寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第五讲 函数与方程及不等式的综合（教师版） 15页

函数与 方程不等式的综合 第五讲 函数与方程不等式的综合 明确目标﹒定位考点 函数与方程（组）、不等式综合问题是函数版块中重要的一个知识点，会以填空或选择或解答题的形式 考查，或压轴题中解决一个更为综合问题中的一步，占比 7 分左右。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 一次函数与二元一次方程组的关系 【例 1】函数 y=ax 与函数 2 3y x b  的图像如图所示，则关于 x、y 的方程组 0 3 2 3 ax y y x b     的解是_______ 【变式训练 1】如图所示的是函数 bkxy  与 nmxy  的图像，求方程组 y kx b y mx n      的解关于原点 对称的点的坐标是（ ） A.(4，3) B.(3，-4） C.(-3，4) D.(-3，-4) 【规律方法】坐标系内两条直线的交点坐标的代数意义即两条直线的解析式组成的方程组的解。 考点 2 一次函数与一次不等式的关系 【例 2】如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2x≥ax+4 的解集为（ ）A. 3 2x  B. x≤3 C. 3 2x  D. x≥3 函数与 方程不等式的综合 【变式训练 2】如图所示，直线 y1＝x＋b 与 y2＝kx－1 相交于点 P，点 P 的横坐标为－1，则关于 x 的不等 式 x＋b＞kx－1 的解集在数轴上表示正确的是( ) －1 0 1 －1 0 1 －2 0－1 －2 0－1 A． B． C． D． xO y －1 －1 P 1y x b  2 1y kx  【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 考点 3 反比例函数与一次函数交点问题 【例 3】已知如图，一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= k x 的图象相交于 A、B 两点，不等式 ax+b＞ k x 的解 集为（ ） A．x＜﹣3 B.﹣3＜x＜0 或 x＞1 C．x＜﹣3 或 x＞1 D.﹣3＜x＜1 【变式训练 3】一次函数 y1=﹣ x﹣1 与反比例函数 y2= 的图象交于点 A（﹣4，m）． （1）观察图象，在 y 轴的左侧，当 y1＞y2 时，请直接写出 x 的取值范围； （2）求出反比例函数的解析式． 函数与 方程不等式的综合 【规律方法】 观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 考点 4 二次函数与二次方程、二次不等式的关系 【例 4】二次函数 2y ax bx c   的图像如图 5 所示，根据图像解答下列问题： （1）写出 2 0ax bx c   的两个根 （2）写出不等式 2 0ax bx c   的解集 （3）若方程 2ax bx c k   有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 【变式训练 4】如图是二次函数 422  xxy 的图象，使 y ≤1 成立的 x 的取值范围是（ ） A. -1≤ x ≤3 B. x ≤-1 C. x ≥1 D. x ≤-1 或 x ≥3 函数与 方程不等式的综合 【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 考点 5 二次函数与一次函数交点问题 【例 5】如图, 二次函数的图象与 x 轴交于 A（－3,0）和 B（1,0）两点，交 y 轴于点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D。 （1）请直接写出 D 点的坐标。 （2）求二次函数的解析式。 （3）根据图象直接写出使 一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围。 y xA B CD O 【变式训练 5】如图是二次函数 cbxaxy  2 1 和一次函数 bkxy 2 的图象，当 21 yy  时， x 的取值 范围是____________． 【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 归纳总结﹒思维升华 1. 函数与方程的关系：函数 y=f(x)的图像是一条直线或曲线。当 f（x）=0 时，方程的解即图像与 x 轴 交点的横坐标。 函数与 方程不等式的综合 2. 两函数图像的交点的代数意义是两个解析式组成的方程（组）的解。有无交点或交点个数由方程（组） 解的情况决定。 3. 函数与不等式的关系：不等式 f（x）＞k 对应的是函数 f（x）图像上在 y=k 上方的部分。反之，不等 式 f（x）＜k 对应的是函数 f（x）图像上在 y=k 下方的部分。 专题训练﹒对接中考 一、 选择题。 1.方程 x+1=0 的解就是函数 y=x+1 的图像（ ） A．与 x 轴交点的横坐标 B. 与 y 轴交点的横坐标 C. 与 x 轴交点的横坐标或与 y 轴交点的横坐标 D.以上答案都不对 2 ．如 图 ， 直 线 y x m   与 4y nx n  （ 0n  ） 的 交 点 的 横 坐 标 为 2 ， 则 关 于 x 的 不 等 式 4 0x m nx n     的整数解为（ ） A．