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- 2021-11-10 发布
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第 1页(共 15页)
2008~2019 北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇)
一.解答题(共 7 小题)
1.已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8,D 为 AB 边上的点,过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于
点 G.DE⊥BC 于点 E,过点 G 作 GF⊥BC 于点 F,把三角形纸片 ABC 分别沿 DG,DE,
GF 按图 1 所示方式折叠,点 A,B,C 分别落在点 A′,B′,C′处.若点 A′,B′,
C′在矩形 DEFG 内或其边上,且互不重合,此时我们称△A′B′C′(即图中阴影部分)
为“重叠三角形”.
(1)若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为 1 的
等边三角形),点 A,B,C,D 恰好落在网格图中的格点上.如图 2 所示,请直接写出此
时重叠三角形 A′B′C′的面积;
(2)实验探究:设 AD 的长为 m,若重叠三角形 A′B′C′存在.试用含 m 的代数式表
示重叠三角形 A′B′C′的面积,并写出 m 的取值范围.(直接写出结果)
2.阅读下列材料:
小明遇到一个问题:5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示,将它们分割后拼接
成一个新的正方形.他的做法是:按图 2 所示的方法分割后,将三角形纸片
①
绕 AB 的
中点 O 旋转至三角形纸片
②
处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形 DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图 3 所示.请将其分割后拼接成
一个平行四边形.要求:在图 3 中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件
的平行四边形即可);
(2)如图 4,在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、
CD、DA 的中点,分别连接 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ,请在
图 4 中 探 究 平 行 四 边 形 MNPQ 面 积 的 大 小 ( 画 图 并 直 接 写 出 结 果 ).
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3.阅读下列材料:
小贝遇到一个有趣的问题:在矩形 ABCD 中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点 P 按下
列方式在矩形内运动:它从 A 点出发,沿着 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动,每次
碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为 45°的方向作直线运动,并
且它一直按照这种方式不停地运动,即当 P 点碰到 BC 边,沿着 BC 边夹角为 45°的方
向作直线运动,当 P 点碰到 CD 边,再沿着与 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动,…,
如图 1 所示,
问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总
长是多少.小贝的思考是这样开始的:如图 2,将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠,得到矩形
A1B1CD,由轴对称的知识,发现 P2P3=P2E,P1A=P1E.
请你参考小贝的思路解决下列问题:
(1)P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次;P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重
合时所经过的路径的总长是 cm;
(2)近一步探究:改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长,且满足 AD>AB,动点 P 从 A 点出
发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD
相邻的两边上.若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次,则 AB:AD 的值为 .
4.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC,BD 相交于点
O.若梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面
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积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个
三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可
以解决这个问题.他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E,得到的△BDE
即是以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形(如图 2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图 3,△ABC 的三条中线分别为 AD,BE,CF.
(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD,BE,CF 的长度为三边长的一个三角形
(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .
5.操作与探究:
(1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 ,再把所得数对应的点向
右平移 1 个单位,得到点 P 的对应点 P′.
点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A′B′,其中点 A,
B 的对应点分别为 A′,B′.如图 1,若点 A 表示的数是﹣3,则点 A′表示的数是 ;
若点 B′表示的数是 2,则点 B 表示的数是 ;已知线段 AB 上的点 E 经过上述操
作后得到的对应点 E′与点 E 重合,则点 E 表示的数是 .
(2)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操
作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再
向上平移 n 个单位(m>0,n>0),得到正方形 A′B′C′D′及其内部的点,其中点 A,
B 的对应点分别为 A′,B′.已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的
对应点 F′与点 F 重合,求点 F 的坐标.
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6.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a(a>2)的正方形 ABCD 各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ
的面积.
小明发现,分别延长 QE,MF,NG,PH 交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,
W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图 2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正
方形的边长为 ;
(2)求正方形 MNPQ 的面积.
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC,AC,
AB 的垂线,得到等边△RPQ.若 S△RPQ= ,则 AD 的长为 .
7.阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图 1,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,∠
BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求 AC 的长.
小腾发现,过点 C 作 CE∥AB,交 AD 的延长线于点 E,通过构造△ACE,经过推理和计
算能够使问题得到解决(如图 2).
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请回答:∠ACE 的度数为 ,AC 的长为 .
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC 与 BD
交于点 E,AE=2,BE=2ED,求 BC 的长.
