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- 2021-11-10 发布
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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 圆的有关性质
专题 05 圆的有关性质专题详解 ...........................................................1
24.1 圆的有关性质 ....................................................................2
知识框架 ...........................................................................2
一、基础知识点 .....................................................................3
知识点 1 圆的定义 .................................................................... 3
知识点 2 圆是轴对称图形 .............................................................. 4
知识点 3 垂径定理 .................................................................... 4
知识点 4 垂径定理的推论和重要公式 .................................................... 5
知识点 5 弧、弦、圆心角之间的关系 .................................................... 7
知识点 6 圆的对称性 .................................................................. 7
知识点 7 圆周角定理 .................................................................. 8
知识点 8 圆周角推论 .................................................................. 9
知识点 9 内接四边形 ................................................................. 10
二、方法与思路 ....................................................................12
方法 1 圆的半径 ..................................................................... 12
方法 2 利用转化思想求角度 ........................................................... 14
方法 3 构直径和直角 ................................................................. 18
方法 4 垂径定理与勾股定理 ........................................................... 21
方法 5 角平分线 ..................................................................... 28
方法 6 圆与等腰 ..................................................................... 31
三、典型题型 ......................................................................36
题型 1 利用圆的半径解题 ............................................................. 36
题型 2 垂径定理的证明与计算 ......................................................... 36
题型 3 垂径定理的应用 ............................................................... 38
题型 4 弧、弦、圆心角关系的计算 ..................................................... 39
题型 5 弧、弦、圆心角关系的证明 ..................................................... 40
题型 6 运用圆周角定理建立角之间的关系 ............................................... 42
题型 7 内接四边形 ................................................................... 42
四、难点题型 ......................................................................45
题型 1 圆的多解 ..................................................................... 45
题型 2 弧、弦间不等关系的推理 ....................................................... 46
题型 3 最值问题(对称性问题) ....................................................... 47
24.1 圆的有关性质
知识框架
{
基础知识点
{
图的定义
圆是轴对称图形
垂径定理
垂径定理的推论和重要公式
弧、弦、圆心角之间的关系
圆的对称性
圆周角定理
圆周角推论
内接四边形
方法与思路
{
圆的半径 {
构造等腰三角形
构造全等三角形
利用转化思想求角
{
利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
利用直径构造直角三角形转化角
构造圆内接四边形转化角
利用特殊数量关系构造特殊角转化角
构直径和直角 {
见直径,连直角
作直径,连直角
垂径定理与勾股定理
{
垂径定理求长度 {
已知直径与弦垂直
作垂直于弦的直径
利用弧的中点证垂直
方程思想 {
单勾股
双勾股
角平分线 {
平分锐角
平分直角
圆与等腰 {
圆心在三线上
圆心在腰上
典型题型
{
利用圆的半径解题
垂径定理的证明与计算
垂径定理的实际应用
弧、弦、圆心角关系的计算
弧、弦、圆心角关系的证明
运用圆周角定理及推论解题
内接四边形
难点题型 {
圆的多解
弧、弦间不等关系的推理
最值问题(对称性问题)
一、基础知识点
知识点 1 圆的定义
1)圆:
形成的定义:在平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一端点 A 所形成的轨迹。记作:
“⊙O”,读作:“圆 O”,其中端点 O 叫作圆心
集合性定义:圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合,定点是圆心,定长是半径。
2)
①半径:线段 OA 叫作圆的半径(OB、OC 也是圆的半径)
②弦:圆上任意两点间的线段(半径是特殊的弦)
③直径:经过圆心的弦(如 AB)
④弧:圆上任意两点间的部分(如AĈ)
⑤半圆:圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧,每条弧叫作半圆
