 残留在衣物中的溶液浓度和它所在的溶液中的浓度相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作．问 怎样分配这 20 千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液浓度最小，残留在衣物上的洗衣粉有 多少毫克？（保留 3 个有效数字）（溶液浓度= 溶 的 量 溶液的 量 质 质 质 ×100%，1 千克=106 毫克） 3. （1998 浙江湖州 5 分）某商店选用售价为每千克 22 元的甲种糖 30 千克，每千克 20 元的乙种糖 20 千 克，每千克 18 元的丙种糖 50 千克，混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价应是 ▲ 元． 4. （2009 浙江湖州 3 分）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为 15 元/千克的甲种糖果 10 千克，单价为 12 元/千克的乙种糖果 20 千克，单价为 10 元/千克的丙种糖果 30 千克混合成的什锦糖果的 单价应定为【 】 A．11 元/千克 B．11.5 元/千克 C．12 元/千克 D．12.5 元/千克 四、增长率问题 解题指导： （1）基本量是：期初数、期末数、增长率。 基本关系：期末数=期初数×（1＋增长率）。 （2）基本类型： 非连续增长和连续增长。 （3）在增长率问题中关键量是“增长率”。对于连续增长，增长率是相同的（平均增长率），连续两次 增长后，期末数=期初数×（1＋平均增长率）2。增长率问题还包括负增长，如降价。 典型例题： 例 1.（2012 广东湛江 4 分）湛江市 2009 年平均房价为每平方米 4000 元．连续两年增长后，2011 年平均 房价达到每平方米 5500 元，设这两年平均房价年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是【 】 12 A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000 C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500 【答案】D。 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。 【分析】设年平均增长率为 x，那么 2010 年的房价为：4000（1+x），2011 年的房价为：4000（1+x）2=5500。 故选 D。 例 2.（2012 江苏泰州 3 分）某种药品原价为 36 元/盒，经过连续两次降价后售价为 25 元/盒．设平均每次 降价的百分率为 x，根据题意所列方程正确的是【 】 A． 236(1 x) 36 25   B．36(1 2x) 25 C． 236(1 x) 25 D． 236(1 x ) 25 【答案】C。 【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。 【分析】平均每次降价的百分率为 x， 第一次降价后售价为 36(1－x)， 第二次降价后售价为 36(1－x) (1－x)＝36(1－x)2。据此列出方程： 236(1 x) 25。故选 C。 例 3. （2012 广东省 7 分）据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公民出 境旅游总人数约 7200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 【答案】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x．根据题意得 5000（1+x）2 =7200． 解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）。 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%。 （2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，则 2012 年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640 万人次。 答：预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次。 【考点】一元二次方程的应用。 【分析】（1）设年平均增长率为 x．根据题意 2010 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011 年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解。 （2）2012 年我国公民出境旅游总人数约 7200（1+x）万人次。 13 例 4. （2012 四川宜宾 8 分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011 年已投入 3 亿元资金用于保障性住 房建设，并规划投入资金逐年增加，到 2013 年底，将累计投入 10.5 亿元资金用于保障性住房建设． （1）求到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）； （2）设（1）中方程的两根分别为 x1，x2，且 mx1 2﹣4m2x1x2+mx2 2 的值为 12，求 m 的值． 例 5. （2012 四川广元 9 分）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元的价格出售。由于 国 家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售。 （1）求平均每次下调的百分比； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力。请问房产销售经 理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【答案】解：（1）设平均每次下调的百分比为 x，则有 27000(1 x) 5670 ， 2(1 x) 0.81 ， ∵1－x>0， ∴1－x =0.9， x =0.1=10%。 答：平均每次下调 10%。 （2）先下调 5%，再下调 15%，这样最后单价为 7000 元×(1－5%)×(1－15%）=5652.5 元 ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些。 【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为 x，利用原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经 14 过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可。 （2）求出先下调 5%，再下调 15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解。 例 6. （2012 甘肃白银 10 分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价 36 元，能盈利 80%，在销售中 出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为 25 元． （1）求这种玩具的进价； （2）求平均每次降价的百分率（精确到 0.1%）． 【答案】解：（1）∵36÷（1+80%）=20 元， ∴这种玩具的进价为每个 20 元。 （2）设平均每次降价的百分率为 x，则 36（1﹣x%）2=25， 解得 x≈16.7%． ∴平均每次降价的百分率 16.7%。 【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。 【分析】（1）根据计划每个售价 36 元，能盈利 80%，可求出进价。 （2）设平均每次降价的百分率为 x，根据先后两次降价，售价降为 25 元可列方程求解。 练习题： 1. （2012 湖南娄底 3 分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药 品进行连续两次降价后为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是【 】 A． 289（1﹣x）2=256 B． 256（1﹣x）2=289 C． 289（1﹣2x）=256 D． 256（1﹣2x）=289 2. （2012 四川成都 3 分）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的 百分率都是 x，根据题意，下面列出的方程正确的是【 】 A．100（1＋x）=121 B． 100（1－x）=121 C． 100（1＋x）2=121 D． 100（1－x）2=121 3. （2012 广东佛山 3 分）某药品原价是 100 元，经连续两次降价后，价格变为 64 元，如果每次降价的百 分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ▲ 4. （2012 福建龙岩 3 分）为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011 年该县政 府在这项建设中已投资 3 亿元，预计 2013 年投资 5.88 亿元，则该项投资的年平均增长率为 ▲ ． 5. （2012 辽宁丹东 3 分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资 3 年，2010 年初投资 2 亿元，2012 年初投资 3 亿元．设每年投资的平均增长率为 x，则列出关于 x 的方程为 ▲ ． 6.（2012 辽宁阜新 3 分）我市某公司前年缴税 40 万元，今年缴税 48.4 万元．该公司缴税的年平均增长率 为 ▲ ． 7. （2012 山东莱芜 4 分）为落实“两免一补”政策，某市 2011 年投入教育经费 2500 万元，预计 2013 年要 15 投入教育经费 3600 万元．已知 2011 年至 2013 年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则 2012 年该 市要投入的教育经费为 ▲ 万元． 8. （2012 四川乐山 10 分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售，由于部分菜农 盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的单价对外批发销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 9. （2012 贵州黔南 10 分）2012 年 3 月 25 日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药 店的销售都受到不同程度的影响，4 月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的 2 3 ，原 来用 60 元买到的药品下调后可多买 2 盒。4 月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格 4 月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒 14.4 元。 （1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？ （2）问 5、6 月份药品价格的月平均增长率是多少？ 10. （2012 广西钦州 8 分）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元，2011 年投入 8640 万元． （1）求 2009 年至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实 现？请通过计算说明理由． 