【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试20 勾股定理（培优提高）（教师版） 14页

专题 20 勾股定理（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2018·山东中考模拟）将一个有 45°角的三角尺的直角顶点 C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个 顶点 A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边 AC 与纸带的一边所在的直线成 30°角，如图，则三角尺的 最长边的长为（ ） A．6 B．3 2 C．4 2 D．6 2 【答案】D 【详解】 如图，作 AH⊥CH， 在 Rt△ACH 中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°， ∴AC=2AH=6， 在 Rt△ABC 中，AB= 2 2 2 26 6 6 2AC BC    ． 故选 D． 2．（2014·四川中考真题）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6， 那么△ACD 的面积是（ ） A． 3 B． 3 2 C．2 3 D． 9 34 【答案】A 【解析】 试题分析：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥BC 于 F． 设 AB=AD=x． 又∵AD∥BC， ∴四边形 AEFD 是矩形形， ∴AD=EF=x． 在 Rt△ABE 中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°， ∴BE= 1 2 AB= 1 2 x， ∴DF=AE= 2 2AB BE = 3 2 x， 在 Rt△CDF 中，∠FCD=30°，则 CF=DF•cot30°= 3 2 x． 又 BC=6， ∴BE+EF+CF=6，即 1 2 x+x+ 3 2 x=6， 解得 x=2 ∴△ACD 的面积是： 1 2 AD•DF= 1 2 x× 3 2 x= 3 4 ×22= 3 ． 故选 A． 3．（2018·广东铁一中学中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=m，P 为 BC 上任意一点，则 PA2+PB•PC 的值为（ ） A．m2 B．m2+1 C．2m2 D．（m+1）2 【答案】A 【详解】 解：如图，作 AD⊥BC 交 BC 于 D， AB2=BD2+AD2 ①， AP2=PD2+AD2 ②， ①﹣②得： AB2﹣AP2=BD2﹣PD2， ∴AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD）， ∵AB=AC， ∴D 是 BC 中点， ∴BD+PD=PC，BD﹣PD=PB， ∴AB2﹣AP2=PB•PC， ∴PA2+PB•PC=AB2=m2． 故选 A. 4．（2019·河南中考模拟）如图，在△ABC 中，AB⊥AC，AB=5cm，BC=13cm，BD 是 AC 边上的中线，则 △BAD 的面积是（ ） A． 215cm B． 230cm C． 260cm D． 265cm 【答案】A 【详解】 由勾股定理得， 2 2AC 12BC AB   ， ∵BD 是 AC 边上的中线， ∴AD=6， ∴△BAD 的面积= 1 2 ×5×6=15（cm2）， 故选 A． 5．（2019·安徽中考模拟）用 a、b、c 作三角形的三边，其中不能构成直角三角形的是（ ） A．a2＝（b+c）（b﹣c） B．a：b：c＝1： ：2 C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a＝5，b＝12，c＝13 【答案】C 【解析】 试题解析：∵a2=（b+c）（b﹣c）， ∴a2=b2﹣c2 ， ∴a2+c2=b2 ， 根据勾股定理的逆定理可得，用 a、b、c 作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项 A 错误； ∵a：b：c=1： 3 ：2， ∴设 a=x，b= 3 x，c=2x， ∵ 2 2 2 2( 3 ) 4 (2 )x x x x   ， ∴用 a、b、c 作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项 B 错误； ∵a=32， b=42， c=52， ∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2 ， ∴用 a、b、c 作三角形的三边，不能构成直角三角形，故选项 C 正确； ∵a=5，b=12，c=13， 52+122=25+144=169=132 ， ∴用 a、b、c 作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项 D 错误； 故选 C． 6．（2019·山东中考模拟）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为 S1、S2、 S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是（ ） A．