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  • 2021-11-10 发布

2018年湖北省恩施州中考数学试卷

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‎2018年湖北省恩施州中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)‎ ‎1.(3.00分)﹣8的倒数是(  )‎ A.﹣8 B.8 C.﹣ D.‎ ‎2.(3.00分)下列计算正确的是(  )‎ A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6‎ C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2‎ ‎3.(3.00分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3.00分)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为(  )‎ A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107‎ ‎5.(3.00分)已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.(3.00分)如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为(  )‎ A.125° B.135° C.145° D.155°‎ ‎7.(3.00分)64的立方根为(  )‎ A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4‎ ‎8.(3.00分)关于x的不等式的解集为x>3,那么a的取值范围为(  )‎ A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3‎ ‎9.(3.00分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正方体的个数不可能是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎10.(3.00分)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店(  )‎ A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元 ‎11.(3.00分)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为(  )‎ A.6 B.8 C.10 D.12‎ ‎12.(3.00分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:‎ ‎①abc>0;‎ ‎②b2﹣4ac>0;‎ ‎③9a﹣3b+c=0;‎ ‎④若点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,则y1>y2;‎ ‎⑤5a﹣2b+c<0.‎ 其中正确的个数有(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.(3.00分)因式分解:8a3﹣2ab2=   .‎ ‎14.(3.00分)函数y=的自变量x的取值范围是   .‎ ‎15.(3.00分)在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为   .(结果不取近似值)‎ ‎16.(3.00分)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为   个.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(8.00分)先化简,再求值:•(1+)÷,其中x=2﹣1.‎ ‎18.(8.00分)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.‎ 求证:AD与BE互相平分.‎ ‎19.(8.00分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:‎ ‎(1)a=   ,b=   ,c=   ;‎ ‎(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为   度;‎ ‎(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.‎ ‎20.(8.00分)如图所示,为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离,小明在A处测得C在北偏东30°方向上,然后向正东方向前进100米至B处,测得此时C在北偏西15°方向上,求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米,参考数据≈1.41,≈1.73)‎ ‎21.(8.00分)如图,直线y=﹣2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.‎ ‎(1)求k的值及C点坐标;‎ ‎(2)直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,且与y轴交于点B',与双曲线y=交于D、E两点,求△CDE的面积.‎ ‎22.(10.00分)某学校为改善办学条件,计划采购A、B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.‎ ‎(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元;‎ ‎(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?‎ ‎(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?‎ ‎23.(10.00分)如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.‎ ‎(1)求证:DE为⊙O切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;‎ ‎(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.‎ ‎24.(12.00分)如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(﹣1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P为坐标平面内一点,以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标;‎ ‎(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2018年湖北省恩施州中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)‎ ‎1.(3.00分)﹣8的倒数是(  )‎ A.﹣8 B.8 C.﹣ D.‎ ‎【分析】根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为1,﹣8×(﹣)=1,即可解答.