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- 2021-11-10 发布
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一、选择题(共6小题,每小题4分,满分24分)
1、(2010•上海)下列实数中,是无理数的为( )
A、3.14 B、13
C、3 D、9
考点:无理数。
专题:应用题。
分析:A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数”即可判定选择项.
解答:解:A、B、D中3.14,13,9=3是有理数,C中3是无理数.
故选C.
点评:此题主要考查了无理数的定义,其中:
(1)有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,例如5=5.0;分数都可以化为有限小数或无限循环小数.
(2)无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数.
(3)有限小数和无限循环小数都可以化为分数,也就是说,一切有理数都可以用分数来表示;而无限不环小数不能化为分数,它是无理数.
2、(2010•上海)在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k<0)图象的两支分别在( )
A、第一、三象限 B、第二、四象限
C、第一、二象限 D、第三、四象限
考点:反比例函数的性质。
分析:根据反比例函数的性质作答.
解答:解:∵反比例函数y=kx(k<0),
∴图象的两支分别在第二、四象限.
故选B.
点评:反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线.
(1)k>0时,图象是位于一、三象限,在每个象限的双曲线内,y随x的增大而减小.
(2)k<0时,图象是位于二、四象限,在每个象限的双曲线内,y随x的增大而增大.
3、(2010•上海)已知一元二次方程x2+x﹣1=0,下列判断正确的是( )
A、该方程有两个相等的实数根 B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程无实数根 D、该方程根的情况不确定
考点:根的判别式。
分析:判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
解答:解:∵a=1,b=1,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等实数根.故选B.
点评:总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
4、(2010•上海)某市五月份连续五天的日最高气温分别为:23、20、20、21、26(单位:℃),这组数据的中位数和众数分别是( )
A、22℃,26℃ B、22℃,20℃
C、21℃,26℃ D、21℃,20℃
考点:中位数;众数。
分析:首先把所给数据按照由小到大的顺序排序,然后利用中位数和众数定义即可求出.
解答:解:把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20、20、21、23、26,
∴中位数为21,众数为20.
故选D.
点评:此题考查了中位数、众数的求法:
①给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数;如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数.任何一组数据,都一定存在中位数的,但中位数不一定是这组数据里的数.
②给定一组数据,出现次数最多的那个数,称为这组数据的众数.一组数据是不一定存在众数的;如果一组数据存在众数,则众数一定是数据集里的数.
5、(2010•上海)下列命题中,是真命题的为( )
A、锐角三角形都相似 B、直角三角形都相似
C、等腰三角形都相似 D、等边三角形都相似
考点:相似三角形的判定。
专题:常规题型。
分析:可根据相似三角形的判定方法进行解答.
解答:解:A、锐角三角形的三个内角都小于90°,但不一定都对应相等,故A错误;
B、直角三角形的直角对应相等,但两组锐角不一定对应相等,故B错误;
C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等,故C错误;
D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°),所以它们都相似,故D正确;
故选D.
点评:此题考查的是相似三角形的判定方法.需注意的是绝对相似的三角形大致有三种:
①全等三角形;②等腰直角三角形;③等边三角形.
6、(2010•上海)已知圆O1、圆O2的半径不相等,圆O1的半径长为3,若圆O2上的点A满足AO1=3,则圆O1与圆O2的位置关系是( )
A、相交或相切 B、相切或相离
C、相交或内含 D、相切或内含
考点:圆与圆的位置关系。
分析:根据圆与圆的五种位置关系,分类讨论.
解答:解:当两圆外切时,切点A能满足AO1=3,
当两圆相交时,交点A能满足AO1=3,
当两圆内切时,切点A能满足AO1=3,
所以,两圆相交或相切.故选A.
点评:本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.
二、填空题(共12小题,每小题4分,满分48分)
7、(2010•上海)计算:a3÷a•1a= .
考点:整式的混合运算。
分析:根据同底数幂相除,底数不变指数相减计算即可.
解答:解:a3÷a•1a=a3﹣1•1a=a2•1a=a.
点评:本题主要考查的是同底数幂的除法运算,要按照从左到右的顺序依次进行运算.
8、(2010•上海)计算:(x+1)(x﹣1)= .
考点:平方差公式。
分析:根据平方差公式计算即可.平方差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
解答:解:(x+1)(x﹣1)=x2﹣1.
点评:本题主要考查平方差公式,熟记公式结构是解题的关键.