11. （2011 四川自贡 4 分）龙都电子商场出售A，B，C 三种型号的笔记本电脑，四月份 A 型电脑的销售 额占三种型号总销售额的 56％，五月份 B，C 两种型号的电脑销售额比四月份减少了 m％，A 型电脑销售 额比四月份增加了 23％，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了 12％，则 m= ▲ ． 五、销售利润和存贷问题 解题指导： （1）销售利润基本量是：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 存贷基本量是：本金、利息、利息税，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。 16 基本关系：①利润=销售价（收入）－成本（进价），成本（进价）=销售价（收入）－利润； ②利润率= 利 成本（ 价） 润 进 ，利润=成本（进价）×利润率。 ③利息=本金×利率×期数； ④利息税=利息×税率； ⑤本息和（本利）=本金+利息－利息税。 （2）基本类型： 已知进价、售价、求利润率；已知进价、标价及利润率，求标价或原价的折数。 已 知利润率、标价求进价。 （3）在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。 典型例题： 例 1. （2012 青海省 3 分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低 a 元后，再次下调了 20%，现在收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准每分钟是【 】 A． 5a+ b4   元 B． 5ab4  元 C．（ a+5b）元 D．（ a﹣5b）元 【答案】A。 【考点】一元一次方程的应用。 【分析】设原收费标准每分钟是 x 元，则按原标准每分钟降低 a 元后价格为 x－a 元，再次下调 20%后的 价格为（1﹣20%）（ x－a）元，根据收费标准是每分钟 b 元得方程： （1﹣20%）（ x－a）=b，解得 x= 5a+ b4 。故选 A。 例 2. （2012 黑龙江牡丹江 3 分）菜种商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 l0％， 则这种商品每件的进价为【 】， A．240 元 B．250 元 C．280 元 D．300 元 【答案】A。 【考点】一元一次方程的应用。 【分析】设这种商品每件的进价为ｘ元，根据题意，得 330·80%＝（1+10%）ｘ，解得ｘ＝240（元）。故 选 A。 例 3. （2012 辽宁锦州 3 分）某品牌自行车进价为每辆 800 元，标价为每辆 1200 元.店庆期间，商场为了 答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于 5%，则最多可打 ▲ 折. 【答案】七。 【考点】一元一次方程的应用（利润问题）。 【分析】设最多可打 x 折，根据题意和销价－进价=利润=进价×利润率，得 17 1200x－800=800·5%，解得 x=0.7。 ∴要保证利润率不低于 5%，最多可打七折。 例 4. （2012 山西省 10 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均 每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若 该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】解：（1）设每千克核桃应降价 x 元。 根据题意，得（60﹣x﹣40）（ 100+ x 2 ×20）=2240， 化简，得 x2﹣10x+24=0，解得 x1=4，x2=6。 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元。 （2）由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元。 ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价 6 元。 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 54 100%=90%60  。 答：该店应按原售价的九折出售。 【考点】一元二次方程的应用。 【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 每千克核桃的利润×每天的销售量=每天获利 2240 元 （60﹣x﹣40） ·（100+ ×20）=2240。 求该店应按原售价的几折出售，只要求出新的售价，与原售价相比即可。 例 5. （2012 江苏南京 8 分）某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价 与销售有如下关系，若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为 27 万元，每多售一部，所有出售的汽 车的进价均降低 0.1 万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10 部以内，含 10 部， 每部返利 0.5 万元，销售量在 10 部以上，每部返利 1 万元。 ① 若该公司当月卖出 3 部汽车，则每部汽车的进价为 万元； ② 如果汽车的销售价位 28 万元/部，该公司计划当月盈利 12 万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售 利润+返利） 18 例 6. （2012 江苏无锡 8 分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进 行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的 10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10%， 但要缴纳租金的 10%作为管理费用． （1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率 = ×100%） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人获得的收益将相 差 5 万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 【答案】解：（1）设商铺标价为 x 万元，则 按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x， 投资收益率为 0.7x x ×100%=70%。 按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x， 19 投资收益率为 0.62x 0.85x ×100%≈72.9%。 ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。 （2）由题意得 0.7x﹣0.62x=5， 解得 x=62.5 ∴甲投资了 62.5 万元，乙投资了 62.5×80%＝53.125 万元。 【考点】列代数式，一元一次方程的应用。 【分析】（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较。 （2）利用（1）的表示，根据二者的差是 5 万元，即可列方程求解。 例 7. （2012 湖南娄底 8 分）体育文化用品商店购进篮球和排球共 20 个，进价和售价如表，全部销售完后 共获利润 260 元． 篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 95 60 （1）购进篮球和排球各多少个？ （2）销售 6 个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 【答案】解：（1）设购进篮球 x 个，购进排球 y 个，由题意得：     x+y=20 95 80 x+ 60 50 y=260   ，解得： x=12 y=8    。 答：购进篮球 12 个，购进排球 8 个。 （2）设销售 6 个排球的利润与销售 a 个篮球的利润相等，由题意得： 6×（60﹣50）=（95﹣80）a，解得：a=4。 答：销售 6 个排球的利润与销售 4 个篮球的利润相等。 【考点】二元一次方程组的应用。 【分析】（1）设购进篮球 x 个，购进排球 y 个，根据等量关系：①篮球和排球共 20 个②全部销售完后共 获利润 260 元可的方程组，解方程组即可。 （2）设销售 6 个排球的利润与销售 a 个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排球的利 润×6=每个篮球的利润×a ，列出方程，解可得答案。 练习题： 1. （2012 黑龙江龙东地区 3 分）某商品按进价提高 40％后标价，再打 8 折销售，售价为 1120 元，则这种 电器的进价为 ▲ 元。 20 2. （2012 山东枣庄 3 分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30％后标价，再打 8 折（标价的80％）销 售，售价为 2080 元．设该电器的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】 A． x(1 30 80 2080  ％) ％ B． x 30 80 2080· ％· ％ C． 2080 30 80 x  ％ ％ D． x 30 2080 80· ％ ％ 3. （2012 内蒙古包头 10 分）某商场用 3600 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元．其中甲种 商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元。 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是 第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活 动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 4. （2012 福建三明 10 分）某商店销售 A，B 两种商品，已知销售一件 A 种商品可获利润 10 元，销售一 件 B 种商品可获利润 15 元． （1）该商店销售 A，B 两种商品共 100 件，获利润 1350 元，则 A，B 两种商品各销售多少件？（5 分） （2）根据市场需求，该商店准备购进 A，B 两种商品共 200 件，其中 B 种商品的件数不多于 A 种商品 件数的 3 倍．为了获得最大利润，应购进 A，B 两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5 分） 5. （2011 广东深圳 3 分）一件服装标价 200 元，若以六折销售，仍可获利 20℅，则这件服装进价是【 】 A.100 元 B.105 元 C.108 元 D.118 元 6. （2011 山西省 2 分）“五一”节期间，某电器按成本价提高 30％后标价，再打 8 折(标价的 80％)销售， 售价为 2080 元．设该电器的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】 A． (1 30%) 80% 2080x    B． 30% 80% 2080x   C． 2080 30% 80% x   D． 30% 2080 80%x   7. （2011 黑龙江大庆 3 分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价 m 元后，又降 低 20%，此时售价为 n 元，则该手机原价为 ▲ 元． 8. （2011 黑龙江牡丹江 3 分）某种商品每件的进价为 180 元，按标价的九折销售时，利润率为 20％，这 种商品每件标价是 ▲ 元． 六、比例和调配（分配）问题 解题指导： 比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。