‎ ‎【解答】解:根据倒数的定义得:﹣8×(﹣)=1,‎ 因此﹣8的倒数是﹣.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(3.00分)下列计算正确的是(  )‎ A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6‎ C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2‎ ‎【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算.‎ ‎【解答】解:A、a4与a5不是同类项,不能合并,故本选项错误;‎ B、(2a2b3)2=4a4b6,故本选项正确;‎ C、﹣2a(a+3)=﹣2a2﹣6a,故本选项错误;‎ D、(2a﹣b)2=4a2﹣4ab+b2,故本选项错误;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(3.00分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(3.00分)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为(  )‎ A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.000000823=8.23×10﹣7.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(3.00分)已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】先由平均数是3可得x的值,再结合方差公式计算.‎ ‎【解答】解:∵数据1、2、3、x、5的平均数是3,‎ ‎∴=3,‎ 解得:x=4,‎ 则数据为1、2、3、4、5,‎ ‎∴方差为×[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(3.00分)如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为(  )‎ A.125° B.135° C.145° D.155°‎ ‎【分析】如图求出∠5即可解决问题.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠1=∠4=35°,‎ ‎∵∠2=90°,‎ ‎∴∠4+∠5=90°,‎ ‎∴∠5=55°,‎ ‎∴∠3=180°﹣∠5=125°,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(3.00分)64的立方根为(  )‎ A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4‎ ‎【分析】利用立方根定义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:64的立方根是4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(3.00分)关于x的不等式的解集为x>3,那么a的取值范围为(  )‎ A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3‎ ‎【分析】先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,则利用同大取大可得到a的范围.‎ ‎【解答】解:解不等式2(x﹣1)>4,得:x>3,‎ 解不等式a﹣x<0,得:x>a,‎ ‎∵不等式组的解集为x>3,‎ ‎∴a≤3,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3.00分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正方体的个数不可能是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案.‎ ‎【解答】解:由左视图可得,第2层上至少一个小立方体,‎ 第1层一共有5个小立方体,故小正方体的个数最少为:6个,故小正方体的个数不可能是5个.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(3.00分)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店(  )‎ A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元 ‎【分析】‎ 设两件衣服的进价分别为x、y元,根据利润=销售收入﹣进价,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论.‎ ‎【解答】解:设两件衣服的进价分别为x、y元,‎ 根据题意得:120﹣x=20%x,y﹣120=20%y,‎ 解得:x=100,y=150,‎ ‎∴120+120﹣100﹣150=﹣10(元).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.(3.00分)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为(  )‎ A.6 B.8 C.10 D.12‎ ‎【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,‎ ‎∴△ABF∽△GDF,‎ ‎∴==2,‎ ‎∴AF=2GF=4,‎ ‎∴AG=6.‎ ‎∵CG∥AB,AB=2CG,‎ ‎∴CG为△EAB的中位线,‎ ‎∴AE=2AG=12.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.(3.00分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:‎ ‎①abc>0;‎ ‎②b2﹣4ac>0;‎ ‎③9a﹣3b+c=0;‎ ‎④若点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,则y1>y2;‎ ‎⑤5a﹣2b+c<0.‎ 其中正确的个数有(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】根据二次函数的性质一一判断即可.‎ ‎【解答】解:∵抛物线对称轴x=﹣1,经过(1,0),‎ ‎∴﹣=﹣1,a+b+c=0,‎ ‎∴b=2a,c=﹣3a,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴b>0,c<0,‎ ‎∴abc<0,故①错误,‎ ‎∵抛物线与x轴有交点,‎ ‎∴b2﹣4ac>0,故②正确,‎ ‎∵抛物线与x轴交于(﹣3,0),‎ ‎∴9a﹣3b+c=0,故③正确,‎ ‎∵点(﹣0.5,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,‎ ‎﹣1.5>﹣2,‎ 则y1<y2;故④错误,‎ ‎∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a<0,故⑤正确,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.(3.00分)因式分解:8a3﹣2ab2= 2a(2a+b)(2a﹣b) .‎ ‎【分析】首先提取公因式2a,再利用平方差公式分解因式得出答案.