⑥等圆:两个圆能完全重合(即全等,即半径 r 相等)
3)确定一个圆的两要素{
圆心
半径
4)圆的任一半径长度都相等
5)圆的任一直径长度都相等,且直径长度=2 倍的半径长度
6)同圆(半径相等的圆),等长弧对应的弧相等
7)C=2휋r S=휋r2
注:①直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦;
②半圆是弧,但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧;
③等弧必须以“等圆或同圆”为前提,等弧是全等的,不仅指弧长相等,弧度也相等。
例 1.下列说法正确的是( )
A.弦是直径 B.直径是弦 C.半径是直径的一半 D.弧是半圆
【答案】:B
【解析】:直径是最长的弦,先不一定是直径,A 错误,B 正确;
半径的长度时直径的一半,C 错误;
半圆是弧,弧不一定是半圆,D 错误
例 2.下列结论正确的有:
①直径是弦;②直径只有一条;③半圆是弧,但弧不一定是半圆;④半径相等的两个半圆是等弧;⑤过圆
内一点只能作一条直径
【答案】:①、③、④
【解析】:直径是弦,①正确;
过圆心的弦都是直径,有无数条,②错误;
半圆是弧,弧不一定是半圆,③正确;
半径相等的圆是等圆,等圆的半圆是等弧,④正确;
过圆心可以作无数条直径,⑤错误。
知识点 2 圆是轴对称图形
1)圆是轴对称图,对称轴为直径,有无数条
例 1.圆是轴对称图形,任何一条 都是圆的对称轴。
【答案】:直径
例 2.如图,把푂1和푂2这两个圆看作一个整体,它是一个轴对称图形,这个图形的对称轴是 。
【答案】:圆心连线的直线
【解析】:∵圆的对称轴是圆的直径
∴两个圆的对称轴是公共的一条直径经过的直线,即为圆心连线的直线。
知识点 3 垂径定理
1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明:连 AO、BO
∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE OA=OB
∴△OAE≌△OBE(HL)
∴AE=EB
∴AD̂ =BD̂ AĈ=CB̂
例 1.如图,在O 中,OC⊥AB 交AĈ于点 D,交 AB 于 C 点,OD=13,AB=24,求 CD 的长。
【答案】:8
【解析】:如图,连接 OA
∵OD⊥AB,AB=24
∴根据垂径定理,AC=12
∵OD=13
∴r=13=OA
∴根据勾股定理,OC=5
∴CD=13-5=8
例 2.如图,O 的直径为 10,弦 AB 为 8,OC⊥AB,P 是弦 AB 上一点,若 OP 的长为整数,求满足条件的
点 P 有几个。
【答案】:5 个
【解析】:如图,连接 OB
∵直径为 10
∴OB=5
∵AB=8,OC⊥AB
∴BC=4
∴根据勾股定理,OC=3
在△OCP 中,3≤CP≤5
∴CP=3 或 CP=4 或 CP=5
CP=3 有 1 个点,CP=4 有 2 个点,CP=5 有 2 个点
∴有 5 个点满足条件
知识点 4 垂径定理的推论和重要公式
1)知二推三(推论)
①CD 过圆心(直径/半径);②CD 垂直弦 AB;③CD 平分 AB;④AĈ=CB̂;⑤AD̂ =BD̂
垂径定理重要推论:上述 5 个条件中,任意 2 个条件成立,则其余 3 个条件必定成立,即“知二推三”。
2)重要公式:设半径为 R,|AB| = 푙,|CE|=h,根据勾股定理:푅2=( 푙
2
)2
+ (R − h)2
圆中常用的辅助线:连 OB,作 OE 垂直弦 AB,构造出直角三角形。
例 1.按图填空:如图,在O 中,
(1)若 MN⊥AB,MN 为直径,则 、 、 ;
(2)若 AB=BC,MN 为直径,则 、 、 ;
(3)若 MN⊥AB,AC=BC,则 、 、 ;
(4)若AM̂ = 퐵푀̂ ,MN 为直径,则 、 、 。
【答案】:(1)AC=BC;AM̂ = 퐵푀̂ ;AN̂ = 퐵푁̂
(2)MN⊥AB;AM̂ = 퐵푀̂ ;AN̂ = 퐵푁̂
(3)MN 为直径;AM̂ = 퐵푀̂ ;AN̂ = 퐵푁̂
(4)MN⊥AB;AC=BC;AN̂ = 퐵푁̂
【解析】:垂径定理“知二推三”,五个条件为:①MN 为直径(ON 为半径);②MN⊥AB;③AC=BC;④
AM̂ = 퐵푀̂ ;⑤AN̂ = 퐵푁̂
例 2.如图,在O 中,弦 AB=8cm,拱高 CD=2,CD⊥AB,求O 的半径。
【答案】:5
【解析】:如图,连接 OA
∵CD⊥AB,OC 是O 的半径,AB=8
∴AD=DB=4
设半径为 r,则 DO=r-2
在 Rt△ADO 中,根据勾股定理:푟2=42 + (r − 2)2
解得:r=5
知识点 5 弧、弦、圆心角之间的关系
1)圆心角:顶点在圆心的角叫作圆心角
2)规定旋转一周为 360°,即圆周角为 360°
3)①C=2휋r ②半圆弧长=1
2C
③弧长= 푛°
360° C(n 为圆心角)
4)等圆(半径相同)或同圆中,圆心角相等,则对应弧长、弦长相等
5)前提条件:在同圆或等圆中,①圆心角相等;②对应的弦长相等;③对应的弧长相等。这 3 个条件
中,已知其中任 1 条件,必可推导出另外 2 条件(知一推二)。
圆心角 弧长相等
弦长相等
例 1.下列说法中错误的有:
①相等的圆心角所对的弧相等;②相等的弦所对的弧相等;③相等的圆心角所对的弦相等。
【答案】:①、②、③
【解析】:推论的前提条件是:同圆或等圆中,这 3 个结论都没有前提条件,全部错误。
例 2.如图,AB,CD 是两条弦,填空:
(1)如果 AB=CD,那么 、 ;
(2)如果퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ,那么 、 ;
(3)如果∠AOB=∠COD,那么 、 。
【答案】:(1)퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ;∠AOB=∠COD
(2)AB=CD;∠AOB=∠COD
(3)AB=CD;퐴퐵̂ = 퐶퐷̂
【解析】:弧、弦、圆心角“知一推二”,此题在同一个圆中,满足前提条件。三个条件为:①AB=CD;②
퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ;③∠AOB=∠COD
知识点 6 圆的对称性
1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2)实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合,这种性质叫作圆的旋转不变
性。圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。
例 1.如图,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 上一点,C,D 分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,DB̂=CB̂,是比
较 PC,PD 的大小关系。
【答案】:PC=PD
【解析】:∵∠CPB=∠DPB,DB̂ =CB̂
∴C、D 两点关于 AB 对称
∴PC=PD
知识点 7 圆周角定理
1)圆周角:顶点在圆上,且两边都和圆相交的角
注:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交
2)圆心角和圆周角的联系:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半
存在如下图 3 种情况,证明如下:
①∵AO=OC ∴∠OAC=∠ACO
又∵∠BOC=∠OAC+∠OCA
∴∠BOC=2∠BAC
②∵2∠BAO=∠BOD 2∠OAC=∠DOC
∴∠BOC=2∠BAC
③∵∠DOC=2∠DAC ∠DOB=2∠DAB
∴∠BOC=2∠BAC
例 1.下列图形中的角是圆周角的是( )
【答案】:E
【解析】:圆周角需同时满足 2 个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交
同时满足这 2 个条件的,只有 E
∴答案为 E
