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- 2021-11-10 发布
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2020 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.在每小题所给出的四个选项
中,只有一项是正确的)
1. 2的相反数是( )
A.−2 B.− 1
2
C.1
2
D.2
2. 计算푚6 ÷ 푚2的结果是( )
A.푚3 B.푚4 C.푚8 D.푚12
3. 如图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥
4. 8的立方根为( )
A.2√2 B.±2√2 C.2 D.±2
5. 如果푥 < 푦,那么下列不等式正确的是( )
A.2푥 < 2푦 B.−2푥 < −2푦 C.푥 − 1 > 푦 − 1 D.푥 + 1 > 푦 + 1
6. 如图,直线푎、푏被直线푐所截,푎 // 푏,∠1=140∘,则∠2的度数是( )
A.30∘ B.40∘ C.50∘ D.60∘
7. 如图,퐴퐵是⊙ 푂的弦,点퐶是优弧퐴퐵上的动点(퐶不与퐴、퐵重合),퐶퐻 ⊥ 퐴퐵,
垂足为퐻,点푀是퐵퐶的中点.若⊙ 푂的半径是3,则푀퐻长的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8. 如图,点퐷是▱푂퐴퐵퐶内一点,퐶퐷与푥轴平行,퐵퐷与푦轴平行,퐵퐷 = √2,∠퐴퐷퐵
=135∘,푆△퐴퐵퐷=2.若反比例函数푦 = 푘
푥 (푥 > 0)的图象经过퐴、퐷两点,则푘的值是( )
A.2√2 B.4 C.3√2 D.6
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把笞
案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 计算:| − 2| + (휋 − 1)0=________.
10. 若代数式 1
푥−1
有意义,则实数푥的取值范围是________.
11. 地球的半径大约为6400푘푚.数据6400用科学记数法表示为________.
12. 分解因式:푥3 − 푥=________.
13. 若一次函数푦=푘푥 + 2的函数值푦随自变量푥增大而增大,则实数푘的取值范围是
________.
14. 若关于푥的方程푥2 + 푎푥 − 2=0有一个根是1,则푎=________.
15. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐵퐶的垂直平分线分别交퐵퐶、퐴퐵于点퐸、퐹.若△ 퐴퐹퐶是等
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边三角形,则∠퐵=________∘.
16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中
最好的东西,互相以长补短.在菱形퐴퐵퐶퐷中,퐴퐵=2,∠퐷퐴퐵=120∘.如图,建立平
面直角坐标系푥푂푦,使得边퐴퐵在푥轴正半轴上,点퐷在푦轴正半轴上,则点퐶的坐标是
________.
17. 如图,点퐶在线段퐴퐵上,且퐴퐶=2퐵퐶,分别以퐴퐶、퐵퐶为边在线段퐴퐵的同侧作
正方形퐴퐶퐷퐸、퐵퐶퐹퐺,连接퐸퐶、퐸퐺,则tan∠퐶퐸퐺=________.
18. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐵=45∘,퐴퐵=6√2,퐷、퐸分别是퐴퐵、퐴퐶的中点,连接
퐷퐸,在直线퐷퐸和直线퐵퐶上分别取点퐹、퐺,连接퐵퐹、퐷퐺.若퐵퐹=3퐷퐺,且直线퐵퐹
与直线퐷퐺互相垂直,则퐵퐺的长为________.
三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说
明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. 先化简,再求值:(푥 + 1)2 − 푥(푥 + 1),其中푥=2.
20. 解方程和不等式组:
(1) 푥
푥−1 + 2
1−푥 = 2;
(2){2푥 − 6 < 0
−3푥 ≤ 6 .
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21. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况,调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、
踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查,并根据
调查结果绘制成如图统计图.
(1)本次抽样调查的样本容量是________;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有2000名学生,请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.
22. 在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码,做成3支签,放在一个不透明
的盒子中.
(1)搅匀后从中随机抽出1支签,抽到1号签的概率是________;
(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回),再从余下的2支签中随机抽出1支签,
求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.
23. 已知:如图,点퐴、퐵、퐶、퐷在一条直线上,퐸퐴 // 퐹퐵,퐸퐴=퐹퐵,퐴퐵=퐶퐷.
(1)求证:∠퐸=∠퐹;
(2)若∠퐴=40∘,∠퐷=80∘,求∠퐸的度数.
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24. 某水果店销售苹果和梨,购买1千克苹果和3千克梨共需26元,购买2千克苹果和1
千克梨共需22元.
(1)求每千克苹果和每千克梨的售价;
(2)如果购买苹果和梨共15千克,且总价不超过100元,那么最多购买多少千克苹果?