S12+S22＝S32 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝S3 【答案】D 【详解】 设直角三角形的三边从小到大是 a，b，c． 则 2 1 3 4S a ， 2 2 3 4S b ， 2 3 3 4S c ． 又 2 2 2a b c  ， 则 1 2 3S S S  ． 故选 D． 7．（2019·四川中考模拟）如图，长宽高分别为 2，1，1 的长方体木块上有一只小虫从顶点 A 出发沿着长方 体的外表面爬到顶点 B，则它爬行的最短路程是（ ） A． 10 B． 5 C． 2 2 D．3 【答案】C 【详解】 如图所示，路径一：AB 2 22 1 1   （ ） 2 2 ； 路径二：AB 2 22 1 1 10   （ ） ． ∵ 2 2 10＜ ，∴蚂蚁爬行的最短路程为 2 2 ． 故选 C． 8．（2017·江苏中考模拟）圆锥的底面半径为 4cm，高为 3cm，则它的表面积为（ ） A．12π cm2 B．20π cm2 C．26π cm2 D．36π cm2 【答案】D 【解析】 试题分析：底面周长是 2×4π＝8πcm，底面积是：42π＝16πcm2． 母线长是： 2 23 4 ＝5， 则圆锥的侧面积是： 1 2 ×8π×5＝20πcm2， 则圆锥的表面积为 16π＋20π＝36πcm2． 故选 D． 9．（2014·广东中考模拟）如图，点 A 的坐标为(﹣ ，0)，点 B 在直线 y＝x 上运动，当线段 AB 最短时点 B 的坐标为( ) A．(﹣ ，﹣ ) B．(﹣ ，﹣ ) C．( ，- ) D．(0，0) 【答案】A 【解析】 试题分析：过 A 作 AB⊥直线 y=x 于 B，则此时 AB 最短，过 B 作 BC⊥OA 于 C， ∵直线 y=x， ∴∠AOB=45°=∠OAB， ∴AB=OB， ∵BC⊥OA， ∴C 为 OA 中点， ∵∠ABO=90°， ∴BC=OC=AC= OA= ， ∴B（- ，- ）． 故选 A． 10．（2019·天津中考真题）如图，四边形 ABCD 为菱形， A ， B 两点的坐标分别是 (2,0) ， (0,1) ，点C ， D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于（ ） A． 5 B． 4 3 C． 4 5 D．20 【答案】C 【详解】 解：∵菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（2，0），（0，1）， ∴AO=2，OB=1，AC  BD ∴由勾股定理知： 2 2 2 2BO +OA 1 2 5AB     ∵四边形 ABCD 为菱形 ∴AB=DC=BC=AD= 5 ∴菱形 ABCD 的周长为： 4 5 ． 故选：C． 11．（2019·山东中考模拟）一个三角形的三边分别是 3、4、5，则它的面积是（ ） A．6 B．12 C．7.5 D．10 【答案】A 【详解】 ∵32+42＝52，∴此三角形是直角三角形， ∴S△＝ 1 2 ×3×4＝6． 故选：A． 12．（2019·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直 线 AB 的距离是 A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】 解：在坐标系中，OA＝3，OB＝4， ∴由勾股定理得：AB＝ 2 23 4 5  ， 设点 O 到线段 AB 的距离为 h， ∵S△ABO＝ 1 2 OA•OB＝ 1 2 AB•h， ∴3×4＝5h， 解得 h＝2.4． 故选：B． 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2019·北京中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，若 CD=2，BD=4，则 AE 的长是_____． 【答案】 2 3 【详解】 解：∵AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=ED． 又 AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL） ∴AE=AC． 在 Rt△BDE 中，BE= 2 2BD DE ＝2 3 ． 设 AE=x，则 AC=x，AB=2 3 +x， 在 Rt△ABC 中，利用勾股定理得（2 3 +x）2=62+x2， 解得 x=2 3 ． 所以 AE 长为 2 3 ． 故答案为 2 3 ． 14．（2019·北京中考模拟）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴正方向建立 直角坐标系．规定：一个单位长度表示 1km，北京生存岛实践基地 A 处的坐标是(2，0)，A 处到雁栖湖国际 会展中心 B 处相距 4km，且 A 在 B 南偏西 45°方向上，则雁栖湖国际会展中心 B 处的坐标是_____． 【答案】(2 2 +2，2 2 ) 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，过点 B 作 BC⊥x 轴于 C，作 BD⊥y 轴于 D， 则 BD＝OC． ∵A 处到雁栖湖国际会展中心 B 处相距 4km，A 在 B 南偏西 45°方向上， ∴AB＝4km，∠BAC＝∠ABC＝45°． ∴AC＝BC． ∵AC2+BC2＝AB2＝16， ∴AC＝BC＝2 2 ． ∴OC＝OA+AC＝2 2 +2． ∴B(2 2 +2，2 2 )． 