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- 2021-11-10 发布
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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 一元二次方程专题详解
专题 01 一元二次方程 .............................................................................................................................................. 1
21.1 一元二次方程 ............................................................................................................................................. 3
知识框架 ..................................................................................................................................................... 3
一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 3
知识点 1 一元二次方程的概念 ......................................................................................................... 3
知识点 2 一元二次方程的一般形式 ................................................................................................. 4
知识点 3 一元二次方程的根............................................................................................................. 4
二、典型题型 ............................................................................................................................................. 5
题型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围 ................................................................. 5
题型 2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围 ............................................................. 5
题型 3 一元二次方程的简单应用 ..................................................................................................... 6
三、难点题型 ............................................................................................................................................. 7
题型 1 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 ................................................................. 7
21.2 解一元二次方程 ......................................................................................................................................... 8
知识框架 ..................................................................................................................................................... 8
一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 8
知识点 1 配方法 ................................................................................................................................ 8
知识点 2 公式法 ................................................................................................................................ 9
知识点 3 因式分解法 ....................................................................................................................... 11
知识点 4 韦达定理 .......................................................................................................................... 13
二、典型题型 ........................................................................................................................................... 15
题型 1 解一元二次方程 .................................................................................................................. 15
题型 2 配方法的应用 ...................................................................................................................... 16
题型 3 利用△判定一元二次方程根的情况或判定字母的取值范围 ........................................... 19
题型 4 韦达定理的应用 .................................................................................................................. 20
三、难点题型 ........................................................................................................................................... 24
题型 1 解可化为一元二次方程的方程 ........................................................................................... 24
21.3 实际问题与一元二次方程 ....................................................................................................................... 26
知识框架 ................................................................................................................................................... 26
一、基础知识点 ....................................................................................................................................... 26
知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ........................................................................... 26
二、典型题型 ........................................................................................................................................... 27
题型 1 增长率问题 .......................................................................................................................... 27
题型 2 传播问题 .............................................................................................................................. 28
题型 3 面积问题 .............................................................................................................................. 29
题型 4 利润问题 .............................................................................................................................. 33
题型 5 循环问题 .............................................................................................................................. 34
三、难点题型 ........................................................................................................................................... 36
题型 1 动点问题 .............................................................................................................................. 36
21.1 一元二次方程
知识框架
{
基础知识点 {
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的根
典型题型 {
利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围
利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围
一元二次方程的简单应用
难点题型{利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
一、基础知识点
知识点 1 一元二次方程的概念
1)一元二次方程的概念:只含有一个未知数(一元),且未知数的最高次数为 2(二次)的整式方程。
例:2푥2 + 3푥 + 4 = 5; 3푥2 + 5 = 6
注:①只含一个未知数
②未知数最高次数为 2,即一定要有 2 次的项,可以无 1 次的项和常数项
③整式。如 1
푥2不是,实际 1
푥2 = 푥2为-2 次
例 1.判断下列关于 x 的方程是不是一元二次方程.
(1) 2
푥2+5 = 3; (2)푥2 − 5푥 = 0; (3)푥2 − 2푥푦 − 3 = 0;
(4)√푥 + 푥 = 5; (5)2푥(푥 − 3) = 2푥2 + 1; (6) 1
푥 + 3푥 = 푥 − 3;
(7) 1
푥2+1 = 2푥; (8)푎푏푥2 + (푎 + 푏)푥 + 1 = 0; (9)푥2 − 3√3푥 + 4 = 0;
(10)푝푥2 + 푞푥 + 푚 = 0(푝 ≠ 0)。
【答案】:方程(2)、(9)、( 10)是一元二次方程.
【解析】:方程(1)、(6)、( 7)的左边是分式,不属于整式方程,不是一元二次方程
方程(3)含有两个未知数,不是一元二次方程
方程(4)的左边不是整式,不是一元二次方程
方程(5)整理得-6x=1,不是一元二次方程
方程(8)中未确定 ab≠0,不是一元二次方程
方程(2)、(9)、(10)是一元二次方程.
例 2.方程(푚 − 5)(푚 − 3)푥푚−2 + (푚 − 3)푥 + 5 = 0.
(1)m 为何值时,此方程为一元二次方程?
(2)m 为何值时,此方程为一元一次方程?
【答案】:(1)m=4
(2)m=5
【解析】:(1)当 m-2=2 时,m=4,这时(m-5)( m-3)≠0
所以 m=4 时,此方程为一元二次方程.
(2)当(m-5)( m-3)=0,m-2>0,m-2 为自然数,且 m-3≠0 时,方程为一元一次方程.
因为 m-5)( m-3)=0 得 m=5 或 m=3,又因 m≠3
所以当 m=5 时,此方程为一元一次方程.
知识点 2 一元二次方程的一般形式
1)一元二次方程一般形式:푎푥2 + bx + c = 0(a≠0)
a:二次项系数 b:一次项系数 c:常数
注:①化为一般式时,右边为 0;
②习惯上将二次项系数 a 化为正数
例 1.将一元二次方程(1 − 푥)(2 − 푥) = 3 − 푥2化简为一般式。
【答案】:2푥2 − 3푥 − 1 = 0
【解析】:去括号(1 − 푥)(2 − 푥) = 3 − 푥2得:2-3x+푥2 = 3 − 푥2
移项得:2-3x+푥2 − 3 + 푥2 = 0
合并同类项得:2푥2 − 3푥 − 1 = 0
知识点 3 一元二次方程的根
1)能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解,我们也称为一元二次方程的根。
2)一元二次方程的实数根有 0 个、1 个或 2 个,具体情况我们下一节讨论。
例 1.下列选项中,方程푥2 + 2x − 3 = 0的根有( )
A.-4 B.-3 C.0 D.2
【答案】:B
【解析】:将下列选项分别代入方程中,使得方程成立的值即方程的解。
A.将 x=-4 代入得:( − 4)2
+ 2 × (−4) − 3 = 5 ≠ 0,错误
B.将 x=-3 代入得:( − 3)2
+ 2 × (−3) − 3 = 0,正确
C.将 x=0 代入得:02 + 2 × 0 − 3 = −3 ≠ 0,错误
D.将 x=2 代入得:22 + 2 × 2 − 3 = 5 ≠ 0,错误
例 2.关于 x 的一元二次方程(푎 − 2)푥2 + x + 푎2 − 4 = 0有一个根为 0,求 a 的值。
【答案】:a=-2
【解析】:∵方程有一个根为 0
∴将 x=0 代入,方程成立,即:(푎 − 2) × 02 + 0 + 푎2 − 4 = 0
化简得:푎2 − 4 = 0
解得:a=2 或 a=-2
∵方程是一元二次方程
∴a-2≠0,a≠2
∴a=-2
二、典型题型
题型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围
解题技巧:一元二次方程的一般式为:푎푥2 + bx + c = 0,在解决一元二次方程定义的问题中,有几点需
要注意:
①在判定前,务必将一元二次方程化简为一般式;
②二次项系数 a≠0,二次项的次数为 2;
③一次项系数 b 和常数项 c 无特殊要求。
例 1.已知(푚 − 3)푥2 + √푚 + 2푥 = 1是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是( )
A.m≠3 B.m≥3 C.m≥-2 D. m≥-2 且 m≠3
【答案】:D
【解析】:∵方程是一元二次方程
∴二次项系数不为 0,即 m-3≠0
一次项系数无特殊要求,但为二次根式,二次根式内的值必须不为负,即:m+2≥0
解得 m≥-2 且 m≠3
例 2.已知关于 x 的方程(푚 + 1)푥푚2+1 + (푚 − 2)푥 − 1 = 0,问:
(1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程;
(2)m 取何值时,它是一元一次方程?
