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- 2021-11-10 发布
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第2章 对称图形——圆
2.4 第2课时 特殊的圆周角
知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度
1.如图2-4-15,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上.若∠A=40°,则∠B的度数为( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
图2-4-15
图2-4-16
2.如图2-4-16,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=40°,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.40° C.45° D.60°
3.如图2-4-17,AB是⊙O的直径,C,D,E是⊙O上的点,则∠1+∠2=________°.
图2-4-17
图2-4-18
4.[2017·株洲] 如图2-4-18,已知AM是⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM= ∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D,E.若∠BMD=40°,则∠EOM=________°.
5.如图2-4-19,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.求∠CEB的度数.
7
图2-4-19
知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长
6.教材练习第1题变式如图2-4-20,把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆形玻璃镜的半径是( )
A. cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
图2-4-20
图2-4-21
7.如图2-4-21,AB是⊙O的直径,若BC=5,AC=12,则⊙O的直径AB为________.
8.[2017·台州] 如图2-4-22,已知等腰直角三角形ABC,P是斜边BC上一点(不与点B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.
图2-4-22
7
9.如图2-4-23,⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径,它交另一腰AC于点E,交BC于点D.求证:BC=2DE.
图2-4-23
图2-4-24
10.如图2-4-24,AB是半圆的直径,D是的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
11.[2017·海南] 如图2-4-25,AB是⊙O的弦,AB=5,C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若M,N分别是AB,AC的中点,则MN长的最大值是________.
图2-4-25
图2-4-26
12.如图2-4-26,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD与BC,OC分别相交于点E,F,则下列结论:①AD⊥BD;②CB平分∠ABD;③∠AOC=∠AEC;④AF=DF;⑤△CEF≌△BED;⑥BD=2OF.其中一定成立的是________(请填序号).
13.如图2-4-27,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
7
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
图2-4-27
14.如图2-4-28,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使CD=BC,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
图2-4-28
15.已知:如图2-4-29①,在⊙O中,直径AB=4,弦CD=2,直线AD,BC相交于点E.
(1)∠E的度数为________;
(2)如图②,直径AB与弦CD交于点F,请补全图形并求∠E的度数;
(3)如图③,直径AB与弦CD不相交,求∠AEC的度数.
图2-4-29
7
1.C [解析] 因为AB是⊙O的直径,所以∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,则∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.故选C.
2.A [解析] ∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=∠ACD=40°,
∴∠BAD=180°-90°-40°=50°.
3.90 [解析] 连接AC,则∠ACB=90°.
根据圆周角定理,得∠ACE=∠2,
∴∠1+∠2=∠ACB=90°.
4.80
5.解:如图,连接BC,则∠ADC=∠B.
∵∠ADC=50°,
∴∠B=50°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=40°.
∵∠CEB=∠ACD+∠BAC,∠ACD=60°,
∴∠CEB=60°+40°=100°.
6.B
7.13
8.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,∴∠AEP=45°.
∵PE是⊙O的直径,∴∠PAE=90°,
∴△APE是等腰直角三角形.
(2)∵△ABC和△APE均是等腰直角三角形,
∴AC=AB,AP=AE,∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE.
在△APC和△AEB中,
∴△APC≌△AEB,∴PC=EB.
∵PE是⊙O的直径,∴∠PBE=90°,
∴PC2+PB2=EB2+PB2=PE2=4.
9.证明:连接AD,BE.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,BD=DC,
即BC=2DC.
∵∠DAE=∠DBE,∠ADE=∠ABE,
7
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=∠DBE+∠ABE=∠ABC=∠C,
∴DE=DC,∴BC=2DE.
10.C [解析] 连接BD.
∵D是的中点,即=,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABC=50°,∴∠ABD=×50°=25°.
∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°-25°=65°.
11.
12.①②④⑥
13.解:(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠B=20°.
又∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B=70°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=(180°-∠AOD)=55°,
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=35°.
(2)在Rt△ABC中,BC==.
∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,
即OE⊥AC,∴AE=EC.
又∵OA=OB,∴OE=BC=.
∵OD=AB=2,
∴DE=OD-OE=2-.
14. (1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.
又∵CD=BC,∴AD=AB,∴∠B=∠D.
(2)设BC=x,则AC=x-2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(x-2)2+x2=42,
解得x1=1+,x2=1-(舍去),
∴BC=1+.
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE.
∵CD=BC,
∴CE=BC=1+.
15. (1)如图①,连接OD,OC,BD.
7
∵OD=OC=CD=2,
∴△DOC为等边三角形,
∴∠DOC=60°,
∴∠DBC=30°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠E=90°-30°=60°.
(2)如图②,直线AD,CB交于点E,连接OD,OC,AC.
∵OD=OC=CD=2,
∴△DOC为等边三角形,
∴∠DOC=60°,
∴∠DAC=30°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠E=90°-∠DAC=90°-30°=60°.
(3)如图③,连接OD,OC.
∵OD=OC=CD=2,
∴△DOC为等边三角形,
∴∠DOC=60°,
∴∠CBD=30°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BED=60°,
∴∠AEC=∠BED=60°.
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