故答案是：(2 2 +2，2 2 )． 15．（2013·福建中考真题）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直 角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2．则最大的正方形 E 的面积是___． 【答案】10 【解析】 试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为 S2，S1+S2=S3， ∵正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2， ∵最大的正方形 E 的面积 S3=S1+S2=2+5+1+2=10。 16．（2018·福建中考模拟）已知|a-6|+（2b-16）2+ 10 c =0，则以 a、b、c 为三边的三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【解析】 由题意得：a-6=0，2b-16=0，10-c=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=102， ∴三角形为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 17．（2015·山东中考真题）如右图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬到点 B， 如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：如图，将正方体的三个侧面展开，连结 AB，则 AB 最短， 短 ， ， ． 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2018·广东中考模拟）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 与 AD 交于点 F． （1）求证：△ABF≌△EDF； （2）若 AB=6，BC=8，求 AF 的长. 【答案】（1）见解析；（2） 7 4 【详解】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C=90°， 由折叠得：DE=CD，∠C=∠E=90°， ∴AB=DE，∠A=∠E=90°， ∵∠AFB=∠EFD， ∴△ABF≌△EDF（AAS）； （2）解：∵△ABF≌△EDF， ∴BF=DF， 设 AF=x，则 BF=DF=8﹣x， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得： BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62， x= ，即 AF= 19．（2018·北京北师大实验中学中考模拟）如图，△ABC 中，AB=AC=4，D、E 分别为 AB、AC 的中点， 连接 CD，过 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于 F； （1）求证：DE=CF； （2）若∠B=60°，求 EF 的长． 【答案】  1 证明见解析；  2 EF 2 3 ． 【详解】  1 证明： D 、E 分别是 AB、AC 的中点 DE / /CF ， 又 EF / /DCQ 四边形 CDEF 为平行四边形 DE CF  ．  2 AB AC 4 Q ， B 60  BC AB AC 4    ， 又 D 为 AB 中点 CD AB  ， 在 Rt BCD 中， 1BD AB 22   ， 2 2CD BC BD 2 3    ， 四边形 CDEF 是平行四边形， EF CD 2 3   ． 20．（2017·湖北中考模拟）如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线 AD＝6，求 BC 的 长． 【答案】 2 61 【解析】 延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 CE， 在△ABD 和△ECD 中{ AD DE ADB EDC BD DC      ， ∴△ABD≌△ECD， ∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12， 在△AEC 中，AC=13，AE=12，CE=5， ∴AC2=AE2+CE2， ∴∠E=90°， 由勾股定理得：CD= 2 2 61DE CE  ， ∴BC=2CD=2 61 ， 答：BC 的长是 2 61 ． 21．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）如图所示，已知⊿ ABC 中， 90 , 60 , 3 3C A a b        ； 求 a b c、 、 的值. 【答案】 3 【详解】在 Rt ABC 中，∵ C 90 A 60，    ，∴ B  90°-60°=30°，∴ c 2b ， 由勾股定理，得  22 2 2a c b 2b b 3b     ， ∵ a b 3 3   ∴ 3b b 3 3   ， ∴  3 3 1 b 3 3 1     ， ∴ a 3b 3 3 3    ， c 2b 2 3  .