【答案】:(1)m=1
(2)m=-1 或 0
【解析】:(1)∵方程为一元二次方程
∴(푚 + 1)푥푚2+1中,x 的次数必须为 2,即:푚2 + 1 = 2;
二次项的系数不为 0,即 m+1≠0
一次项系数无特殊要求
解得:m=1
(2)情况一:当 m+1=0,即 m=-1 时,方程化简为:(m-2)x-1=0
∵方程为一元一次方程
∴m-2≠0
∴m=-1
情况二:当 m+1≠0 时,即 m≠-1
∵方程(푚 + 1)푥푚2+1 + (푚 − 2)푥 − 1 = 0为一元一次方程
∴x 的次数为 1,即푚2 + 1 = 1,即 m=0
将 m=0 代入方程,方程化简得:-x-1=0,是一元一次方程
∴m=0
题型 2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围
解题技巧:一元二次方程的一般式为:푎푥2 + bx + c = 0(a≠0)中,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c
为常数项。
注:在解此类题型时,依旧需要注意:a≠0
例 1.关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-1=0 的常数项为 0,求 m 的值.
【答案】:m=-1
【解析】:∵常数项为 0
∴푚2 − 1 = 0,解得:m=±1
∵方程为一元二次方程
∴二次项系数 m-1≠0,解得:m≠1
∴m=-1
例 2.若一元二次方程(2푎 − 4)푥2 + (3푎 + 6)푥 + 푎 − 8 = 0没有一次项,则 a 的值为 .
【答案】:a=-2
【解析】:∵方程没有一次项
∴一次项系数 3a+6=0,解得:a=-2
∵方程是一元二次方程
∴二次项系数 2a-4≠0,解得:a≠2
∴a=-2
题型 3 一元二次方程的简单应用
解题技巧:审清题意,列写方程。
例 1.根据下列问题,列出方程,并将其化为一般形式。
(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25,求正方形的边长 x;
(2)一个矩形的长比宽多 2,面积是 100,求矩形的长 x;
(3)一个直角三角形的斜边长为 10,两条直角边相差 2,求较长的直角边长 x。
【答案】:(1)4푥2 − 25 = 0
(2)푥2 − 2푥 − 100 = 0
(3)2푥2 − 4푥 − 96 = 0
【解析】:(1)4푥2 = 25,化简得:4푥2 − 25 = 0
(2)x(x-2)=100,化简得:푥2 − 2푥 − 100 = 0
(3)푥2 + (푥 − 2)2
= 102,化简得:2푥2 − 4푥 − 96 = 0
三、难点题型
题型 1 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
解题技巧:紧扣一元二次方程的概念,方程的解直接代入方程中,等式成立,化简变形求解。
例 1.已知关于 x 的方程푥2+bx+a=0 的一个根是-a(a≠0),则 a-b 值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】:A
【解析】:∵关于 x 的方程푥2+bx+a=0 的一个根是-a(a≠0)
∴푎2-ab+a=0
通过变形等式(푎2-ab+a=0)来想办法与需求解(a-b)部分联系上
∴a(a-b+1)=0.
∵a≠0
∴a-b+1=0.
∴a-b=-1.
例 2.若一元二次方程 a푥2+bx+c=0 中,a-b+c=0,则此方程必有一个根为 .
【答案】:x=-1
【解析】:比较两个式子
发现:(1)等号右边相同;(2)等号左边最后一项相同;(3)第一个式子푥2对应了第二个式子中的 1,第一
个式子中的 x 对应了第二个式子中的-1.
所以{푥2 = 1
푥 = −1
.解得 x=-1.
例 3.已知实数 a 是一元二次方程푥2-2013x+1=0 的解,求代数式푎2 − 2012푎 − 푎2+1
2013
的值.
【答案】:-1
【解析】:∵实数 a 是一元二次方程 x2-2013x+1=0的解
∴푎2-2013a+1=0.
∴푎2+1=2013a,푎2-2013a=-1.
∴푎2 − 2012푎 − 푎2+1
2013 = 푎2 − 2012푎 − 2013푎
2013 = 푎2 − 2012푎 − 푎 = 푎2 − 2013푎 = −1
21.2 解一元二次方程
知识框架
{
基础知识点
{
配方法
公式法
因式分解法{
提取公因式法
乘法公式
十字相乘法
韦达定理
典型题型
{
解一元二次方程
配方法的应用
{
用配方法求参数值
用配方法求最值
用配方法求解多元二次方程
用配方法比较大小
利用 △ 判定一元二次方程根的情况
韦达定理的应用{
利用韦达定理求对称式的值
利用韦达定理求字母系数的值
难点题型{解可化为一元二次方程的方程
一、基础知识点
知识点 1 配方法
1)直接开平方法解一元二次方程:将方程化成(푥 + 푎)2 = 푏(푏 ≥ 0)的形式,
则 x=−푎 ± √푏(푏 ≥ 0).
2)配方法:解一元二次方程的关键是化简成(mx + n)2
= p形式,
利用公式a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
ax2 + bx + c = 0
x2 + b
a x + c
a = 0
x2 + b
a x + ( b
2a)2 + c
a − ( b
2a)2 = 0
(x + b
2a)2 = − c
a + ( b
2a)2 = b2−4ac
4a2
即化简为了(mx + n)2
= p形式,再直接开方求解
3)配方法解一元二次方程,关键要搞清配方的目的是什么,即配方要使方程能运用直接开平方法解决,
具体步骤为:
①先将其整理成一般形式,二次项系数化为 1;
②因二次项系数为 1,所以移项得푥2 + 푝푥 = 푞,然后利用完全平方公式,方程两边配方;
③直接开平方法解出方程.
例 1.用配方法解关于 x 的一元二次方程: 푥2 + 푝푥 + 푞 = 0
【答案】:见解析
【解析】:原式移项,得x2 + px = −q,
配方,得x2 + px + (p
2)2 = −q + p2
4 ,
整理,得(x + p
2 )2= p2 − 4q
4 ,
(1)当p2 − 4q > 0 时, p2−4q
4 > 0, 方程两边直接开平方,得:
x1=−p + √p2 − 4q
2 , x2=−p − √p2 − 4q
2 ;
(2)当p2 − 4q=0 时,x1=x2= −p
2
;
(3)当p2 − 4q < 0 时,原方程无实数解。
例 2.用配方法解方程
(1)푥2 + 6푥 − 5 = 0; (2)4x2 − 7푥 + 2 = 0
【答案】:(1)x1 = −3 + √14, x2 = −3 − √14
(2)x1= 7+√17
8
,x2= 7−√17
8
【解析】:(1)移项,得x2 + 6x = 5,
配方,得x2 + 6x + 9 = 5 + 9, 即(x+3)2
= 14;
∴ x + 3 = ±√14, ∴ x1 = −3 + √14, x2 = −3 − √14
(2)移项,得4x2 − 7x = −2化二次项系数为 1,
得x2 − 7
4 x + (7
8)2 = − 1
2 + (7
8)2
即(x − 7
8
)2= 17
64
, ∴ x − 7
8
= ± √17
8
∴ x − 7
8
= + √17
8
,x − 7
8
= − √17
8
∴ x1= 7+√17
8
,x2= 7−√17
8
例 3.试证:不论 x 为何实数,多项式2푥4 − 4푥2 − 1 的值总大于푥4 − 2푥2 − 4 的值.