例 2.如图,点 O 是O 的圆心,点 A,B,C 在O 上,AO∥BC,∠AOB=38°,求∠OAC 的度数。
【答案】:19°
【解析】:∵∠AOB=38°
∴∠ACB=19°
∵OA∥BC
∴∠OAC=∠ACB=19°
知识点 8 圆周角推论
1)推论 1:同弧或等弧所对圆周角相等
∵同弧或等弧所对圆心角相等
∴同弧或等弧所对圆周角相等
2)圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结:
在同圆或等圆中,有如下关系:
即在同圆或等圆的情况下,圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等,则另外几个条件也相等。
3)推论 2:半圆(直径)所对的圆周角是 90°。(因为圆心角为 180°)
4)推论 3:两直角三角形共斜边,这四点共圆
证明:∵∠A=90°
∴△ACB 外接圆的圆心在 CB 上,且 CB 为直径
∵∠D=90°
∴△BCD 外接圆的圆心在 CB 上,且 CB 为直径
∴四点共圆
例 1.如图,点 A,B,C 在O 上,若∠A=50°,求∠BOC 的度数。
【答案】:100°
【解析】:∵∠A=50°,∠A 对应的弧为퐵퐶̂ ,∠BOC 对应的弧为퐵퐶̂
∴∠BOC=2∠A=100°
例 2.如图,AB 为O 的直径,已知∠ACD=20°,求∠BAD 的度数。
【答案】:70°
【解析】:∵AB 是O 的直径
∴∠ACB=90°
∵∠ACD=20°
∴∠BCD=70°
∵∠BAD=∠BCD
∴∠BAD=70°
知识点 9 内接四边形
1)如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上,这个多边形叫作圆内接多边形,这个圆叫作这个多边形
的外接圆。
2)圆内接四边形对角互补
证明:连接 BO,CO
∵∠A 是优弧AB̂的圆周角 ∠D 是劣弧AB̂的圆周角
∴∠A+∠D=180°
例 1.如图,四边形 ABCD 内接于O,E 为 CD 延长线上一点,若∠B=110°,求∠ADE 的度数。
【答案】:110°
【解析】:∵四边形 ABCD 是O 的内接四边形
∴∠B+∠ADC=180°
∵∠B=110°
∴∠ADC=70°
∴∠ADE=110°
例 2.如图,在O 的内接四边形 ABCD 中,∠BOD=90°,求∠A,∠BCD 的大小。
【答案】:∠A=45°,∠BCD=135°
【解析】:∵∠BOD=90°
∴∠A=45°
∵四边形 ABCD 为内接四边形
∴∠C+∠A=180°
∴∠C=135°
二、方法与思路
方法 1 圆的半径
解题技巧:在同圆或等圆中,利用半径相等,提供相等线段,常可构造等腰三角形或全等三角形。
一、构造等腰三角形
例 1.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,求证:∠ACB=90°。
【答案】:见解析
【解析】:如图,连接 CO
∵CO=AO=OB=r
∴△AOC、△BOC 为等腰三角形
∴∠A=∠OCA,∠B=∠OCB
在△ABC 中,∠A+∠B+∠ACO+∠OCB=180°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠ACB=90°
例 2.如图,AB 为O 的直径,DE 为O 的弦,AD,BE 的延长线交于点 C,若∠C=60°,探究 DE 与
AB 的数量关系。
【答案】:AB=2DE
【解析】:如图,连接 OD、OE
∵∠C=60°
∴∠A+∠B=120°
∵OD=AO=OE=OB=r
∴∠ADO=∠A,∠OEB=∠B
∴∠ADO+∠OEB=120°
∴∠CDO+∠CEO=240°
∴∠DOE=360°-240°-60°=60°
∵OD=OE
∴△ODE 为等边三角形
∴DE=OD=OE=r
∴AB=2DE
二、构造全等三角形
例 1.如图,AB 是O 的弦,点 C,D 在 AB 上,AC=BD,求证:OC=OD。
【答案】:见解析
【解析】:李连杰 OA,OB
∵OA=OB=r
∴∠OAC=∠OBA
∵AC=BD
∴△OCA≌△ODB(SAS)
∴OC=OD
例 2.如图,AB,CD 是O 的两条弦,且 AB=AC,求证:AO⊥BC。
【答案】:见解析
【解析】:连接 OB、OC
∵AB=AC,AO=AO,OB=OC=r
∴△AOB≌△AOC
∴∠OAB=∠OAC,AO 是∠BAC 的角平分线
∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形
∴AO⊥BC
方法 2 利用转化思想求角度
解题技巧:利用圆的有关性质转化角度是求角度常用的方法
一、利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
解题技巧:在同圆中,弦 AB=弦 CD,则퐴퐵̂ 和퐶퐷̂ 对应的所有圆周角相等,对应的所有圆心角是圆周角的 2
倍。利用这个性质,将角度进行转化;再利用几何知识求解角度
例 1.如图,若∠A=25°,∠E=30°,求∠BOD 的度数。
【答案】:110°
【解析】:如图,连接 OC
∵∠BAC=25°,∴∠BOC=50°
∵∠CED=30°,∴∠COD=60°
∴∠BOD=110°
例 2.如图,△ABC 是O 的内接三角形,若∠OBC=70°,求∠A 的度数。
【答案】:20°
【解析】:如图,连接 OC
∵OB=OC,∠OBC=70°
∴∠OCB=70°
∴∠BOC=40°
∴∠BAC=20°
二、利用直径构造直角三角形转化角
解题技巧:直径对应的圆周角为 90°,在题干中,若有直径,则我们首选构造直径对应的圆周角。
例 1.如图,平行四边形 ABCD 的顶点 A,B,D 在O 上,顶点 C 在O 的直径 BE 上,连接 AE,若∠
E=36°,求∠ADC 的大小。
【答案】:54°
【解析】:∵BE 是O 的直径
∴∠BAE=90°
∵∠E=36°
∴∠ABE=54°
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴∠ADC=∠ABE=54°
例 2.如图,AB 是O 的直径,点 D 在O 上,∠AOD=130°,BC∥OD 交O 于 C,求∠A 的大小。
【答案】:40°
【解析】:∵AB 是O 的直径
∴∠ACB=90°
∵AOD=130°,BC∥OD
∴∠DOB=50°,∠CBA=50°
∴∠A=40°
三、构造圆内接四边形转化角
解题技巧:①内接四边形内角和为 360°;②内接四边形对边互补。利用这 2 个特点,再结合圆周角、圆
心角之间的关系,直径对应的直角等转化解题。
例 1.如图,四边形 ABCD 内接于O,AB 为O 的直径,点 C 为퐵퐶̂ 的中点,若∠A=40°,求∠B 的大
小。
【答案】:70°
【解析】:方法很多,此题利用四边形内角的性质解决,如图,连接 BD
∵四边形 ABCD 是内接四边形,∠A=40°
∴∠C=140°
∵点 C 是퐵퐶̂ 的中点
∴CD=BC
∴△CDB 为等腰三角形
∴∠CBD=∠CDB=20°
∵AB 是O 的直径
∴∠ADB=90°
∴∠DBA=50°
∴∠ABC=50°+20°=70°
例 2.如图 A,B,C 是O 上的三个点,若∠AOC=100°,求∠ABC 的大小。
【答案】:130°
【解析】:注意,四边形 ABCO 不是内接四边形,因此需要先构造内接四边形。如图,在O 上任取一点
D,连接 AD,CD
∵∠AOC=100°
∴∠ADC=50°
∴∠ABC=130°
四、利用特殊数量关系构造特殊角转化角
解题技巧:特殊的角主要为:30°;45°;60°;120°等,这些角的三角形中,边是存在一些特殊长度
关系的。若涉及到这些特殊边的关系,可以想办法将图形构造为三角形(主要利用垂径定理,作垂线够三
角形),利用角和边的特殊关系推断出角的大小。
例 1.如图,O 的半径为 2,弦퐵퐶 = 2√3,点 D 为O 上一点(异于 B、C),求∠BDC 的大小。
【答案】:60°
【解析】:如图,过点 O 作 BC 的垂线,交 BC 于点 A,连接 OC
∵OA⊥BC,BC=2√3
∴根据垂径定理,AC=√3
∵半径为 2,∴OC=2
∵在 Rt△OAC 中,OC=2,∠AC=√3
