2020九年级数学上册 第二十四章 圆章末小结教案 （新版）新人教版 4页

圆 章末小结 ‎※教学目标※‎ ‎【知识与技能】‎ ‎ 掌握本章重要知识.能灵活运用有关的定理、公式解决问题..‎ ‎【过程与方法】‎ ‎ 通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.‎ ‎【情感态度】‎ 在运用本章知识解决问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ ‎ 回顾本章知识点，构建知识体系.‎ ‎【教学难点】‎ 利用圆的相关知识定理解决问题.‎ ‎※教学过程※‎ 一、 整体把握 二、加深理解 ‎1.垂径定理及推论的应用 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.‎ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.‎ 拓展：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.‎ 说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.‎ 注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.‎ 2. 三角形内切圆的半径r，周长l与面积S之间的关系 与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.‎ 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.‎ 4‎ 所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.‎ 2. 两圆相交作公共弦的问题 ‎ 两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧.‎ 三、 复习新知 ‎ 例1 如图,已知AB是☉O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE,AB=‎10cm，求△ACD的周长.‎ 解:连接OC.∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD.‎ ‎∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm.∵BE=OE，∴BE=OE=cm，‎ AE=cm.在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2.∴CE=cm.‎ ‎∴CD=5cm.同理可得AC=5cm，AD=5cm，∴△ACD的周长为15cm.‎ ‎ 例2 如图，CD平分∠ACB，DE∥AC，求证:DE=BC.‎ ‎ 证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.∴=.‎ ‎∵DE∥AC，∴∠ACD=∠CDE，∴=.∴=.‎ ‎∴=.∴DE=BC.‎ ‎ 方法归纳 在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也相等. ‎ ‎ 例3 如图,在平面直角坐标系中，以A(5,1)为圆心，以2个单位长度为半径的☉A交x轴于点B，C.‎ ‎ ‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）将☉A向左平移　3　个单位长度与y轴首次相切，得到☉A'.此时点A'的坐标为　(2,1)　，阴影部分的面积S=　6　；‎ ‎ （2）求BC的长.‎ ‎ 解:连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC=2DC.‎ 由A点的坐标为(5，1)，可得AD=1.‎ 又AC=2，∴在Rt△ADC中,DC=.∴BC=2.‎ 方法归纳 判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转为两点间的距离、点到直线的距离与半径比较大小解决.‎ 例4 如图,已知☉O的半径为1，DE是☉O的直径，过D点作☉O的切线，C点是AD的中点，AE交☉O于B点，四边形BCOE是平行四边形.‎ 4‎ ‎ （1）求AD的长；‎ ‎ （2）BC是☉O的切线吗?若是，给出证明；若不是，说明理由.‎ 解：（1）连接BD，则∠DBE=90°.∵四边形BCOE是平行四边形，‎ ‎∴BC∥OE，BC=OE=1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，∴AD=2.‎ ‎ （2）是.理由如下：连接OB.由（1）得BC∥OD,且BC=OD，∴四边形BCDO是平行四边形.又AD是☉O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形.∴OB⊥BC.∴BC是☉O的切线.‎ 方法归纳 题目条件中有圆的切线时，常连接过切点的半径，证明圆的切线时，切点已知，则连半径，证垂直；切点未知，则作垂直，证半径.‎ 例5 如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，水位线CD平行于直径AB，OE⊥CD于点E.‎ ‎ （1）若水面距离洞顶最高处仅‎1m，已测得水位线CD长为‎10m，求半径OD；‎ ‎ （2）根据设计要求,通常情况下，水位线CD与桥洞圆心O的夹角∠COD=120°，此时桥洞截面充水面积是多少？ (精确到‎0.1m2‎，参考数据：π≈3.14，≈1.73，≈1.41)‎ ‎ 解：（1）在Rt△ODE中，DE=‎5m，OE=OD-1，∵OD2=OE2+DE2，∴OD2=(OD-1)2+DE2，∴OD=‎13m.‎ ‎ （2）∵∠COD=120°,∴∠DOE=60°,由r=13得OE=r=,DE=OE=,CD ‎=2DE=13.∴S=π×132-(-×)=π -π+=π+≈161.5(m2).故此时桥洞截面充水面积是‎161.5m2‎.‎ ‎　　方法归纳 圆中求阴影部分的面积,常转化为求扇形、三角形、平行四边形等的面积解决. ‎ 三、 巩固练习 ‎ 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=‎4cm，D是AB边的中点，以点A为圆心，‎4cm为半径作圆，则A，B，C，D四点中,在圆内的点有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ 2. 如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　 　dm. ‎ ‎ 3.已知⊙O的直径为‎10cm，弦AB∥CD，AB=‎6cm，CD=‎8cm，求AB和CD的距离.‎ ‎ 4.如图，AB是☉O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你找出与的数量关系，并给予证明.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ 5.如图，AB是☉O的直径，C为圆周上一点，BD是☉O的切线，B为切点.‎ ‎（1）在图①中，∠BAC=30°，求∠DBC的度数.‎ ‎（2）在图②中，∠BA1C=40°，求∠DBC的度数.‎ ‎（3）在图③中，∠BA1C=α，求∠DBC的大小.‎ ‎（4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现了什么？用自己的语言叙述你的发现.‎ 答案：1.B 2.1 ‎ ‎3.解：（1）当AB，CD在圆心的同侧时，如图1，过点O作OM⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD，得Rt△OMB，Rt△OND，然后由勾股定理，求得OM=‎4cm，ON=‎3cm.故AB和CD的距离为‎1cm.‎ ‎ （2）当AB，CD在圆心的异侧时，如图2，仍可求得OM=‎4cm，ON=‎3cm.故AB和CD的距离为‎7cm.所以AB和CD的距离为‎1cm或‎7cm.‎ ‎4.解：与相等.证明如下：连接OA，OB，则∠OAB=∠ABO.‎ ‎∵OA=OB，AE=BF，∴△OAE≌△OBF，即∠AOC=∠BOD，即=.‎ ‎ 5.解:（1）30°.‎ ‎（2）连接AC，由（1）可得∠DBC=40°.‎ ‎（3）连接AC，由（1）可得∠DBC=α.‎ ‎（4）在图①中，∠BAC=∠DBC，在图②、图③中，∠CBD=∠BA'C，由此可得：圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角.‎ 五、归纳小结 你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆有关的证明方法？你还有什么疑问？‎ ‎※布置作业※‎ ‎ 从教材复习题24中选取．‎ ‎※教学反思※‎ ‎ 本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点的前提下，又能抓住重点.‎ ‎ ‎ 4‎