25. 如图,正比例函数푦=푘푥的图象与反比例函数푦 = 8
푥 (푥 > 0)的图象交于点
퐴(푎, 4).点퐵为푥轴正半轴上一点,过퐵作푥轴的垂线交反比例函数的图象于点퐶,交正
比例函数的图象于点퐷.
(1)求푎的值及正比例函数푦=푘푥的表达式;
(2)若퐵퐷=10,求△ 퐴퐶퐷的面积.
26. 如图1,点퐵在线段퐶퐸上,푅푡 △ 퐴퐵퐶 ≅ 푅푡 △ 퐶퐸퐹,∠퐴퐵퐶=∠퐶퐸퐹=90∘,∠퐵퐴퐶
=30∘,퐵퐶=1.
(1)点퐹到直线퐶퐴的距离是________;
(2)固定△ 퐴퐵퐶,将△ 퐶퐸퐹绕点퐶按顺时针方向旋转30∘,使得퐶퐹与퐶퐴重合,并停止
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旋转.
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段퐸퐹经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示,
保留画图痕迹,不要求写画法).该图形的面积为________;
②如图2,在旋转过程中,线段퐶퐹与퐴퐵交于点푂,当푂퐸=푂퐵时,求푂퐹的长.
27. 如图1,⊙ 퐼与直线푎相离,过圆心퐼作直线푎的垂线,垂足为퐻,且交⊙ 퐼于푃、푄
两点(푄在푃、퐻之间).我们把点푃称为⊙ 퐼关于直线푎的“远点“,把푃푄 ⋅ 푃퐻的值称
为⊙ 퐼关于直线푎的“特征数”.
(1)如图2,在平面直角坐标系푥푂푦中,点퐸的坐标为(0, 4).半径为1的⊙ 푂与两坐
标轴交于点퐴、퐵、퐶、퐷.
①过点퐸画垂直于푦轴的直线푚,则⊙ 푂关于直线푚的“远点”是点________(填
“퐴”.“퐵”、“퐶”或“퐷”), ⊙ 푂关于直线푚的“特征数”为________;
②若直线푛的函数表达式为푦 = √3푥 + 4.求⊙ 푂关于直线푛的“特征数”;
(2)在平面直角坐标系푥푂푦中,直线푙经过点푀(1, 4),点퐹是坐标平面内一点,以퐹为
圆心,√2为半径作⊙ 퐹.若⊙ 퐹与直线1相离,点푁(−1, 0)是⊙ 퐹关于直线1的“远
点”.且⊙ 퐹关于直线푙的“特征数”是4√5,求直线푙的函数表达式.
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28. 如图,二次函数푦=푥2 + 푏푥 + 3的图象与푦轴交于点퐴,过点퐴作푥轴的平行线交抛
物线于另一点퐵,抛物线过点퐶(1, 0),且顶点为퐷,连接퐴퐶、퐵퐶、퐵퐷、퐶퐷.
(1)填空:푏=________;
(2)点푃是抛物线上一点,点푃的横坐标大于1,直线푃퐶交直线퐵퐷于点푄.若∠퐶푄퐷=
∠퐴퐶퐵,求点푃的坐标;
(3)点퐸在直线퐴퐶上,点퐸关于直线퐵퐷对称的点为퐹,点퐹关于直线퐵퐶对称的点为퐺,
连接퐴퐺.当点퐹在푥轴上时,直接写出퐴퐺的长.
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参考答案与试题解析
2020 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.在每小题所给出的四个选项
中,只有一项是正确的)
1.A
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.A
8.D
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把笞
案直接填写在答题卡相应位置上)
9.3
10.푥 ≠ 1
11.6.4 × 103
12.푥(푥 + 1)(푥 − 1)
13.푘 > 0
14.1
15.30
16.(2, √3)
17.1
2
18.4或2
三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说
明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(푥 + 1)2 − 푥(푥 + 1)
=푥2 + 2푥 + 1 − 푥2 − 푥
=푥 + 1,
当푥=2时,原式=2 + 1=3.
20.方程两边都乘以푥 − 1得:푥 − 2=2(푥 − 1),
解得:푥=0,
检验:把푥=0代入푥 − 1得:푥 − 1 ≠ 0,
所以푥=0是原方程的解,
即原方程的解是:푥=0;
{2푥 − 6 < 0
−3푥 ≤ 6 ,
∵ 解不等式①得:푥 < 3,
解不等式②得:푥 ≥ −2,
∴ 不等式组的解集是:−2 ≤ 푥 < 3.
21.100
打乒乓球的人数有:100 × 35%=35(人),
踢足球的人数有:100 − 25 − 35 − 15=25(人),补全统计图如下:
根据题意得:
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2000 × 15
100 = 300(人),
答:估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人.
22.1
3
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:
共有6种可能出现的结果,其中“和为奇数”的有4种,
∴ 푃(和为奇数) = 4
6 = 2
3
.