调配与比例问题在日 常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键 21 是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。 典型例题： 例 1. （2012 山东东营 9 分）如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一 批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地．已知公路运价为 1.5 元/（吨·千米）， 铁路运价为 1.2 元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费 15000 元，铁路运输费 97200 元． 求：（1）该工厂从 A 地购买了多少吨原料？制成运往 B 地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】解：（1）设工厂从 A 地购买了 x 吨原料，制成运往 B 地的产品 y 吨， 依题意得：     1.5 20y 10x 15000 1.2 110y 120x 97200    ，整理得： 2y x 1000 11y 12x 8100    ① ② ， ①×12－②得：13y=3900，解得：y=300。 将 y=300 代入①得：x=400， ∴方程组的解为： x 400 y 300    。 答：工厂从 A 地购买了 400 吨原料，制成运往 B 地的产品 300 吨。 （2）依题意得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800（元）， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1887800 元。 【考点】二元一次方程组的应用。 【分析】（1）设工厂从 A 地购买了 x 吨原料，制成运往 B 地的产品 y 吨，利用两个等量关系：A 地到长青 化工厂的公路里程×1.5x+B 地到长青化工厂的公路里程×1.5y=这两次运输共支出公路运输费 15000 元；A 地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B 地到长青化工厂的铁路里程×1.2y=这两次运输共支出铁路运输费 97200 元，列出关于 x 与 y 的二元一次方程组，求出方程组的解集得到 x 与 y 的值，即可得到该工厂从 A 地购买原料的吨数以及制成运往 B 地的产品的吨数。 （2）由第一问求出的原料吨数×每吨 1000 元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费 15000 元，铁路运输费 97200 元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往 B 地的产品的吨数×每吨 8000 元求出 销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果。 22 例 2. （2012 内蒙古呼和浩特 8 分）如图，某化工厂与 A，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购 买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．已知公路运价为 1.5 元/（吨•千 米），铁路运价为 1.2 元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元，请计算 这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：     15 20x+10y 12 110x+150y    ． ． 乙： xy15 20 +108000 1000 xy12 110 +1508000 1000            ． ． 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、 乙两名同学所列方程组． 甲：x 表示 ▲ ，y 表示 ▲ 乙：x 表示 ▲ ，y 表示 ▲ （2）甲同学根据他所列方程组解得 x=300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题． 【答案】解：（1）产品的重量，原料的重量。产品销售额；原料费。 补全甲、乙两名同学所列方程组如下： 甲：     15 20x+10y 15000 12 110x+150y 97200    ． ． ；乙： xy15 20 +10 150008000 1000 xy12 110 +150 972008000 1000            ． ． 。 （2）将 x=300 代入原方程组解得 y=400。 ∴产品销售额为 300×8000=2400000（元），原料费为 400×1000=400000（元）。 又∵运费为 15000+97200=112200（元） ∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多 2400000﹣（ 400000+112200）=1887800（元）。 【考点】二元一次方程组的应用。144 【分析】（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 x，y 的值并补全方程组即可。 23 （2）将 x 的值代入方程组即可得到结论。 例 3. （2012 辽宁朝阳 12 分）为支持抗震救灾，我市 A、B 两地分别的赈灾物资 100 吨和 180 吨。需全部 运往重灾区 C、D 两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 C 县的数量比运往 D 县的数量的 2 倍少 80 吨。 （1）求这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是多少吨？ （2）设 A 地运往 C 县的赈灾物资为 x 吨（x 为整数），若要 B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运 往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍，且要求 B 地运往 D 县的赈灾物资数量不超过 63 吨，则 A、B 两地的赈灾 物资运往 C、D 两县的方案有几种？ 【答案】解：（1）设运往 C 县的物资是 a 吨，D 县的物资是 b 吨，根据题意得， a b 100 180 a 2b 80      ，解得 a 160 b 120    。 答：这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是 160 吨，120 吨。 （2）∵A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，∴B 地运往 C 县的物资是（160－x）吨，A 地 运往 D 县的物资是（100－x）吨，B 地运往 D 县的物资是 120－（100－x）=（20＋x）吨，根据题意得，  160 x 2 100 x 20 x 63    ＞ ，解得 x 40 x 43    ＞ 。∴不等式组的解集是 40＜x≤43。 ∵x 是整数，∴x 取 41、42、43。 ∴方案共有 3 种，分别为： 方案一：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 41 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 119 吨， A 地运往 D 县的物资是 59 吨，B 地运往 D 县的物资是 61 吨； 方案二：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 42 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 118 吨， A 地运往 D 县的物资是 58 吨，B 地运往 D 县的物资是 62 吨； 方案三：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 43 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 117 吨， A 地运往 D 县的物资是 57 吨，B 地运往 D 县的物资是 63 吨。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用（调配问题）。 【分析】（1）设运往 C 县的物资是 a 吨，D 县的物资是 b 吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程， 再根据运往 C、D 两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。 （2）根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，表示出 B 地运往 C 县的物资是（160－x）吨，A 地运往 D 县的物资是（100－x）吨，B 地运往 D 县的物资是 120－（100－x）=（20＋x）吨，然后根据“B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运往 D 县赈灾物资数量的 2 倍”列出一个不等式，根据“B 地运往 D 24 县的赈灾物资数量不超过 63 吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据 x 为整数即可得解。 例 4. （2011 四川眉山 9 分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A、B、C 三地的垃圾 50 立方 米、40 立方米、50 立方米全部运往垃圾处理场 D、E 两地进行处理．已知运往 D 地的数量比运往 E 地的 数量的 2 倍少 10 立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若 A 地运往 D 地 a 立方米（ 为整数），B 地运往 D 地 30 立方米，C 地运往 D 地的数量小于 A 地 运往 D 地的 2 倍．其余全部运往 E 地，且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米，则 A、C 两地运往 D、E 两地 哪几种方案？ （3）已知从 A、B、C 三地把垃圾运往 D、E 两地处理所需费用如下表： A 地 B 地 C 地 运往 D 地（元/立方米） 22 20 20 运往 E 地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 【答案】解：（1）设运往 E 地 x 立方米，由题意得，x＋2x－10=140， 解得：x=50， ∴2x－10=90。 答：共运往 D 地 90 立方米，运往 E 地 50 立方米。 （2）由题意可得，   90 ( 30) 2 50 90 ( 30) 12 aa a        ，解得：20＜ a ≤22。 ∵ a 是整数，∴ a =21 或 22。 ∴有如下两种方案： 方案一：A 地运往 D 地 21 立方米，运往 E 地 29 立方米， C 地运往 D 地 39 立方米，运往 E 地 11 立方米； 方案二：A 地运往 D 地 22 立方米，运往 E 地 28 立方米， C 地运往 D 地 38 立方米，运往 E 地 12 立方米。 （3）方案一共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元）， 方案二共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）。 所以，第一种方案的总费用最少。 25 【考点】一元一次不等式组和一元一次方程的应用。 【分析】（1）设运往 E 地 x 立方米，由题意可列出关于 x 的方程，求出 x 的值即可。 （2）由题意列出关于 a 的一元一次不等式组，求出 a 的取值范围，再根据 a 是整数可得出 a 的 值，进而可求出答案。 （3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可。 练习题： 1. （2012 广西北海 8 分）某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 6：5。 （1）求出该班男生与女生的人数； （2）学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于 7 人；②女生人数超过男生人 数 2 人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？ 2. （2012 黑龙江龙东地区 10 分）国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会议 决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小 两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运 往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙两地的 总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并 求出最少总运费。 3. (2011 四川德阳 3 分)两条平行线被第三条直线所截，如果一对同旁内角的度数之比为 3：7，那么这两个 角的度数分别是【 】 A．30°，70° B． 60°，l40° C．54°，l26° D． 64°．ll6° 4. （2011 山东潍坊 10 分）2010 年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮 用水 120 吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如 下表： 到凤凰社区的路程(千米) 运费（元/吨·千米） 26 甲厂 20 12 乙厂 14 15 （1）若某天总运费为 26700 元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？ （2）若每天甲厂最多可调出 80 吨，乙厂最多可调出 90 吨. 设从甲厂调运饮用水 x 吨，总运费为 W 元. 试写出 W 关于 x 的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？ 七、数字问题 解题指导： （1）基本量是：数位、数位上的数字、数值。 基本关系是：数值=个数位上的数字＋十数位上的数字×10＋百数位上的数字×100＋… （2）数字问题是常见的数学问题。数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的 关系，如两位数ab =10a+b；三位数abc =100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 典型例题： 例 1. （2012 四川德阳 3 分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由 密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文，a 2b ，2b c ， 2c 3d ， 4d .例如： 明文 1，2，3，4 对应的密文 5，7，18，16.当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为【 】 A. 4，6，1，7 B. 4，1，6，7 C.6，4，1，7 D.1，6，4，7 【答案】C。 【考点】多元一次方程组的应用。 【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解：依题意，得 a 2b=14 2b c=9 2c 3d=23 4d=28      ，解得 a=6 b=4 c=1 d=7     。故选 C。 例 2. （2011 湖北恩施 3 分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到 的里程碑上的数如下： 时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的 数 是一个两位数，数字之 和为 6 十位与个位数字与 12：00 时所看到的 正好颠倒了 比 12：00 时看到的两位数中间 多了个 0 则 12：00 时看到的两位数是 【 】 A、24 B、42 C、51 D、15 27 【答案】D。 【考点】二元一次方程组的应用（数字问题）。 【分析】设小明 12 时看到的两位数，十位数为 x，个位数为 y，即为 10x+y， 则 13 时看到的两位数为 x+10y，12～13 时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y）， 14：30 时看到的数为 100x+y，14：30～13 时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）。 由题意列方程组得： x y 6 100x y 10y x 10y x 10x y1.5      （ ）-（ ）（ ）-（ ），解得： x1 y5    ， 所以 12：00 时看到的两位数是 15。故选 D。 例 3. （2011 宁夏自治区 3 分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18，结果 恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为 x，十位数字为 y，所列方程组正确的 是【 】 A．  x＋y＝8， xy＋18＝yx． B．  x＋y＝8， x＋10y＋18＝10x＋y． C．  x＋y＝8， 10x＋y＋18＝yx． D．  x＋y＝8， 10(x＋y)＋18＝yx． 【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组（数字问题）。 【分析】设这个两位数的个位数字为 x，十位数字为 y，则两位数可表示为 10y+x，对调后的两位数为 10x+y， 根据题中的两个数字之和为 8 及对调后的等量关系可列出方程组  x＋y＝8， x＋10y＋18＝10x＋y． 故选 B。 练习题： 1. （2008 贵州铜仁 4 分）设一个三位数个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c，请你写出这个三位 数 ▲ 2. （2003 湖南娄底 2 分）一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 1，这个两位数用代数式表示 ▲ 3. （2008 贵州黔南 4 分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收 方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文 a，b 对应的密文为 a-2b，2a+b，例如 1，2 对 应的密文是-3，4，当接收方收到的密文是 1，7 时，解密得到的明文是【 】 A．－1，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 4. （2007 浙江台州 4 分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由 密文⇒明文（解密）．已知加密规则为：明文 a，b，c 对应的密文 a+1，2b+4，3c+9．例如明文 1，2，3 对 28 应的密文 2，8，18．如果接收方收到密文 7，18，15，则解密得到的明文为【 】 A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，6 5. （2007 山东泰安 3 分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密 文→明文（解密）．已知加密规则为：明文 x，y，z 对应密文 2x+3y，3x+4y，3z．例如：明文 1，2，3 对 应密文 8，11，9．当接收方收到密文 12，17，27 时，则解密得到的明文为 ▲ 八、和差倍分问题 解题指导： 和差倍分关系在初中数学和中考中有着广泛的应用，解题规律：总和÷（倍数+1）=1 倍量（和倍问题）， 两数差÷（倍数-1）=1 倍量（差倍问题），大数=（和+差）÷2 ，小数=（和-差）÷2 （和差问题）。 典型例题： 例 1.（2012 宁夏区 3 分）运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元，乙种雪糕共花费 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设 甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为【 】． A． 40 30 201.5x x B. 40 30 20x 1.5x C． 30 40 20x 1.5x D. 30 40 201.5x x 【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出分式方程。 【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为： 甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多 20 根。 而甲种雪糕数量为 40 x ，乙种雪糕数量为 30 1.5x 。（ 数量=金额÷价格） 从而得方程： 40 30 20x 1.5x。故选 B。 例 2.（2012 浙江温州 4 分）楠溪江某景点门票价格：成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元.小明买 20 张门 票共花了 1225 元,设其中有 x 张成人票， y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【 】 A. + =20 35 +70 =1225 xy xy    B. +y=20 70 +35 =1225 x xy    C. + =1225 70 +35 =20 xy xy    D. + =1225 35 +70 =20 xy xy    【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】根据“小明买 20 张门票”可得方程： + =20xy ；根据“成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元，共花 了 1225 元”可得方程：70 +35 =1225xy ，把两个方程组合即可。故选 B。 29 例 3.（2012 福建莆田 4 分）甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植 2 棵树，甲班植 60 棵树所用天数与乙班植 70 棵树所用天数相等．若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出方程正确的是 【 】 A． 60 70 x 2 x B． 60 70 x x 2  Ｃ． 60 70 x 2 x Ｄ． 60 70 x x 2  【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出分式方程。 【分析】本题需重点理解：甲班植 60 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等，等量关系为：甲 班植 60 棵树所用的天数=乙班植 70 棵树所用的天数，根据等量关系列式： 设甲班每天植树 x 棵，乙班每天植树 x＋2 棵，则甲班植 60 棵树所用的天数为 60 x ，乙班植 70 棵 树所用的天数为 70 x2 ，所以可列方程： 60 70 x x 2  。故选 B。 例 4. （2012 湖南衡阳 3 分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒 乓球拍，若购 1 副羽毛球拍和 1 副乒乓球拍共需 50 元，小强一共用 320 元购买了 6 副同样的羽毛球拍和 10 副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为 x 元，每副乒乓球拍为 y 元，列二元一次方程组得【 】 A．   