【答案】:见解析
【解析】:(2x4 − 4x2 − 1) − (x4 − 2x2 − 4)
= x4 − 2x2 + 3
= (x4 − 2x2 + 1) + 2
= (x2 − 1)2 + 2
对于任何实数 x,总有(x2 − 1)2 + 2 > 0
即(2x4 − 4x2 − 1) − (x4 − 2x2 − 4) > 0
所以,多项式2푥4 − 4푥2 − 1 的值总大于푥4 − 2푥2 − 4 的值.
知识点 2 公式法
1)将一元二次方程一般式:ax2 + bx + c = 0利用配方法可化简为:
(x + b
2a)2 = b2−4ac
4a2 ,则:
①b2−4ac
4a2 >0 时,即b2 − 4ac>0 时,x + b
2a=± √b2−4ac
2a
푥1=−b+√b2−4ac
2a 푥2=−b−√b2−4ac
2a 两解
②b2−4ac
4a2 =0 时,即b2 − 4ac=0 时,x + b
2a=0
푥1=−b
2a + 0 一解
③b2−4ac
4a2 <0 时,即b2 − 4ac<0 时,等式不成立
无解
2)∆= b2 − 4ac
通过判定∆与零的关系,即可确定方程有无解及方程解的个数
3)公式法步骤:①化简为一般式:ax2 + bx + c = 0,确定 a,b,c
②判断∆与 0 的关系,确定方程有无解即解的个数
③利用公式,求解出方程的根
①∆> 0时,푥1=−b+√b2−4ac
2a 푥2=−b−√b2−4ac
2a
②∆= 0时,푥1=푥2=−b
2a
③∆<0 时,无解
注:利用公式法时,一定要化简为一般式,并注意判断∆。一般式是公式法的前提,∆是方程解的个数
的依据。
例 1.用公式法解下列方程
(1)푥2 − 4√3푥 + 10 = 0 (2)2푥2 + 2푥 = 1 (3)(푥 + 1)(푥 − 1) = 2√2푥
【答案】:(1)x1=2√3 + √2,x2 = 2√3 − √2
(2)x1 == −1+√3
2 , x2 = −1−√3
2
(3)x1 = √2 + √3,x2 = √2 − √3.
【解析】:(1) ∵ a = 1, b = −4, c = 10
b2 − 4ac = (−4√3)2-4 × 1 × 10=8 > 0,
∴ x = −(−4√3)±√8
2×1 = 4√3±2√2
2 = 2√3 ± √2,
∴ x1=2√3 + √2,x2 = 2√3 − √2.
(2)化成一般式得:2x2 + 2x − 1 = 0
a = 2, b = 2, c = −1
b2 − 4ac = 22 − 4 × 2 × (−1) = 12 > 0,
∴ x = −2±√12
2×2 = −1±√3
2 ,
∴ x1 == −1+√3
2 , x2 = −1−√3
2 .
(3)化成一般式得:x2 − 2√2x − 1 = 0,
∵ a = 1, b = −2,c = −1,
b2 − 4ac = (2√2)2
− 4×1×(−1) = 12 > 0,
∴ x = −(−2√2)±√12
2×2 = 2√2±2√3
2 = √2 ± √3,
∴ x1 = √2 + √3, x2 = √2 − √3.
知识点 3 因式分解法
1)因式分解法:将一元二次方程通过因式分解,分解为两个一次因式乘积等于 0 的形式,再使这两个
一次因式分别等于 0,实现降次的方法。
2)即将一元二次方程化简为(mx+p)(nx+q)=0,从而得出:{mx + p = 0
nx + q = 0 ,即{
x1 = − p
m
x2 = − q
n
,因式分解法
的关键是分解成两个一次相乘的形式。
因式分解法{
提取公因式法
乘法公式
十字相乘法
一、提取公因式法
3)通过提取公因式达到因式分解的目的,进而求解一元二方程。
例 1.用因式分解法解下列方程
(1)푥2 − 6푥 = 0 (2)( 5x-2)( x+1)=x+1
【答案】:(1)x1 = 0, x2 = 6.
(2)x1 = −1, x2 = 3
5
【解析】:(1)x2 − 6x = 0
提取公因式 x 得:x(x − 6) = 0,
∴ x = 0 或 x − 6 = 0
∴ x1 = 0, x2 = 6.
(2)原方程移项得:(5x-2)( x+1)-(x+1)=0
提取公因式(x+1)得:(x+1)( 5x-3)=0
∴ x + 1 = 0 或 5x − 3 = 0
∴ x1 = −1, x2 = 3
5
二、乘法公式
4)因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于 0 的形式,利用如下乘法公式,有时可以很好解决。
①平方差公式:푎2 − 푏2 = (푎 + 푏)( 푎 − 푏)
②完全平方公式:푎2 ± 2푎푏 + 푏2 = (푎 + 푏)2
例 2 用公式法因式分解式解下列方程.
(1)(3푥 − 4)2
= (4푥 − 3)2
(2)49(푥 − 3)2
= 16(푥 + 6)2
【答案】:(1)x1 = 1, x2 = −1
(2)x1 = − 3
11 , x2 = 15
【解析】:(1)移项,得(3x − 4)2 − (4x − 3)2 = 0
∴ [(3x − 4) + (4x − 3)][(3x − 4) − (4x − 3)] = 0
∴ (7x − 7)(−x − 1) = 0,
∴ 7x − 7 = 0 或 − x − 1 = 0
∴ x1 = 1, x2 = −1.
(2)原方程化为[7(x − 3)]2 − [4(x + 6)]2 = 0,
[7(x − 3) + 4(x + 6)][7(x − 3) − 4(x + 6)] = 0,
化简为(11x + 3)(3x − 45) = 0,
∴ x1 = − 3
11 , x2 = 15.