23.∵ 퐸퐴 // 퐹퐵,
∴ ∠퐴=∠퐹퐵퐷,
∵ 퐴퐵=퐶퐷,
∴ 퐴퐵 + 퐵퐶=퐶퐷 + 퐵퐶,
即퐴퐶=퐵퐷,
在△ 퐸퐴퐶与△ 퐹퐵퐷中,
{
퐸퐴 = 퐹퐵
∠퐴 = ∠퐹퐵퐷
퐴퐶 = 퐵퐷
,
∴ △ 퐸퐴퐶 ≅△ 퐹퐵퐷(푆퐴푆),
∴ ∠퐸=∠퐹;
∵ △ 퐸퐴퐶 ≅△ 퐹퐵퐷,
∴ ∠퐸퐶퐴=∠퐷=80∘,
∵ ∠퐴=40∘,
∴ ∠퐸=180∘ − 40∘ − 80∘=60∘,
答:∠퐸的度数为60∘.
24.每千克苹果的售价为8元,每千克梨的售价为6元
最多购买5千克苹果
25.把点퐴(푎, 4)代入反比例函数푦 = 8
푥 (푥 > 0)得,
푎 = 8
4 = 2,
∴ 点퐴(2, 4),代入푦=푘푥得,푘=2,
∴ 正比例函数的关系式为푦=2푥;
当퐵퐷=10=푦时,代入푦=2푥得,푥=5,
∴ 푂퐵=5,
当푥=5代入푦 = 8
푥
得,푦 = 8
5
,即퐵퐶 = 8
5
,
∴ 퐶퐷=퐵퐷 − 퐵퐶=10 − 8
5 = 42
5
,
∴ 푆△퐴퐶퐷 = 1
2 × 42
5 × (5 − 2)=12.6,
26.1
휋
12
27.퐷,10
如图2 − 1中,设直线푙的解析式为푦=푘푥 + 푏.
当푘 > 0时,过点퐹作퐹퐻 ⊥直线푙于퐻,交⊙ 퐹于퐸,푁.
由题意,퐸푁=2√2,퐸푁 ⋅ 푁퐻=4√5,
∴ 푁퐻 = √10,
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∵ 푁(−1, 0),푀(1, 4),
∴ 푀푁 = √22 + 42 = 2√5,
∴ 퐻푀 = √푀푁2 − 푁퐻2 = √20 − 10 = √10,
∴ △ 푀푁퐻是等腰直角三角形,
∵ 푀푁的中点퐾(0, 2),
∴ 퐾푁=퐻퐾=퐾푀 = √5,
∴ 퐻(−2, 3),
把퐻(−2, 3),푀(1, 4)代入푦=푘푥 + 푏,则有{ 푘 + 푏 = 4
−2푘 + 푏 = 3 ,
解得{
푘 = 1
3
푏 = 11
3
,
∴ 直线푙的解析式为푦 = 1
3 푥 + 11
3
,
当푘 < 0时,同法可知直线푖经过퐻′(2, 1),可得直线푙的解析式为푦=−3푥 + 7.
综上所述,满足条件的直线푙的解析式为푦 = 1
3 푥 + 11
3
或푦=−3푥 + 7.
28.−4
∵ 푏=4,
∴ 抛物线解析式为푦=푥2 − 4푥 + 3
∵ 抛物线푦=푥2 − 4푥 + 3的图象与푦轴交于点퐴,过点퐴作푥轴的平行线交抛物线于
另一点퐵,
∴ 点퐴(0, 3),3=푥2 − 4푥,
∴ 푥1=0(舍去),푥2=4,
∴ 点퐵(4, 3),
∵ 푦=푥2 − 4푥 + 3=(푥 − 2)2 − 1,
∴ 顶点퐷坐标(2, −1),
如图1,当点푄在点퐷上方时,过点퐶作퐶퐸 ⊥ 퐴퐵于퐸,设퐵퐷与푥轴交于点퐹,
∵ 点퐴(0, 3),点퐵(4, 3),点퐶(1, 0),퐶퐸 ⊥ 퐴퐵,
∴ 点퐸(1, 3),퐶퐸=퐵퐸=3,퐴퐸=1,
∴ ∠퐸퐵퐶=∠퐸퐶퐵=45∘,tan∠퐴퐶퐸 = 퐴퐸
퐸퐶 = 1
3
,
∴ ∠퐵퐶퐹=45∘,
∵ 点퐵(4, 3),点퐶(1, 0),点퐷(2, −1),
∴ 퐵퐶 = √9 + 9 = 3√2,퐶퐷 = √1 + 1 = √2,퐵퐷 = √(4 − 2)2 + (3 + 1)2 = 2√5,
