初三数学上册基础知识讲解练习 应用一元二次方程 4页

应用一元二次方程 【知识点总结】 一、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题是本节的难点，它的基本步骤为： (1) 审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)写答． 其中列方程时，应先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系式，检验是为了防止出现不符合题意及 实际问题的解． 【例题精讲】 一、几何问题 1、如图，是上海世博园内一个矩形花园，花园的长为 100 米，宽为 50 米，在它的四角各建有一个同样大 小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不 同花草.已知种植花草部分的面积为 3600 米 2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？ [来源:Zxxk.Com] 解：设正方形观光休息亭的边长为 x 米. 依题意，有 (1002)(502)3 600.xx 整理，得 2 753500.xx 解得 125 70.xx， 7050x ，不合题意，舍去， 5.x 答：矩形花园各角处的正方形观点休息亭的边长为 5 米. 2、已知 ABC△ 的两边 AB 、 AC 的长是关于 x 的一元二次方程 22(23)320xkx kk  的两个实数根，第三边 BC 的长为 5． （1）当 k 为何值时， 是直角三角形； （2）当 为何值时， 是等腰三角形，并求出 的周长 解：（1）解方程 22(23)320xkx kk  得 ∵ 1 ， ∴无论 k 取何值，方程均有实数根． 1 1xk， 2 2xk． 不妨设 12ABkACk， 因为第三边 5BC  所以，当 ABC△ 为 直角三角形时，分两种情况： ①当 是斜边时，有 222ABACBC 即 22( 1) ( 2) 25kk    解得 1225kk  ， （舍去） ②当 AC 为斜边时，有 222ABBCAC[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 即 22(1)5(2)kk 解得 11k  所以，当 2k  和 11 时， 为直角三角形． （2）∵ ， ∴当 是等腰三角形时，有两种情况 ① 5ACBC时， 25k ，∴ 3k  ∴ 的周长为55114k ② 5ABBC时， 15k  ，∴ 4k  ∴ 的周长为55216k ． 故，当 3k  和 4 时， 是等腰三角形， 的周长分别是 14 和 16． 二、增长率问题 1、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2009 年投资 11 万元新增一批电脑，计划以后每 年以相同的增长率进行投资，2011 年投资 18.59 万元 （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从 2009 年到 2011 年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 解：（1）设该校为新增电脑投资的年平均增长率为 x 根据题意，得一元二次方程  211 118.59.x 解这个方程，得 120.3, 2.3xx   （不合题意，舍去）. 答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 30%. （2）  111110.318.5943.89 （万元）. 答：从 2009 年到 2010 年，该中学三年为新增电脑共投资 43.89 万元. 2、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元，2011 年投入 8640 万元． （1）求 2009 年至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？ 请通过计算说明理由． 解：（1）设每年平均增长的百分率为 x． 6000 2)1( x =8640， 2)1( x =1.44， ∵1+x＞0， ∴1+x=1.2， x=20%． 答：每年平均增长的百分率为 20%； （2）2012 年该县教育经费为 8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500 万元． 故能实现目标． 三、销售问题 1、某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤．第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个月如 果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓 销售，清仓时单价为 40 元．设第二个月单价降低 x 元． （1）填表（不需化简）： [来源:学科网] （2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9 000 元，那么第二个月的单价应是多少元？[来源:学*科*网] 解：（1）80－ x ，200＋10x，800－200－(200＋10x) 时 间 第一个月 第二个月 清仓时 单 价（元） 80 40 销售量（件）[来 源:Z*xx*k.Com] 200 （2）根据题意，得 80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9 000． 整理，得 xx 202  ＋100＝0． 解这个方程，得 21 xx  ＝10． 当 x＝10 时，80－x＝70＞50． 答：第二个月的单价应是70 元． 2、某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过 25 人，每张票价 150 元， 如果超过 25 人，每增加 1 人，每张票价降低 2 元，但每张票价不得低于 100 元，阳光旅行社共支付团体票 价 4800 元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？ 解：∵150×25=3750<4800 ∴购买的团体票超过 25 张. 设共购买了 x 张团体票 由题意列方程得   4800)25(2150  xx 024001002  xx 解得 4060 21  xx 当 601 x 时，不符题意，舍去 402 x 符合题意 ∴x=40 答：共购买了 40 张团体票 .