例 3.已知 a,b,解关于 x 的一元二次方程4푎2푥2 − 4푎푥 + 1 − 푏2 = 0(a≠0)。
【答案】:x1 = 1+푏
2푎 , x2 = 1−푏
2푎
【解析】:原式化简为:(4푎2푥2 − 4푎푥 + 1)−푏2 = 0
利用完全平方公式得:(2푎푥 − 1)2
− 푏2 = 0
利用平方差公式得:(2ax-1-b)( 2ax-1+b)=0
∴2ax − 1 − b = 0 或 2ax − 1 + b = 0
∴ x1 = 1+푏
2푎 , x2 = 1−푏
2푎
三、十字相乘法
5)十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件:
①十字左边上下两数相乘等于二次项;
②十字右边上下两数相乘等于常数项;
③十字交叉相乘积的和等于一次项。
例如:用十字相乘法解方程:2푥2 − 푥 − 6 = 0
∴方程可分解为:(2x+3)( x-2)=0
∴x1 = − 3
2 , x2 = 2
例 4.用十字相乘法解下列方程:
(1)푥2 − 5푥 − 6 = 0 (2)푥2 − 푥 − 6 = 0
【答案】:(1)x1 = 6, x2 = −1
(2)x1 = −2, x2 = 3
【解析】:(1)十字相乘得:
∴方程分解为:(x-6)( x+1)=0
∴x-6=0 或 x+1=0
∴x1 = 6, x2 = −1
(2)十字相乘得:
∴方程分解为:(x-3)( x+2)=0
∴x-3=0 或 x+2=0
∴x1 = −2,x2 = 3
知识点 4 韦达定理
1)若ax2 + bx + c = 0存在两个根x1、x2
x1=−b+√b2−4ac
2a x2=−b−√b2−4ac
2a
韦达定理:若方程有两个根,则{
x1 + x2 = −b
a
x1 ∙ x2 = c
a
2)拓展:当方程仅有一个根时,x1=x2=−b
a
则{
x1 + x2 = −b
a
x1 ∙ x2 = c
a
任然成立
方程在仅有一个根时,视为两个相等的根,韦达定理依旧成立
例 1.一元二次方程푥2 + 푎푥 − 3푎 = 0的两根之和为 2a-1,求两根之积。
【答案】:-1
【解析】:根据韦达定理,两根之和为:− 푏
푎 = − 푎
1 = 2푎 − 1
解得:a=1
3
两根之积为:푐
푎 = −3푎
1 = −3푎 = −3 ∙ 1
3 = −1
例 2.若方程푥2 + 푥 − 1 = 0的两根分别为x1、x2,求x12+x22。
【答案】:3
【解析】:根据韦达定理,x1 + x2 = − 푏
푎 = − 1
1 = −1
x1 ∙ x2 = c
a = −1
1 = −1
∵x12+x22 = (x1 + x2)2
− 2x1 ∙ x2 = (−1)2 − 2 ∙ (−1) = 3
二、典型题型
题型 1 解一元二次方程
解题技巧:解一元二次方程的主要方法有:①配方法;②公式法;③因式分解法。建议:
①若能使用因式分解法,优先使用因式分解法,计算量较小;
②若无法使用因式分解法,或不熟练因式分解法,建议使用公式法,不用配方法。
小技巧:若√△为整数,则可以使用十字相乘法。
例 1.用配方法解方程:
(1)x(x+2)=1 (2)푥2 − 6푥 − 7 = 0
【答案】:(1)x1 = −1 + √2,x2 = −1 − √2
(2)x1 = 7,x2 = −1
【解析】:(1)去括号得:푥2 + 2푥 = 1
配方:푥2 + 2푥 + 1 = 2
(푥 + 1)2 = 2
∴x+1=±√2
∴x1 = −1 + √2,x2 = −1 − √2
(2)配方:푥2 − 6푥 + 9 = 16
(푥 − 3)2 = 16
∴x-3=±4
∴x1 = 7,x2 = −1
例 2.用公式法解方程:
(1)푥2 + 푥 − 1 = 0 (2)푥2 + 3푥 − 1 = 0
【答案】:(1)x1 = −1+√5
2
,x2 = −1−√5
2
(2)x1 = −3+√13
2
,x2 = −3−√13
2
【解析】:(1)a=1,b=1,c=-1
x=−푏±√푏2−4푎푐
2푎
,代入得:
x=
−1±√12−4∙1∙(−1)
2
∴x1 = −1+√5
2
,x2 = −1−√5
2
(2)a=1,b=3,c=-1
x=−푏±√푏2−4푎푐
2푎
,代入得:
x=
−3±√32−4∙1∙(−1)
2
∴x1 = −3+√13
2
,x2 = −3−√13
2
例 3.用因式分解法解方程:
(1)x(x-2)=x (2)푥2 − 2푥 − 8 = 0
【答案】:(1)x1 = 0,x2 = 3
(2)x1 = −2,x2 = 4
【解析】:(1)移项得:x(x-2)-x=0
提取公因式 x 得:x(x-2-1)=0
∴x=0 或 x-3=0
∴x1 = 0,x2 = 3
(2)푥2 − 2푥 − 8 = 0十字相乘得:
(x+2)( x-4)=0
∴x+2=0 或 x-4=0
∴x1 = −2,x2 = 4
例 4.选择你喜欢的方法解方程:
(1)푥2 + 4푥 − 5 = 0 (2)2푥2 − 4푥 + 1 = 0
【答案】:(1)x1 = 1,x2 = −5
(2)x1 = 2+√2
2
,x2 = 2−√2
2
【解析】:(1)∵√△= √42 − 4 × 1 × (−5) = 6
∴可以利用十字相乘法求解,分解因式得:
(x-1)( x+5)=0
∴x-1=0 或 x+5=0
∴x1 = 1,x2 = −5
(2)无法利用因式分解法,直接选用公式法
a=2,b=-4,c=1
x=−푏±√푏2−4푎푐
2푎
,代入得:
x=4±√(−4)2
−4∙2∙1
4
∴x1 = 2+√2
2
,x2 = 2−√2
2
题型 2 配方法的应用
配方法的应用
{
用配方法求参数值
用配方法求最值
用配方法求解多元二次方程
用配方法比较大小
一、用配方法求参数值
解题技巧:配方法依托完全平方公式(完全平方和公式和完全平方差公式)来完成。关于 x 的一元二次
方程:(푎푥)2
+ 푘푥 + 푏2 = 0,若可刚好配成完全平方的形式,则 k=±2ab
注:因完全平方公式有完全平方和公式和完全平方差公式 2 个,因此此处的 k 有 2 解。
1. 若方程 25x2-(k-1)x+1=0 的左边可以写成一个完全平方式;则 k 的值为( )
A.-9 或 11 B.-7 或 8 C.-8 或 9 C.-8 或 9
【答案】:A
【解析】:根据题意知,-(k-1)=±2×5×1
∴k-1=±10
即 k-1=10 或 k-1=-10
得 k=11 或 k=-9.
2.如果代数式푥2+6x+m2 是一个完全平方式,则 m= .
【答案】:±3
【解析】:据题意得,6=2∙ 푥 ∙ 푚
∴m=3
∵( − 3)2
= 32
∴m 也可以为-3
∴m=±3
二、用配方法求最值
解题技巧:关于 x 的一元二次方程 a푥2 + 푏푥 + 푐 = 0,配方得:푎(푥 + 푏
2푎
)2
+ 4푎푐−푏2
4푎
(1)当 a>0 时,∵(푥 + 푏
2푎
)2
≥ 0,∴푎(푥 + 푏
2푎
)2
≥ 0。
又∵4푎푐−푏2
4푎
为常数,始终不变,∴푎(푥 + 푏
2푎
)2
+ 4푎푐−푏2
4푎 ≥ 0 + 4푎푐−푏2
4푎 = 4푎푐−푏2
4푎
当 x=− 푏
2푎
时,可取等号
(2)当 a<0 时,∵(푥 + 푏
2푎
)2
≥ 0,∴푎(푥 + 푏
2푎
)2
≤ 0。
又∵4푎푐−푏2
4푎
为常数,始终不变,∴푎(푥 + 푏
2푎
)2
+ 4푎푐−푏2
4푎 ≤ 0 + 4푎푐−푏2
4푎 = 4푎푐−푏2
4푎
当 x=− 푏
2푎
时,可取等号
综上得:①当 a>0 时,方程有最小值,当 x=− 푏
2푎
时有最小值,最小值为:4푎푐−푏2
4푎
;
②当 a<0 时,方程有最大值,当 x=− 푏
2푎
时有最大值,最大值为:4푎푐−푏2
4푎
例 1.求푥2 + 3푥 − 1的最小值。
【答案】:− 13
4
【解析】:对多项式进行配方:[푥2 + 3푥 + (3
2)
2
] − (3
2)
2
− 1
=(푥 + 3
2)
2
− 13
4
∵(푥 + 3
2)
2
≥ 0
∴(푥 + 3
2)
2
− 13
4 ≥ 0 − 13
4 = − 13
4
∴多项式最小值为:− 13
4
例 2.请问多项式−2푥2 + 5푥 + 3有最大值还是最小值,最值是多少?
