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- 2021-11-10 发布
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章末总结提升
第1课时(见A本11页)
, 探究点 1 二次函数的对称性)
【例1】 2017·临沂 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5;③足球被踢出9 s时落地;④足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式 在直角坐标系中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)若该抛物线在2<x<3这一段位于直线AB的下方,并且在3<x<4这一段位于直线AB的上方,则该抛物线的解析式为__y=2x2-4x-2__.
(2)抛物线的图象在-15__.
, 探究点 5 二次函数与生活实际的结合应用)
【例5】 小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚横截面为抛物线,有关数据如图所示,已知小燕的身高1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围有__6__米.
例5图
变式 2017·绍兴中考某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
变式图
解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+,
∴当x=25时,占地面积最大,
即饲养室长x为25 m时,占地面积y最大.
(2)∵y=x·=-(x-26)2+338,
∴当x=26时,占地面积最大,
即饲养室长x为26 m时,占地面积y最大;
∵26-25=1≠2,
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∴小敏的说法不正确.
, 探究点 6 二次函数与几何知识的结合应用)
【例6】 如图所示,分别过点Pi(i,0)(i=1,2,…,n)作x轴的垂线,交y=x2的图象于点Ai,交直线y=x于点Bi.则++…+的值为( D )
例6图
A. B.2 C. D.
变式 2017·安顺中考如图所示,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B,C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
变式图
解:(1)∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
∴B(3,0),C(0,3),
把B,C两点坐标代入抛物线解析式可得解得
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线对称轴为x=2,P(2,-1),
设M(2,t),且C(0,3),
∴MC==,MP=|t+1|,PC==2,
∵△CPM为等腰三角形,
∴有MC=MP,MC=PC和MP=PC三种情况,
①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M;
②当MC=PC时,则有=2,解得t=-1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);
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③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=-1+2或t=-1-2,此时M(2,-1+2)或(2,-1-2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为或(2,7)或(2,-1+2)或(2,-1-2).
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1.如图所示,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为__1__.
第1题图
第2题图
2.如图所示,一张正方形纸板的边长为2 cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2).则
(1)y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围为__y=2x2-4x+4(0<x<2)__;
(2)当x=__1__时,四边形EFGH的面积的最大值为__2__(cm2).
第3题图
3.2017·咸宁中考如图所示,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是__x<-1或x>4__.
第4题图
4.如图所示,P是抛物线y=2(x-2)2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与y=x和抛物线交于A,B.若△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形,则t=__或1或3__.
5.在平面直角坐标系中,平移二次函数y=(x-2015)(x-2017)+3的图象,使其与x轴的两个交点间的距离为2个单位长度,则下列平移方式中可实现上述要求的是( B )
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A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
第6题图
6.2017·河池中考抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点P,使∠APB=∠ABC,求点P的坐标.
解:(1)在y=-x2+2x+3中,令y=0可得0=-x2+2x+3,
解得x=-1或x=3,
令x=0可得y=3,∴B(3,0),C(0,3),
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3,
把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=-1,
∴直线BC解析式为y=-x+3.
(2)∵OB=OC,∴∠ABC=45°,
第6题答图
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线对称轴为直线x=1,
设抛物线对称轴交直线BC于点D,交x轴于点E,当点P在x轴上方时,如图,
∵∠APB=∠ABC=45°,且PA=PB,
∴∠PBA==67.5°,∠DPB=∠APB=22.5°,
∴∠PBD=67.5°-45°=22.5°,∴∠DPB=∠DBP,∴DP=DB,
在Rt△BDE中,BE=DE=2,由勾股定理可求得BD=2,
∴PE=2+2,∴P(1,2+2);
当点P在x轴下方时,由对称性可知P点坐标为(1,-2-2);
综上可知P点坐标为(1,2+2)或(1,-2-2).
7.2017·荆州中考荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为:
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p=日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示.
第7题图
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式;
(2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
(3)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克小龙虾,就捐赠m(m<7)元给村里的特困户.在这前40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
解:(1)设解析式为y=kt+b,
将(1,198),(80,40)代入,得
解得
∴y=-2t+200(1≤t≤80,t为整数).
(2)设日销售利润为w,则w=(p-6)y,
①当1≤t≤40时,w=(-2t+200)=-(t-30)2+2450,
∴当t=30时,w最大=2450;
②当41≤t≤80时,w=(-2t+200)=(t-90)2-100,
∴当t=41时,w最大=2301.
∵2450>2301,
∴第30天的日销售利润最大,最大利润为2450元.
(3)设日销售利润为w,根据题意,得
w=(-2t+200)=-t2+(30+2m)t+2000-200m,
其函数图象的对称轴为直线t=2m+30,
∵w随t的增大而增大,且1≤t≤40,
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40,
解得m≥5,又m<7,∴5≤m<7.
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