9、(2010•上海)分解因式:a2﹣ab= .
考点:因式分解-提公因式法。
专题:计算题。
分析:直接把公因式a提出来即可.
解答:解:a2﹣ab=a(a﹣b) .
点评:本题主要考查提公因式法分解因式,准确找出公因式是a是解题的关键.
10、(2010•上海)不等式3x﹣2>0的解集是 .
考点:解一元一次不等式。
分析:先移项,再不等式两边同除以3.
解答:解:移项,得3x>2,
两边同除以3,得x>23.
点评:注意移项要变号.
11、(2010•上海)方程x+6=x的根是 .
考点:无理方程。
分析:把方程两边平方去根号后求解.
解答:解:由题意得:x>0
两边平方得:x+6=x2,
解之得x=3或x=﹣2(不合题意舍去).
点评:在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法,本题用了平方法.
12、(2010•上海)已知函数f(x)=1x2+1,那么f(﹣1)= .
考点:函数值。
专题:计算题。
分析:将x=﹣1代入函数f(x)=1x2+1,即可求得f(﹣1)的值.
解答:解:∵f(x)=1x2+1,
∴当x=﹣1时,f(﹣1)=1(﹣1)2+1=12
点评:本题比较容易,考查求函数值.
(1)当已知函数解析式时,求函数值就是求代数式的值;
(2)函数值是唯一的,而对应的自变量可以是多个.
13、(2010•上海)将直线y=2x﹣4向上平移5个单位后,所得直线的表达式是 .
考点:一次函数图象与几何变换。
分析:根据平移的性质,向上平移几个单位b的值就加几.
解答:解:由题意得:向上平移5个单位后的解析式为:y=2x﹣4+5=2x+1.
故填:y=2x+1.
点评:
本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目,要熟练掌握平移的性质.
14、(2010•上海)若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片,随机放入“让更美好”中的两个内(每个只放1张卡片),则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是 .
考点:概率公式。
分析:让组成“城市让生活更美好”的情况数除以总情况数即为所求的概率.
解答:解:∵将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片,随机放入两个框中,只有两种情况,
恰好组成“城市让生活更美好”的情况只有一种,
∴其概率是:12.
点评:明确概率的意义是解答的关键,用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.
15、(2010•上海)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O设向量AD→=a→,AB→=b→,则向量AO→= .(结果用a→、b→表示)
(原题如此)
16、(2010•上海)如图,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB= .
考点:相似三角形的判定与性质。
分析:由题意,在△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,可证△ABC∽△ACD,再根据相似三角形对应边成比例来解答.
解答:解:∵∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD,
∴ABAC=ACAD,
∵AC=2,AD=1,
∴1+DB2=21,
解得DB=3.
点评:本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例,难点在于找对应边.
17、(2010•上海)一辆汽车在行驶过程中,路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示当时0≤x≤1,y关于x的函数解析式为y=60x,那么当1≤x≤2时,y关于x的函数解析式为 .
考点:一次函数的应用。
专题:综合题。
分析:由图象可知在前一个小时的函数图象可以读出一个坐标点,再和另一个坐标点就可以写出函数关系式.
解答:解:∵当时0≤x≤1,y关于x的函数解析式为y=60x,
∴当x=1时,y=60.
又∵当x=2时,y=160,
当1≤x≤2时,
由两点式可以得y关于x的函数解析式y=100x﹣40.
点评:本题主要考查一次函数的性质和图象问题,能够根据函数解析式求得对应的y的值.
18、(2010•上海)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为 .
考点:旋转的性质;正方形的性质。
分析:题目里只说“旋转”,并没有说顺时针还是逆时针,而且说的是“直线BC上的点”,所以有两种情况,即一个是逆时针旋转,一个顺时针旋转,根据旋转的性质可知.
解答:解:
顺时针旋转得到F1点,则F1C=1;
逆时针旋转得到F2点,则F2B=DE=2,
F2C=F2B+BC=5.
点评:本题主要考查了旋转的性质.
三、解答题(共7小题,满分78分)
19、(2010•上海)计算:2713+(3﹣1)2﹣(12)﹣1+43+1
考点:二次根式的混合运算;负整数指数幂。
分析:本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
解答:原式=3+4﹣23﹣2+4(3﹣1)3﹣1
=5﹣23+23﹣2=3.