【答案】:有最大值,当 x=5
4
时有最大值,最大值为:49
8
【解析】:本题不再推导,直接用结论
∵a=-2<0,∴有最大值
最大值为当 x=− 푏
2푎 = − 5
2×(−2) = 5
4
时存在最大值
最大值为:4푎푐−푏2
4푎 = 4×(−2)×3−52
4×(−2) = 49
8
三、用配方法求解多元二次方程
解题技巧:解多元二次方程的步骤为:
①分组:将不同未知数各自分组;
②配方:对分组部分进行配方;
③求解方程:此类题型通常可配方为:푎(푥 + 푚)2
+ 푏(푦 + 푛)2
= 0的形式
∴x=-m,y=-n
注:在分组的过程中,常数项可能需要分解成两部分再各自分配到不同组别中,其中分解的原则为:
便于配方。
例 1.解关于 a、b 的方程:푎2 − 6푎 + 푏2 − 8푏 + 25 = 0
【答案】:a=3,b=4
【解析】:分组得:(푎2 − 6푎 + 9)+(푏2 − 8푏 + 16)=0
配方得:(푎 − 3)2 + (푏 − 4)2 = 0
∴a-3=0,b-4=0
∴a=3,b=4
例 2.已知푎2 − 3푎 + 푏2 − 푏
2 + 37
16 = 0,求 a-4√푏的值。
【答案】:− 1
2
【解析】:分组得:(푎2 − 3푎 + 9
4
)+(푏2 − 푏
2 + 1
16
)=0
配方得:(푎 − 3
2)
2
+ (푏 − 1
4)
2
= 0
∴푎 − 3
2=0,푏 − 1
4=0
∴a=3
2
,b=1
4
∴a-4√푏 = 3
2 − 4 × √1
4 = − 1
2
四、用配方法比较大小
解题技巧:比较 M 与 N 的大小:
①作差法得到 M-N 的多项式;
②多项式配方得:푚(푥 + 푛)2
+ 푝 = 0的形式;
③利用平方的值非负的性质判断多项式的正负,从而比较 M 与 N 的大小
例 1.已知 P=푥2 − 3푥,Q=x-5(x 为任意实数),比较 P、Q 的大小。
【答案】:P>Q
【解析】:P-Q=푥2 − 3푥 − 푥 + 5
=푥2 − 4푥 + 5
=(푥 + 2)2 + 1
∵(푥 + 2)2 ≥ 0
∴(푥 + 2)2 + 1 ≥ 1
∴P-Q>0
∴P>Q
例2.用配方法证明:无论 x 为何实数,代数式-2푥2+4x-5的值恒小于零.
【答案】:见解析
【解析】:-2푥2+4x-5
=-2(푥2-2x)-5
=-2(푥2-2x+1)-5+2
=-2(푥 − 1)2-3.
∵(푥 − 1)2
≥0
∴-2(푥 − 1)2
≤0
∴-2(푥 − 1)2-3<0.
∴无论 x 为何实数,代数式-2푥2+4x-5 的值恒小于零.
题型 3 利用△判定一元二次方程根的情况或判定字母的取值范围
解题技巧:一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系:
①△>0⇌方程有两个不等的实根;
②△=0⇌方程有两个相等的实根,即方程仅有一个实根;
③△<0⇌方程无实数根
注:在判断一元二次方程 a푥2 + 푏푥 + 푐 = 0的根的时候,存在隐含条件:a≠0
例 1.已知 a,b,c 分别是三角形的三边,则方程(a+b)푥2+2cx+(a+b)=0 的根的情况是( )
A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【答案】:A
【解析】:△=(2푐)2﹣4(a+b)( a+b)=4(a+b+c)( c﹣a﹣b).
根据三角形三边关系,得 c﹣a﹣b<0,a+b+c>0
∴△<0
∴该方程没有实数根.
例 2.关于 x 的方程 k푥2+3x+2=0 有实数根,则 k 的取值范围是( )
A.k≤9
8 B.k<9
8 C.k<9
8
且 k≠0 D.k≤9
8
且 k≠0
【答案】:A
【解析】:情况一:当 k≠0 时,方程是一元二次方程
∵有实数根,∴△≥0
即:32 − 4 × 푘 × 2 ≥ 0
解得:푘 ≤ 9
8
且 k≠0
情况二:当 k=0 时,方程是一元一次方程
方程为:3x+2=0
方程有实数根
∴k=0 成立
综上得: 푘 ≤ 9
8
例 3.定义:如果一元二次方程 a푥2+bx+c=0(a≠0)满足 a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已
知 a푥2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )
A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c
【答案】:A
【解析】: ∵一元二次方程 a푥2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=푏2-4ac=0
又 a+b+c=0,即 b=-a-c
代入푏2-4ac=0得( − 푎 − 푐)2-4ac=0
化简得(푎 − 푐)2=0,所以 a=c.
题型 4 韦达定理的应用
韦达定理的应用{
利用韦达定理求对称式的值
利用韦达定理求字母系数的值
一、利用韦达定理求对称式的值
解题技巧:尽量将所求的式子转化成푥1 + 푥2项、푥1푥2项和常数项组成的式子,然后用韦达定理代入求值即
可。常见的对称式有:
①(푥1)2
+ (푥2)2
=(푥1 + 푥2)2
− 2푥1푥2;
②|푥1 − 푥2| = √(푥1 + 푥2)2
− 4푥1푥2;
③(푥1 + 푚)( 푥2 + 푚)=푥1푥2 + 푚(푥1+푥2) + 푚2;
④ 1
푥1
+ 1
푥2
= 푥1+푥2
푥1푥2
例 1.设푥1、푥2是一元二次方程 2푥2 − 5푥 − 1 = 0的两个根,求下列代数式的值:
(1)푥12푥2 + 푥22푥1;
(2)푥12 + 푥22 − 3푥1푥2;
(3)푥2
푥1
+ 푥1
푥2
;
(4)|푥1 − 푥2|
【答案】:(1)− 5
4
(2)35
4
(3)− 29
2
(4)√33
2
【解析】:a=2,b=-5,c=-1
根据韦达定理:푥1 + 푥2 = − 푏
푎 = 5
2 ,푥1푥2 = 푐
푎 = − 1
2
(1)푥12푥2 + 푥22푥1
=푥1푥2(푥1 + 푥2)
=− 1
2 ∙ 5
2
=− 5
4
(2)푥12 + 푥22 − 3푥1푥2
=(푥1 + 푥2)2 − 2푥1푥2 − 3푥1푥2
=(푥1 + 푥2)2 − 5푥1푥2
=(5
2)
2
− 5 ∙(− 1
2
)
=35
4
(3)푥2
푥1
+ 푥1
푥2
=푥22+푥12
푥1푥2
=(푥1+푥2)2−2푥1푥2
푥1푥2
=(5
2)
2
−2∙(−1
2)
−1
2
=− 29
2
(4)|푥1 − 푥2| = √(푥1 + 푥2)2
− 4푥1푥2
=√( 5
2
)2
− 4 ∙ ( − 1
2
)
=√33
2
二、利用韦达定理求字母系数的值
解题技巧:方程中虽然有字母,但我们将字母视为常数进行分析:
①先利用韦达定理求解出用字母表示的푥1 + 푥2与푥1푥2的值;
②此刻,题干还会告知一个条件,利用对称式的一些变形,将푥1 + 푥2与푥1푥2用字母表示的值代入这个
条件,得到关于字母的方程;
③解方程得到字母的值。
注:因为푥1、푥2是方程的根,我们还可以将푥1、푥2代入方程得到 2 个等式,帮组解题。
例 1.设푥1、푥2是一元二次方程푥2+4x-3=0 的两个根,2푥1(푥22+5푥2﹣3)+a=2,则 a= .