x+y=50 10 x+y =320  B． x+y=50 6x+10y=320    C． x+y=50 6x+y=320    D． x+y=50 10x+6y=320    【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】根据等量关系：购 1 副羽毛球拍和 1 副乒乓球拍共需 50 元，得 x+y=50 ；根据用 320 元购买了 6 副同样的羽毛球拍和 10 副同样的乒乓球拍，得6x+10y=320 ，联立可得出方程组 x+y=50 6x+10y=320    。故选 B。 例 5. （2012 北京市 5 分）列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化 空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若 一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐 树叶一年的平均滞尘量． 【答案】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克， 由题意得： 1000 550 2x 4 x ，解得：x=22。 经检验：x=22 是原分式方程的解。 30 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22 毫克。 【考点】分式方程的应用。 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫 克，根据关键语句“若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片 数相同，”可得方程 1000 550 2x 4 x ，解方程即可得到答案。注意最后一定要检验。 例 6. （2012 海南省 8 分）为了进一步推进海南国际旅游岛建设，海口市自 2012 年 4 月 1 日起实施《海口 市奖励旅行社开发客源市场暂行办法》，第八条规定：旅行社引进会议规模达到 200 人以上，入住本市 A 类 旅游饭店，每次会议奖励 2 万元；入住本市 B 类旅游饭店，每次会议奖励 1 万元。某旅行社 5 月份引进符 合奖励规定的会议 18 次，得到 28 万元奖金.求此旅行社符合奖励规定的入住 A 类和 B 类旅游饭店的会议各 多少次。 【答案】解：设入住 A 类旅游饭店的会议 x 次，则入住 B 类旅游饭店的会议 18－x 次。 根据题意，得 2x＋（18－x）=28， 解得 x=10，18－x=8。 答：此旅行社入住 A 类旅游饭店的会议 10 次，入住 B 类旅游饭店的会议 8 次。 【考点】方程的应用。 【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 入住 A 类旅游饭店的会议奖励＋入住 B 类旅游饭店的会议奖励=28 万元 2·x ＋ 1·（18－x） = 28。 例 7. （2012 江苏苏州 6 分）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占 有量仅为美国人均淡水资源占有量的 1 5 ，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13800m3，问中、美两国 人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？ 【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为 xm3，则美国人均淡水资源占有量为 5xm3。 根据题意得： x ＋5x =13800，解得，x=2300 ，5 x =11500。 答：中、美两国人均淡水资源占有量各为 2300m3，11500m3。 【考点】一元一次方程的应用。 【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13800m3 x ＋5x = 13800。 例 8. （2012 湖北宜昌 10 分）[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计： 31 一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约 18kg； 一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约 6kg． [问题解决] 甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009 年两校响应本校倡议的人数共 60 人，因此而减排二氧化碳总量为 600kg． （1）2009 年两校响应本校倡议的人数分别是多少？ （2）2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每 年按相同的百分率增长．2010 年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的 2 倍；2011 年两校 响应本校倡议的总人数比 2010 年两校响应本校倡议的总人数多 100 人．求 2011 年两校响应本校倡议减排 二氧化碳的总量． 【答案】解：（1）设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为（60﹣x）人。 依题意得：18x+6（60﹣x）=600。 解之得：x=20，60﹣x=40。 ∴2009 年两校响应本校倡议的人数分别是 20 人和 40 人． （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的 人数每年增长的百分率为 n。依题意得：            2 2 20+m =40 1+n 20+2m +40 1+n = 20+2m +40 1+n +100   ① ② 由①得 m=20n，代入②并整理得 2n2+3n﹣5=0 解之得 n=1，n=﹣2.5（负值舍去）。∴m=20。 ∴2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量： （20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）。 答：2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为 2040 千克。 【考点】一元一次方程和二元一次方程组的应用。141 【分析】（1）设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为 60﹣x 人，根据题 意列出方程求解即可。 （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增长 的百分率为 n．根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可。 32 例 9. （2012 湖南株洲 6 分）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和 B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳 和小明掷中与得分情况如下： 小华：77 分 小芳 75 分 小明： ？ 分 （1）求掷中 A 区、B 区一次各得多少分？ （2）依此方法计算小明的得分为多少分？ 【答案】解：（1）设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x、y 分，依题意得： 5x+3y=77 3x+5y=75    ，解得： x=10 y=9    。 答：求掷中 A 区、B 区一次各得 10，9 分。 （2）由（1）可知：4x+4y=76。 答：依此方法计算小明的得分为 76 分。 【考点】二元一次方程组的应用。 【分析】（1）首先设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x、y 分，根据图示可得等量关系：①掷到 A 区 5 个的 得分+掷到 B 区 3 个的得分=77 分；②掷到 A 区 3 个的得分+掷到 B 区 5 个的得分=75 分，根据等量关系列 出方程组，解方程组即可得到掷中 A 区、B 区一次各得多少分。 （2）由图示可得求的是掷到 A 区 4 个的得分+掷到 B 区 4 个的得分，根据（1）中解出的数代入计 算即可。 例 10. （2012 山东济宁 6 分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗 每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元， 请问该校共购买了多少棵树苗？ 【答案】解：∵60 棵树苗售价为 120 元×60=7200 元＜8800 元， ∴该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得： x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800， 解得：x1=220，x2=80． 33 当 x1=80 时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100， 当 x2=220 时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x2=220 不合题意，舍去。 ∴x=80。 答：该校共购买了 80 棵树苗。 【考点】一元二次方程的应用。 【分析】根据设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解出即可。 练习题： 1. （2012 贵州铜仁 4 分）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要 求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔 5 米栽 1 棵，则树苗缺 21 棵；如果每隔 6 米 栽 1 棵，则树苗正好用完．设原有树苗 x 棵，则根据题意列出方程正确的是【 】 A．5(x 21 1) 6(x 1)    B．5(x 21) 6(x 1)   C．5(x 21 1) 6x   D．5(x 21) 6x 2. （2012 新疆区 5 分）甲乙两班进行植树活动，根据提供信息可知：①甲班共植树 90 棵，乙班共植树 129 棵；②乙班的人数比甲班的人数多 3 人；③甲班每人植树数是乙班每人植树数的 3 4 ．若设甲班人数为 x 人， 求两班人数分别是多少，正确的方程是【 】 A． 90 3 129=x 4 x+3 B． 90 3 129=x 3 4 x C． 3 90 129=4 x 3 x  D． 3 90 129=4 x x+3 3. （2012 江苏南通 3 分）甲种电影票每张 20 元，乙种电影票每张 15 元．若购买甲、乙两种电影票共 40 张，恰好用去 700 元，则甲种电影票买了 ▲ 张 4. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱与舞 蹈两类节目，全校师生一共表演了 30 个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的 3 倍少 2 个，则全校师生 表演的歌唱类节目有 ▲ 个． 5. （2012 湖南湘潭 3 分）湖南省 2011 年赴台旅游人数达 7.6 万人．我市某九年级一学生家长准备中考后 全家 3 人去台湾旅游，计划花费 20000 元．设每人向旅行社缴纳 x 元费用后，共剩 5000 元用于购物和品 尝台湾美食．根据题意，列出方程为 ▲ ． 6. （2012 四川自贡 4 分）某公路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏灯的距离为 36 米，为节约用电，现计划 全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 54 米，则需更换新型节能灯 ▲ 盏． 