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- 2021-11-10 发布
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
21.1.4 圆周角
C
A E
D
B
定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(两个条件必须同时具备,缺一不可)
圆周角的定义1
·
C O
AB
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
(2)(1) (3)
(5) (6)
×,顶点不在圆上
×,顶点不在圆上
×,边AC没有和圆相交√
√√
如图,连结BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存
在怎样的数量关系.
1
2BAC BOC
圆周角定理及其推论2
? 测量与猜测:
圆心O在∠BAC
的内部
圆心O在∠BAC
的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
为了验证上面发现的猜想,分下列几种情况:
推导与验证:
①圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形)
OA=OC ∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
1
2BAC BOC
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B C
D
②圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D C
O
A
D C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
③圆心O在∠BAC的外部
★圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
▼圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
★推论1
同弧所对的圆周角相等.
试一试:
1.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点A与点D在点B,C所在
直线的同侧,∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º,
理由是 ;
(2)∠BDC= º,理由是 .
70
35 同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空:
∠1= ,∠2= ,∠3= ,
∠5= ;
2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四
边形ABCD的对角线.
∠4 ∠8 ∠6
∠7
A
B
C
D
O1 (((
(
(
(
(
(
23 4 5
6
7 8
2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四
边形ABCD的对角线.
(2)若AB=AD,则∠1与∠2是否相等,为什么?⌒ ⌒
★推论2:等弧所对的圆周角相等.
解:∠1=∠2.理由如下:
连结DO,AO,BO.
∵
∴∠AOB=∠AOD.
又
∴∠1=∠2.
,AB AD
1 11= 2=2 2AOD AOB , ,
2.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四
边形ABCD的对角线.
(3)若AC是半圆,
∠ADC= ,
∠ABC= .
90°
90°
若AC是直径,
(或直径) ★推论3:半圆 所对的圆周角是直角.
反之,90°的圆周角所对的弦是直径.
例题 如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB
的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连结OD.
∵AB是直径,∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,
2 2 2 210 6 8 cm .BC AB AC
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD.
又在Rt△ABD中, 2 2 2 ,AD BD AB
∴AD=BD= 2 2 10 5 2 cm .2 2AB
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边
形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
★圆内接四边形的定义
圆内接四边形3
如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形
ABCD的外接圆.
探究性质:
猜想:∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系
为 . ∠A+ ∠C=180º,∠B+ ∠D=180º
★圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.
证明:连结OB,OD.
∵∠A所对的弧为 ,∠C所对的弧为 ,
又 和 所对的圆周角的和是周角,
∴∠A+∠C=360°÷2=180°.
同理∠B+∠D=180°.
1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110°,
∠B=80°,则∠C= ,∠D= .
2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ,则
∠D= .
70 º 100º
90º
1.判断:
(1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等. ( )
(2)相等的弦所对的圆周角也相等. ( )
(3)90°的角所对的弦是直径. ( )
(4)同弦所对的圆周角相等. ( )
√
×
×
×
2.如图,AB是⊙O的直径, C,D是圆上的两点,∠ABD=40°,
则∠BCD=____.50°
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,
则∠AOB= .
A BO
C
D
第2题
BA
C
O
第3题
166°
4.如图,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ,
∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
5.如图,△ABC的顶点A,B,C都在⊙O上,∠C=30 °,AB=
2,则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解析:连结OA,OB. ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 °.
又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=2,即⊙O的半径为2.
2
第4题 第5题
6.如图,∠A=50°, ∠ABC=60 °,BD是⊙O的直径,则∠AEB等于
( )
A.70° B.110° C.90° D.120°
B
A
CB
O
DE
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理
的推论
一条弧所对的
圆周角等于它
所对的圆心角
的一半
1.同弧或等弧所对
的圆周角相等;
2.半圆(或直径)
所对的圆周角是直
角,90°的圆周角
所对的弦是直径
1.顶点在圆上,
2.两边都与圆
相交的角(二
者必须同时具
备)
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补