点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
20、(2010•上海)解方程:xx﹣1﹣2x2﹣1=1.
考点:解分式方程。
专题:计算题。
分析:观察可得x2﹣1=(x+1)(x﹣1),所以方程最简公分母为(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
解答:解:方程两边都乘以x2﹣1,
得:x(x+1)﹣2=x2﹣1,
去括号得x2+x﹣2=x2﹣1,
移项合并得x=1.
检验:当x=1时,方程的分母等于0,所以原方程无解.
点评:解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解;解分式方程一定注意要验根.
21、(2010•上海)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.
(1)求弦BC的长;(2)求圆O的半径长.
(本题参考数据:sin67.4°=1213,cos67.4°=513,tan67.4°=125)
考点:解直角三角形的应用-方向角问题;勾股定理;垂径定理。
分析:(1)过O作OD⊥AB于D,则∠AOB=90°﹣67.4°=22.6°.在Rt△AOD中,利用∠AOB的三角函数值即可求出OD,AD的长;
(2)求出BD的长,根据勾股定理即可求出BO的长.
解答:解:(1)作OD⊥AB.
∵AB∥SN,∠AON=67.4°,
∴∠A=67.4°.
∴OD=AO•sin 67.4°=13×1213=12.
又∵BE=OD,
∴BE=12.
根据垂径定理,BC=2×12=24(米).
(2)∵AD=AO•cos 67.4°=13×513=5,
∴OD=132﹣52=12,
BD=AB﹣AD=14﹣5=9.
∴BO=92+122=15.
故圆O的半径长15米.
点评:(1)将解直角三角形和勾股定理的应用相结合,求出BE,再根据垂径定理求出BC的长即可,有一定的综合性;
(2)利用(1)的结论,再根据勾股定理,即可求出半径.
22、(2010•上海)某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况,一天,他们分别在A、B、C三个出口处,对离开园区的游客进行调查,其中在A出口调查所得的数据整理后绘成图.
(1)在A出口的被调查游客中,购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的 %.
(2)试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料?
(3)已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示.若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万,且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料,试问B出口的被调查游客人数为多少万?
考点:加权平均数;一元一次方程的应用;条形统计图。
专题:工程问题。
分析:(1)根据条形统计图即可求得总人数和购买2瓶及2瓶以上的人数,从而求得购买2瓶及2瓶以上所占的百分比;
(2)根据加权平均数进行计算;
(3)设B出口人数为x万人,则C出口人数为(x+2)万人.
根据B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料,列方程求解.
解答:解:(1)由图6知,购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6(万人),
而总人数为:1+3+2.5+2+1.5=10(万人),
所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的610×100%=60%.
(2)购买饮料总数位:3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20(万瓶).
人均购买=购买饮料总数总人数=20万瓶10万人=2瓶.
(3)设B出口人数为x万人,则C出口人数为(x+2)万人.
则有3x+2(x+2)=49,
解之得x=9.
所以设B出口游客人数为9万人.
点评:本题考查的是条形统计图的运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
23、(2010•上海)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如图所示),∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.
(1)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形ABED是菱形;
(2)∠ABC=60°,EC=2BE,求证:ED⊥DC.
考点:菱形的判定;勾股定理;梯形。
专题:作图题。
分析:(1)分别以点B、D为圆心,以大于AB的长度为半径,分别作弧,且两弧交于一点P,连接AP,则AP即为∠BAD的平分线,且AP交BC于点E;
可通过证△BOE≌△BOA,得AO=OE,则AD与BE平行且相等,由此证得四边形ABED是平行四边形,而AB=AD,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可证得所求的结论;
(2)已知了EC、BE的比例关系,可用未知数表示出BE、EC的长;过D作DF⊥BC于F,在Rt△DEF中,易知∠DEF=∠ABC=60°,可用DE(即BE)的长表示出EF、DF,进而表示出FC的长;在Rt△CFD中,根据DF、CF的长,可由勾股定理求出CD的长,进而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理证得DE⊥DC.
解答:(1)解:如图;
∵AB=AD,
∴△ABO≌△AOD
∴BO=OD
∵AD∥BC,
∴∠OBE=∠ODA,∠OAD=OEB
∴△BOE≌△DOA
∴BE=AD(平行且相等)
∴四边形ABDE为平行四边形,另AB=AD,
∴四边形ADBE为菱形;
(2)设DE=2a,则CE=4a,过点D作DF⊥BC
∵∠ABC=60°,∴∠DEF=60°,
∴∠EDF=30°,∴EF=12DE=a,
则DF=3a,CF=CE﹣EF=4a﹣a=3a,
∴CD=DF2+CF2=3a2+9a2=23a
∴DE=2a,EC=4a,CD=23a,构成一组勾股数,
∴△EDC为直角三角形,则ED⊥DC.