‎ ‎【解答】解:8a3﹣2ab2=2a(4a2﹣b2)‎ ‎=2a(2a+b)(2a﹣b).‎ 故答案为:2a(2a+b)(2a﹣b).‎ ‎ ‎ ‎14.(3.00分)函数y=的自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠3 .‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.‎ ‎【解答】解:根据题意得2x+1≥0,x﹣3≠0,‎ 解得x≥﹣且x≠3.‎ 故答案为:x≥﹣且x≠3.‎ ‎ ‎ ‎15.(3.00分)在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 π+ .(结果不取近似值)‎ ‎【分析】先得到∠ACB=30°,BC=,利用旋转的性质可得到点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长,第三部分为△ABC的面积;然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【解答】解:∵Rt△ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ACB=30°,BC=,‎ 将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长;第三部分为△ABC的面积;‎ ‎∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=++•1•=+.‎ 故答案为π+.‎ ‎ ‎ ‎16.(3.00分)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 1838 个.‎ ‎【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,所以从右到左的数分别为2、0×6、3×6×6、2×6×6×6、1×6×6×6×6,然后把它们相加即可.‎ ‎【解答】解:2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838,‎ 故答案为:1838.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(8.00分)先化简,再求值:•(1+)÷,其中x=2﹣1.‎ ‎【分析】直接分解因式,再利用分式的混合运算法则计算得出答案.‎ ‎【解答】解:•(1+)÷‎ ‎=••‎ ‎=,‎ 把x=2﹣1代入得,原式===.‎ ‎ ‎ ‎18.(8.00分)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.‎ 求证:AD与BE互相平分.‎ ‎【分析】连接BD,AE,判定△ABC≌△DEF(ASA),可得AB=DE,依据AB∥DE,即可得出四边形ABDE是平行四边形,进而得到AD与BE互相平分.‎ ‎【解答】证明:如图,连接BD,AE,‎ ‎∵FB=CE,‎ ‎∴BC=EF,‎ 又∵AB∥ED,AC∥FD,‎ ‎∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA),‎ ‎∴AB=DE,‎ 又∵AB∥DE,‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形,‎ ‎∴AD与BE互相平分.‎ ‎ ‎ ‎19.(8.00分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:‎ ‎(1)a= 2 ,b= 45 ,c= 20 ;‎ ‎(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度;‎ ‎(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.‎ ‎【分析】(1)根据A等次人数及其百分比求得总人数,总人数乘以D等次百分比可得a的值,再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值;‎ ‎(2)用360°乘以C等次百分比可得;‎ ‎(3)画出树状图,由概率公式即可得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)本次调查的总人数为12÷30%=40人,‎ ‎∴a=40×5%=2,b=×100=45,c=×100=20,‎ 故答案为:2、45、20;‎ ‎(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°,‎ 故答案为:72;‎ ‎(3)画树状图,如图所示:‎ 共有12个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个,‎ 故P(选中的两名同学恰好是甲、乙)==.‎ ‎ ‎ ‎20.(8.00分)如图所示,为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离,小明在A处测得C在北偏东30°方向上,然后向正东方向前进100米至B处,测得此时C在北偏西15°方向上,求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米,参考数据≈1.41,≈1.73)‎ ‎【分析】先根据题目给出的方向角.求出三角形各个内角的度数,过点B作BE⊥AC构造直角三角形.利用三角函数求出AE、BE,再求和即可.‎ ‎【解答】解:由题意知:∠WAC=30°,∠NBC=15°,‎ ‎∴∠BAC=60°,∠ABC=75°,‎ ‎∴∠C=45°‎ 过点B作BE⊥AC,垂足为E.‎ 在Rt△AEB中,‎ ‎∵∠BAC=60°,AB=100米 ‎∴AE=cos∠BAC×AB ‎=×100=50(米)‎ BE=sin∠BAC×AB ‎=×100=50(米)‎ 在Rt△CEB中,‎ ‎∵∠C=45°,BE=50(米)‎ ‎∴CE=BE=50=86.5(米)‎ ‎∴AC=AE+CE ‎=50+86.5‎ ‎=136.5(米)‎ ‎≈137米 答:旗台与图书馆之间的距离约为137米.‎ ‎ ‎ ‎21.(8.00分)如图,直线y=﹣2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.‎ ‎(1)求k的值及C点坐标;‎ ‎(2)直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,且与y轴交于点B',与双曲线y=交于D、E两点,求△CDE的面积.‎ ‎【分析】(1)令﹣2x+4=,则2x2﹣4x+k=0,依据直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C,即可得到k的值,进而得出点C的坐标;‎ ‎(2)依据直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,即可得到直线l为y=2x﹣4,再根据=2x﹣4,即可得到E(﹣1,﹣6),D(3,2),可得CD=2,进而得出△CDE的面积=×2×(6+2)=8.‎ ‎【解答】解:(1)令﹣2x+4=,则2x2﹣4x+k=0,‎ ‎∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C,‎ ‎∴△=16﹣8k=0,‎ 解得k=2,‎ ‎∴2x2﹣4x+2=0,‎ 解得x=1,‎ ‎∴y=2,‎ 即C(1,2);‎ ‎(2)∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,‎ ‎∴A(2,0),B'(0,﹣4),‎ ‎∴直线l为y=2x﹣4,‎ 令=2x﹣4,则x2﹣2x﹣3=0,‎ 解得x1=3,x2=﹣1,‎ ‎∴E(﹣1,﹣6),D(3,2),‎ 又∵C(1,2),‎ ‎∴CD=3﹣1=2,‎ ‎∴△CDE的面积=×2×(6+2)=8.