7. （2012 广东肇庆 7 分）顺安旅行社组织 200 人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的 2 倍少 1 人，到两地旅游的人数各是多少人？ 34 8. （2012 江苏徐州 6 分）某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用 2000 元购买乒乓球拍，用 2800 元购买羽毛球拍。已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵 14 元。该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能 相同吗？请说明理由。 9. （2012 江苏扬州 10 分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 480 棵树，由于青 年志愿者的支援，每日比原计划多种 1 3 ，结果提前 4 天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 10. （2012 福建宁德 8 分）为配合“书香进校园” 活动的开展，学校决定为各班级添置图书柜．原计划用 4000 元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个单价上涨 20 元，实际购买时多花了 400 元．求书柜原 来的单价是多少元？ 11. （2012 湖南长沙 9 分）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于 2012 年 5 月 20 日在湖 南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共 348 个，其中境外投资 合作项目个数的 2 倍比省内境外投资合作项目多 51 个． （1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？ （2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6 亿元，7.5 亿元，求在这次“中博会” 中，东道湖南省共引进资金多少亿元？ 12. （2012 湖南永州 8 分）某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台播放总时长为 300 分钟的广告，已知 甲、乙两电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟．该公司的广告总费用为 9 万元，预计 甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来 0.3 万元/分钟和 0.2 万元/分钟的收益，问该公司 在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台 2012 年为此公司所播放的 广告将给该公司带来多少万元的总收益？ 13. （2012 贵州贵阳 8 分）为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行 一次考核．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《标 准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准（2011 年版）解读》（以下简称《解读》），其中《解读》的 单价比《标准》的单价多 25 元．若学校购买《标准》用了 378 元，购买《解读》用了 1053 元，请问《标 准》和《解读》的单价各是多少元？ 14. （2012 山东滨州 7 分）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）， 计划安排 28 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请 x 支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表为 ． 根据题意，可列出方程 ． 整理，得 ． 35 解这个方程，得 ． 合乎实际意义的解为 ． 答：应邀请 支球队参赛． 15. （2012 山东济南 8 分）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果， 其中油桃比樱桃多摘了 5 斤，若采摘油桃和樱桃分别用了 80 元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的 2 倍， 问油桃和樱桃每斤各是多少元？ 16. （2012 山东聊城 7 分）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠，能比标价省 13.2 元．已知书包标价比文具盒标价 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少 元？ 17. （2012 山东日照 6 分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定 一次购买 400 个以上，可享受 8 折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受 8 折优惠，需付款 1936 元；若多买 88 个，就可享受 8 折优惠，同样只需付款 1936 元.请问该学校九年级学生有多少人？ 18. （2012 山东威海 9 分）小明计划用 360 元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选 购部分图书。“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书 8 折销售。这样，小明比原计划多买了 6 本。 求每本书的原价和小明实际购买图书的数量。 19. （2012 广西来宾 8 分）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知 5 辆甲种车 和 4 辆乙种车一次可运土共 140 立方米，3 辆甲种车和 2 辆乙种车一次可运土共 76 立方米．求甲、乙两种 车每辆一次可分别运土多少立方米？ 20. （2012 广西柳州 6 分）列方程解应用题：今年“六•一”儿童节，张红用 8.8 元钱购买了甲、乙两种礼物， 甲礼物每件 1.2 元，乙礼物每件 0.8 元，其中甲礼物比乙礼物少 1 件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？ 解：设张红购买甲礼物 x 件，则购买乙礼物 件，依题意，得． 21. （2012 云南省 6 分）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共 2000 件，已知捐给甲校的矿 泉水件数比捐给乙校件数的 2 倍少 400 件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？ 22. （2012 新疆区 8 分）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的 A，B 两种长方体 形状的无盖纸盒．现有正方形纸板 140 张，长方形纸板 360 张，刚好全部用完，问能做成多少个 A 型盒子？ 多少个 B 型盒子？ （1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下： 甲： x+2y=140 4x+3y=360    ； 乙： x+y=140 34x+ y=3602   ， 36 根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义： 甲：x 表示 ，y 表示 ； 乙：x 表示 ，y 表示 ； （2）求出做成的 A 型盒子和 B 型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？ 23. （2012 江西南昌 6 分）小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了 45 元，上月买同重量的这两样菜只要 36 元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨单价上涨 20%”； 小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）． 24. （2012 吉林长春 5 分）某班有 45 名同学参加紧急疏散演练．对比发现：经专家指导后，平均每秒撤 离的人数是指导前的 3 倍，这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 3 秒．求指导前平均每秒撤离的人数． 25. （2012 吉林省 5 分）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的 2 倍，高跷与 腿重合部分的长度为 28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为 224cm．设演员的身高为 xcm， 高跷的长度为 ycm，求 x，y 的值． 九、几何问题 解题指导： 列方程（组）解应用题在平面几何中有着广泛的应用，在求线段的长等问题中，结合面积公式、勾股 定理和相似三角形等知识综合求解。 典型例题： 例 1. （2012 山东聊城 3 分）在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数分 别是 3 和﹣1，则点 C 所对应的实数是【 】 37 A．1+ 3 B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1 【答案】D。 【考点】实数与数轴，一元一次方程的应用。 【分析】设点 C 所对应的实数是 x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有  x 3= 3 1   ，解得 x=2 3+1。故选 D。 例 2. （2012 甘肃白银 3 分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩 余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 3，则另一边长是【 】 A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6 【答案】C。 【考点】方程的应用（几何问题）。 【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形 （不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为 3，利用矩形 的面积公式即可求出另一边长： 设拼成的矩形一边长为 x，则依题意得剩余部分为：（m+3）2－m2=3x， 解得，x=（6m+9）÷3=2m+3。故选 C。 例 3. （2012 甘肃兰州 4 分）某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多 10 米，设 花圃的宽为 x 米，则可列方程为【 】 A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200 【答案】C。 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（几何问题）。 【分析】∵花圃的长比宽多 10 米，花圃的宽为 x 米，∴长为(x＋10)米。 ∵花圃的面积为 200，∴可列方程为 x(x＋10)＝200。故选 C。 例 4. （2012 青海西宁 3 分）如图，将矩形沿图中虚线(其中 x＞y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一 个正方形．若 y＝2，则 x 的值等于【 】 38 A．3 B．2 5－1 C．1＋ 5 D．1＋ 2 【答案】C。 【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。 