∴∠C=30°,∠AOC=60°
∴∠BOC=120°
∴∠BDC=60°
例 2.如图,O 的半径为 1,弦 AB= √2,弦 AC=√3,求∠BOC 的大小
【答案】:150°
【解析】:连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线,交 AB 于点 D,过点 O 作 AC 的垂线,交 AC 于点 E
∵AB=√2,∴AD=√2
2
∵半径为 1,∴AO=1
∵在 Rt△AOD 中,AO=1,AD=√2
2
∴∠AOD=45°
∴∠AOB=90°
同理,∠AOC=120°
∴∠COB=150°
方法 3 构直径和直角
一、见直径,连直角
解题技巧:已知直径的情况下,通常连直径上 2 点的圆周角,构造直角。
例 1.如图,AB 是O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,∠ACD=60°,求∠BAD 的大小。
【答案】:30°
【解析】:如图,连接 BC,构造直角
∵AB 是O 的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ACD=60°
∴∠ABD=60°
∴∠BAD=30°
例 2.如图,AB 为O 的直径,C,E 在O 上,∠BOE=20°,求∠ACE 的大小。
【答案】:100°
【解析】:可以利用四边形内角和解题,此处我们用直径对应直角解题,如图,连接 BC
∵AB 是O 的直径
∴∠ACB=90°
∵∠EOB=20°
∴∠ECB=10°
∴∠ACE=100°
二、作直径,连直角
解题技巧:圆中已知圆周角为直角,这直角在圆上的两个端点连线是直径。
例 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,半径为 1 的B 经过点 C,点 P 是B 上的一
点,且∠APC=90°,求 CP 的长。
【答案】:2√21
7
【解析】:如图,延长 AP 交B 于点 D,连接 BD
∵∠ACP=90°,∴∠CPD=90°
∴CD 是B 的直径,C、B、D 三点共线
∵B 的半径为 1,∴CB=BD=1,CD=2
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°
∴AC=√3,AB=2
在 Rt△ACD 中,AD=√7
∵∠CAP+∠CDP=90°,∠PCD+∠CDP=90°
∴∠CAP=∠PCD
∵∠ACD=∠CPD=90°
∴△ACD∽△CPD
∴퐴퐶
퐴퐷 = 퐶푃
퐶퐷
解得:CP=2√21
7
例 2.如图,O 的两条弦 AC 与 BD 互相垂直,OE⊥BC 于点 E。
(1)求证:OE=1
2 퐴퐷;
(2)设O 的半径为 R,求证:퐴퐵2 + 퐶퐷2 = 4푅2
【答案】:见解析
【解析】:(1)如图,连接 CO 并延长,交O 于点 F,连接 BF,AF
∵CF 是O 的直径
∴∠CFB=∠CAF=90°
∵点 O 是 CF 的中点,OE⊥BC,BF⊥BF
∴OE 是△CBF 的中位线
∴OE=1
2BF
∵FA⊥AC,BD⊥AC
∴FA∥BD
补充:
如图,在O 中,弦 AB∥CD,则 AB=CD,CB=AD,证明如下:
过点 O 作 AB 的垂线,交 CD 与点 F,交 AB 于点 E
∵AB∥CD,∴OF⊥CD
根据垂径定理,AE=EB,CF=FD
∵OE=OE,∠AEO=∠BEO=90°
∴△AEO≌△BEO,∴∠AOE=∠BOE
同理,△COF≌△DOF,∠COF=∠DOF
∴∠COA=∠BOD
∴CA=BD,∠BCD=∠ADC
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BDC=∠ADB+∠ADC
又∵∠ACB=∠ADB,∠BCD=∠ADC
∴∠ACD=∠BDC
∴AD=BC,得证
根据补充
∵AF∥BD,∴FB=AD
∴OE=1
2
AD
(2)连接 FD
△FDC 为直角三角形
∴퐹퐷2 + 퐶퐷2 = 퐶퐹2
∵AF∥BD,∴AB=FD
∴퐴퐵2 + 퐶퐷2 = 퐶퐹2,即퐹퐷2 + 퐶퐷2 = 4푅2
方法 4 垂径定理与勾股定理
解题技巧:垂径定理构造直角三角形,勾股定理利用直角三角形建立边长关系。
一、垂径定理求长度
(1)已知直径与弦垂直
解题技巧:已知直径(半径)与弦垂直,则满足垂径定理中的 2 个条件(直径和垂直),利用垂径定理的
“知二推三”,可直接得出另外三个结论。
例 1.如图,M 是 CD 的中点,EM⊥CD,若 CD=4,EM=8,求퐶퐸퐷̂所在圆的半径。
【答案】:17
4
【解析】:已知 CM⊥CD,可直接利用垂径定理,如图,连接 OD
∵EM⊥CD,CD=4
∴MD=2
设半径为 r,则 OD=r,OM=8-r
在 Rt△OMD 中:22 + (8 − 푟)2
= 푟2
解得:r=17
4
例 2.如图,AB 是O 的弦,OD⊥AB,垂足为 C,交O 于点 D,点 E 在O 上。若∠BED=30°,O
的半径为 4,求弦 AB 的长。
【答案】:4√3
【解析】:垂直+半径,可直接利用垂径定理。如图,连接 OB
∵∠E=30°
∴∠DOB=60°
∵OD⊥AB
∴∠AOD=∠BOD=60°
∴∠OAC=30°
∵半径为 4,∴OA=4
在 Rt △AOC 中,OA=4,∠A=30°
∴OC=2,AC=2√3
∴AB=4√3
(2)作垂直于弦的直径
解题技巧:过原点作弦的垂线,连接圆心与弦的端点,构造出直角三角形,利用垂径定理结合勾股定理计
算线段长度关系。
例 3.如图,AB 是O 的直径,P 为 AB 上一点,过 P 作弦 MN,∠NPB=45°,MP=3,NP=5,求 AB 的
长。
【答案】:2√17
【解析】:如图,过点 O 作 MN 的垂线,交 MN 于点 C,连接 ON
∵OC⊥MN,MP=3,PN=5
∴CM=CN=4,CP=2
∵∠NPB=45°
∴△CPO 是等腰直角三角形
∴CO=1
在 Rt△CON 中,ON=√17
∴AB=2√17
例 4.如图,半径为 2√5的O 内有两条互相垂直的弦 AB、CD 交于点 P,AB=8,CD=6,求 OP 的长。
【答案】:√15
【解析】:如图,过点 O 分别作 AB、CD 的垂线,交 AB 于点 M、CD 于点 N,连接 OB,OD
∵AB=8,OM⊥AB,半径为 2√5
∴MB=4,OB=2√5
∴在 Rt△OBM 中,MO=2
同理,ON=√11
∵AB⊥CD,∴∠DPB=90°
∵∠OMA=90°,∠ONC=90°
∴四边形 PMON 是矩形
∴NP=MO=2,∠PNO=90°
∴在 Rt△PNO 中,PO=√15
(3)利用弧的中点证垂直
解题技巧:直径(半径)+弧的中点,依旧满足垂径定理中的 2 个条件,则原点与弧中点的连线垂直弦,
构造出直角三角形,再利用垂径定理和勾股定理计算。
例 5.如图,O 的直径为 20,弦 AB=16,点 C 是퐴퐵̂ 的中点,求 AC 的长。
【答案】:4√5
【解析】:如图,连接 OC,与 AB 相交于点 D
∵点 C 是퐴퐵̂ 的中点,AB=16
∴AD=8,OC⊥AB
∴△AOD 为直角三角形、△ADC 为直角三角形
∵直径为 20
∴AO=10
∴在 Rt△AOD 中,OD=6
∴DC=4
∴在 Rt△ACD 中,AC=4√5
二、方程思想
解题技巧:利用圆中的垂径定理,可构造出直角三角形。在求解边的过程中,可以利用勾股定理构建等
式,若等式中的长度未知,我们通常利用方程思想,设未知边为未知数,构造方程求解。其中,设半径为
未知数时最常见的方法。
(1)单勾股
例 1.如图,AB=BC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E,CD⊥AB 于点 D。若 CD=6,CE=2,求 CO 的
长。
【答案】:3√5
【解析】:连接 AE
∵AB 是O 的直径,∴∠AEB=90°
∵AB⊥CD,∴∠CDB=90°
∵CB=AB,∠B=∠B
∴△CBD≌△ABE
∴BD=BE
设 BE=x,则 BD=x,BC=x+2
∴在 Rt△BDC 中,푥2 + 62 = (푥 + 2)2
解得:x=8
∴CB=10,
∴AB=AO=5,AD=2
∴BO=3
∴在 Rt△CDO 中,CO=3√5
