数学冀教版九年级上册教案27-2 反比例函数的图像与性质（1） 5页

- 1 - 27.2 反比例函数的图像与性质（1） 教学目标 【知识与能力】 1.会用描点法画出反比例函数 y= 的图像. 2.能用待定系数法求反比例函数的解析式. 【过程与方法】 1.经历画反比例函数的图像并观察函数图像的过程,进一步体会数形结合思想在数学中的应 用. 2.经历画反比例函数图像的探究过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、 归纳及动手能力. 【情感态度价值观】 1.经历观察、思考、交流等数学活动,获得探索数学知识和合作交流的方法和经验,体验数学 活动中的探索性和创造性. 2.在数学学习过程中,体验学习数学的成功感,领悟和感受数学美,发现学习的乐趣. 教学重难点 【教学重点】 用描点法画反比例函数的图像. 【教学难点】 探究反比例函数的图像特点的过程. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.以前学习一次函数时,用什么思路和方法研究的? (先根据函数解析式画出函数的图像,然后观察、分析、归纳得到函数的性质) 2.一次函数的图像是什么? (直线) 3.画函数图像的基本步骤是什么? (列表、描点、连线) 4.什么是待定系数法?如何用待定系数法求一次函数的解析式? 【师生活动】 学生思考回答,教师对学生的答案进行点评. 导入二: 思考并回答下列问题: 1.点(2,3)在正比例函数 y=kx 的图像上,你能求出这个正比例函数的表达式吗? 将点(2,3)代入 y=kx,得 k= 3 2 ,所以函数表达式为 y= 3 2 x - 2 - 2.判断点(1,2)是否在正比例函数 y=2x 的图像上?点(-1,-2),(3,6)呢?你是如何判定的? (点(1,2)在函数 y=2x 的图像上;点(-1,-2),(3,6)也在函数 y=2x 的图像上;将点的坐标代入 函数解析式,满足函数解析式,所以点在函数的图像上) 教师归纳:判定点是否在函数图像上,将点的坐标代入函数解析式,判断是否满足函数解析式 即可. [设计意图] 通过复习画函数图像的基本步骤、判断点是否在函数图像上导入新课,为本节 课的学习做好铺垫,通过复习研究一次函数的基本思路和方法,让学生用类比的方法自然地 构建出新知识,降低本节课的学习难度,激发学生学习本节课的兴趣. 二、新知构建： [过渡语] 这节课我们共同学习画反比例函数的图像. 探究活动 描点法画反比例函数的图像 活动一:画反比例函数 y= 6 的图像. 思路一 教师引导思考: (1)该函数中自变量 x 的取值范围是什么?函数值 y 的取值范围是什么? (2)画函数图像列表时,取哪些 x 的值使函数图像完整、准确? (3)在课前准备的平面直角坐标系下描点. (师生共同完成列表) (4)如何用平滑的曲线连接各点? (5)从左到右连线时,图像与 x 轴、y 轴有没有交点?为什么? (6)仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数 y= 6 的图像吗? 【课件展示】 (1)列表: x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y= 6 x … -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1. 5 1 … (2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点. - 3 - (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数 y= 6 的图像. 【师生活动】 教师引导,学生思考回答,并按照共同完成的表格数据画出函数图像,教师巡 视过程中发现画图像时出现的典型错误,点拨画图像时的易错点.教师强调连线时从左到右 依次用平滑曲线连接,由自变量 x、函数值 y 的取值范围可得函数图像与两坐标轴没有交点, 故画反比例函数图像时与画一次函数时不同,坐标轴把图像分成两部分. [设计意图] 在教师提出的问题的引导下,师生合作,经历用描点法画函数图像的过程,培养 学生动手操作能力,理解描点法画函数图像的本质,经历知识的形成过程,进一步体会数形结 合思想. 思路二 任务要求:按照画函数图像的步骤,在课前准备的平面直角坐标系下,画出函数 y= 6 的图像. 【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线整个画图后,小组合作交流,发现组内成员的 画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画 图过程后再展示典型画图错误. 【课件展示】 (1)列表: x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y= 6 x … -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1. 5 1 … 教师强调:在 x 的取值范围内列出函数对应值表,取值不能太少,也不能只取正值. (2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点. 教师强调:描点时横纵坐标易混淆. (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数 y= 6 的图像. 教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量 x 不等于 0,所以画函数图像时,不 能将左右两个图像连接起来. 追问: 1.观察画出的反比例函数 y= 6 的图像,它与坐标轴有交点吗?为什么? - 4 - 2.仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数 y= 6 的图像吗? 【师生活动】 学生观察图像思考后,小组合作交流,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生 的回答进行点评. [设计意图] 通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图像的过程,进一步了解用描点 的方法画图像的基本步骤,培养了学生动手操作能力,经历了知识的形成过程.通过小组合作 交流,培养学生的合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程,加深了学生对画函数图像的 理解和认识. 活动二:画出反比例函数 y=- 6 的图像. 【师生活动】 学生在课前准备的平面直角坐标系中独立完成画图,小组内交流所画图像是 否正确,教师课件展示正确图像,强调画图像时的易错点. [过渡语] 一次函数的图像是一条直线,那么反比例函数的图像是什么呢? 思考: 比较反比例函数 y= 6 与 y=- 6 的图像,指出它们的共同特征. (图像都是由两部分组成,分别位于两个不同的象限,且关于原点对称,两部分在单个象限内 增减性一致等) 【师生活动】 学生观察所画出的两个图像,指出共同特征,教师点评,课件展示双曲线的定 义. 【课件展示】 反比例函数 y= (k 为常数,且 k≠0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲 线组成,这样的曲线叫做双曲线. [设计意图] 通过学生独立完成画反比例函数图像,巩固画函数图像的步骤,通过观察思考 两个反比例函数图像的共同特征,为后边探究反比例函数性质做好铺垫. 例题讲解 (教材 132 页例 1)已知点 P(-6,8)在反比例函数 y= 的图像上. (1)求这个反比例函数的表达式. (2)判断点 M(4,-12)和 N(2,24)是否在这个反比例函数的图像上. 【思考】 1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么? (函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上) 2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入? (反比例函数表达式中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可) 3.如何判断点是否在反比例函数图像上? (将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像 上) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,给学生足 够的时间思考归纳,并对学生的回答进行点评归纳.完成思考归纳后,学生独立完成解答并板 书,教师规范书写格式. 解:(1)把点 P(-6,8)的坐标代入 y= ,得 8= - 6 . 解得 k=-48. - 5 - 所以这个反比例函数的表达式为 y=- 48 . (2)当 x=4 时,y=- 48 4 =-12. 当 x=2 时,y=- 48 2 =-24≠24. 所以,点 M(4,-12)在这个反比例函数的图像上,点 N(2,24)不在这个反比例函数的图像上. [设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数表达式和图像之间关系的认识,是数形结合思 想方法的深入应用,让学生感悟由“数”到“形”,又由“形”到“数”的过程,体会数形结 合思想在数学中的应用;学生在教师的引导下逐步思考解决问题,提高学生分析问题、解决问 题及归纳总结的能力. [知识拓展] 1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的. 2.反比例函数 y= (k≠0)的图像的两个分支关于原点对称. 3.反比例函数的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远 不与坐标轴相交,这是因为 x≠0,y≠0. 三、课堂小结： 1.画反比例函数图像的步骤及注意事项. 2.反比例函数的图像是两条曲线,它们关于原点对称. 3.反比例函数 y= 6 与 y=- 6 的图像特征. 4.待定系数法求反比例函数表达式.