【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为 x， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。 ∵y=2，∴2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得 x1=1＋ 5，x2=1－ 5（舍去）。故选 C。 例 5. （2012 湖北襄阳 6 分）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一 块长 30m，宽 20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小 道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为 532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？ （注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 【答案】解：设小道进出口的宽度为 x 米，依题意得（30﹣2x）（ 20﹣x）=532． 整理，得 x2﹣35x+34=0，解得，x1=1，x2=34。 ∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1。 答：小道进出口的宽度应为 1 米。 【考点】一元二次方程的应用（几何问题）。1028458 【分析】设小道进出口的宽度为 x 米，然后利用其种植花草的面积为 532 平方米列出方程求解即可。 例 6. （2012 河北省 8 分）如图，某市 A，B 两地之间有两条公路，一条是市区公路 AB，另一条是外环公 路 AD－DC－CB，这两条公路围城等腰梯形 ABCD，其中 DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2． （1）求外环公路的总长和市区公路长的比； （2）某人驾车从 A 地出发，沿市区公路去 B 地，平均速度是 40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度 是 80km/h，结果比去时少用了 1 10 h，求市区公路的长． 39 例 7. （2012 江西省 8 分）小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节。折叠长方形信纸装入标准信封时 发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有 3.8cm；若将信纸如图②三等分 折叠后，宽绰 1.4cm，试求信纸的纸长和信封的口宽。 【答案】解：设信纸的纸长为 xcm， 根据题意得： xx3.8 1.44 3    ， 解得 x=28.8。 信封的口宽为 28.8 +3.8=114 。 40 答：信纸的纸长为 28.8cm，信封的口宽为 11cm。 【考点】一元一次方程的应用。 【分析】根据设信纸的纸长为 xcm，根据信封折叠情况得出 xx3.8 1.44 3    ，从而求出即可。 例 8. （2011 四川资阳 3 分）如图，已知射线 OP 的端点 O 在直线 MN 上，∠2 比∠1 的 2 倍少 30°，设∠2 的度数为 x ，∠1 的度数为 y ，则 x、y 满足的关系为【 】 A. 180, 2 30 xy xy    B. 180, 2 30 xy xy    C. 90, 2 30 xy yx    D. 180, 2 30 xy yx    【答案】B。 【考点】二元一次方程组的应用（几何问题），平角的定义。 【分析】由平角的定义，可得 180xy ，由∠2 比∠1 的 2 倍少 30°，即 2 30xy。故选 B。 例 9.（2011 贵州遵义３分）如图，在直角三角形 ABC 中（∠C＝90o）,放置边长分别 3，4，x 的三个正方 形，则 x 的值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】C。 【考点】一元二次方程的应用（几何问题），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】如图，∵在直角三角形 ABC 中（∠C=90°），放置边长分别 3，4，x 的三个正方形， ∴△CEF∽△OME∽△PFN。 ∴OE：PN=OM：PF。 ∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x－3，PF=x－4。 41 ∴（x－3）（ x－4）=12。∴x=0（不符合题意，舍去），x=7。 故选 C。 例 10. （2011 吉林长春 5 分）在长为 10m，宽为 8m 的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个 全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求其中一个小矩形花圃的长和宽． 【答案】解：设小矩形的长为 x cm，宽为 y cm，由题意得: 2 10 28 xy xy    ，解得, 4 2 x y    。 答：小矩形的长为 4cm，宽为 2cm。 【考点】二元一次方程组的应用。 【分析】二元一次方程组的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： ① ２倍的小矩形长＋小矩形宽＝大矩形长 2 10xy ② 小矩形长＋２倍的小矩形＝大矩形宽 28xy 例 11. （2011 江西省 A 卷 8 分，江西南昌 7 分）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长 21cm， 上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为 3cm，其余圆的直径从左到右依次递减 0.2cm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘 1.5cm，相邻两圆的间距 d 均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 42 【答案】解：（1）2.8cm，2.6cm，2.4cm，2.2cm.。 （2）依题意得， 4 1.5 1.5 3 2.8 2.6 2.4 2.2 21d         ， ∴ 4 16 21d  ∴ 5 4d  。 答：相邻两圆的间距为 5 4 cm。 【考点】一元一次方程的应用（几何问题）。 【分析】（1）因为其余圆的直径从左到右依次递减 0.2cm，可依次求出圆的长。 （2）根据 5 个圆的直径长和最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧 边缘 1.5cm，以及圆之间的距离加起来应该为 21cm，可列方程求解。 练习题： 1. （2012 山西省 3 分）图 1 是边长为 30 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图 2 所示的长方体 盒子，已知该长方体的宽是高的 2 倍，则它的体积是 ▲ cm3． 2. （2012 四川绵阳 4 分）一个长方形的长减少 5cm，宽增加 2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图 形的面积相等，则原长方形的面积为 ▲ cm2。 3. （2012 辽宁阜新 3 分）如图 1，在边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，再将图中的阴 影部分剪拼成一个长方形，如图 2．这个拼成的长方形的长为 30，宽为 20．则图 2 中Ⅱ部分的面积是 ▲ ． 4. （2012 山东青岛 3 分）如图，在一块长为 22m、宽为 17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂 直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300m2．若设道路宽为 xm， 则根据题意可列方程为 ▲ ． 43 5. （2012 湖南湘潭 6 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花 园的面积为 300m2． 6. （2012 浙江绍兴 12 分）把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸 板的厚度忽略不计）。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒 子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果 没有，说明理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩 余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为 550cm2，求此时长方形盒子的长、 宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。 7. （2012 辽宁营口 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个底 面是正方形的长方体包装盒． (1) 若折叠后长方体底面正方形的面积为 1250 2cm ，求长方体包装盒的高； (2) 设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 )(cmx ，长方体的侧面积为 S )( 2cm ，求 S 与 x 的函数关系 44 式，并求 x 为何值时，S 的值最大． 8. （2011 江苏宿迁 3 分）如图，邻边不等．．的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边 所围的栅栏的总长度是 6m．若矩形的面积为 4m2，则 AB 的长度是 ▲ m（可利用的围墙长度超过 6m）． 9.（2011 山东潍坊 3 分）已知线段 AB= a ，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB. 取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM. 过 E 作 EF⊥CD，垂足 为 F 点. 若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则 AE 的长为 ▲ . 10. （2011 甘肃天水 4 分）如图（1），在宽为 20m，长为 32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向 与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为 570m2，求道路宽为多 少？设宽为 x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 ▲ ． 11. （2011 青海省 2 分）如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它 加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长 是 ▲ mm. 45 12. （云南昭通 3 分）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子恰 好在甲的影子里边，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙同学相距 ▲ 米。 13. （安徽芜湖 8 分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正 五边形的边长为( 2 17x  ) cm ，正六边形的边长为( 2 2xx )cm（其中 0x  )，求这两段铁丝的总长 14. （2011 贵州六盘水 14 分）小明家有一块长 8m、宽 6m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花 园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种．．