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2008~2019 北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇)
参考答案与试题解析
一.解答题(共 7 小题)
1.已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8,D 为 AB 边上的点,过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于
点 G.DE⊥BC 于点 E,过点 G 作 GF⊥BC 于点 F,把三角形纸片 ABC 分别沿 DG,DE,
GF 按图 1 所示方式折叠,点 A,B,C 分别落在点 A′,B′,C′处.若点 A′,B′,
C′在矩形 DEFG 内或其边上,且互不重合,此时我们称△A′B′C′(即图中阴影部分)
为“重叠三角形”.
(1)若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为 1 的
等边三角形),点 A,B,C,D 恰好落在网格图中的格点上.如图 2 所示,请直接写出此
时重叠三角形 A′B′C′的面积;
(2)实验探究:设 AD 的长为 m,若重叠三角形 A′B′C′存在.试用含 m 的代数式表
示重叠三角形 A′B′C′的面积,并写出 m 的取值范围.(直接写出结果)
【解答】解:(1)∵每个小三角形的面积是
∴重叠三角形 A'B'C'的面积为 ;
(2)重叠的等边三角形 A'B'C'的边长|8﹣m﹣m|=|8﹣2m|,
根据 S= absinC 得:
面积是: • •|8﹣2m|2= (4﹣m)2,
用含 m 的代数式表示重叠三角形 A'B'C'的面积为 (4﹣m)2,
m 的取值范围为 ≤m<4.
2.阅读下列材料:
小明遇到一个问题:5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示,将它们分割后拼接
第 7页(共 15页)
成一个新的正方形.他的做法是:按图 2 所示的方法分割后,将三角形纸片
①
绕 AB 的
中点 O 旋转至三角形纸片
②
处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形 DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图 3 所示.请将其分割后拼接成
一个平行四边形.要求:在图 3 中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件
的平行四边形即可);
(2)如图 4,在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、
CD、DA 的中点,分别连接 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ,请在
图 4 中 探 究 平 行 四 边 形 MNPQ 面 积 的 大 小 ( 画 图 并 直 接 写 出 结 果 ).
【解答】解:
(1)拼接成的平行四边形是平行四边形 ABCD(如图 3).
(2)正确画出图形(如图 4)平行四边形 MNPQ 的面积为 .
3.阅读下列材料:
小贝遇到一个有趣的问题:在矩形 ABCD 中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点 P 按下
列方式在矩形内运动:它从 A 点出发,沿着 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动,每次
碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为 45°的方向作直线运动,并
且它一直按照这种方式不停地运动,即当 P 点碰到 BC 边,沿着 BC 边夹角为 45°的方
向作直线运动,当 P 点碰到 CD 边,再沿着与 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动,…,
如图 1 所示,
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问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总
长是多少.小贝的思考是这样开始的:如图 2,将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠,得到矩形
A1B1CD,由轴对称的知识,发现 P2P3=P2E,P1A=P1E.
请你参考小贝的思路解决下列问题:
(1)P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 5 次;P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合
时所经过的路径的总长是 24 cm;
(2)近一步探究:改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长,且满足 AD>AB,动点 P 从 A 点出
发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD
相邻的两边上.若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次,则 AB:AD 的值为 4:5 .
【解答】解:(1)5;
(2)24 ;解题思路示意图:
(2)AB:AD=4:5.
4.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC,BD 相交于点
O.若梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面
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积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个
三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可
以解决这个问题.他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E,得到的△BDE
即是以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形(如图 2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图 3,△ABC 的三条中线分别为 AD,BE,CF.
(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD,BE,CF 的长度为三边长的一个三角形
(保留画图痕迹);
(2)若△ABC 的面积为 1,则以 AD,BE,CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 .
【解答】解:△BDE 的面积等于 1.
(1)如图.以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)平移 AF 到 PE,可得 AF∥PE,AF=PE,
∴四边形 AFEP 为平行四边形,
∴AE 与 PF 互相平分,即 M 为 PF 的中点,
又∵AP∥FN,F 为 AB 的中点,
∴N 为 PC 的中点,
∴E 为△PFC 各边中线的交点,
∴△PEC 的面积为△PFC 面积的
连接 DE,可知 DE 与 PE 在一条直线上
∴△EDC 的面积是△ABC 面积的
所以△PFC 的面积是 1× ×3=
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∴以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 .
