初三数学上册基础知识讲解练习 矩形的性质与判定 3页

矩形的性质与判定 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 二、矩形的性质 矩形具有平行四边形的一切性质。 （1）边：对边平行且相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：互相平分且相等。 三、矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 四、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。[来源:学科网 ZXXK] 已知：如图 3-2-2，BO 是 Rt△ ABC 斜边 AC 的中线，求证：BO= 2 1 AC 证明：过点 A 作 AD∥BC 与 BO 的延长线交于点 D，连接 CD。 ∴∠OCB=∠OAD ∵O 是 AC 的中点， ∴AO=OC 又∵∠BOC=∠AOD ∴△BOC≌△AOD [来源:学科网 ZXXK] ∴AD=BC 又∵∠ABC=90° [来源:学*科*网 Z*X*X*K] ∴四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD BO= BD= AC 点评：证明这个推论的关键是构造辅助图形矩形，且构造方法不唯一，还可以延长 BE 到 D，使 BE=ED， O C D B A 再连 AD、CD 再证四边形 ABCD 是矩形，在证明时需用到矩形的对角线互相平分的性质，对于特殊平行四 边形也有平行四边形的所有性质。 五、和矩形有关的折量问题 1、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 E 处，BE 交 AD 于 F，连接 AE。求证 BF=DF 分析：要证明 BF=DF，可证明△ ABF≌△EDF，也可以证明∠FBD=∠FDB 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AB=CD，∠BAD=∠C=90° 又∵Rt△ BCD≌Rt△ BED ∴∠BED=∠C=90°，DC=DE ∴AB=ED ∠ BAD=∠BED[来源:学科网 ZXXK] ∠AFB=∠EFD（对顶角） ∴△ABF≌△EDF（AAS） ∴BF=DF 2、如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E． （1）求证：BD=BE；（ 2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形 ABED 的面积． 思路分析：（1）根据矩形的对角线相等可得 AC=BD，然后证明四边形 ABEC 是平行四边形，再根据平行四 边形的对边相等可得 AC=BE，从而得证； （2）根据矩形的对角线互相平分求出 BD 的长度，再根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 CD 的 长度，然后利用勾股定理求出 BC 的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD，AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴A C=BE，∴BD=BE； （2）解：∵在矩形 ABCD 中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8， ∵∠DBC=30°，∴CD= BD= ×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8， 在 Rt△ BCD 中，BC= =4 ， ∴四边形 ABED 的面积= （4+8）×4 =24 ． 3、如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F，∠AED=2∠CED， 点 G 是 DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为 ．[来源:学科网] 考点：矩形的性质；勾股定理．专题：计算题． 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得 ∠ADG=∠DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得∠ADG=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它 不 相邻的两个内角的和可得∠AGE=2∠ADG，从而得到∠AED=∠AGR，再利用等角对等边的性质得到 AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 解：∵四边形 ABCD 是矩形，点 G 是 DF 的中点， ∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG， ∵AD∥BC， ∴∠ADG=∠CED， ∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED， ∵∠AED=2∠CED， ∴∠AGE=∠AED， ∴AE=AG=4， 在 Rt△ ABE 中，AB= = ． 故答案为： ． 点评：本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出 AE=AG 是解题的关键． 1 2 2222- 8- 4 BDCD  3 2 2 2 2- 4 -1 AE BE  15 15