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- 2021-11-10 发布
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2018年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)
1.(3.00分)﹣8的倒数是( )
A.﹣8 B.8 C.﹣ D.
2.(3.00分)下列计算正确的是( )
A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6
C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2
3.(3.00分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.(3.00分)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为( )
A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107
5.(3.00分)已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(3.00分)如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为( )
A.125° B.135° C.145° D.155°
7.(3.00分)64的立方根为( )
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
8.(3.00分)关于x的不等式的解集为x>3,那么a的取值范围为( )
A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3
9.(3.00分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正方体的个数不可能是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.(3.00分)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店( )
A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元
11.(3.00分)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
12.(3.00分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:
①abc>0;
②b2﹣4ac>0;
③9a﹣3b+c=0;
④若点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,则y1>y2;
⑤5a﹣2b+c<0.
其中正确的个数有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)
13.(3.00分)因式分解:8a3﹣2ab2= .
14.(3.00分)函数y=的自变量x的取值范围是 .
15.(3.00分)在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 .(结果不取近似值)
16.(3.00分)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 个.
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(8.00分)先化简,再求值:•(1+)÷,其中x=2﹣1.
18.(8.00分)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.
求证:AD与BE互相平分.
19.(8.00分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度;
(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
20.(8.00分)如图所示,为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离,小明在A处测得C在北偏东30°方向上,然后向正东方向前进100米至B处,测得此时C在北偏西15°方向上,求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米,参考数据≈1.41,≈1.73)
21.(8.00分)如图,直线y=﹣2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.
(1)求k的值及C点坐标;
(2)直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,且与y轴交于点B',与双曲线y=交于D、E两点,求△CDE的面积.
22.(10.00分)某学校为改善办学条件,计划采购A、B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元;
(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?
(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?
23.(10.00分)如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.
(1)求证:DE为⊙O切线;
(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;
(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.
24.(12.00分)如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(﹣1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为坐标平面内一点,以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标;
(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标.
2018年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)
1.(3.00分)﹣8的倒数是( )
A.﹣8 B.8 C.﹣ D.
【分析】根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为1,﹣8×(﹣)=1,即可解答.
【解答】解:根据倒数的定义得:﹣8×(﹣)=1,
因此﹣8的倒数是﹣.
故选:C.
2.(3.00分)下列计算正确的是( )
A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6
C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算.
【解答】解:A、a4与a5不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、(2a2b3)2=4a4b6,故本选项正确;
C、﹣2a(a+3)=﹣2a2﹣6a,故本选项错误;
D、(2a﹣b)2=4a2﹣4ab+b2,故本选项错误;
故选:B.
3.(3.00分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确.
故选:D.
4.(3.00分)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为( )
A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.000000823=8.23×10﹣7.
故选:B.
5.(3.00分)已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】先由平均数是3可得x的值,再结合方差公式计算.
【解答】解:∵数据1、2、3、x、5的平均数是3,
∴=3,
解得:x=4,
则数据为1、2、3、4、5,
∴方差为×[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2,
故选:B.
6.(3.00分)如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为( )
A.125° B.135° C.145° D.155°
【分析】如图求出∠5即可解决问题.
【解答】解:
∵a∥b,
∴∠1=∠4=35°,
∵∠2=90°,
∴∠4+∠5=90°,
∴∠5=55°,
∴∠3=180°﹣∠5=125°,
故选:A.
7.(3.00分)64的立方根为( )
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果.
【解答】解:64的立方根是4.
故选:C.
8.(3.00分)关于x的不等式的解集为x>3,那么a的取值范围为( )
A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3
【分析】先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,则利用同大取大可得到a的范围.
【解答】解:解不等式2(x﹣1)>4,得:x>3,
解不等式a﹣x<0,得:x>a,
∵不等式组的解集为x>3,
∴a≤3,
故选:D.
9.(3.00分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正方体的个数不可能是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案.
【解答】解:由左视图可得,第2层上至少一个小立方体,
第1层一共有5个小立方体,故小正方体的个数最少为:6个,故小正方体的个数不可能是5个.
故选:A.
10.(3.00分)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店( )
A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元
【分析】
设两件衣服的进价分别为x、y元,根据利润=销售收入﹣进价,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论.
【解答】解:设两件衣服的进价分别为x、y元,
根据题意得:120﹣x=20%x,y﹣120=20%y,
解得:x=100,y=150,
∴120+120﹣100﹣150=﹣10(元).
故选:C.
11.(3.00分)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.
【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,
∴△ABF∽△GDF,
∴==2,
∴AF=2GF=4,
∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,
∴CG为△EAB的中位线,
∴AE=2AG=12.