‎ ‎ ‎ ‎22.(10.00分)某学校为改善办学条件,计划采购A、B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.‎ ‎(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元;‎ ‎(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?‎ ‎(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?‎ ‎【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;‎ ‎(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;‎ ‎(3)根据题意和(2)中的结果,可以解答本题.‎ ‎【解答】解:(1)设A型空调和B型空调每台各需x元、y元,‎ ‎,解得,,‎ 答:A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元;‎ ‎(2)设购买A型空调a台,则购买B型空调(30﹣a)台,‎ ‎,‎ 解得,10≤a≤12,‎ ‎∴a=10、11、12,共有三种采购方案,‎ 方案一:采购A型空调10台,B型空调20台,‎ 方案二:采购A型空调11台,B型空调19台,‎ 方案三:采购A型空调12台,B型空调18台;‎ ‎(3)设总费用为w元,‎ w=9000a+6000(30﹣a)=3000a+180000,‎ ‎∴当a=10时,w取得最小值,此时w=210000,‎ 即采购A型空调10台,B型空调20台可使总费用最低,最低费用是210000元.‎ ‎ ‎ ‎23.(10.00分)如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.‎ ‎(1)求证:DE为⊙O切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;‎ ‎(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.‎ ‎【分析】(1)如图1,连接OD、BD,根据圆周角定理得:∠ADB=90°,则AD⊥BD,OE⊥BD,由垂径定理得:BM=DM,证明△BOE≌△DOE,则∠ODE=∠OBE=90°,可得结论;‎ ‎(2)设AP=a,根据三角函数得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角△OPD中,根据勾股定理列方程可得:32=(3﹣a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;‎ ‎(3)先证明△APF∽△ABE,得,由△ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得结论.‎ ‎【解答】证明:(1)如图1,连接OD、BD,BD交OE于M,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,AD⊥BD,‎ ‎∵OE∥AD,‎ ‎∴OE⊥BD,‎ ‎∴BM=DM,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠BOM=∠DOM,‎ ‎∵OE=OE,‎ ‎∴△BOE≌△DOE(SAS),‎ ‎∴∠ODE=∠OBE=90°,‎ ‎∴DE为⊙O切线;‎ ‎(2)设AP=a,‎ ‎∵sin∠ADP==,‎ ‎∴AD=3a,‎ ‎∴PD===2a,‎ ‎∵OP=3﹣a,‎ ‎∴OD2=OP2+PD2,‎ ‎∴32=(3﹣a)2+(2a)2,‎ ‎9=9﹣6a+a2+8a2,‎ a1=,a2=0(舍),‎ 当a=时,AD=3a=2,‎ ‎∴AD=2;‎ ‎(3)PF=FD,‎ 理由是:∵∠APD=∠ABE=90°,∠PAD=∠BAE,‎ ‎∴△APF∽△ABE,‎ ‎∴,‎ ‎∴PF=,‎ ‎∵OE∥AD,‎ ‎∴∠BOE=∠PAD,‎ ‎∵∠OBE=∠APD=90°,‎ ‎∴△ADP∽△OEB,‎ ‎∴,‎ ‎∴PD=,‎ ‎∵AB=2OB,‎ ‎∴PD=2PF,‎ ‎∴PF=FD.‎ ‎ ‎ ‎24.(12.00分)如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(﹣1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P为坐标平面内一点,以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标;‎ ‎(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标.‎ ‎【分析】(1)由OC与OB的长,确定出B与C的坐标,再由A坐标,利用待定系数法确定出抛物线解析式即可;‎ ‎(2)分三种情况讨论:当四边形CBPD是平行四边形;当四边形BCPD是平行四边形;四边形BDCP是平行四边形时,利用平移规律确定出P坐标即可;‎ ‎(3)由B与C坐标确定出直线BC解析式,求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标,确定出交点与直线BC解析式,进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式,确定出所求M坐标,且求出定值S的值即可.‎ ‎【解答】解:(1)由OC=2,OB=3,得到B(3,0),C(0,2),‎ 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),‎ 把C(0,2)代入得:2=﹣3a,即a=﹣,‎ 则抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2;‎ ‎(2)抛物线y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,‎ ‎∴D(1,),‎ 当四边形CBPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(4,);‎ 当四边形CDBP是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(2,﹣);‎ 当四边形BCPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到P(﹣2,);‎ ‎(3)设直线BC解析式为y=kx+b,‎ 把B(3,0),C(0,2)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴y=﹣x+2,‎ 设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b,‎ 联立得:,‎ 消去y得:2x2﹣6x+3b﹣6=0,‎ 当直线与抛物线只有一个公共点时,△=36﹣8(3b﹣6)=0,‎ 解得:b=,即y=﹣x+,‎ 此时交点M1坐标为(,);‎ 可得出两平行线间的距离为,‎ 同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+,‎ 联立解得:M2(,﹣),M3(,﹣﹣),‎ 此时S=1.‎ ‎ ‎