—1 B．—5 C．—4 D．—3 3.小兰画了一个函数 y=x2+ax+b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的解是（ ）A.无解 B.x=1 C.x= -4 D.x= -1 或 x=4 二、 填空题。 1.抛物线 2 5 6y x x   与 x 轴交于 A B、 两点，则 AB 的长为______． 2.一元一次方程 ax-b=0 的解是 x=3,则函数 y=ax-b 的图像与 x 轴交点坐标是_________. 3.反比例函数 3y x  与一次函数 y=2x+1 的图像的交点坐标为____________. 函数与 方程不等式的综合 4.如图，一次函数 1 ( 0)y ax b a   与反比例函数 2 ky x  的图像交于 A（1,4）、B（4,1）两点，若使 1y ＞ 2y ，则 x 的取值范围是_______________. 5．如图，已知函数 3y x   与 2y ax bx  （a＞0，b＞0）的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的不等式 2 3ax bx x   ＞0 的解为 _______ ． 三、 解答题。 1． 已知直线 y1= x+ 及直线 y2=﹣x+4． （1）直线 y2=﹣x+4 与 y 轴的交点坐标为_______； （2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象； （3）求这两条直线以及 x 轴所围成的三角形面积． 函数与 方程不等式的综合 2.已知一次函数 y=-x+4 与反比例函数 ky ,x  当 k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图 像有两个公共点？ 3.（2014 番禺期末）已知 1 1)A x ,y（ ， 2 2 )B x ,y（ 是反比例函数 2y x   图象上的两点，且 1 2 2x x   ， 1 2 3x x  ． （1）用“描点”的方法作出此反比例函数的图象； （2）求 1 2y y 的值及点 A 的坐标； （3）当－4＜ y  －1 时，依据图象写出 x 的取值范围. 4.某班“数学兴趣小组”对函数 2 2y x x  的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ 5 2 ﹣2 ﹣1 0 1 2 5 2 3 … y … 3 5 4 m ﹣1 0 ﹣1 0 5 4 3 … 函数与 方程不等式的综合 其中，m= ． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数 图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应的方程 2 2 0x x  有 个实数根； ②方程 2 2 2x x  有 个实数根； ③关于 x 的方程 2 2x x a  有 4 个实数根时，a 的取值范围是 ． 作业： 一、 选择题。 1． 若直线 y= x+b 与 y=ax﹣1 相交于点（1，﹣2），则 a+b=（ ） A.﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣ 2．同一平面直角坐标系中，一次函数 1y k x b  的图像与一次函数 2y k x 的图像如图所示，则关于 x 的方程 1 2k x b k x  的解为（ ） A.x＝0 B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝1 函数与 方程不等式的综合 [来源:学.科. 3.抛物线 2 1y x kx   与 x 轴交点的个数为（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．以上都不对 4.已知抛物线 2 1y x x   与 x 轴的一个交点为（ m ，0），则代数式 2m m +2015 的值为（ ）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016 二、填空题。 1．若抛物线 2 2y x x m   （m 为常数）与 x 轴没有公共点，则实数 m 的取值范围为_______ 2．将直线 4 13y x  的图象向上平移 3 个单位长度后与 x 轴 y 轴分别交于点 A，B，求 ABOs =_________． 3.在同一直角坐标系中，正比例函数 y=2x 与反比例函数 4 2ky x  的图像没有交点，则实数 k 的取值范 围是__________ 三．解答题。 1．（2015 春•越秀区期末）已知直线 y=﹣ x+9 与 x 轴交于点 A，直线 y= x+2 与 y 轴交于点 B．且这两条 直线相交于点 C．（1）求出点 A、B、C 的坐标； （2）求△ABC 的面积 S． 函数与 方程不等式的综合 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 my x  （m≠0）的图象相 交于 A、B 两点．求： （1）根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出：当 x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 3.