故选:D.
12.(3.00分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:
①abc>0;
②b2﹣4ac>0;
③9a﹣3b+c=0;
④若点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,则y1>y2;
⑤5a﹣2b+c<0.
其中正确的个数有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可.
【解答】解:∵抛物线对称轴x=﹣1,经过(1,0),
∴﹣=﹣1,a+b+c=0,
∴b=2a,c=﹣3a,
∵a>0,
∴b>0,c<0,
∴abc<0,故①错误,
∵抛物线与x轴有交点,
∴b2﹣4ac>0,故②正确,
∵抛物线与x轴交于(﹣3,0),
∴9a﹣3b+c=0,故③正确,
∵点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,
﹣1.5>﹣2,
则y1<y2;故④错误,
∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a<0,故⑤正确,
故选:B.
二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)
13.(3.00分)因式分解:8a3﹣2ab2= 2a(2a+b)(2a﹣b) .
【分析】首先提取公因式2a,再利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:8a3﹣2ab2=2a(4a2﹣b2)
=2a(2a+b)(2a﹣b).
故答案为:2a(2a+b)(2a﹣b).
14.(3.00分)函数y=的自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠3 .
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.
【解答】解:根据题意得2x+1≥0,x﹣3≠0,
解得x≥﹣且x≠3.
故答案为:x≥﹣且x≠3.
15.(3.00分)在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 π+ .(结果不取近似值)
【分析】先得到∠ACB=30°,BC=,利用旋转的性质可得到点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长,第三部分为△ABC的面积;然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积.
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=30°,BC=,
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长;第三部分为△ABC的面积;
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=++•1•=+.
故答案为π+.
16.(3.00分)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 1838 个.
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,所以从右到左的数分别为2、0×6、3×6×6、2×6×6×6、1×6×6×6×6,然后把它们相加即可.
【解答】解:2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838,
故答案为:1838.
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(8.00分)先化简,再求值:•(1+)÷,其中x=2﹣1.
【分析】直接分解因式,再利用分式的混合运算法则计算得出答案.
【解答】解:•(1+)÷
=••
=,
把x=2﹣1代入得,原式===.
18.(8.00分)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.
求证:AD与BE互相平分.
【分析】连接BD,AE,判定△ABC≌△DEF(ASA),可得AB=DE,依据AB∥DE,即可得出四边形ABDE是平行四边形,进而得到AD与BE互相平分.
【解答】证明:如图,连接BD,AE,
∵FB=CE,
∴BC=EF,
又∵AB∥ED,AC∥FD,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴AB=DE,
又∵AB∥DE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AD与BE互相平分.
19.(8.00分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:
(1)a= 2 ,b= 45 ,c= 20 ;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度;
(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
【分析】(1)根据A等次人数及其百分比求得总人数,总人数乘以D等次百分比可得a的值,再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值;
(2)用360°乘以C等次百分比可得;
(3)画出树状图,由概率公式即可得出答案.
【解答】解:(1)本次调查的总人数为12÷30%=40人,
∴a=40×5%=2,b=×100=45,c=×100=20,
故答案为:2、45、20;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°,
故答案为:72;
(3)画树状图,如图所示:
共有12个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个,
故P(选中的两名同学恰好是甲、乙)==.
20.(8.00分)如图所示,为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离,小明在A处测得C在北偏东30°方向上,然后向正东方向前进100米至B处,测得此时C在北偏西15°方向上,求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米,参考数据≈1.41,≈1.73)
【分析】先根据题目给出的方向角.求出三角形各个内角的度数,过点B作BE⊥AC构造直角三角形.利用三角函数求出AE、BE,再求和即可.
【解答】解:由题意知:∠WAC=30°,∠NBC=15°,
∴∠BAC=60°,∠ABC=75°,
∴∠C=45°
过点B作BE⊥AC,垂足为E.
在Rt△AEB中,
∵∠BAC=60°,AB=100米
∴AE=cos∠BAC×AB
=×100=50(米)
BE=sin∠BAC×AB
=×100=50(米)
在Rt△CEB中,
∵∠C=45°,BE=50(米)
∴CE=BE=50=86.5(米)
∴AC=AE+CE
=50+86.5
=136.5(米)
≈137米
答:旗台与图书馆之间的距离约为137米.
21.(8.00分)如图,直线y=﹣2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.
(1)求k的值及C点坐标;
(2)直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,且与y轴交于点B',与双曲线y=交于D、E两点,求△CDE的面积.
