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  • 2021-11-10 发布

人教版九年级上册数学同步课件-第24章-24圆周角

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第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 21.1.4 圆周角 C A E D B 定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. (两个条件必须同时具备,缺一不可) 圆周角的定义1 · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. (2)(1) (3) (5) (6) ×,顶点不在圆上 ×,顶点不在圆上 ×,边AC没有和圆相交√ √√ 如图,连结BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系. 1 2BAC BOC   圆周角定理及其推论2 ? 测量与猜测: 圆心O在∠BAC 的内部 圆心O在∠BAC 的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 为了验证上面发现的猜想,分下列几种情况: 推导与验证: ①圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形) OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2BAC BOC   O A B D O A C D O A B C D ②圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D ③圆心O在∠BAC的外部 ★圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ▼圆周角定理及其推论 A1 A2 A3 ★推论1 同弧所对的圆周角相等. 试一试: 1.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点A与点D在点B,C所在 直线的同侧,∠BAC=35º. (1)∠BOC= º, 理由是 ; (2)∠BDC= º,理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 (1)完成下列填空: ∠1= ,∠2= ,∠3= , ∠5= ; 2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四 边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ((( ( ( ( ( ( 23 4 5 6 7 8 2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四 边形ABCD的对角线. (2)若AB=AD,则∠1与∠2是否相等,为什么?⌒ ⌒ ★推论2:等弧所对的圆周角相等. 解:∠1=∠2.理由如下: 连结DO,AO,BO. ∵ ∴∠AOB=∠AOD. 又 ∴∠1=∠2.  ,AB AD 1 11= 2=2 2AOD AOB   , , 2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四 边形ABCD的对角线. (3)若AC是半圆, ∠ADC= , ∠ABC= . 90° 90° 若AC是直径, (或直径) ★推论3:半圆 所对的圆周角是直角. 反之,90°的圆周角所对的弦是直径. 例题 如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长. 解:如图,连结OD. ∵AB是直径,∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,  2 2 2 210 6 8 cm .BC AB AC     ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD. 又在Rt△ABD中, 2 2 2 ,AD BD AB  ∴AD=BD=  2 2 10 5 2 cm .2 2AB    如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边 形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. ★圆内接四边形的定义 圆内接四边形3 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形 ABCD的外接圆. 探究性质: 猜想:∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 . ∠A+ ∠C=180º,∠B+ ∠D=180º ★圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补. 证明:连结OB,OD. ∵∠A所对的弧为 ,∠C所对的弧为 , 又 和 所对的圆周角的和是周角, ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°. 1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110°, ∠B=80°,则∠C= ,∠D= . 2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ,则 ∠D= . 70 º 100º 90º 1.判断: (1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等. ( ) (2)相等的弦所对的圆周角也相等. ( ) (3)90°的角所对的弦是直径. ( ) (4)同弦所对的圆周角相等. ( ) √ × × × 2.如图,AB是⊙O的直径, C,D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=____.50° 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= . A BO C D 第2题 BA C O 第3题 166° 4.如图,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= , ∠ADB= . D A O C B 130° 50° 5.如图,△ABC的顶点A,B,C都在⊙O上,∠C=30 °,AB= 2,则⊙O的半径是 . C A B O 解析:连结OA,OB. ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 °. 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2,即⊙O的半径为2. 2 第4题 第5题 6.如图,∠A=50°, ∠ABC=60 °,BD是⊙O的直径,则∠AEB等于 ( ) A.70° B.110° C.90° D.120° B A CB O DE 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理 的推论 一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半 1.同弧或等弧所对 的圆周角相等; 2.半圆(或直径) 所对的圆周角是直 角,90°的圆周角 所对的弦是直径 1.顶点在圆上, 2.两边都与圆 相交的角(二 者必须同时具 备) 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补