例 2.如图,CD 是△ABC 的外角∠ECA 的平分线,CD 交过 A,B,C 三点的O 于点 D。若 AB=2,
BD=√10,求O 的半径。
【答案】:5
3
【解析】:∵CD 是∠ACE 的角平分线
∴∠ECD=∠DCA
∵∠ECD+∠DCB=180°,∠DCB+∠DAB=180°
∴∠ECD=∠DAB
∵∠DBA=∠DCA
∴∠DBA=∠ECD=∠DAB
∴△ABD 是等腰三角形,AD=BD
如图,连 DO,延长线交 AB 于点 F,连 OB
∵O 是△ABD 的外接圆
∴点 O 是 BA 垂直平分线上的点
∵△ABD 是等腰三角形
补充:如下图,O 是等腰△ABC 的外接圆,AB=AC,则 AO⊥BC,证明见方法 6。
根据补充知:DF⊥BA,且 FB=FA
∵BA=2,∴BF=1
∵BD=√10,∴在 Rt△BDF 中,DF=3
设半径为 r,则 OB=r,OF=3-r
∴在 Rt△OFB 中:12 + (3 − 푟)2
= 푟2
解得:r=5
3
(2)双勾股
解题技巧:在利用垂径定理构造直角三角形时,是可以构建多个直角三角形的。有时,因已知条件较少或
方程难以求解,无法仅利用一个直角三角形构造的方程求解未知数。此刻,我们通常利用 2 个直角三角
形,构建出 2 个方程帮助求解未知数。通常,我们选取有公共边的 2 个直角三角形来构建 2 组勾股定理方
程。
例 3.如图,在O 中,퐴퐵̂ = 퐴퐶̂ ,连接 AO,过 B 作 BM∥OA 交 CA 的延长线于点 M。若 CM=16,
OA=5,求 BM 的长。
【答案】:64
5
【解析】:如图,连接 AB,OB,羊场 AO 交 BC 于点 E
∵퐴퐵̂ = 퐴퐶̂ ,∴AB=AC,△ABC 是等腰三角形
根据例 2 中补充知:AE⊥BC,BE=EC
∵MB∥OA,点 E 是 BC 的中点
∴AE 是△CBM 的中位线,2EA=MB,点 A 是 MC 的中点
∵MC=16,∴AC=8=AB
设 OE=x,则 AE=x+5
在 Rt△ABE 中,퐵퐸2 = 퐴퐵2 − 퐴퐸2 = 82 − (푥 + 5)2
在 Rt△OBE 中,퐵퐸2 = 푂퐵2 − 푂퐸2 = 52 − 푥2
∴82 − (푥 + 5)2 = 52 − 푥2
解得:x=7
5
∴AE=7
5 + 5 = 32
5
∴MB=64
5
例 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 分别与边 BC 和 AC 相交于点 E 和 F,过点 E 作
EH⊥CF 于点 H,连接 OH。若 OH=√7,HC=1,求O 的半径长。(若解题有困哪,可先学习方法 6)
【答案】:2
【解析】:如图,连接 EF,OE,过点 O 作 AC 的垂线角 AC 于点 G
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵四边形 ABCF 为内接四边形
∴∠B+∠AFE=180°
∵∠AFE+∠EFC=180°
∴∠EFC=∠C,△FEC 为等腰三角形
∵EH⊥AC
∴FH=HC
∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE=∠C
∴OE∥AC
∴OE⊥EH
∴四边形 OGHE 为矩形,EH=OG
∵OA=OF,OG⊥AC
∴AG=GH
设圆的半径为 r
在 Rt△OEH 中,퐸퐻2 = 푂퐻2 − 푂퐸2 = (√7)2
− 푟2
GF=GH-FH=OE-HC=r-1
在 Rt△FOG 中,퐸퐻2 = 푂퐺2 = 푂퐹2 − 퐺퐹2 = 푟2 − (푟 − 1)2
∴(√7)2
− 푟2 = 푟2 − (푟 − 1)2
解得:r=2
方法 5 角平分线
解题技巧:角平分线与圆结合,可得到一些结论
一、平分锐角
解题技巧:已知 AB 是O 的直径,C 是圆上任一点(不与 A、B 重合),AD 是∠CAB 的角平分线,延长
AC、BD 交于点 G,连接 OD,则有如下结论:
①퐶퐷̂ = 퐵퐷̂ ,且∠BAD=∠CAD=∠ADO=∠CBD;
②OE 是三角形 ABC 的中位线,即:OE⊥BC,OE∥AC,2OE=AC;
③AG=AB,且 BD=DG
证明:∵AD 是∠CAB 的角平分线,∴∠CAD=∠DAB
∴퐶퐷̂ = 퐵퐷̂
∵AO=OD,퐶퐷̂ = 퐶퐷̂
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=∠CBD,①得证
∵∠DOB=2∠DAB,∴∠DOB=∠DAB+∠CAD=∠CAB
∴AC∥OD,OE⊥CB
∵点 O 是 AB 的中点
∴OE 是三角形 ABC 的中位线
∴2OE=AC,②得证
∵AB 是直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BG
∵AD 是∠CAB 的角平分线
∴△ABG 是等腰三角形,AB=AG,BD=DG,③得证
例 1.如图,AB 是O 的直径,C,P 是퐴퐵̂ 上两点,AB=13,AC=5,若点 P 是퐵퐶̂ 的中点,求 PA 的长。
【答案】:3√13
【解析】:连接 CB、PB、OP
根据结论得:OE 是△ABC 的中位线
∵AC=5,AB=13,∴CB=12
∴OE=5
2
,BE=6,∠PEB=90°
∵r=13
2
,∴EP=4
∴在 Rt△EPB 中,PB=2√13
∴在 Rt△APB 中,AP=3√13
例 2.如图,AB 是O 的直径,퐵퐷̂ =퐶퐷̂ ,若 AD=3√13,AB=13,求 AC 的长。
【答案】:5
【解析】:连接 CB、BD、OD
同上,在 Rt△ABD 中,可求得:BD=2√13
设 OE=x,则 AC=2x,ED=13
2 − 푥
在 Rt△DEB 中,퐸퐵2 = 퐵퐷2 − 퐷퐸2 = (2√13)2
− ( 13
2 − 푥)2
在 Rt△OEB 中, 퐸퐵2 = 퐵푂2 − 푂퐸2 = ( 13
2
)2
− 푥2
∴(2√13)2
− (13
2 − 푥)
2
= ( 13
2
)2
− 푥2
解得:x=5
2
∴AC=5
二、平分直角
解题技巧:已知 AB 是O 的直径,C 是圆上任意不与 A、B 重合的一点,CD 是∠ACB 的角平分线。连
接 AD,BD,OD,过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 于点 E,过点 D 分别作 CB、CA 的垂线,交于点 M,N,有
如下结论:
①퐴퐷̂ = 퐵퐷̂
②△ABD、△ACE 是等腰直角三角形,则:OD⊥AB(点 D 在点 O 的正下方);
CE=CA=√2
2 AC
③四边形 CMDN 是正方形,则:CA+CB=√2퐶퐷;푆四边形퐴퐶퐵퐷 = 푆四边形퐶푀퐷푁 = 1
2 퐶퐷2
证明:∵CD 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACD=∠BCD
∴퐴퐷̂ = 퐵퐷̂ ,①得证
∴∠ACD=∠ABD=∠DCB=∠DAB
∵AB 是O 的直径,∴∠ACB=90°
∴∠ACD=∠ABD=∠DCB=∠DAB=45°
∴△ABD 是等腰直角三角形,∴OD⊥AB,DA=DB
∵AE⊥CD,∴△ACE 是等腰直角三角形,∴CE=CA=√2
2 AC,②全部得证
∵CD 是∠ACB 的角平分线,DM⊥CB,ND⊥CA
∴DN=DM
∵∠NCM=∠CMD=∠CND=90°
∴四边形 CMDN 是正方形
∴푆四边形퐴퐶퐵퐷 = 푆四边形퐶푀퐷푁 = 1
2 퐶퐷2(菱形面积为对角线乘积的一半)
∵∠AND+∠ADM=90°,∠ADM+∠MDB=90°
∴∠AND=∠MDB
又∵AD=DB,∠AND=∠DMB=90°
∴△DAN≌△DBM
∴AN=BM,∴AC+CB=AM+CN=√2퐶퐷,③全部得证
例 1.如图,O 的直径 AB 为 10,弦 AC 为 6,∠ACB 的角平分线交O 于点 D,求 BC,AD,BD 的
长。
【答案】:BC=8,AD=BD=5√2
【解析】:根据结论,△ABD 是等腰直角三角形
在 Rt△ABC 中,AB=10,AC=6,∴BC=8
在等腰 Rt△ABD 中,AB=10,∴AD=BD=5√2
例 2.如图,△ABC 内接于O,弦 CD 平分∠ACB,∠ACB=90°。求证:AC+CB=√2퐶퐷。