已知二次函数 2y x bx c   的图象过点（4，3）、（3，0）． （1）求 b 、 c 的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在下图中作出此二次函数的图象，根据图像说明，当 x 取何值时， 0y  ？ 参考答案： 热点聚焦﹒考点突破 函数与 方程不等式的综合 【例 1】x=1,y=2 【变式训练 1】D 【例 2】A 【变式训练 2】A 【例 3】B 【变式训练 3】解答：（1）在 y 轴的左侧，当 y1＞y2 时，x＜﹣4； （2）把点 A（﹣4，m）代入 y1=﹣ x﹣1 得 m=﹣ ×（﹣4）﹣1=1， 则 A 点坐标为（﹣4，1），把 A（﹣4，1）代入 y2= 得 k=﹣4×1=﹣4， 所以反比例函数的解析式为 y2=﹣ ． 【例 4】(1) 1 21, 3x x  (2)解集为 1＜x＜3 (3)k＜2 【变式训练 4】D 【例 5】解：（1）D（-2，3） （2）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c 常数)， 根据题意得 9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3 解得 a=-1b=-2 c=3 所以二次函数的解析式为 y=-x2－2x+3 (3) x＜-2 或 x＞1 【变式训练 5】-1≤x≤2 ． 专题训练﹒对接中考 一． 选择题。 1.A 2.D 3.D 二．填空题。 1.1 2.(3,0) 3.(1,3)或 3( , 2)2   4.1＜x：＜4 5.x＜-3 或 x＞0. 三．解答题 1.解：（1）在 y2=﹣x+4 中，令 x=0，可得 y2=4， 函数与 方程不等式的综合 ∴直线 y2=﹣x+4 与 y 轴的交点坐标为（0，4），故答案为：（0，4）； （2）在 y1= x+ 中，令 x=0，可得 y1= ，令 y1=0，可得 x=﹣1， ∴直线 y1 与 y 轴交于点 A（0， ），与 x 轴交于点 B（﹣1，0）； 在 y2=﹣x+4 中，令 y2=0，可求得 x=4， ∴直线 y2 与 x 轴交于点 C（4，0），且由（1）可知与 y 轴交于点 D（0，4）， 联立两直线解析式可得 ，解得 ，∴两直线的交点 E（1，3）， ∴两直线的图象如图所示； （3）由（2）可知 BC=4﹣（﹣1）=5，且 E 到 BC 的距离为 3，∴S △ BCE= ×5×3=7.5． 2.解：由 4 kx x    得， 2 4 0x x k   ∵两图像有两个公共点 2( 4) 4k    又∵两交点在同一坐标系中 ∴k＞0 ∴0＜k＜4 3.解：（1）反比例函数的图象如图. （2） 1 2 2x x   ， 1 2 3x x  ． 函数与 方程不等式的综合 1 2 1 2 2 2y y x x           1 2 1 2 2 x x x x  2 ( 2) 4 .3 3     由 1 2 2x x   得 1 2= 2x x  ，代入 1 2 3x x  得： 2 1 12 3 0x x   . 1 1,x  或 1 3,x   当 1 1x  时， 1 2 21y     ;当 1 3x   时， 1 2 2 3 3y    . 所以点 A 的坐标（1，-2）或（-3， 2 3 ）. （3）如图，当－4＜ y  －1 时， x 的取值范围为 1 2 ＜ x  2． 4.解：（1）根据函数的对称性可得 m=0，故答案为：0； （2）如图所示； （3）由函数图象知：①函数 y=x2﹣2|x|的图象关于 y 轴对称；②当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大； （4）①由函数图象知：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 3 个实数根； ②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线 y=2 有两个交点， ∴x2﹣2|x|=2 有 2 个实数根； ③由函数图象知：∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根， ∴a 的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0． 作业： 一． 选择题。 函数与 方程不等式的综合 1.A 2.B 3.C 4.D 二．填空题。 1.m＞1 2. 6 3.k＞2 三．解答题 1.解：（1）设直线 y= x+2 与 x 轴交于点 D，如图， 当 x=0 时，y= x+2=2，则 B（0，2），当 y=0 时，﹣ x+9=0，解得 x=6，则 A（6，0）， 当 y=0 时， x+2=0，解得 x=﹣8，则 D（﹣8，0）， 解方程组 得 ，则 C（4，3）； （2）S△ABC=S△CAD﹣S△ADB= ×（6+8）×3﹣ ×（6+8）×2=7． 2.解：（1）A（2， 1 2 ） B（—1，—1） （2）—1＜x＜0 或 x＞2 3.解：（1）∵二次函数 2y x bx c   的图象过点（4，3）、（3，0）， ∴ 16 4 3 9 3 0 b c b c        ， ． 解得 4b   ， 3c  ． （2）将抛物线 2 4 3y x x   配方得， 2 4 3y x x   2( 2) 1x   ． (或∵ 4b   ， 3c  ， 22 b a   ， 24 14 ac b a    ) ∴顶点坐标 为 2, 1 ，对称轴为直线 x =2． （3）如图,1＜x＜3 时，y＜0. 函数与 方程不等式的综合