方案 帮小明求出图中的 x 值。 十、分段问题 解题指导： 分段问题主要涉及两个区间段，甚至更多区间段的计算，内容包括销售、税金、支付、提成、水电气 费等。解这类问题时需分清应该应用那段范围的关系式解题。 典型例题： 46 例 1. （2012 天津市 8 分）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）． 月使用 费/元 主叫限定 时间/分 主叫超时 费/（元/分） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 设一个月内使用移动电话主叫的时间为 t 分（t 为正整数）， 请根据表中提供的信息回答下列问题： （Ⅰ）用含有 t 的式子填写下表： t≤150 150＜t＜350 t=350 t＞350 方式一计费/元 58 108 方式二计费/元 88 88 88 （Ⅱ）当 t 为何值时，两种计费方式的费用相等； （Ⅲ）当 330＜t＜360 时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）． 【答案】解：（Ⅰ）填表如下： t≤150 150＜t＜350 t=350 t＞350 方式一计费/元 58 0.25t+20.5 108 0.25t+20.5 方式二计费/元 88 88 88 0.19t+21.5 （Ⅱ）∵当 t＞350 时，（0.25t+20.5）－（0.19t+21.5）=0.06t－1＞0， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在 150＜t＜350 取得． ∴列方程 0.25t+20.5=88，解得 t=270。 ∴当主叫时间为 270 分时，两种计费方式的费用相等。 （Ⅲ）方式二，理由如下： 方式一收费－方式二收费 y=0.25t＋20.5－0.19t－21.5=0.06t－1， ∵当 330＜t＜360 时，y＞0，∴方式二更划算． 答：当 330＜t＜360 时，方式二计费方式省钱。 【考点】列代数式，一元一次方程的应用。 温馨提示： 若选用方式一， 每月固定交费 58 元， 当主动打出电话月累 计时间不超过 150 分，不再额外交费； 当超过 150 分，超过 部分每分加收 0.25 元． 47 【分析】（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可： ①当 150＜t＜350 时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5； ②当 t＞350 时，方式一收费：58+0.25（x－150）=0.25t+20.5； ③方式二当 t＞350 时收费：88+0.19（x－350）=0.19t+21.5． （II）先判断出两种方式相等时 t 的大致范围，从而建立方程即可得出答案。 （III）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案。 例 2. （2012 浙江宁波 10 分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市 居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17 吨以下 a 0.80 超过 17 吨但不超过 30 吨的部分 b 0.80 超过 30 吨的部分 6.00 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小王家 2012 年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元；5 月份用水 25 吨，交水费 91 元． （1）求 a、b 的值； （2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把 6 月份的水费控制在不超过家庭月收 入的 2%．若小王家的月收入为 9200 元，则小王家 6 月份最多能用水多少吨？ 【答案】解：（1）由题意，得         17 a+0.8 +3 b+0.8 =66 17 a+0.8 +8 b+0.8 =91   ① ② ， ②﹣①，得 5（b+0.8）=25，b=4.2。 把 b=4.2 代入①，得 17（a+0.8）+3×5=66，解得 a=2.2。 ∴a=2.2，b=4.2。 （2）当用水量为 30 吨时，水费为：17×3+13×5=116 元，9200×2%=184 元， ∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过 30 吨。 设小王家六月份用水量为 x 吨， 由题意，得 17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184， 6.8（x﹣30）≤68，解得 x≤40。 48 ∴小王家六月份最多能用水 40 吨。 【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。 【分析】（1）根据等量关系：“小王家 2012 年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元”；“5 月份用水 25 吨，交水 费 91 元”可列方程组求解即可。 （2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据 6 月份的水费不超过家庭月收入的 2%，列出不等 式求解即可。 例 3. （2012 江苏淮安 10 分）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量 210 度以下，每度 价格 0.52 元 月用电量 210 至 350 度，每度 比第一档提价 0.05 元 月用电量 350 度以上，每度电 比第一档提价 0.30 元 例：若某户月用电量 400 度，则需缴电费为 210×0.52+（350－210）×（0.52+0.05）+（400－350）×（0.52+0.30）＝230 元 （1）如果按此方案计算，小华家 5 月份电费为 138.84 元，请你求出小华家 5 月份的用电量； （2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为 a 元，则小华家该月用量属于第几档？ 【答案】解：（1）用电量为 210 度时，需要交纳 210×0.52=109.2 元， 用电量为 350 度时，需要交纳 210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189 元， ∴小华家 5 月份的用电量在第二档。 设小华家 5 月份的用电量为 x，则 210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）=138.84， 解得：x=262。 ∴小华家 5 月份的用电量为 262 度。 （2）由（1）得，当 a≤109.2 时，小华家的用电量在第一档； 当 109.2＜a≤189 时，小华家的用电量在第二档； 当 a＞189 时，华家的用电量在第三档。 【考点】分段函数和一元一次方程的应用。 【分析】（1）分别计算出用电量为 210 度，350 度时需要交纳的电费，然后可得出小华家 5 月份的电量在 哪一档上，从而列式计算即可。 （2）根据（1）求得的结果，讨论 a 的值，得出结论。 例 4. （2011 重庆潼南 4 分）某地居民生活用电基本价格为 0.50 元/度．规定每月基本用电量为 a 度，超过 49 部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加 20%收费，某用户在 5 月份用电 100 度，共交电费 56 元，则 a = ▲ 度． 【答案】40。 【考点】一元一次方程的应用。 【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，可列出方程求出 a 。本题等量关系为： 基本用电量电费 ＋ 超基本用电量电费 ＝56 元 0.5 ＋ （100－ ）×0.5×120% ＝ 56。 其中电费＝电价×用电量。解得 ＝40。 例 5. （2011 河南省 10 分）某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下： 人数 m 0＜m≤100 100＜m≤200 m＞200 收费标准（元/人） 90 85 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于 100 人，乙校报 名参加的学生人数少于 100 人．经核算，若两校分别组团共需花费 20 800 元，若两校联合组团只需花赞 18 000 元． （1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过 200 人吗？为什么？ （2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 【答案】解：（1）设两校人数之和为 a。 若 a＞200，则 a=18000÷75=240． 若 100＜a≤200，则 13a 18000 85 21117   ，不合题意。 ∴这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于 240 人，超过 200 人。 （2）设甲学校报名参加旅游的学生有 x 人，乙学校报名参加旅游的学生有 y 人，则 ①当 100＜ x ≤200 时，得 240 85 90 20800 xy xy    ，解得 160 80 x y    。 ②当 ＞200 时，得 240 75 90 20800 xy xy    ，解得 1533 2186 3 x y     （不合题意，舍去）。 ∴甲学校报名参加旅游的学生有 160 人，乙学校报名参加旅游的学生有 80 人。 【考点】二元一次方程组的应用。 【分析】（1）由已知分两种情况讨论，即 a＞200 和 100＜a≤200，得出结论； 50 （2）根据两种情况的费用，即 a＞200 和 100＜a≤200 分别设未知数列方程组求解。 练习题： 1. （2012 江苏徐州 8 分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍 一个月用电量不超过 a 千瓦时，则一个月的电费为 20 元；若超过 a 千瓦时，则除了交 20 元外，超过部分 每千瓦时要交 a 100 元。某宿舍 3 月份用电 80 千瓦时，交电费 35 元；4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元。 （1）求 a 的值； （2）若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？ 2. （2011 湖南娄底 8 分）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做 好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在 80 千瓦时以下（含 80 千瓦时，1 千瓦时俗称 1 度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过 80 千瓦 时时，超过部分实行“提高电价”． （1）小张家 2011 年 4 月份用电 100 千瓦时，上缴电费 68 元；5 月份用电 120 千瓦时，上缴电费 88 元．求 “基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？ （2）若 6 月份小张家预计用电 130 千瓦时，请预算小张家 6 月份应上缴的电费． 3. (2011 江苏无锡 10 分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个 税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000 元提高到 3000 元，并将 9 级超额累进税率修改为 7 级，两种征税方法的 1～5 级税率情况见下表： 税 级 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 1 x≤500 5％ 0 x≤1 500 5％ 0 2 500