【答案】:见解析
【解析】:过角平分线作垂线,如下图,过点 D 作 CB、CA 的垂线,分别交于点 M,N
具体过程见上述结论证明
易证△AND≌△BMD,四边形 CBDA 是正方形
∴AC+CB=AM+CN=√2퐶퐷
方法 6 圆与等腰
解题技巧:外接圆与等腰三角形有一些特殊的关系,结合这些特殊的关系和勾股定理,再求解线段长度。
一、圆心在三线上
解题技巧:如下图,O 是△ABC 的外接圆,AB=AC,连接 CO 并延长,交O 于点 E,连接 EB,则:
①AO 三线合一,即:AO⊥BC;BD=CD;
②OD∥BE,且 OD=1
2BE;
③∠BOD=∠COD=∠BAC=∠BEC;
以上几条结论主要用于 Rt△ADC 和 Rt△ODC 中的勾股定理
证明:如上图,取 BC 的中点 D,连接 OD,AD
∵O 是△ABC 的外接圆,点 D 是 BC 的中点
∴OD 是 BC 的垂直平分线,即 OD⊥BC
∵点 D 是 BC 的中点,∴AD 是△ABC 的中线
∵AB=AC,∴AD 是△ABC 的垂线,即 AD⊥BC
∴AD 与 OD 重合
∴AO⊥BC,BD=CD,即 AO 是等腰三角形 ABC 的“三线合一”,①得证
∴∠BOD=∠DOC=∠BAC=∠BEC,③得证
∵CE 是O 的直径,∴∠EBC=90°
∴EB∥OD
∵点 O 是 EC 的中点
∴OD 是△CBE 的中位线
∴OD∥EB,且 2OD=EB,②得证
例 1.如图,O 为△ABC 的外接圆,AB=AC=√30,O 的半径为 3,求 BC 的长。
【答案】:2√5
【解析】:连接 AO 并延长,交 BC 于点 D,连接 OB
∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=DC
设 OD=x,则 AD=3+x
在直角三角形 OBD 中,퐵퐷2 = 푂퐵2 − 푂퐷2 = 32 − 푥2
在直角三角形 ABD 中,퐵퐷2 = 퐴퐵2 − 퐴퐷2 = (√30)2
− (3 + 푥)2
∴32 − 푥2 = (√30)2
− (3 + 푥)2
解得:x=2
∴BD=√5
∴BC=2√5
例 2.如图,点 A,D,C,E 在以 AC 为直径的O 上,且∠DAC=2∠ACE。
(1)求证:퐸퐶̂ = 퐸퐷̂ ;
(2)若 AD=6,CE=4√5,求 AC 的长。
【答案】:(1)见解析
(2)10
【解析】:(1)连接 CD,连 EO 并延长交 DC 于点 F
∴∠AOE=2∠ACE
∵∠DAC=2∠ACE
∴∠DAC=∠AOE
∴AD∥EO
∵AC 为O 的直径
∴∠ADC=90°
∴EO⊥DC
∴ED=EC,퐸퐷̂ = 퐸퐶̂
(2)∵AD=6,∴OF=3
设半径为 r
在直角三角形 OFC 中,퐹퐶2 = 푂퐶2 − 푂퐹2 = 푟2 − 32
在直角三角形 EFC 中,퐹퐶2 = 퐸퐶2 − 퐸퐹2 = (4√5)2
− (3 + 푟)2
∴푟2 − 32 = (4√5)2
− (3 + 푟)2
解得:r=5
∴AC=10
二、圆心在腰上
解题技巧:△ABC 是等腰三角形,AB=AC,以 AB 为圆心作O,交△ABC 于点 D,F,过点 D 作 DF⊥
AC 交 AC 于点 F,则:
①点 D 是 BC 的中点,即:AD⊥BC;∠BAD=∠CAD
②AB 是O 的直径,即:BE⊥AC;BC∙AD=AC∙BE
③∠OBD=∠ODB=∠DCE=∠DEC,即:BD=CD=DE;퐵퐷̂ = 퐷퐸̂ ;EF=CF;DF 为△BEC 的中位线
以上几条结论主要用于:Rt△ABD,Rt△ABE,Rt△BCE 中的勾股定理或面积。
证明:锐角三角形和钝角三角形虽然图形不同,但思路完全相同,结论也完全相同,仅根据锐角三角形图
形证明
如下图,连接 OD
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB
设∠BAD=x,则∠BOD=2x
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=x
在△OBD 中,∠ODB+∠OBD=2x=180°
∴∠ODB+x=90°,∴∠BDO+∠ODA=90°=∠ADB
∵AB=AC,∴△ABC 为等腰三角形
∴点 D 是 BC 的中点
∴AD⊥BD,∠BAD=∠DAC,①得证
∵AB 是O 的直径
∴∠AEB=90°
∵푆△퐴퐵퐶 = 1
2 ∙ 퐵퐶 ∙ 퐴퐷 = 1
2 ∙ 퐴퐶 ∙ 퐵퐸
∴BC∙AD=AC∙BE,②得证
∵四边形 ABDE 为内接四边形
∴∠ABD+∠AED=180°
∵∠AED+∠DEC=180°
∴∠ABD=∠DEC
∵AB=AC,OB=OD
∴∠ABD=∠ODB=∠DEC=∠DCE
∴BD=DC=DE,퐵퐷̂ = 퐷퐸̂
∵DF⊥EC,△DEC 为等腰三角形
∴EF=CF,DF∥BE
∵点 D 为 BC 中点
∴DF 是△BCE 的中位线,③全部得证
例 1.如图,△ABC 中,BA=BC,以 AB 为直径的O 分别交 AC,BC 于 D,E,BE=4CE,AD=√10。
(1)求证:AD=CD;
(2)求푆△퐴퐵퐶。
【答案】:(1)见解析
(2)30
【解析】:如图,连接 BD,AE
∵AB 是O 的直径,∴∠ADB=90°,BD⊥AC
∵AB=BC,∴AD=DC
(2)设 AE=x,则 BE=4x,AB=5x
∴在 Rt△ABE 中,AE=3x
∵AD=√10,∴AC=2√10
∴在 Rt△ACE 中,퐶퐸2 + 퐴퐸2 = 퐴퐶2,即푥2 + (3푥)2
= (2√10)2
解得:x=2
∴BC=10,AE=6
∴푆△퐴퐵퐶 = 1
2 ∙ 퐵퐶 ∙ 퐴퐸 = 1
2 ∙ 10 ∙ 6 = 30
例 2.如图,△ABC 中,AB=AC,AB 为O 的直径,O 分贝交 AC,BC 于点 D,E,了解 DE,AE。
(1)求证:∠CED=2∠CAE;
(2)若 DE=15,AE=20,求 CD 的长。
【答案】:(1)见解析
(2)18
【解析】:(1)根据结论,∠CED=∠ECD=∠CAB,ED=BE
∴∠CAE=∠EAB
∴∠CED=2∠CAE
(2)∵DE=15,∴BE=15
∴在 Rt△AEB 中,AB=25=AC
连接 BD,则∠ADB=90°
根据结论:AC∙ 퐷퐵 = 퐵퐶 ∙ 퐴퐸
∴BD=24
∴在 Rt△ABD 中,AD=7
∴CD=18
三、典型题型
题型 1 利用圆的半径解题
解题技巧:在同圆或等圆中,圆的半径相等。此类题型,常常连接半径,构造等腰三角形或全等三角形。
例 1.如图,已知 AB 为O 的直径,半径 OC⊥AB,E 为 OB 上一点,弦 AD⊥CE 交 OC 于 F,CE 于 G,
求证:OE=OF。
【答案】:见解析
【解析】:∵CO⊥AB,AD⊥CE,∴∠AOF=∩COE=90°
∴∠A+∠AFO=90°,∠C+∠CFG=90°
∵∠AFO=∠CFG,∴∠A=∠C
∵OA=OC=r
∴△AOF≌△COE
∴OE=OF
例 2.如图,在△ABC 中,以 AB 为直径的O 交 AC 于 D,交 BC 于 E,若∠C=70°,求∠DOE 的度数。
【答案】:40°
【解析】:设∠A=x,∠OBE=y
∵AO=OD=r,OE=OB=r
∴∠ADO=x,∠OEB=y
∴∠CDO=180-x,∠CEO=180-y
在△ACB 中,x+y+70=180,化简得:x+y=110
在四边形 CDOE 中,70+(180-x)+∠DOE+(180-y)=360
化简得:70-(x+y)+∠DOE=0
将 x+y=110 代入得:∠DOE=40°
题型 2 垂径定理的证明与计算
解题技巧:如下图,垂径定理中,“知二推三”。
①CD过圆心;②CD垂直弦AB;③CD平分AB;④AĈ=CB̂;⑤AD̂ =BD̂
上述5个条件中,已知任意2个条件,则我们可以直接得出另外3个条件也成立。因此,若在圆中满足上
述的任2条件,则圆关于CD对称,△AEO≌△BEO,∠AEO=∠BEO=90°。
作垂直于弦的直径得到直角,借助勾股定理将弦与半径联系起来求解。常见辅助线是向弦作垂线(作中
线),并连接圆心与弦的端点,构造出直角三角形AOE(或直角三角形BOE)。
例1.在⊙O中,弦AB的长为6,圆心O到AB的距离为4,则⊙O的半径为( )
A.10. B.6. C.5. D.4.