5.操作与探究:
(1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 ,再把所得数对应的点向
右平移 1 个单位,得到点 P 的对应点 P′.
点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A′B′,其中点 A,
B 的对应点分别为 A′,B′.如图 1,若点 A 表示的数是﹣3,则点 A′表示的数是
0 ;若点 B′表示的数是 2,则点 B 表示的数是 3 ;已知线段 AB 上的点 E 经过上述
操作后得到的对应点 E′与点 E 重合,则点 E 表示的数是 .
(2)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操
作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再
向上平移 n 个单位(m>0,n>0),得到正方形 A′B′C′D′及其内部的点,其中点 A,
B 的对应点分别为 A′,B′.已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的
对应点 F′与点 F 重合,求点 F 的坐标.
【解答】解:(1)点 A′:﹣3× +1=﹣1+1=0,
第 11页(共 15页)
设点 B 表示的数为 a,则 a+1=2,
解得 a=3,
设点 E 表示的数为 b,则 b+1=b,
解得 b= ;
故答案为:0,3, ;
(2)根据题意得, ,
解得 ,
设点 F 的坐标为(x,y),
∵对应点 F′与点 F 重合,
∴ x+ =x, y+2=y,
解得 x=1,y=4,
所以,点 F 的坐标为(1,4).
6.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a(a>2)的正方形 ABCD 各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ
的面积.
小明发现,分别延长 QE,MF,NG,PH 交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,
W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图 2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正
方形的边长为 a ;
(2)求正方形 MNPQ 的面积.
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC,AC,
第 12页(共 15页)
AB 的垂线,得到等边△RPQ.若 S△RPQ= ,则 AD 的长为 .
【解答】解:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为 a,则斜边上的高为 a,
每个等腰直角三角形的面积为: a• a= a2,
则拼成的新正方形面积为:4× a2=a2,即与原正方形 ABCD 面积相等,
∴这个新正方形的边长为 a;
(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为 a2,正方形 ABCD 的面积为 a2,
∴S 正方形 MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4× ×12=2;
(3)如答图 1 所示,分别延长 RD,QF,PE,交 FA,EC,DB 的延长线于点 S,T,W.
由题意易得:△RSF,△QET,△PDW 均为底角是 30°的等腰三角形,其底边长均等于
△ABC 的边长.
不妨设等边三角形边长为 a,则 SF=AC=a.
如答图 2 所示,过点 R 作 RM⊥SF 于点 M,则 MF= SF= a,
第 13页(共 15页)
在 Rt△RMF 中,RM=MF•tan30°= a× = a,
∴S△RSF= a• a= a2.
过点 A 作 AN⊥SD 于点 N,设 AD=AS=x,
则 AN=AD•sin30°= x,SD=2ND=2ADcos30°= x,
∴S△ADS= SD•AN= • x• x= x2.
∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW 的面积和=3S△RSF=3× a2= a2,
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,
∴ =3× x2,得 x2= ,
解得 x= 或 x= (不合题意,舍去)
∴x= ,即 AD 的长为 .
故答案为:a; .
7.阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图 1,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,∠
BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求 AC 的长.
小腾发现,过点 C 作 CE∥AB,交 AD 的延长线于点 E,通过构造△ACE,经过推理和计
算能够使问题得到解决(如图 2).
请回答:∠ACE 的度数为 75° ,AC 的长为 3 .
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC 与 BD
交于点 E,AE=2,BE=2ED,求 BC 的长.
第 14页(共 15页)
【解答】解:∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°,
∠E=75°,BD=2DC,
∴AD=2DE,
AE=AD+DE=3,
∴AC=AE=3,
∠ACE=75°,AC 的长为 3.
过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵∠BAC=90°=∠DFA,
∴AB∥DF,
∴△ABE∽△FDE,
∴ =2,
∴EF=1,AB=2DF.
在△ACD 中,∠CAD=30°,∠ADC=75°,
∴∠ACD=75°,AC=AD.
∵DF⊥AC,
∴∠AFD=90°,
在△AFD 中,AF=2+1=3,∠FAD=30°,
∴DF=AFtan30°= ,AD=2DF=2 .
∴AC=AD=2 ,AB=2DF=2 .
∴BC= =2 .
第 15页(共 15页)
声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布
日期:2020/1/19 13:53:17 ;用户: 金雨教育;邮 箱:309593466@qq.com ;学号: 335385