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  • 2021-11-10 发布

2020九年级数学上册第2章对称图形—圆2

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第2章 对称图形——圆 ‎2.4 第2课时 特殊的圆周角 知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度 ‎1.如图2-4-15,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上.若∠A=40°,则∠B的度数为(  )‎ A.80° B.60° C.50° D.40°‎ 图2-4-15‎ ‎   ‎ 图2-4-16‎ ‎2.如图2-4-16,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=40°,则∠BAD的度数为(  )‎ A.50° B.40° C.45° D.60°‎ ‎3.如图2-4-17,AB是⊙O的直径,C,D,E是⊙O上的点,则∠1+∠2=________°.‎ 图2-4-17‎ ‎   ‎ 图2-4-18‎ ‎4.[2017·株洲] 如图2-4-18,已知AM是⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM= ∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D,E.若∠BMD=40°,则∠EOM=________°.‎ ‎5.如图2-4-19,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.求∠CEB的度数.‎ 7‎ 图2-4-19‎ 知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长 ‎6.教材练习第1题变式如图2-4-20,把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=‎8 cm,ON=‎6 cm,则该圆形玻璃镜的半径是(  )‎ A. cm B.‎5 cm C.‎6 cm D.‎‎10 cm 图2-4-20‎ ‎   ‎ 图2-4-21‎ ‎7.如图2-4-21,AB是⊙O的直径,若BC=5,AC=12,则⊙O的直径AB为________.‎ ‎8.[2017·台州] 如图2-4-22,已知等腰直角三角形ABC,P是斜边BC上一点(不与点B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.‎ ‎(1)求证:△APE是等腰直角三角形;‎ ‎(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.‎ 图2-4-22‎ 7‎ ‎9.如图2-4-23,⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径,它交另一腰AC于点E,交BC于点D.求证:BC=2DE.‎ 图2-4-23‎ ‎ ‎ ‎ 图2-4-24‎ ‎10.如图2-4-24,AB是半圆的直径,D是的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于(  )‎ A.55° B.60° C.65° D.70°‎ ‎11.[2017·海南] 如图2-4-25,AB是⊙O的弦,AB=5,C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若M,N分别是AB,AC的中点,则MN长的最大值是________.‎ 图2-4-25‎ ‎   ‎ 图2-4-26‎ ‎12.如图2-4-26,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD与BC,OC分别相交于点E,F,则下列结论:①AD⊥BD;②CB平分∠ABD;③∠AOC=∠AEC;④AF=DF;⑤△CEF≌△BED;⑥BD=2OF.其中一定成立的是________(请填序号).‎ ‎13.如图2-4-27,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.‎ ‎(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;‎ 7‎ ‎(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.‎ 图2-4-27‎ ‎14.如图2-4-28,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使CD=BC,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.‎ ‎(1)求证:∠B=∠D;‎ ‎(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.‎ 图2-4-28‎ ‎15.已知:如图2-4-29①,在⊙O中,直径AB=4,弦CD=2,直线AD,BC相交于点E.‎ ‎(1)∠E的度数为________;‎ ‎(2)如图②,直径AB与弦CD交于点F,请补全图形并求∠E的度数;‎ ‎(3)如图③,直径AB与弦CD不相交,求∠AEC的度数.‎ 图2-4-29‎ 7‎ ‎1.C [解析] 因为AB是⊙O的直径,所以∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,则∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.故选C.‎ ‎2.A [解析] ∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°.‎ ‎∵∠ABD=∠ACD=40°,‎ ‎∴∠BAD=180°-90°-40°=50°.‎ ‎3.90 [解析] 连接AC,则∠ACB=90°.‎ 根据圆周角定理,得∠ACE=∠2,‎ ‎∴∠1+∠2=∠ACB=90°.‎ ‎4.80‎ ‎5.解:如图,连接BC,则∠ADC=∠B.‎ ‎∵∠ADC=50°,‎ ‎∴∠B=50°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BAC=40°.‎ ‎∵∠CEB=∠ACD+∠BAC,∠ACD=60°,‎ ‎∴∠CEB=60°+40°=100°.‎ ‎6.B ‎7.13‎ ‎8.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠ABC=45°,∴∠AEP=45°.‎ ‎∵PE是⊙O的直径,∴∠PAE=90°,‎ ‎∴△APE是等腰直角三角形.‎ ‎(2)∵△ABC和△APE均是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=AB,AP=AE,∠CAB=∠PAE=90°,‎ ‎∴∠CAP=∠BAE.‎ 在△APC和△AEB中, ‎∴△APC≌△AEB,∴PC=EB.‎ ‎∵PE是⊙O的直径,∴∠PBE=90°,‎ ‎∴PC2+PB2=EB2+PB2=PE2=4.‎ ‎9.证明:连接AD,BE.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.‎ 又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,BD=DC,‎ 即BC=2DC.‎ ‎∵∠DAE=∠DBE,∠ADE=∠ABE,‎ 7‎ ‎∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=∠DBE+∠ABE=∠ABC=∠C,‎ ‎∴DE=DC,∴BC=2DE.‎ ‎10.C [解析] 连接BD.‎ ‎∵D是的中点,即=,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD.‎ ‎∵∠ABC=50°,∴∠ABD=×50°=25°.‎ ‎∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠DAB=90°-25°=65°.‎ ‎11. ‎12.①②④⑥‎ ‎13.解:(1)∵AB是半圆O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠B=20°.‎ 又∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B=70°.‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠DAO=∠ADO=(180°-∠AOD)=55°,‎ ‎∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=35°.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,BC==.‎ ‎∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,‎ 即OE⊥AC,∴AE=EC.‎ 又∵OA=OB,∴OE=BC=.‎ ‎∵OD=AB=2,‎ ‎∴DE=OD-OE=2-.‎ ‎14. (1)证明:∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.‎ 又∵CD=BC,∴AD=AB,∴∠B=∠D.‎ ‎(2)设BC=x,则AC=x-2.‎ 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ 即(x-2)2+x2=42,‎ 解得x1=1+,x2=1-(舍去),‎ ‎∴BC=1+.‎ ‎∵∠B=∠E,∠B=∠D,‎ ‎∴∠D=∠E,‎ ‎∴CD=CE.‎ ‎∵CD=BC,‎ ‎∴CE=BC=1+.‎ ‎15. (1)如图①,连接OD,OC,BD.‎ 7‎ ‎∵OD=OC=CD=2,‎ ‎∴△DOC为等边三角形,‎ ‎∴∠DOC=60°,‎ ‎∴∠DBC=30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠E=90°-30°=60°.‎ ‎(2)如图②,直线AD,CB交于点E,连接OD,OC,AC.‎ ‎∵OD=OC=CD=2,‎ ‎∴△DOC为等边三角形,‎ ‎∴∠DOC=60°,‎ ‎∴∠DAC=30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠E=90°-∠DAC=90°-30°=60°.‎ ‎(3)如图③,连接OD,OC.‎ ‎∵OD=OC=CD=2,‎ ‎∴△DOC为等边三角形,‎ ‎∴∠DOC=60°,‎ ‎∴∠CBD=30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠BED=60°,‎ ‎∴∠AEC=∠BED=60°. ‎ 7‎