【答案】:C
【解析】:此题是垂径定理的简单应用,如下图所示,OC⊥AB
∵OC过圆心,OC⊥AB
∴图形满足垂径定理的“知二求三”,连接OB,构造直角△OCB
∴AC=BC
∵AB=6
∴BC=AC=3
在Rt△BOC中,满足勾股定理:OB2 = OC2 + BC2
∴OB2 = 42 + 32
解得:OB=5,即半径r=5
例 2.如图,O 的弦 AB,CD 相较于点 P,AB=CD,求证:OP 平分∠BPD。
【答案】:见解析
【解析】:如图,过点 O 分别作 AB、CD 的垂线,交于点 M、N,连接 OA,OC
∵AB=CD,∴AM=CN
∵AO=CO=r,푀푂2 = 퐴푂2 − 퐴푀2,푁푂2 = 퐶푂2 − 퐶푁2
∴OM=ON
∴PO 是∠BPD 的角平分线
题型 3 垂径定理的应用
解题技巧:此类题型,需要利用垂径定理来解决图中的计算问题。具体求解方法,与题型 2 的方法相同。
例1.如图,“圆材埋壁”和我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大
小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何”用几何语言可表述为:CD为⊙O的直径,弦AB垂直CD
于点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为( )
A.12.5寸 B.13寸 C.25寸 D.26寸
【答案】:B
【解析】:∵CD为直径(过圆心),AB⊥CD
∴此题满足垂径定理模型,如图,连接AO,构造直角三角形AOE
∵AB=10
∴AE=5
设半径为r,则AO=r,OE=r-1
在Rt△AOE中,满足勾股定理:OA2 = OE2 + AE2
即:r2 = (r − 1)2
+ 52
解得:r=13
答案为B
例 2.如图,一条公路的转弯处时一段圆弧(AB),点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,点 C 是 AB 的中
点,且 CD=10m,则这段弯路所在半径为( )
A.25m B.24m C.30m D.60m
【答案】:A
【解析】:∵点 C 是 AB 的中点,点 O 是这段弧的圆心
∴连接 OC,OB 满足垂径定理模型,如下图
∵AB=40
∴DB=20
设半径为r,则BO=r,OD=r-10
在Rt△BOD中,满足勾股定理:OB2 = OD2 + BD2
即:r2 = (r − 10)2
+ 202
解得:r=25
答案为A
题型 4 弧、弦、圆心角关系的计算
解题技巧:此类题型,主要考察以下几个知识点
①在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半
②在等圆或同圆中,圆心角相等,则对应弧长、弦长、圆周角相等。
③半圆(直径)所对的圆周角是 90°。
例 1.如图,在⊙O 中,AB̂ = AĈ,∠C=70°,求∠A 的度数。
【答案】:40°
【解析】:∵AB̂ = AĈ
∴AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=40°
例2.如图,在⊙O中,半径OA与弦BD垂直,点C在⊙O上,∠AOB=80°
(1)若点C在优弧BD上,求∠ACD的大小
(2)若点C在劣弧BD上,直接写出∠ACD的大小
【答案】:(1)∠ACD=40°
(2)∠ACD=40°或∠ACD=140°
【解析】:(1)∵AO是圆的半径,且OA⊥BD
又∵∠AOB=80°
∴∠DOA=∠BOA=80°
∴∠DCA=40°
(2)如下图,存在两点
当在퐶1处时,∠A퐶1D=∠ACD=40°
当在퐶2处时,四边形A퐶2퐷퐶1为圆的内接四边形
∠A퐶2퐷+∠A퐶1퐷=180°
∴∠A퐶2퐷 = 140°
题型 5 弧、弦、圆心角关系的证明
解题技巧:证弦相等,只需要证明对应圆心角或弧相等即可;
同样,证弧相等只需证对应弦或圆心角相等即可;证圆心角相等,只需证明对应弧或弦相等即可。
例1.如图,A、B、C、D是⊙O上四点,且AD=CB,求证:AB=CD
【答案】:如解析
【解析】:设AB与CD的交点为点E
∵∠ADC与∠ABC对应的弧都是AC
∴∠ADE=∠CBE
在△ADE与△CBE中
{
∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐸
∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐸퐵
퐴퐷 = 퐶퐵
∴△ADE≌△CBD
∴AE=EC,DE=BE
∴AB=CD
例2.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC.
(1)求证:∠ACB=2∠BAC;
(2)若AC平分∠OAB,求∠AOC的度数.
【答案】:(1)答案如解析
(2)∠AOC=135°
【解析】:(1)证明:∵∠AOB=2∠ACB,∠COB=2∠BAC
又∵∠AOB=∠2∠BOC
∴2∠ACB=2×2∠BAC
∴2∠ACB=2∠BAC
(2)设∠BAC=x°
∵AC平分∠OAB
∴∠OAC=∠BAC=x
∵∠ACB=2∠BAC
∴∠ACB=2x
∴∠AOB=4x
∵∠CAB=x
∴∠COB=2x
∵OA=OC=r
∴∠OCA=∠OAC=x
则在△OAC中:
∠OAC=∠OCA=x,∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x+2x=6x
则:x+x+6x=180°
解得:x=22.5
∴∠AOC=22.5°×6=135°
例 3.如图,∠AOB=90°,C,D 是AB̂的三等分点,AB 分别交 OC,OD 于点 E,F。求证:AE=BF=CD.
