2014北京市中考数学分类汇编方程与不等式 10页

‎2014-2018年北京市中考数学分类汇编方程与不等式 ‎　‎ 一．选择题（共1小题）‎ ‎1．（2018•北京）方程组的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎2．（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　 　．‎ ‎3．（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．‎ ‎《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”‎ 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”‎ 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　．‎ ‎4．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　 　，b=　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共12小题）‎ ‎5．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．‎ ‎（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；‎ ‎（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．‎ ‎6．（2018•北京）解不等式组：‎ ‎7．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．‎ ‎8．（2017•北京）解不等式组：．‎ ‎9．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．‎ ‎10．（2016•北京）解不等式组：．‎ ‎11．（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．‎ ‎12．（2015•北海）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：‎ 一户居民每月用电量x（单位：度）‎ 电费价格（单位：元/度）‎ ‎0＜x≤200‎ a ‎200＜x≤400‎ b x＞400‎ ‎0.92‎ ‎（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．‎ ‎（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？‎ ‎13．（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25‎ ‎ 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？‎ ‎14．（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎15．（2014•北京）列方程或方程组解应用题：‎ 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．‎ ‎16．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．‎ ‎　‎ ‎2014-2018年北京市中考数学分类汇编方程与不等式 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共1小题）‎ ‎1．（2018•北京）方程组的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，‎ 将y=﹣1代入①得：x=2，‎ 则方程组的解为；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎2．（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　　．‎ ‎【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．‎ ‎《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”‎ 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”‎ 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　4　，b=　2　．‎ ‎【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，‎ ‎∴a=b2，‎ 当b=2时，a=4，‎ 故b=2，a=4时满足条件．‎ 故答案为：4，2．‎ ‎　‎ 三．解答题（共12小题）‎ ‎5．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．‎ ‎（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；‎ ‎（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．‎ ‎【解答】解：（1）a≠0，‎ ‎△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，‎ ‎∵a2＞0，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4a=0，‎ 若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•北京）解不等式组：‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x＞﹣2，‎ 解不等式②得：x＜3，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．‎ ‎　‎ ‎7．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，‎ ‎∴方程总有两个实数根．‎ ‎（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，‎ ‎∴x1=2，x2=k+1．‎ ‎∵方程有一根小于1，‎ ‎∴k+1＜1，解得：k＜0，‎ ‎∴k的取值范围为k＜0．‎ ‎　‎ ‎8．（2017•北京）解不等式组：．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①式得x＜3；‎ 由②式得x＜2，‎ 所以不等式组的解为x＜2．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，‎ 解得：m＞﹣．‎ ‎（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，‎ 即x（x+3）=0，‎ 解得：x1=0，x2=﹣3．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•北京）解不等式组：．‎ ‎【解答】解：解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8，‎ 解不等式4x＞，得：x＞1，‎ ‎∴不等式组的解集为：1＜x＜8．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≥﹣2；‎ 由②得：x＜，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，‎ 则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•北海）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：‎ 一户居民每月用电量x（单位：度）‎ 电费价格（单位：元/度）‎ ‎0＜x≤200‎ a ‎200＜x≤400‎ b x＞400‎ ‎0.92‎ ‎（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．‎ ‎（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：，‎ 解得：．‎ ‎（2）设李叔家六月份用电x度，‎ 根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，‎ 解得：x≤450．‎ 答：李叔家六月份最多可用电450度．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？‎ ‎【解答】解：设到2015年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：‎ ‎×1.2=，‎ 解得：x=1000，‎ 经检验得：x=1000是原方程的根，‎ 答：到2015年底，全市将有租赁点1000个．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【解答】解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，‎ 移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，‎ 合并同类项，得：﹣x≤3，‎ 系数化成1得：x≥﹣3．‎ 则解集在数轴上表示出来为：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•北京）列方程或方程组解应用题：‎ 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．‎ ‎【解答】‎ 解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，由题意得 ‎=，‎ 解得：x=0.18‎ 经检验x=0.18为原方程的解 答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵m≠0，‎ ‎△=（m+2）2﹣4m×2‎ ‎=m2﹣4m+4‎ ‎=（m﹣2）2，‎ 而（m﹣2）2≥0，即△≥0，‎ ‎∴方程总有两个实数根；‎ ‎（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，‎ x﹣1=0或mx﹣2=0，‎ ‎∴x1=1，x2=，‎ 当m为正整数1或2时，x2为整数，‎ 即方程的两个实数根都是整数，‎ ‎∴正整数m的值为1或2．‎ ‎　‎