【答案】:a=8
【解析】:∵푥1푥2=-3,푥22+4푥2-3=0,
∴2푥1(푥22+5푥2-3)+a =2
化简得:2푥1 (푥22+4푥2-3+푥2)+a =2.
∴2푥1푥2+a =2.
∴2×(-3)+a=2.
解得 a=8.
例 2.已知푥1、푥2是一元二次方程(푎 − 6)푥2 + 2푎푥 + 푎 = 0的两个实数根,
(1)是否存在实数 a,使-푥1+푥1푥2=4+푥2成立?若存在,求出 a 的值;若不存在,请你说明理由;
(2)求使(푥1+1)( 푥2+1)为负整数的实数 a 的整数值.
【答案】:(1)a=24
(2)a=7 或 8,9,12
【解析】:(1)根据题意,得△=(2푎)2-4×a(a-6)=24a≥0
∴a≥0.
又∵a-6≠0,∴a≠6.
由根与系数关系得:푥1 + 푥2=- 2푎
푎−6
,푥1푥2= 푎
푎−6.
由-푥1+푥1푥2=4+x2 得푥1 + 푥2+4=푥1푥2.
∴- 2푎
푎−6
+4 = 푎
푎−6
,解得 a=24.
经检验 a=24 是方程- 2푎
푎−6
+4 = 푎
푎−6
的解.
(2)原式=푥1 + 푥2+푥1푥2+1=- 2푎
푎−6
+ 푎
푎−6
+1= 6
6−푎
为负整数,
∴6-a 为-1 或-2,-3,-6.
解得 a=7 或 8,9,12.
三、难点题型
题型 1 解可化为一元二次方程的方程
解题技巧:解此类方程的要点,是基于观察或适当的代数变形,通过换元法(整体代入法),将方程转化为
一元二次方程处理。
注:求解过程中,若采用了“去分母”等化为整式的手法,则可能产生增根。因此,所求出的解应该要验根。
例 1.若方程(푥2 + 푦2 − 5)2
=64,则푥2+푦2= .
【答案】:13
【解析】:将푥2 + 푦2视为一个整体
由题意得푥2 + 푦2 − 5=±8.
解得푥2+푦2=13 或者푥2+푦2=-3(舍去)
综上得:13
例 2.解方程:푥2 − 3|푥| + 2 = 0
【答案】:푥1 = 1,푥2 = −1,푥3 = 2,푥4 = −2
【解析】:∵푥2 = |푥|2
∴原方程可化为:|푥|2 − 3|푥| + 2 = 0
令|푥| = 푦,则 y≥0
方程变为:푦2 − 3푦 + 2 = 0
十字相乘得:(y-1)( y-2)=0
∴푦1 = 1,푦2 = 2
푦1 = 1,即|푥| = 1
解得:푥1 = 1,푥2 = −1
푦2 = 2,即|푥| = 2
解得:푥3 = 2,푥4 = −2
例 3.解方程: 3푥
푥2−1 + 푥2−1
3푥 = 5
2
【答案】:푥1 = 3 + √10,푥2 = 3 − √10,푥3 = − 1
2
,푥4 = 2
【解析】:观察发现,方程左边两项互为相反数
令 3푥
푥2−1 = 푦,则푥2−1
3푥 = 1
푦
原方程化为:y+1
푦 = 5
2
,为分式方程
去分母得:푦2 − 5
2 푦 + 1 = 0为一元二次方程
解得:푦1 = 1
2
,푦2 = 2
푦1 = 1
2
,即 3푥
푥2−1 = 1
2
十字相乘得:6x=푥2 − 1
解得:푥1 = 3 + √10,푥2 = 3 − √10
푦2 = 2,即 3푥
푥2−1 = 2
同列解得:푥3 = − 1
2
,푥4 = 2
21.3 实际问题与一元二次方程
知识框架
{
基础知识点{列一元二次方程解应用题的一般步骤
典型题型
{
增长率问题
传播问题
面积问题{
图形面积问题
围墙问题
利润问题
循环问题
难点题型{动点问题
一、基础知识点
知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤
1)解一元二次方程实际问题的原则,与一元一次方程的实际问题原则类似:
①根据题意和实际问题涉及的类型,建立等量关系式;
②以利于表示等量关系式为原则,设未知数 x;
③依据等量关系式和未知数 x 建立方程;
④解方程并解答。
注:一元二次方程通常有 2 解,但是,应检验方程的 2 个根是否都符合实际情况。
例 1.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元。先为了扩大销售,增加盈利,尽快减
少库存,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,每件衬衫每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件。
若商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?
【答案】:20 元
【解析】:①依据题意,寻找等量关系式:
此题是利润问题,等量关系式为:每件衬衫利润×销售件数=利润
②设未知数:
∵利润已知,每件衬衫利润、销售件数都与衬衫降价量有关
∴设每件衬衫应降价 x 元
③根据等量关系式建立方程:
每件衬衫利润为:(40-x)元
销售件数为:(20+2x)件
方程为:(40-x)( 20+2x)=1200
④解方程并解答:
方程化简得:푥2 − 30푥 + 200 = 0
解答:푥1 = 10,푥2 = 20
∵要求尽快减少库存
∴售出件数应尽量多
∴应降价 20 元
二、典型题型
题型 1 增长率问题
解题技巧:设 a 为增长(下降)基础数量,b 为增长(下降)后的数量,n 为增长(下降)的次数,p 为
增长(下降)率。
增长(下
降)次数
增长(下降)
前数量
增长(下降)量 增长(下降)后数量
1 a ap a±ap=a(1±p)
2 a(1±p) a(1±p)p a(1±p)±a (1±p)p=a(1 ± p)2
3 a(1 ± p)2
a(1 ± p)2
푝 a(1 + p)2
±a(1 ± p)2
푥 = a(1 ± p)3
发现规律:①增长时:b=a(1 + p)푛;
②减少时:b=a(1 − p)푛
注:①本章考察一元二次方程,通常增长(下降)次数 n 为 2;
②通常设增长(下降)率为 x;
③例求解得 x=0.1,则表示增长(下降)10%。
例 1.某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元,3 月份的营业额比 2 月份增加 10%,5 月份的营业额达到 633.6
万元,求 3 月份到 5 月份营业额的平均增长率.
【答案】:20%
【解析】:①列写等量关系式:
此题是增长率问题,关系式为:b=a(1 + p)푛,其中 b 表示 5 月份营业额,a 表示 3 月份营业额,p 为增
长率,n 为增长次数。
②设未知数
∵已知:a=400(1+10%),b=633.6,n=2,仅 p 不知
∴设增长率为 x
③根据等量关系式列方程:
方程为:400(1+10%)(1 + x)2=633.6
④求解方程并解答:
整理得:(1 + x)2=633.6
440
解得:푥1 = 0.2,푥2 = −2.2
∵依题意,增长率为正值
∴x=0.2
∴增长率为:20%
例 2.我市某楼盘准备以每平方米 10000 元的均价对外销售,为了加快资金周转,房地产开发商经过连续 2
次下调后,决定以 8100 元的均价出售,求平均每次下调的百分率。
【答案】:10%
【解析】:①列写等量关系式:
此题是增长率问题,关系式为:b=a(1 − p)푛,其中 b 表示调价 后的价格,a 表示调价前的价格,p 为下
降率,n 为下降次数。
②设未知数
∵已知:a=10000,b=8100,n=2,仅 p 不知
∴设增长率为 x
③根据等量关系式列方程:
方程为:10000(1 − x)2=8100
④求解方程并解答:
整理得:(1 − x)2= 8100
10000
解得:푥1 = 0.1,푥2 = −1.9
∵依题意,下降率为正值
∴x=0.1
∴下降率为:10%
题型 2 传播问题
解题技巧:有 2 种类型
(1)个体传播一轮后,依旧传染。设 a 为传播前基础人数,b 为传播后的人数,n 为传播的轮次,p 为传播
过程中,平均一人传染的人数。
传播
轮次
传播前人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap=a(1+p)
2 a(1+p) a(1+p)p a(1+p)+a(1+p)p=a(1 + p)2
3 a(1 + p)2
a(1 + p)2
푝 a(1 + p)2
+a(1 + p)2
푥 =a(1 + p)3
发现规律:传播人数:b=a(1 + p)푛,与增长率问题公式一致。见例 1.