∵ 퐵퐶2 + 퐶퐷2=20=퐵퐷2,
∴ ∠퐵퐶퐷=90∘,
∴ tan∠퐷퐵퐶 = 퐶퐷
퐵퐶 = √2
3√2 = 1
3 = tan∠퐴퐶퐸,
∴ ∠퐴퐶퐸=∠퐷퐵퐶,
∴ ∠퐴퐶퐸 + ∠퐸퐶퐵=∠퐷퐵퐶 + ∠퐵퐶퐹,
∴ ∠퐴퐶퐵=∠퐶퐹퐷,
又∵ ∠퐶푄퐷=∠퐴퐶퐵,
∴ 点퐹与点푄重合,
∴ 点푃是直线퐶퐹与抛物线的交点,
∴ 0=푥2 − 4푥 + 3,
∴ 푥1=1,푥2=3,
∴ 点푃(3, 0);
当点푄在点퐷下方上,过点퐶作퐶퐻 ⊥ 퐷퐵于퐻,在线段퐵퐻的延长线上截取퐻퐹=푄퐻,连
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接퐶푄交抛物线于点푃,
∵ 퐶퐻 ⊥ 퐷퐵,퐻퐹=푄퐻,
∴ 퐶퐹=퐶푄,
∴ ∠퐶퐹퐷=∠퐶푄퐷,
∴ ∠퐶푄퐷=∠퐴퐶퐵,
∵ 퐶퐻 ⊥ 퐵퐷,
∵ 点퐵(4, 3),点퐷(2, −1),
∴ 直线퐵퐷解析式为:푦=2푥 − 5,
∴ 点퐹(5
2 , 0),
∴ 直线퐶퐻解析式为:푦 = − 1
2 푥 + 1
2
,
∴ {푦 = − 1
2 푥 + 1
2
푦 = 2푥 − 5
,
解得{
푥 = 11
5
푦 = − 3
5
,
∴ 点퐻坐标为(11
5 , − 3
5),
∵ 퐹퐻=푄퐻,
∴ 点푄(19
10 , − 6
5),
∴ 直线퐶푄解析式为:푦 = − 4
3 푥 + 4
3
,
联立方程组{ 푦 = − 4
3 푥 + 4
3
푦 = 푥2 − 4푥 + 3
,
解得:{푥1 = 1
푦1 = 0 或{
푥2 = 5
3
푦2 = − 8
9
,
∴ 点푃(5
3 , − 8
9);
综上所述:点푃的坐标为(3, 0)或(5
3 , − 8
9);
如图,设直线퐴퐶与퐵퐷的交点为푁,作퐶퐻 ⊥ 퐵퐷于퐻,过点푁作푀푁 ⊥ 푥轴,过点퐸作
퐸푀 ⊥ 푀푁,连接퐶퐺,퐺퐹,
∵ 点퐴(0, 3),点퐶(1, 0),
∴ 直线퐴퐶解析式为:푦=−3푥 + 3,
∴ {푦 = −3푥 + 3
푦 = 2푥 − 5 ,
∴ {
푥 = 8
5
푦 = − 9
5
,
∴ 点푁坐标为(8
5 , − 9
5),
∵ 点퐻坐标为(11
5 , − 3
5),
∴ 퐶퐻2=(11
5 − 1)2 + (3
5)2 = 9
5
,퐻푁2=(11
5 − 8
5)2 + (− 3
5 + 9
5)2 = 9
5
,
11 / 11
∴ 퐶퐻=퐻푁,
∴ ∠퐶푁퐻=45∘,
∵ 点퐸关于直线퐵퐷对称的点为퐹,
∴ 퐸푁=푁퐹,∠퐸푁퐵=∠퐹푁퐵=45∘,
∴ ∠퐸푁퐹=90∘,
∴ ∠퐸푁푀 + ∠퐹푁푀=90∘,
又∵ ∠퐸푁푀 + ∠푀퐸푁=90∘,
∴ ∠푀퐸푁=∠퐹푁푀,
∴ △ 퐸푀푁 ≅△ 푁퐾퐹(퐴퐴푆)
∴ 퐸푀=푁퐾 = 9
5
,푀푁=퐾퐹,
∴ 点퐸的横坐标为− 1
5
,
∴ 点퐸(− 1
5 , 18
5 ),
∴ 푀푁 = 27
5 = 퐾퐹,
∴ 퐶퐹 = 8
5 + 27
5 − 1=6,
∵ 点퐹关于直线퐵퐶对称的点为퐺,
∴ 퐹퐶=퐶퐺=6,∠퐵퐶퐹=∠퐺퐶퐵=45∘,
∴ ∠퐺퐶퐹=90∘,
∴ 点퐺(1, 6),
∴ 퐴퐺 = √12 + (6 − 3)2 = √10.
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