点评:此题主要考查了梯形的性质、尺规作图﹣角平分线的作法、菱形的判定和性质、勾股定理的应用等知识.
24、(2010•上海)如图,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3).
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
考点:二次函数综合题。
专题:综合题。
分析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值;将所求得的二次函数解析式化为顶点式,即可得到其对称轴方程及顶点坐标;
(2)首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标,进而可得到F点的坐标,由此可求出PF的长,即可判断出四边形OAPF的形状,然后根据其面积求出n的值,再代入抛物线的解析式中即可求出m的值.
解答:解:(1)将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:&﹣42+4b+c=0&﹣12+b+c=3,
解之得:b=4,c=0;
所以抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x,
将抛物线的表达式配方得:y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
所以对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4);
(2)点p(m,n)关于直线x=2的对称点坐标为点E(4﹣m,n),
则点E关于y轴对称点为点F坐标为(m﹣4,n),
则FP=OA=4,即FP、OA平行且相等,
所以四边形OAPF是平行四边形;
S=OA•|n|=20,即|n|=5;
因为点P为第四象限的点,
所以n<0,
所以n=﹣5;
代入抛物线方程得m=5.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及图形面积的求法,难度适中.
25、(2010•上海)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
(3)若tan∠BPD=13,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;解直角三角形。
专题:综合题;压轴题。
分析:(1)当∠B=30°时,∠A=60°,此时△ADE是等边三角形,则∠PEC=∠AED=60°,由此可证得∠P=∠B=30°;若△AEP与△BDP相似,那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°,此时EP=EA=1,即可在Rt△PEC中求得CE的长;
(2)若BD=BC,可在Rt△ABC中,由勾股定理求得BD、BC的长;过C作CF∥DP交AB于F,易证得△ADE∽△AFC,根据得到的比例线段可求出DF的长;进而可通过证△ACF∽△BPD,根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系,进而求出BP、CP的长;在Rt△CEP中,根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值;
(3)过点D作DQ⊥AC于Q,可用未知数表示出QE的长,根据∠BPD(即∠EDQ)的正切值即可求出DQ的长;在Rt△ADQ中,可用QE表示出AQ的长,由勾股定理即可求得EQ、
DQ、AQ的长;易证得△ADQ∽△ABC,根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式,进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式.
解答:(1)解:∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=60°.
∵AD=AE,
∴∠AED=60°=∠CEP,
∴∠EPC=30°.
∴三角形BDP为等腰三角形.
∵△AEP与△BDP相似,
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°,
∴AE=EP=1.
∴在Rt△ECP中,EC=12EP=12;
(2)设BD=BC=x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
(x+1)2=x2+(2+1)2,
解之得x=4,即BC=4.
过点C作CF∥DP.
∴△ADE与△AFC相似,
∴AEAC=ADAF,即AF=AC,即DF=EC=2,
∴BF=DF=2.
∵△BFC与△BDP相似,
∴BFBD=BCBP=24=12,即:BC=CP=4.
∴tan∠BPD=ECCP=24=12.
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q.
则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1﹣a.
∴QEEC=DQCP且tan∠BPD=13,
∴DQ=3(1﹣a).
∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:AD2=AQ2+DQ2
即:12=a2+[3(1﹣a)]2,
解之得a=1(舍去)a=45.
∵△ADQ与△ABC相似,
∴ADAB=DQBC=AQAC=451+x=45+5x.
∴AB=5+5x4,BC=3+3x4.
∴三角形ABC的周长y=AB+BC+AC=5+5x4+3+3x4+1+x=3+3x,
即:y=3+3x,其中x>0.
点评:此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力,难度较大.
参与本试卷答题和审题的老师有:
张伟东;shenzigang;Linaliu;bjy;yangjigang;zhangCF;lanyuemeng;zhehe;yu123;HJJ;CJX;MMCH;huangling;zhjh;lanyan;mama258;zhqd;xinruozai;zhangchao;nhx600;fuaisu。(排名不分先后)
2011年2月17日
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