【答案】:见解析
【解析】:如图,连接 AC
∵C、D 是AB̂的三等分点,∠AOB=90°
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°AC=CD=BD
∴∠COB=60°
∴∠CAB=1
2
∠퐶푂퐵=30°
∵OA=OC=r,∴∠OAC=∠OCA=75°
在△ACE 中,∠ACE=75°,∠CAE=30°,∴∠AEC=75°
∴AE=AC
同理,BD=BF
∴AE=CD=BF
题型 6 运用圆周角定理建立角之间的关系
解题方法:圆周角定理在解中,主要用在角度的转换当中:同弧或等弧对应的圆周角等于圆心角的一半。
例 1.如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径,∠AOB=2∠BOC。求证:∠ACB=2∠BAC。
【答案】:见解析
【解析】:∵∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB
又∵∠AOB=2∠BOC
∴2∠ACB=2∙2∠BAC
∴∠ACB=2∠BAC
例 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,作∠BAC 的外角平分线 AE 交⊙O
于点 E,连接 DE。求证:DE=AB。
【答案】:见解析
【解析】:∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵AE 平分∠FAC,∴∠FAE=∠CAE
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠FAE+∠EAC+∠BAC=180°
∴∠B=∠C=∠FAE=∠CAE
∴AE∥BC
∵∠EAC=∠EDC
∴∠B=∠EAC=EDC
∴AB∥DE
∴四边形 ABDE 是平行四边形
∴DE=AB
题型 7 内接四边形
解题方法:此类题型,常考查内接四边形对边互补这个性质。若四边形是圆的内接四边形,且告知一个角的
度数 n,则对角的度数为 180°-n。内接四边形的性质和四边形内角和通常结合起来用。
注:此性质仅在内接四边形中满足,若不是圆的内接四边形,是不满足这个性质的。
例1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线上一点.若∠B=110°,则∠ADE的度数
为 .
【答案】:110°
【解析】:∵四边形ABCD为圆O的内接四边形
∴∠B+∠ADC=360°
∵∠B=110°
∴∠ADC=250°
∴∠ADE=360°-250°=110°
例2.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=90°,则∠A= ,∠BCD= 。
【答案】:∠A=45°,∠BCD=135°
【解析】:同弧所对圆周角是圆心角的一半
∵∠BOD=90°
∴∠A=45°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°
∴∠BCD=135°
例3.如图,AB是半圆O的直径,D为AĈ的中点,∠B=40°,则∠A= ,∠C= 。
【答案】:∠A=70°,∠C=110°
【解析】:如图,连接OD
∵点D为AĈ的中点
∴AD̂ = DĈ
∵∠B=40°
∴DĈ的圆周角为40°,则圆心角为80°
∵AD̂ = DĈ,∠DOA为AD̂ 的圆心角
∴∠DOA=80°
∵OD=OA=r
∴△AOD为等腰三角形,∠A=∠ADO=70°
∵四边形ABCD为圆O的的内接四边形
∴∠A+∠C=180°
∴∠C=110°
四、难点题型
题型 1 圆的多解
解题技巧:圆是轴对称图形,也是中心对称图形,符合条件的线段或角会出现不止一种情况,计算是要考虑
多解的情况。
例 1.已知 AB,CD 是⊙O 内两条互相平行的弦,且 AB=8cm,CD=6cm,如果⊙O 的半径为 5cm,求弦 AB,
CD 之间的距离。
【答案】:1cm 或 7cm
【解析】:∵无图形,圆是对称图形,会存在多解情况。过点 O 作 AB、CD 垂线,分别交于点 E、F
情况一:AB、CD 在半圆同一侧
∵AB=8cm,CD=6cm
∴根据垂径定理,AE=4cm,CF=3cm
∵r=5cm
∴根据勾股定理,OE=3cm,OF=4cm
∴两弦间距离 d=4-3=1cm
情况二:AB、CD 不在半圆同一侧
距离 d=OE+OF=3+4=7cm
例 2.已知⊙O 的半径 OA=1,弦 AB,AC 的长分别是√2,√3,求∠BAC 的度数。
【答案】:15°或 75°
【解析】:∵无图形,圆是对称图形,会存在多解的情况。过点 O 作 AB、AC 的垂线,分别交于点 D、E
情况一:如下图
∵AB=√2,AC=√3
∴根据垂径定理,AD=√2
2
,AE=√3
2
∵OA=1
∴根据直角三角形边的关系,∠DAO=45°,∠EAO=30°
∴∠BAC=45°-30°=15°
情况二:如下图
∠BAC=45°+30°=75°
综上得:∠BAC=15°或∠BAC=75°
题型 2 弧、弦间不等关系的推理
解题技巧:类似截长补短的思想,将短弧补成长弧(或将长弧截成短弧),在利用三角形两边之和大于第三
边进行证明。
注:在同圆或等圆中,等弦所对的弧相等,但不能引申为若干倍的弦长对应若干倍的弧长。
例 1.如图,在⊙O 中,AB̂=2CD̂,求证:AB<2CD。
【答案】:见解析
【解析】:
方法一:如下图,作弦 DE,使得 CD=DE
∴퐶퐷̂ = 퐷퐸̂
∵퐴퐵̂ = 2퐶퐷̂
∴퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ + 퐷퐸̂ = 퐶퐸̂
∴AB=CE
∵在△CDE 中,CD+DE>CE,即 2CD>CE
∴2CD>AB
方法二:取 AB 弦的中点 F,连接 OF 交 AB 于点 E
∴퐴퐹̂ = 퐹퐵̂
∵퐴퐵̂ = 2퐶퐷̂
∴2퐴퐹̂ = 2퐶퐷̂
∴AF=CD
∵在△AFB 中,AB<AF+FB=2CD
∴2CD>AB
题型 3 最值问题(对称性问题)
解题技巧:直径垂直于弦,则弦的两个端点关于直径对称。利用对称性,解决最值问题。
例 1.如图,AC,CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦,AB=8,CD=6,MN 是直径,AB⊥MN 于点 E,CD⊥MN
于点 F,P 为 EF 上的任意一点,求 PA+PC 的最小值。
【答案】:7√2
【解析】:根据对称知识点中的最短距离知,求 AP+PC 的最短距离问题,关键在于找到点 P。作点 C 关于
MN 的对称点,即点 D,连接 AD 与 MN 的交点即为点 P。如下图,连接 AO、OC,过点 D 作 DG⊥AB 交
AB 于点 G
∵AB=8,CD=6,r=5
∴根据垂径定理,AE=EB=4,CF=FD=3,∴EG=3,∴AG=7
∴根据勾股定理,OE=3,OF=4,∴GD=7
∴在 Rt△AGD 中,AG=7,GD=7,AD=7√2
即 PA+PC 的最小值为 7√2
例 2.在圆 O 中,AB 是⊙O 的直径,AB=8,AĈ = CD̂ = BD̂ ,如图,M 是 AB 上一动点,CM+DM 的最小值
是多少?
【答案】:8
【解析】:取 D 点关于 AB 对称的点 E,连接 OC,OD,OE
∵AĈ = CD̂ = BD̂
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°
∵点 E、D 关于 AB 对称
∴∠EOB=∠BOD=60°
∵∠COD+∠DOB+∠EOB=180°
∴点 C、O、E 三点共线
∴点 O 即 CE 连线与 AB 的交点,即点 M 取在点 O 处有最小值
CM+DM 的最小值为 CE=AB=8