(2)个体传播一轮后,个体不再传染。设 a 为传播前基础人数,b 为传播后的人数,n 为传播的轮次,p 为
传播过程中,平均一人传染的人数。
传播
轮次
具有传染力的人
数
传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap
2 ap ap2 a+ap+ap2
3 ap2 ap3 a+ap+ap2+ap3
发现规律:传播人数:b=a+ap+ap2 + ⋯+ap푛。见例 2.
例 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有 64 人患了流感。
(1)每轮传染中平均一人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
【答案】:(1)7 人
(2)512 人
【解析】:(1)①列写等量关系式:
此题是传播问题(个体传染后依旧传染),关系式为:b=a(1 + p)푛,其中 b 表示 2 轮传播后的人数,a
表示传播前的人数,p 为平均一人传播的人数,n 为传播的轮次。
②设未知数
∵已知:a=1,b=64,n=2,仅 p 不知
∴设平均一人传播 x 人
③根据等量关系式列方程:
方程为:1∙ (1 + x)2=64
④求解方程并解答:
整理得:(1 + x)2=64
解得:푥1 = 7,푥2 = −9
∵依题意,传播人数为正值
∴x=7
∴平均一人传播 7 人
(2)直接利用公式,第 3 轮传播人数=(1 + 7)3=512人
例 2.某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小枝干。主干、枝干、小分支的总
数是 73,求每个枝干长出多少个小枝干?
【答案】:8 个
【解析】:(1)①列写等量关系式:
此题是传播问题(个体传染后不传染),关系式为:b=a+ap+ap2 + ⋯+ap푛,其中 b 表示 2 轮传播后的枝干
数,a 表示传播前的枝干数,p 为每个枝干长出小枝干数,n 为传播的轮次。
②设未知数
∵已知:a=1,b=72,n=2,仅 p 不知
∴设每个枝干长出 x 个小枝干
③根据等量关系式列方程:
方程为:1+푥 + x2=73
④求解方程并解答:
整理得:x2 + 푥 − 72=0,继续化简得:(x-8)( x+9)=0
解得:푥1 = 8,푥2 = −9
∵依题意,长出小枝干数为正值
∴x=8
∴每个枝干长出 8 个小枝干。
题型 3 面积问题
面积问题{
图形面积问题
围墙问题
一、图形面积问题
解题技巧:解决面积问题的关键是把实际问题数学化,把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一
个几何图形中,然后按照几何图形的面积公式列写等式方程,使问题得以解决。具体步骤为:
①将实际问题中的图形归结到一个图形中,并列写等量关系式;
②设未知数;
③列方程;
④求解方程并解答。
例 1.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖 2 条和 4 条水渠,如果水渠
的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为 9600 米2,那么水渠应挖多宽?
【答案】:1m
【解析】:①将实际问题中的图形归结到一个图形中,并列写等量关系式:
将矩形耕地中的沟渠平移至下图所示:
等量关系式为:耕地宽(除去沟渠)×耕地长(除去沟渠)=耕地面积
②设未知数
∵耕地(除去沟渠)的长、宽皆不知,面积已知
又∵剩余耕地的长宽都与沟渠宽度有关
∴设沟渠的宽为:xm,则剩余耕地的宽为:(64-4x)m,剩余耕地的长为:(162-2x)m
③根据等量关系式列方程
方程为:(162-2x)( 64-4x)=9600
162米
64米
162米
64米
162米
64米
162米
64米
④求解方程并解答:
化简:푥2 − 97푥 + 96 = 0,解得푥1 = 1,푥2 = 96
根据题意:푥2 = 96显然不成立,푥1 = 1成立
∴沟渠的宽为 1m
例 2.小明决定自己设计一个画轴,如图,画轴长为 20cm,宽 10cm,正中央是一个与整个画轴长、宽比例
相同的矩形,如果四周边衬所占面积是整个画轴面积的 9
25
,且上、下衬等宽,左、右边衬等宽,求左、右边
衬的宽。
【答案】:2cm
【解析】:①将实际问题中的图形归结到一个图形中,并列写等量关系式:
等量关系式为:中央宽×中央长=中央面积
②设未知数
∵中央的长、宽皆不知,中央面积为:画轴面积×(1 − 9
25
),已知
又∵中央的长、宽比已知
∴设中央的宽为 xcm,则中央的长为 2xcm
③根据等量关系式列方程
方程为:x∙ 2푥=20∙10∙ (1 − 9
25
)
④求解方程并解答:
化简:2푥2 = 64,解得푥1 = 8,푥2 = −8
根据题意:푥2 = −8显然不成立,푥1 = 8成立
∴中央的长为:2×8=16cm
∴左、右边衬长为:20−16
2 = 2푐푚
二、围墙问题
解题技巧:围墙问题与面积问题相比,因存在围墙的原因,多一个判断未知数取值范围的过程,具体步
骤为:
①根据题意,列等量关系式;
②设未知数;
③列方程;
④求解方程;
⑤依据围墙的限制,求未知数的取值范围;
⑥根据未知数的取值范围,确定答案。
例 1.如图,有一个面积为 150 ㎡的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长 18m),另外三边用竹篱笆围成。
如果竹篱笆的长为 35m,求养鸡场的长和宽。
【答案】:长 15m,宽 10m
【解析】:①列写等量关系式:
此题是围墙问题,围成了一个矩形图形,关系式为:长×宽=面积
②设未知数
∵长、宽皆不知,面积已知
又∵已知围成矩形三边的篱笆长 35m
∴设宽为:xm,则长为:(35-2x)m
③根据等量关系式列方程
方程为:x(35-2x)=150
④求解方程
化简得:2푥2 − 35푥 + 150 = 0,继续化简得:(2x-15)( x-10)=0
解得:푥1 = 10,푥2 = 15
2
⑤求位置数的取值范围
a.篱笆的长、宽必须为正数,即:{ 푥>0
35 − 2푥>0
b.篱笆的长必须不长于墙,即:35-2x≤18
解不等式得:17
2 ≤ 푥< 35
2
⑥根据取值范围,确定答案
푥1 = 10满足17
2 ≤ 푥< 35
2
,成立
푥2 = 15
2
不满足17
2 ≤ 푥< 35
2
,舍去
∴篱笆的宽为:10m,长为:35-2×10=15m
例 2.如图,要建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为 12m 的住房墙,另外三边用 25m 长的篱笆围成,为方
便进出,在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门,花圃面积为 80m²,求与墙垂直的一边的长度.