【分析】(1)令﹣2x+4=,则2x2﹣4x+k=0,依据直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C,即可得到k的值,进而得出点C的坐标;
(2)依据直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,即可得到直线l为y=2x﹣4,再根据=2x﹣4,即可得到E(﹣1,﹣6),D(3,2),可得CD=2,进而得出△CDE的面积=×2×(6+2)=8.
【解答】解:(1)令﹣2x+4=,则2x2﹣4x+k=0,
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C,
∴△=16﹣8k=0,
解得k=2,
∴2x2﹣4x+2=0,
解得x=1,
∴y=2,
即C(1,2);
(2)∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,
∴A(2,0),B'(0,﹣4),
∴直线l为y=2x﹣4,
令=2x﹣4,则x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=3,x2=﹣1,
∴E(﹣1,﹣6),D(3,2),
又∵C(1,2),
∴CD=3﹣1=2,
∴△CDE的面积=×2×(6+2)=8.
22.(10.00分)某学校为改善办学条件,计划采购A、B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元;
(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?
(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?
【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;
(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;
(3)根据题意和(2)中的结果,可以解答本题.
【解答】解:(1)设A型空调和B型空调每台各需x元、y元,
,解得,,
答:A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元;
(2)设购买A型空调a台,则购买B型空调(30﹣a)台,
,
解得,10≤a≤12,
∴a=10、11、12,共有三种采购方案,
方案一:采购A型空调10台,B型空调20台,
方案二:采购A型空调11台,B型空调19台,
方案三:采购A型空调12台,B型空调18台;
(3)设总费用为w元,
w=9000a+6000(30﹣a)=3000a+180000,
∴当a=10时,w取得最小值,此时w=210000,
即采购A型空调10台,B型空调20台可使总费用最低,最低费用是210000元.
23.(10.00分)如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.
(1)求证:DE为⊙O切线;
(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;
(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.
【分析】(1)如图1,连接OD、BD,根据圆周角定理得:∠ADB=90°,则AD⊥BD,OE⊥BD,由垂径定理得:BM=DM,证明△BOE≌△DOE,则∠ODE=∠OBE=90°,可得结论;
(2)设AP=a,根据三角函数得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角△OPD中,根据勾股定理列方程可得:32=(3﹣a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;
(3)先证明△APF∽△ABE,得,由△ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得结论.
【解答】证明:(1)如图1,连接OD、BD,BD交OE于M,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,AD⊥BD,
∵OE∥AD,
∴OE⊥BD,
∴BM=DM,
∵OB=OD,
∴∠BOM=∠DOM,
∵OE=OE,
∴△BOE≌△DOE(SAS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,
∴DE为⊙O切线;
(2)设AP=a,
∵sin∠ADP==,
∴AD=3a,
∴PD===2a,
∵OP=3﹣a,
∴OD2=OP2+PD2,
∴32=(3﹣a)2+(2a)2,
9=9﹣6a+a2+8a2,
a1=,a2=0(舍),
当a=时,AD=3a=2,
∴AD=2;
(3)PF=FD,
理由是:∵∠APD=∠ABE=90°,∠PAD=∠BAE,
∴△APF∽△ABE,
∴,
∴PF=,
∵OE∥AD,
∴∠BOE=∠PAD,
∵∠OBE=∠APD=90°,
∴△ADP∽△OEB,
∴,
∴PD=,
∵AB=2OB,
∴PD=2PF,
∴PF=FD.
24.(12.00分)如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(﹣1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为坐标平面内一点,以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标;
(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标.
【分析】(1)由OC与OB的长,确定出B与C的坐标,再由A坐标,利用待定系数法确定出抛物线解析式即可;
(2)分三种情况讨论:当四边形CBPD是平行四边形;当四边形BCPD是平行四边形;四边形BDCP是平行四边形时,利用平移规律确定出P坐标即可;
(3)由B与C坐标确定出直线BC解析式,求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标,确定出交点与直线BC解析式,进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式,确定出所求M坐标,且求出定值S的值即可.
【解答】解:(1)由OC=2,OB=3,得到B(3,0),C(0,2),
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
把C(0,2)代入得:2=﹣3a,即a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2;
(2)抛物线y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,
∴D(1,),
当四边形CBPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(4,);
当四边形CDBP是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(2,﹣);
当四边形BCPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(﹣2,);
(3)设直线BC解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,2)代入得:,
解得:,
∴y=﹣x+2,
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b,
联立得:,
消去y得:2x2﹣6x+3b﹣6=0,
当直线与抛物线只有一个公共点时,△=36﹣8(3b﹣6)=0,
解得:b=,即y=﹣x+,
此时交点M1坐标为(,);
可得出两平行线间的距离为,
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+,
联立解得:M2(,﹣),M3(,﹣﹣),
此时S=1.
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