【答案】:长 10m,宽 8m
【解析】:①列写等量关系式:
此题是围墙问题,围成了一个矩形图形,关系式为:长×宽=面积
②设未知数
∵长、宽皆不知,面积已知
又∵已知围成矩形三边的篱笆长 35m
∴设宽为:xm,则开门一侧的宽需要篱笆:(x-1)m,长为:[25-x-(x-1)]=(26-2x)m
③根据等量关系式列方程
方程为:x(26-2x)=80
④求解方程
化简得:2푥2 − 26푥 + 80 = 0,继续化简得:(2x-10)( x-8)=0
解得:푥1 = 5,푥2 = 8
⑤求位置数的取值范围
a.篱笆的长、宽必须为正数,即:{ 푥>0
26 − 2푥>0
b.篱笆的长必须不长于墙,即:26-2x≤12
c.篱笆的侧面需要开门,必须宽于 1m,即 x>1
解不等式得:7 ≤ 푥<13
⑥根据取值范围,确定答案
푥1 = 5不满足7 ≤ 푥<13,舍去
푥2 = 8满足7 ≤ 푥<13,成立
∴篱笆的宽为:8m,长为:26-2×8=10m
题型 4 利润问题
解题技巧:利润问题中,等量关系式为:商品单件利润×商品销售件数=总利润,解题步骤与上述题型类
似。
例 1.30 元的衣服,以 50 元出售,平均每月能售出 300 件。经试销发现每件衣服涨价 1 元,其月销售量就减
少 1 件,物价部门规定,每件衣服售价不得高于 80 元,为实现每月利润 8700 元,应涨价多少元?
【答案】:10 元
【解析】:①依据题意,寻找等量关系式:
此题是利润问题,等量关系式为:每件衣服的利润×衣服的销售量=利润
②设未知数:
∵利润已知,每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关
∴设每每件衣服涨价 x 元
③根据等量关系式建立方程:
每件衣服的利润为:(50-30+x)=(20+x)元
销售重量为:(300-x)件
方程为:(20+x)( 300-x)=8700
④解方程并解答:
方程化简得:푥2 − 280푥 + 2700 = 0,继续化简得:(x-10)( x-270)=0
解答:푥1 = 10,푥2 = 270
∵售价不得高于 80 元
∴x≤30
∴x=10
例 2.核桃进价为每千克 40 元,按每千克 60 元出售,平均每天可售出 100 千克,后来经过市场调查发现,
单价每降低 2 元,则平均每天的销售量增加 20 千克。若该店销售这种核桃想平均每天获利 2240 元,每千
克核桃应降价多少元?
【答案】:4 元或 6 元
【解析】:①依据题意,寻找等量关系式:
此题是利润问题,等量关系式为:每千克核桃的利润×销售核桃重量=利润
②设未知数:
∵利润已知,每千克核桃的利润、销售核桃重量都与核桃降价量有关
∴设每千克核桃应降价 x 元
③根据等量关系式建立方程:
每千克核桃的利润为:(60-40-x)=(20-x)元
销售重量为:(100+20∙ 푥
2
)=(100+10x)千克
方程为:(20-x)( 100+10x)=2240
④解方程并解答:
方程化简得:푥2 − 10푥 + 24 = 0
解答:푥1 = 4,푥2 = 6
∵降价 4 元和降价 6 元,都符合实际情况
∴每千克核桃可以降价 4 元或 6 元。
题型 5 循环问题
解题技巧:有 2 种类型
(1)重叠类型:n 支球队互相之间都要打一场比赛,总共比赛场次为 m。
∵1 支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛,∴1 支球队需要比(n-1)场
∵存在 n 支这样的球队,∴比赛场次为:n(n-1)场
∵A 与 B 比赛和 B 与 A 比赛是同一场比赛,∴上述求法有重叠部分
∴m=1
2 푛(푛 − 1)
(2)不重叠类型:n 支球队,每支球队要在主场与所有球队各打一场,总共比赛场次为 m。
∵1 支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛,∴1 支球队需要比(n-1)场
∵存在 n 支这样的球队,∴比赛场次为:n(n-1)场
∵A 与 B 比赛在 A 的主场,B 与 A 比赛在 B 的主场,不是同一场比赛,∴上述求法无重叠
∴m=푛(푛 − 1)
例 1.每两支球队之间都比赛一场,共比赛 45 场,问有多少支球队?
【答案】:10 支
【解析】:此题是重叠类型的循环问题,等量关系式为:m=1
2 푛(푛 − 1)
设有 x 支球队
方程为:1
2 푥(x − 1) = 45
化简得:푥2 − 푥 − 90 = 0,继续化简得:(x+9)( x-10)=0
解得:푥1 = 10,푥2 = −9
∵依题意,球队数量为正值
∴x=10
∴有 10 支球队
例 2.每个同学都与全班同学交换一件礼物,全班同学交换礼物共计 2550 件,班上共有多少同学?
【答案】:51 名
【解析】:此题是重叠类型的循环问题,等量关系式为:m=푛(푛 − 1)
设有 x 名同学
方程为:푥(x − 1) = 2550
化简得:푥2 − 푥 − 2550 = 0,继续化简得:(x+50)( x-51)=0
解得:푥1 = 51,푥2 = −50
∵依题意,同学数量为正值
∴x=51
∴有 51 名同学
三、难点题型
题型 1 动点问题
解题技巧:解决动点问题的一般方法为:设运动的时间或路程为 x,再用含 x 的代数式表示相关的线段或几
何关系,从而建立方程或函数关系。
例 1.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm。点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1m/s 的速度
移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2m/s 的速度移动。如果点 P、Q 分别从点 A,B 同时出发,那么
几秒后,△PBQ 的面积等于 4푐푚2?
【答案】:1s
【解析】:设运动的时间为 x 秒
则 PB=(5-x)cm,BQ=2xcm
푆△푃퐵푄 = 1
2 (5 − 푥) ∙ 2푥 = 4
化简得:푥2 − 5푥 + 4 = 0
解得:푥1 = 1,푥2 = 4
当푥2 = 4时,BQ=8>BC=7,不成立
当푥1 = 1,符合题意
∴经过 1s 后,面积是 4푐푚2
例 2. 如图,AO=OB=50cm,OC 是一条射线,OC⊥AB 于 O,一只蚂蚁由点 A 以 2cm/s 的速度向点 B 爬行,
同时另一只蚂蚁由点 O 以 3cm/s 的速度沿 OC 方向爬行.几秒后两只蚂蚁所在的位置与点 O 组成的三角形的
面积等于 450푐푚2?
【答案】:10s 或 15s 或 30s
【解析】:∵蚂蚁是否爬行到 O 点,图形会不一样
∴此题为多解
情况一:当由点 A 出发的蚂蚁到达点 O 之前,设离开点 A ts 后,两只蚂蚁与点 O 组成的三角形的面积等于
450푐푚2.
根据题意得1
2 (50 − 2푡) ∙ 3푡 = 450,
整理得푡2 − 25푡 + 150 = 0, 解得푡1 = 15, 푡2 = 10
情况二:当由点 A 出发的蚂蚁爬完 AO 这段距离用了50
2 = 25s 后,开始由点 O 向点 B 爬行.设从点 O 开始爬
行푥푠后,两只蚂蚁与点 O 组成的三角形面积等于 450푐푚2.根据题意得1
2 ∙ 3푥 ∙ (2푥 − 50) = 450,整理得푥2 −
25푥 − 150 = 0, 解得푥1 = 30,푥2 = −5(不符合题意,舍去).故这只蚂蚁已由点 A 爬行了 30s.
综上所述,分别再 10s,15s,30s 后,两只蚂蚁所在的位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450푐푚2